Как найти напряженность электрического поля в диэлектрике

Напряженность
электростатического поля, согласно
(88.5), зависит от свойств среды: в однородной
изотропной среде напряженность
поля Е обратно
пропорциональна .
Вектор напряженности Е,
переходя через границу диэлектриков,
претерпевает скачко­образное изменение,
создавая тем самым неудобства при
расчетах электростатических полей.
Поэтому оказалось необходимым помимо
вектора напряженности характеризо­вать
поле еще вектором
электрического смещения, который
для электрически изотроп­ной среды,
по определению, равен

(89.1)

Используя формулы
(88.6) и (88.2), вектор электрического смещения
можно выразить как

(89.2)

Единица
электрического смещения — кулон на
метр в квадрате (Кл/м²).

Рассмотрим,
с чем можно связать вектор электрического
смещения. Связанные заряды появляются
в диэлектрике при наличии внешнего
электростатического поля, создаваемого
системой свободных электрических
зарядов, т. е. в диэлектрике на
электростатическое поле свободных
зарядов накладывается дополнительное
поле свя­занных зарядов. Результирующее
поле в
диэлектрике описывается вектором
напряжен­ности Е,
и потому он зависит от свойств диэлектрика.
Вектором D описывается
электростатическое поле, создаваемое свободными
зарядами. Связанные
заряды, воз­никающие в диэлектрике,
могут вызвать, однако, перераспределение
свободных заря­дов, создающих поле.
Поэтому вектор D характеризует
электростатическое поле, создаваемое свободными
зарядами (т.
е. в вакууме), но при таком их распределении
в пространстве, какое имеется при
наличии диэлектрика.

Аналогично,
как и поле Е,
поле D изображается
с помощью линий
электрического смещения, направление
и густота которых определяются точно
так же, как и для линий напряженности
(см. §79).

Линии
вектора Е могут
начинаться и заканчиваться на любых
зарядах — свободных и связанных, в то
время как линии вектора D — только
на свободных зарядах. Через
области поля, где находятся связанные
заряды, линии вектора D проходят
не прерываясь.

Для
произвольной замкнутой поверхности S поток
вектора D сквозь
эту поверх­ность

где D_n —
проекция вектора D на
нормаль n к
площадке dS.

Теорема
Гаусса для электростатического
поля в диэлектрике:

(89.3)

т. е.
поток вектора смещения электростатического
поля в диэлектрике сквозь произ­вольную
замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме заключенных внутри этой
поверхности свободных электрических
зарядов. В
такой форме теорема Гаусса справедлива
для электростатического поля как для
однородной и изотропной, так и для
неоднородной и анизотропной сред.

Для
вакуума D_n = ₀E_n ( =1),
тогда поток вектора напряженности Е сквозь
произ­вольную замкнутую поверхность
(ср. с (81.2)) равен

Так
как источниками поля Е в
среде являются как свободные, так и
связанные заряды, то теорему Гаусса
(81.2) для поля Е в
самом общем виде можно записать как

где —
соответственно алгебраические суммы
свободных и связанных зарядов, охватываемых
замкнутой поверхностью S. Однако
эта формула неприемлема для описания
поля Е в
диэлектрике, так как она выражает
свойства неизвестного поля Е через
связанные заряды, которые, в свою очередь,
определяются им же. Это еще раз доказывает
целесообразность введения вектора
электрического смещения.

.
Напряженность электрического поля в
диэлектрике.

В
соответствии с принципом
суперпозиции электрическое
поле в диэлектрике векторно складывается
из внешнего поля  и
поля поляризационных зарядов  (рис.3.11).

 или
по абсолютной величине

Мы
видим, что величина напряженности
поля  в
диэлектрике меньше, чем вакууме. Другими
словами, любой диэлектрик ослабляет внешнее
электрическое поле.

Рис.3.11.
Электрическое поле в диэлектрике.

Индукция
электрического поля ,
где , ,
то есть .
С другой стороны, ,
откуда находим, что ε₀Е₀ =
ε₀εЕ и,
следовательно, напряженность электрического
поля в изотропном диэлектрике
есть:

Эта
формула раскрывает физический
смысл диэлектрической
проницаемости и показывает, что
напряженность электрического поля в
диэлектрике в  раз меньше,
чем в вакууме. Отсюда следует простое
правило: чтобы
написать формулы электростатики в
диэлектрике, надо в соответствующих
формулах электростатики вакуума рядом
с  приписать .

В
частности, закон
Кулона в
скалярной форме запишется в виде:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Если внести в электрическое поле диэлектрик, то электрическое поле изменится. Рассмотрим, как оно изменится и в чем причины его изменения.

Поляризация диэлектриков

Возьмем заряженный электрометр. Поднесем к нему пластинку из незаряженного диэлектрика. При этом показания электрометра уменьшатся. Удалим пластину, и показания электрометра восстановятся. При приближении к электрометру проводника будет наблюдаться подобное явление. Но мы знаем, что в электрическом поле на поверхности проводника появляются индукционные заряды, которые оказывают воздействие на внешнее поле. Из этого можно сделать вывод о том, что на диэлектрике в электрическом поле, тоже возникают заряды.

Возникновение зарядов на диэлектрическом теле приводит к появлению сил, которые действуют на диэлектрик, даже если он первоначально не был заряжен.

Повесим на тонкой нити палочку из парафина. Приблизим к ней заряженный шар (рис.1). Палочка будет поворачиваться и расположится так, что ее ось будет параллельна линии напряженности электрического поля, то есть так, что ее ось будет направлена к центру шара. Данный факт говорит о том, что на ближайшем к шару конце палочки возникают заряды по знаку противоположные заряду шара. На удаленной части палочки заряды будут одноименными с зарядами на шаре.

Описанные эксперименты показывают, что на изначально не заряженных диэлектриках в электрическом поле появляются электрические заряды. На телах из диэлектрика возникают электрические полюсы, в этой связи само явление было названо поляризацией диэлектриков.

«Электрическое поле в диэлектрике» 👇

Поляризация диэлектриков имеет сходство с индукцией в проводниках. Но между этими явлениями есть важное различие, так:

1. При делении на части проводника, находящегося в электрическом поле, можно отделить друг от друга индукционный заряды. Если поле убрать, разъединенные части проводника останутся заряженными.
2. Разделив в электрическом поле диэлектрик, убрав поле, мы получим части незаряженного диэлектрика. Отделить друг от друга поляризационные заряды не представляется возможным.

Данное отличие объясняет то, что в металлах имеются электроны проводимости, которые могут перемещаться на значительные расстояния, и они несут отрицательный заряд.

В диэлектриках заряды обоих знаков являются связанными между собой и могут смещаться на очень небольшие расстояния в пределах молекулы.

Неполяризованный диэлектрик можно представить в виде совокупности молекул, каждая имеет положительные и отрицательные заряды, распределенные равномерно по объему молекулы.

В состоянии поляризации диэлектрика заряды в каждой молекуле расходятся в противоположные стороны, при этом один конец молекулы приобретает положительный заряд, другой конец — отрицательный. Молекула становится электрическим диполем.

Расхождение зарядов в молекуле проявляется как появление зарядов на диэлектрике. Не поляризованный диэлектрик можно уподобить двум тождественным объемам, которые совпадают друг с другом. Эти объемы равномерно заполнены положительными и отрицательными зарядами. Поляризацию диэлектрика можно рассмотреть как смещение данных объемов на очень небольшое расстояние в противоположные стороны. Но внутри диэлектрика количество положительного и отрицательного заряда будет равно. На концах диэлектрика появляются тонкие слои некомпенсированных зарядов противоположных знаков.

Напряженность электрического поля в диэлектрике

Допустим, что пробный заряд мал в сравнении с расстоянием между молекулами диэлектрика и позволяет исследовать электрическое поле внутри него. С его помощью можно определить, что электрическое поле внутри диэлектрика от точки к точке отличается. Оно максимально около заряженных концов молекул – диполей. Данные изменения поля происходят только в микроскопических масштабах, их невозможно экспериментально наблюдать. Определенное данным образом поле называется микроскопическим ($ vec E_m$).

В реальных условиях эксперименты проводят с телами, размеры которых много больше, чем расстояния между молекулами. В этом случае интерес представляет усредненная по объему величина микроскопического поля, то есть макроскопическое поле. Данная средняя величина напряженности электрического поля называется напряженностью электрического поля внутри диэлектрика.

Объем $V$ должен быть большим микроскопически, то есть содержать большое число молекул. Но он должен быть малым макроскопически, то есть значение поле в этом объеме должно быть неизменным.

Исследуем поле плоского конденсатора (рис.2), в котором пространство между пластинами полностью заполнено диэлектриком.

Напряженность поля ($vec E$) будет равна сумме двух полей:

• поля ($vec E_0$), которое создают заряды на обкладках конденсатора;
• поля, которое создано поляризованным диэлектриком ($vec E’$)

Поле $E_0$ равно:

$E_{0}=frac{sigma }{varepsilon_{0}}left( 2 right)$.

где $sigma$ — поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора.

Действие поляризованного диэлектрика выразим через поляризационные заряды:

$E^{‘}=-frac{sigma ‘}{varepsilon_{0}}left( 3 right)$.

где $sigma’$ — поверхностная плотность поляризованных зарядов.

Получаем:

$E=frac{sigma -sigma^{‘}}{varepsilon_{0}}left( 4 right)$.

Напряженность поля в диэлектрике совпадает с напряжённостью поля в вакууме, если поверхностная плотность заряда равна ($sigma-sigma’$). Разность заряда обкладок и поляризационного заряда называют свободным зарядом.

Напряженность поля внутри диэлектрика можно найти при помощи силы, которая будет действовать на пробный заряд. С этой целью представим узкую длинную щель, которую сделали внутри диэлектрика параллельно направлению смещения зарядов. Пробный заряд не будет касаться стенок полости. Поляризационные заряды возникнут только на торцах полости. При малом диаметре полости (в сравнении с ее длиной), поле, которое создают эти заряды, будет очень мало. В полости напряженность поля будем считать равной напряженности, создаваемой свободными зарядами $sigma-sigma’$ у внешней поверхности диэлектрика, а это напряженность поля внутри диэлектрика.

Напряженность поля в диэлектрике и напряжённость поля в нашей полости равны. Эта напряженность равна силе, которая действует на единичный положительный заряд внутри полости.

Для измерения напряженности поля внутри диэлектрика можно просто измерить напряжение между обкладками конденсатора. Тогда для плоского конденсатора напряженность найдем как:

$E=frac{U}{d}left( 5 right)$,

где $U$ — разность потенциалов между обкладками; $d$ — расстояние между обкладками.

По электрическим свойствам все вещества разделяют на два больших класса — вещества, которые проводят электрический ток (проводники) и вещества, которые не проводят электрический ток (диэлектрики, или изоляторы). 

Мы знаем, что все вещества состоят из атомов, которые, в свою очередь, состоят из заряженных частиц. Если внешнее поле вокруг вещества отсутствует, то его частицы распределяются так, что суммарное электрическое поле внутри вещества равно нулю. Если вещество поместить во внешнее электрическое поле, то поле начет действовать на заряженные частицы и они перераспределяться так, что в веществе возникнет собственное электрическое поле. Полное электрическое поле  складывается из внешнего поля  и внутреннего поля  создаваемого заряженными частицами вещества.

Проводник — это тело или материал, в котором электрические заряды начинают перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому эти заряды называют свободными.

В металлах свободными зарядами являются электроны, в растворах и расплавах солей (кислот и щелочей) — ионы.

Диэлектрик — это тело или материал, в котором под действием сколь угодно больших сил заряды смещаются лишь на малое, не превышающее размеров атома расстояние относительно своего положения равновесия. Такие заряды называются связанными.

Рассмотрим подробнее эти классы веществ.

Проводники в электрическом поле.

Проводниками называют вещества, проводящие электрический ток.

Типичными проводниками являются металлы.

Основная особенность проводников – наличие свободных зарядов ( в металлах это электроны), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника.

В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника отрицательный свободный заряд компенсируется положительным зарядом ионной решетки. В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит перераспределение свободных зарядов, в результате чего на поверхности проводника возникают нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды. Этот процесс называют электростатической индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды – индукционными зарядами.

   Явление перераспределения зарядов внутри проводника под действием внешнего электрического поля называется электростатической индукцией.

  Заряды, появляющиеся на поверхности проводника, называются индукционными зарядами. 

   Индукционные заряды создают свое собственное поле  , которое компенсирует внешнее поле  во всем объеме проводника:

   (внутри проводника).

   Полное электростатическое поле внутри проводника равно нулю, а потенциалы во всех точках одинаковы и равны потенциалу на поверхности проводника.

   Диэлектрики в электрическом поле.

   Диэлектриками (изоляторами) называют вещества, не проводящие электрического тока.

   В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

   При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле  в нем возникает некоторое перераспределение зарядов, входящих в состав атомов или молекул. В результате такого перераспределения на поверхности диэлектрического образца появляются избыточные нескомпенсированные связанные заряды. Все заряженные частицы, образующие макроскопические связанные заряды, по-прежнему входят в состав своих атомов.

   Связанные заряды создают электрическое поле , которое внутри диэлектрика направлено противоположно вектору напряженности внешнего поля . Этот процесс называется поляризацией диэлектрика.

   Электрической поляризацией называют особое состояние вещества, при котором электрический момент некоторого объёма этого вещества не равен нулю.

   В результате полное электрическое поле внутри диэлектрика  оказывается по модулю меньше внешнего поля .

   Физическая величина, равная отношению модуля напряженности внешнего электрического поля в вакууме  к модулю напряженности полного поля в однородном диэлектрике , называется диэлектрической проницаемостью вещества.

 

   Диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме больше, чем в диэлектрике. Это величина безразмерная (нет единиц измерения).

   При поляризации неоднородного диэлектрика связанные заряды могут возникать не только на поверхностях, но и в объеме диэлектрика. В этом случае электрическое поле связанных зарядов  и полное поле  могут иметь сложную структуру, зависящую от геометрии диэлектрика. Утверждение о том, что электрическое поле   в диэлектрике в ε раз меньше по модулю по сравнению с внешним полем  строго справедливо только в случае однородного диэлектрика, заполняющего все пространство, в котором создано внешнее поле. В частности:

   Если в однородном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε находится точечный заряд q, то напряженность поля , создаваемого этим зарядом в некоторой точке, и потенциал φ в ε раз меньше, чем в вакууме:

               

   Существует несколько механизмов поляризации диэлектриков. Основными из них являются ориентационная, электронная и ионная поляризации. Ориентационная и электронная механизмы проявляются главным образом при поляризации газообразных и жидких диэлектриков, ионная — при поляризации твердых диэлектриков.

Если двум изолированным друг от друга проводникам сообщить заряды q₁ и q₂, то между ними возникает некоторая разность потенциалов Δφ, зависящая от величин зарядов и геометрии проводников.

Разность потенциалов Δφ между двумя точками в электрическом поле часто называют напряжением и обозначают буквой U.

Наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку: q₁ = – q₂ = q. В этом случае можно ввести понятие электрической емкости.

Электроемкостью (электрической емкостью) проводников называется физическая величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрический заряд.

Электроемкость находится как отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов Δφ между ними:

 В системе СИ единица электроемкости называется фарад [Ф]: 

Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники.

Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, называются обкладками.

Простейший конденсатор – плоский конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика.

Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами; однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния.

В целом ряде задач можно приближенно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками.

Электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз:

Примерами конденсаторов с другой конфигурацией обкладок могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы.

Сферический конденсатор – это система из двух концентрических проводящих сфер радиусов R₁ и R₂.

Цилиндрический конденсатор – система из двух соосных проводящих цилиндров радиусов R₁ и R₂ и длины L.

Емкости этих конденсаторов, заполненных диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, выражаются формулами:

   — сферический конденсатор

   — цилиндрический конденсатор

Для получения заданного значения емкости конденсаторы соединяются между собой, образуя батареи конденсаторов.

1) При параллельном соединении конденсаторов соединяются их одноименно заряженные обкладки.

Напряжения на конденсаторах одинаковы     U₁ = U₂ = U,  заряды равны q₁ = С₁U и    q₂ = С₂U.

Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C, заряженный зарядом q = q₁ + q₂ при напряжении между обкладками равном U. Отсюда следует  или С = С₁ + С₂

Таким образом, при параллельном соединении электроемкости складываются.

2) При последовательном соединении конденсаторов соединяют разноименно заряженные обкладки

Заряды обоих конденсаторов одинаковы    q₁ = q₂ = q,  напряжения на них равны  и 

Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный зарядом q при напряжении между обкладками U = U₁ + U₂.

Следовательно,   или  

При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные величины емкостей.

Формулы для параллельного и последовательного соединения остаются справедливыми при любом числе конденсаторов, соединенных в батарею.

Т.е. в случае n конденсаторов одинаковой емкости С емкость батареи

при параллельном соединении С_общ = nС

при последовательном соединении С_общ = С/n

Если обкладки заряженного конденсатора замкнуть металлическим проводником, то по цепи пойдет электрический ток, лампочка загорится и будет гореть до тех пор, пока конденсатор не разрядится. Значит, заряженный конденсатор содержит запас энергии.

Энергия заряженного конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить конденсатор.

Процесс зарядки конденсатора можно представить как последовательный перенос достаточно малых порций заряда Δq > 0 с одной обкладки на другую.При этом одна обкладка постепенно заряжается положительным зарядом, а другая – отрицательным. Поскольку каждая порция переносится в условиях, когда на обкладках уже имеется некоторый заряд q, а между ними существует некоторая разность потенциалов

   

при переносе каждой порции Δq внешние силы должны совершить работу

   

Энергия W_e конденсатора емкости C, заряженного зарядом q, может быть найдена путем интегрирования этого выражения в пределах от 0 до q:

   

Формулу, выражающую энергию заряженного конденсатора, можно переписать в другой эквивалентной форме, если воспользоваться соотношением q = CU.

   

Электрическую энергию W_e следует рассматривать как потенциальную энергию, запасенную в заряженном конденсаторе.

По современным представлениям, электрическая энергия конденсатора локализована в пространстве между обкладками конденсатора, то есть в электрическом поле. Поэтому ее называют энергией электрического поля.