Как найти напряженность поля в центре квадрата

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Расположение зарядов не важно, так как явно видно, что все они находятся друг возле друга, так как все они пронумерованы.

В итоге суммарный вектор напряжённости электрического поля, порождаемого четырьмя зарядами, в центре квадрата является гипотенузой в прямоугольном равнобедренном треугольнике с катетами, являющимися суммой напряжённостей противоположных зарядов.

То есть:

E’² = (E₁ + E₃)² + (E₂ + E₄)².

E₁ = E₂ = E.

E₃ = E₄ = 2E.

E’ = 3√(2) E = 3√(2) k|q| / R².

R = a√(2)/2,   ⇒   E’ = 6√(2) k|q| / a².

2017-05-27   

В вершинах квадрата со стороной а расположены два положительных и два отрицательных заряда, значение каждого из них $Q$ (рис. а, б). Определить напряженность электрического поля и потенциал2 в центре этого квадрата.

Решение:

Поле создано четырьмя точечными зарядами. По условию задачи требуется найти характеристики поля в точке, которая равноудалена от всех четырех зарядов и лежит с ними в одной плоскости, т. е. находится в особых условиях по отношению к источникам поля. Поэтому и потенциал, и напряженность следует определять независимо друг от друга с помощью принципа суперпозиции:

$phi = phi_{1} + phi_{2} + phi_{3} + phi_{4}$, (1)

$vec{E} = vec{E}_{1} + vec{E}_{2} + vec{E}_{3} + vec{E}_{4}$. (2)

При расчете потенциала знаки зарядов учитываются автоматически и, по-видимому, значение результирующего потенциала не зависит от порядка расположения положительных и отрицательных зарядов в вершинах квадрата. Чтобы рассчитать напряженность по равенству (2), следует показать сначала на рисунке направления всех векторов $vec{E}_{i}$, зависящие от знака заряда $Q_{i}$. Очевидно, вектор напряженности $vec{E}$ зависит от порядка расположения зарядов в вершинах квадратов.

Расстояние от любого из зарядов до рассматриваемой точки

$r = a sqrt{2}/2$.

Потенциал, создаваемый зарядом $Q_{i}$ в рассматриваемой точке, $phi_{i} = Q_{i}/(4 pi epsilon_{0} r)$. Следовательно,

$phi = sum Q_{i} / 4 pi epsilon_{0} r)$.

А так как, по условию задачи, алгебраическая сумма зарядов равна нулю, то и результирующий потенциал $phi = 0$ независимо от порядка расположения зарядов.

Рассмотрим распределение зарядов, показанное на рис. а. Напряженности $vec{E}_{2}$ и $vec{E}_{4}$ полей, созданных 2-м и 4-м зарядами в точке С, сонаправлены и равны по модулю: $| vec{E}_{2} | = | vec{E}_{4} |$. Аналогично, $| vec{E}_{1} | = | vec{E}_{3} |$. Поэтому напряженность результирующего поля

$vec{E} = 2 vec{E}_{1} + 2 vec{E}_{2}$.

Векторы $vec{E}_{1}$ и $vec{E}_{2}$ также равны по модулю и направлены ортогонально друг другу (по диагоналям квадрата), значит, результирующий вектор $vec{E}$ направлен вертикально вниз (см. рис. a) и тогда

$E = 4E_{1} cos 45^{ circ}$.

Напряженность поля, созданного каждым из зарядов,

$E_{i} = |Q_{i}| / ( 4 pi epsilon_{0} r^{2}) = |Q_{i}| / (2 pi epsilon_{0} a^{2})$.

Заряд $Q_{i}$ следует брать по модулю, так как знак каждого из зарядов был учтен при изображении соответствующего вектора $vec{E}_{i}$. Окончательно

$E = 4 | Q_{i} | cos 45^{ circ} / (2 pi epsilon_{0} a^{2}) = Q sqrt{2} /( pi epsilon_{0} a^{2})$.

При расположении зарядов, показанном на рис. б, $E = 0$.

«Практика
рождается из тесного

соединения
физики и математики»

Френсис
Бэкон

В
данной теме рассмотрим решение задач на напряженность поля.

Задача
1.
В некоторой точке поля на заряд 80 нКл действует сила 60 мкН. Найдите
напряженность поля в этой точке. Если в эту же точку поместить заряд 200 нКл,
то какая сила на него будет действовать?

Ответ:
Е = 667 Н/Кл; F = 150мкН.

Задача
2.
В вершинах квадрата со стороной 40 см находятся заряд q₁
(равный –2 нКл) и заряды q₂,
q₃,
q₄
(равные 4 нКл). Найдите
напряжённость поля в центре квадрата.

Ответ:
675 Н/Кл.

Задача
3.
. Напряжённость электрического поля на поверхности заряженного шара равна 20
кН/Кл. Найдите модуль силы, действующей на точечный заряд 20 нКл, находящийся
на расстоянии 80 см от центра шара. Заряд шара распределён равномерно и равен 3
мкКл.

Ответ:
276,8 мкН.

Задача
4.
Два точечных заряда 30 нКл и –20 нКл находятся на расстоянии 15 см друг от
друга. Найдите положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность
поля в которой равна нулю.

Ответ:
напряжённость поля будет равна нулю в точке, находящейся на расстоянии 16,2 см
от заряда q₁.