Как найти напряженность в заданной точке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Цель урока: дать понятие напряжённости электрического поля и ее
определения в любой точке поля.

Задачи урока:

формирование понятия напряжённости электрического поля; дать понятие о
линиях напряжённости и графическое представление электрического поля;
научить учащихся применять формулу E=kq/r² в решении
несложных задач на расчёт напряжённости.

Электрическое поле – это особая форма материи, о существовании которой можно
судить только по ее действию. Экспериментально доказано, что существуют два рода
зарядов, вокруг которых существуют электрические поля, характеризующиеся
силовыми линиями.

Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности
электрического поля:

нигде не пересекаются друг с другом;
имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на
отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
между зарядами нигде не прерываются.

Рис.1

Силовые линии положительного заряда:

Рис.2

Силовые линии отрицательного заряда:

Рис.3

Силовые линии одноименных взаимодействующих зарядов:

Рис.4

Силовые линии разноименных взаимодействующих зарядов:

Рис.5

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, которая
обозначается буквой Е и имеет единицы измерения
или
.
Напряженность является векторной величиной, так как определяется отношением силы
Кулона к величине единичного положительного заряда

В результате преобразования формулы закона Кулона и формулы напряженности
имеем зависимость напряженности поля от расстояния, на котором она определяется
относительно данного заряда

где: k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от
выбора единиц электрического заряда.

В системе СИ
Н·м²/Кл²,

где ε₀ – электрическая
постоянная, равная 8,85·10^-12 Кл²/Н·м²;

q – электрический заряд (Кл);

r – расстояние от заряда до точки в которой определяется напряженность.

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках
пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства
электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность
поля внутри этой области меняется незначительно.

Общая напряженность поля нескольких взаимодействующих зарядов будет равна
геометрической сумме векторов напряженности, в чем и заключается принцип
суперпозиции полей:

Рассмотрим несколько случаев определения напряженности.

1. Пусть взаимодействуют два разноименных заряда. Поместим точечный
положительный заряд между ними, тогда в данной точке будут действовать два
вектора напряженности, направленные в одну сторону:

Е₃₁ – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 1;

Е₃₂ – напряженность точечного заряда 3 со стороны заряда 2.

Согласно принципу суперпозиции полей общая напряженность поля в данной точке
равна геометрической сумме векторов напряженности Е₃₁ и Е₃₂.

Напряженность в данной точке определяется по формуле:

Е = kq₁/x² + kq₂/(r – x)²

где: r – расстояние между первым и вторым зарядом;

х – расстояние между первым и точечным зарядом.

Рис.6

2. Рассмотрим случай, когда необходимо найти напряженность в точке удаленной
на расстояние а от второго заряда. Если учесть, что поле первого заряда больше,
чем поле второго заряда, то напряженность в данной точке поля равна
геометрической разности напряженности Е₃₁и Е₃₂.

Формула напряженности в данной точке равна:

Е = kq1/(r + a)² – kq₂/a²

Где: r – расстояние между взаимодействующими зарядами;

а – расстояние между вторым и точечным зарядом.

Рис.7

3. Рассмотрим пример, когда необходимо определить напряженность поля в
некоторой удаленности и от первого и от второго заряда, в данном случае на
расстоянии r от первого и на расстоянии bот второго заряда. Так как одноименные
заряды отталкиваются , а разноименные притягиваются, имеем два вектора
напряженности исходящие из одной точки, то для их сложения можно применить метод
противоположному углу параллелограмма будет являться суммарным вектором
напряженности. Алгебраическую сумму векторов находим из теоремы Пифагора:

Е = (Е₃₁² +Е₃₂²)^1/2

Следовательно:

Е = ((kq₁/r² )² + (kq₂/b²)²)^1/2

Рис.8

Исходя из данной работы, следует, что напряженность в любой точке поля можно
определить, зная величины взаимодействующих зарядов, расстояние от каждого
заряда до данной точки и электрическую постоянную.

4. Закрепление темы.

Проверочная работа.

Вариант № 1.

1. Продолжить фразу: “электростатика – это …

2. Продолжить фразу: электрическое поле – это ….

3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?

4. Определить знаки зарядов:

5. Указать вектор напряженности.

6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.

Своя оценка работы	Оценка работы другим учеником

Вариант № 2.

1. Продолжить фразу: “электростатика – это …

2. Продолжить фразу: напряженностью называется …

3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?

4. Определить заряды.

5. Указать вектор напряженности.

6. Определить напряженность в точке В исходя из суперпозиции полей.

Своя оценка работы	Оценка работы другим учеником

Задачи на дом:

1. Два заряда q₁ = +3·10^-7 Кл и q₂ = −2·10^-7
Кл находятся в вакууме на расстоянии 0,2 м друг от друга. Определите
напряженность поля в точке С, расположенной на линии, соединяющей заряды, на
расстоянии 0,05 м вправо от заряда q₂.

2. В некоторой точке поля на заряд 5·10^-9 Кл действует сила 3·10^-4
Н. Найти напряженность поля в этой точке и определите величину заряда,
создающего поле, если точка удалена от него на 0,1 м.

Источник

Рис. 3.1

Пример
1.
Два точечных электрических заряда Q₁=
1нКл
и Q₂=
-2 нКл
находятся
в воздухе на расстоянии d
= 10 см друг
от друга. Определить напряженность
Е
и потенциал φ
поля, создаваемого этими зарядами в
точке А,
удаленной от заряда Q₁
на расстояние r₁=
9 см и от
заряда Q₂
на r₂= 7 см.
Определить также
силу F,
действующую в точке
А
на точечный заряд
Q
=10
нКл.

Решение.
Согласно принципу суперпозиции
электрических полей, каждый заряд
создает поле независимо от присутствия
в пространстве других зарядов. Поэтому
напряженность
электрического поля в искомой точке
может быть найдена как геометрическая
сумма напряженностей₁
и
₂
полей, создаваемых каждым зарядом в
отдельности:
.
Напряженности электрического поля,
создаваемого в воздухе (ε=1)
зарядами Q₁
и Q₂,

;
.
(3.1)

Вектор
₁
(см. рис. 3.1) направлен по силовой линии
от заряда Q₁,
так как этот заряд положителен; вектор
₂
направлен также по силовой линии, но к
заряду Q₂,
так как этот заряд отрицателен.

Модуль
вектора
найдем по теореме косинусов:

,
(3.2)

где
– угол между векторами₁
и
₂,
,который
может
быть найден из треугольника со сторонамиr₁, r₂и d:

.
В данном случае во избежание громоздких
записей удобно значение cos α
вычислить отдельно:

Подставляя
выражение Е₁
и E₂
из (3.1) в (3.2) и вынося общий множитель
1/(4πε₀)
за знак корня, получаем

. (3.3)

В
соответствии с принципом суперпозиции
электрических полей, потенциал φ
результирующего
поля, создаваемого двумя зарядами
Q₁
и Q₂,
равен алгебраической сумме потенциалов:

φ=φ₁+φ₂. (3.4)

Потенциал
электрического поля, создаваемого в
вакууме точечным зарядом Q
на расстоянии r
от него, выражается формулой

. (3.5)

В нашем случае
согласно формулам (3.4) и (3.5) получим

или

Сила,
действующая на точечный заряд, находящийся
в электрическом поле в точке А

где напряженность
находится из выражения (3.3).

Произведем
вычисления:

;

Рис. 3.2.

ример 2. Три точечных
заряда Q₁=1
нКл, Q₂=
2 нКл и Q₃=
3 нКл расположены в вершинах
равностороннего треугольника, длина
стороны которого а= 5 см.
Определить напряженность поля в точке
А, находящейся
на пересечении биссектрис треугольника.

Решение.
Согласно принципу суперпозиции
электрических полей, каждый заряд
создает поле независимо от присутствия
в пространстве других зарядов. Поэтому
напряженность
электрического поля в искомой точке
может быть найдена как геометрическая
сумма напряженностей₁
и
₂
и
полей,
создаваемых каждым зарядом в отдельности:.
Напряженности электрического поля,
создаваемого в воздухе (ε=1)
зарядами Q₁
и Q₂ и
Q₃:

; ;;.
(3.6)

Вектор
₁
(см. рис. 3.2) направлен по силовой линии
от заряда Q₁,
вектор
₂
направлен по силовой линии от заряда
Q₂и вектор

₃
направлен
по силовой линии от заряда Q₃,
так как все заряды положительны.

Модуль
вектора
найдем из соотношения

,
(3.7)

где
и– проекции векторов₁_,₂и₃
на
координатные оси x
и y
(рис. 3.2).

.(3.8)

Подставляя
выражение Е₁
, Е₂
и E₃
из (3.6) в (3.8), получаем:

.
(3.9)

Модуль
вектора
находим, подставляя (3.9) в (3.7):.

Произведем
вычисления:

Пример
3. На тонком
стержне длиной l
= 10 см
находится равномерно распределенный
электрический заряд. На продолжении
оси стержня на расстоянии а
= 5 см от
ближайшего конца находится точечный
заряд Q₁=40
нКл, который
взаимодействует со стержнем с силой
F = 6 мкН.
Определить линейную плотность τ
заряда на стержне. Найти потенциал φ
в точке А,
расположенной на оси стержня и удаленной
от

его
ближайшего конца на расстояние l.

Решение.
Сила взаимодействия F
заряженного стержня с точечным зарядом
Q₁
зависит от линейной плотности τ
заряда на стержне. Зная эту зависимость,
можно определить τ.
При вычислении силы F
следует иметь в виду, что заряд на стержне
не является точечным, поэтому закон
Кулона непосредственно применить
нельзя. В этом случае можно поступить
следующим образом. Выделим из стержня
(рис. 3.3) малый участок dr
с зарядом dQ
= τdr.
Этот заряд можно рассматривать как
точечный. Тогда, согласно закону Кулона:

Интегрируя
это выражение в пределах от а
до а+l,
получаем:

откуда

Проверим,
дает ли расчетная формула единицу
линейной плотности электрического
заряда. Для этого в правую часть формулы
вместо символов величин подставим
их единицы:

Найденная единица
является единицей линейной плотности
заряда.

Произведем
вычисления:

Потенциал
dφ,
создаваемый точечным зарядом
в точке А (рис. 3.3), можно определить по
формуле

Согласно
принципу суперпозиции электрических
полей, потенциал электрического поля,
создаваемого заряженным стержнем в
точке А, найдем интегрированием
этого выражения:

Выполним
интегрирование:

.
(3.10)

Потенциал
в точке А по принципу суперпозиции
является суммой потенциалов, созданных
точечным зарядом
и стержнем с распределенным зарядом:,
где– потенциал в точке,
созданный зарядом;
а– потенциал в точке,
созданный стержнем и определяемый
выражением (3.10). Откуда

Подставим числовые значения физических величин в СИ
(1/(4πε₀)=9^.10⁹м/Ф,
Q₁=4^.
10^-8Кл,
l=10^-1м,
а= 5^.10^-2м, τ=10
^.10^-9Кл/м)
и произведем вычисления:

φ=9
^.10⁹
(⁺1,25
^.10^-9
^.0,693)=7,8
В.

Рис. 3.4

Рис.
3.4

Пример
4. По тонкой
нити, изогнутой по дуге окружности,
равномерно распределен заряд с линейной
плотностью τ
= 10 нКл/м.
Определить напряженность
и потенциалφ
электрического поля, созда-ваемого
таким распределенным зарядом в точке,
совпадающей с центром кривизны дуги.
Длина l
нити составляет ⅓ длины окружности и
равна 15 см.

Решение.
Выберем оси координат так, чтобы начало
координат совпадало с центром кривизны
дуги, а ось Оу была бы симметрично
расположена относительно концов дуги
(рис. 3.4). На нити выделим элемент длины
dl.
Заряд dQ=rdl,
находящийся на выделенном участке,
можно считать точечным.

Определим
напряженность электрического поля в
точке О. Для этого найдем сначала
напряженность dE
поля, создаваемого зарядом dQ:

где
– радиус-вектор, направленный от
элементаdl
к точке, в которой вычисляется
напряженность.

Выразим
вектор
через проекцииdE_x
и dE_y
на оси координат:

где
и– единичные векторы направлений (орты).
Напряженностьнайдем интегрированием:

Интегрирование
ведется вдоль дуги длиной l.
В силу симметрии
.
Тогда

, (3.11)

где
dE_y=dEcosθ=τdlcosθ/(4πε₀r²).
Так как r=R=const,
dl=Rdθ,
то

Подставим
выражение dE_y
в (3.11) и, приняв во внимание симметричное
расположение дуги относительно оси Оу,
пределы интегрирования возьмем от 0 до
π/3, а результат удвоим:

Выразив
радиус R
через длину l
нити (3l=2πR),
получим:

. (3.12)

Из
этой формулы видно, что напряженность
поля по направлению совпадает с осью
Оу.

Найдем
потенциал электрического поля в точке
О. Сначала найдем потенциал dφ,
создаваемый точечным зарядом dQ
в точке О:

Заменим
r
на R
и проведем интегрирование:

Так
как l
=
πR,
то
. (3.13)

Произведем
вычисления по формулам (3.12) и (3.13):

=2,17
кВ/м,

=188
В.

Рис. 3.5

Пример
5. По тонкому
кольцу равномерно распределен заряд Q
= 50 нКл с
линейной плотностью τ
= 40 нКл/м.
Определить напряженность Е
электрического поля, создаваемого этим
зарядом в точке А, лежащей на оси
кольца и удаленной от его центра на
расстояние, равное половине радиуса.

Решение.
Совместим координатную плоскость хОу
с плоскостью кольца, а ось Oz – с осью
кольца (рис. 3.5). На кольце выделим малый
участок длиной dl.
Так как заряд dQ
= τ
dl, находящийся
на этом участке, можно считать точечным,
то напряженность

электрического поля, создаваемого этим
зарядом, может быть записана в виде

где
–
радиус-вектор, направленный от элементаdl
к точке А.

Разложим
вектор
на две
составляющие:
₁,
перпенди-кулярно плоскости кольца
(сонаправленную с осью Oz), и₂,
параллельную плоскости кольца (плоскости
хОу), т.е.

=₁+₂.

Напряженность

электрического поля в точке А найдем
интегрированием:

где
интегрирование ведется по всем элементам
заряженного кольца. Заметим, что для
каждой пары зарядов dQ
и dQ’ (dQ=dQ’),
расположенных симметрично относительно
центра кольца, векторы dE₂
и dE₂’
в точке А равны по модулю и противоположны
по направлению:
₂=
—.
Поэтому векторная сумма (интеграл)
.
СоставляющиеdE₁
для всех элементов кольца сонаправлены
с осью Oz (единичным вектором
),
т.е.
₁=.
Тогда

Так
как
,и,
то

Таким образом,

Из
соотношения Q=2πRτ
определим радиус кольца:
.
Тогда

Модуль
напряженности
. (3.14)

Проверим,
дает ли правая часть полученного
равенства единицу напряженности,
В/м:

Выразим
физические величины, входящие в формулу
(3.14), в единицах СИ (τ=5^.10^-8Кл/м,
Q=4^.10^-8Кл,
ε₀=8,85^.10^-12Ф/м)
и произведем вычисления:

Пример
6. Две
концентрические проводящие сферы
радиусами R₁=5
см и R₂= 10 см
несут соответственно заряды Q₁= 10 нКл
и Q ₂=-5
нКл. Найти
напряженность Е
поля в точках, отстоящих от центра сфер
на расстояниях r₁= 4 см,
r₂= 8 см,
r₃= 15 см.
Построить график Е(r).

Решение.
Заметим, что точки, в которых требуется
найти напряженности электрического
поля, лежат в трех областях (рис. 3.6):
области /(r₁<R₁),
области //(R₁<r₂<R₂),
области /// (r₃>R₂).

1. Для
определения напряженности Е₁
в области / проведем гауссову поверхность
S₁
радиусом r₁
и воспользуемся теоремой Остроградского
– Гаусса:

(так
как суммарный заряд, находящийся внутри
гауссовой поверхности, равен нулю).
Из соображений симметрии E_n=E₁=const.
Следовательно,
иЕ₁
(напряженность поля в области /) во
всех точках, удовлетворяющих условию
r₁<R₁,
будет равна нулю.

Рис. 3.6

2.
В области // гауссову поверхность проведем
радиусом r₂.
В этом случае диэлектрическую проницаемость
среды будем считать равной единице
(вакуум) и воспользуемся теоремой
Остроградского– Гаусса:

(так
как внутри гауссовой поверхности
находится только заряд Q₁).

Так
как Е_n=Е₂=const,
то Е можно
вынести за знак интеграла:

,
или
;

где
S₂=4πr₂²
– площадь гауссовой поверхности. Тогда

.
(3.15)

3.
В области /// гауссова поверхность
проводится радиусом r₃.
Обозначим напряженность E
области /// через Е₃
и учтем, что в этом случае гауссова
поверхность охватывает обе сферы и,
следовательно, суммарный заряд будет
равен Q₁+Q₂.
Тогда

Заметив,
что Q₂<0,
это выражение можно переписать в виде

. (3.16)

Убедимся
в том, что правая часть равенств (3.15) и
(3.16) дает единицу напряженности:

. Выразим все величины в единицах СИ (Q₁= 10^-8Кл, Q₂= —
5^.10^-9Кл, r₁= 0,08 м,
r₃= 0,15 м,
1/(4πε₀)
= 9^.10⁹м/Ф)
и произведем вычисления:

;

Построим
график Е(r).
В области / (r₁<R₁)
Е=0.
В области // (R₁≤r₂<R₂)
E₂(r)
изменяется по закону
.
В точкеr=R₁
напряженность E₂(R₁)
=

=36 кВ/м. В
точке r=R₂
(r стремится к R₂
слева) E₂(R₂)==
9 кВ/м.
В области /// (r>R₂)
E₃(r)
изменяется по закону
,
причем в точкеr=R₂
(r стремится к R₂
справа) E₃(R₂)
=

= 4,5 кВ/м.
Таким образом, функция Е(r)
в точках r=R₁
и r=R₂
терпит разрыв. График зависимости
E(r)
представлен на рис. 3.7.

Пример
7. В вакууме
имеется скопление зарядов в форме
длинного цилиндра радиуса R₀= 2 cм.
Объемная
плотность зарядов
постоянна и равна2
мкКл/м³.
Найти напряженность поля в точках 1 и
2, лежащих на расстояниях r₁= 1 cм,
r₂= 3 cм
от оси цилиндра, и разность потенциалов
между этими точками. Построить графики
и.

Поле
создано зарядом, р

РРРИ

Рис.
3.8.

Рис.
3.8

авно-мерно распределенным по объему.
Конфигурация зарядов позволяет считать,
что поле обладает осевой симметрией:
силовые линии – прямые и в любой
плоскости, перпендикулярной оси цилиндра,радиальны
(рис. 3.8).

Вспомогательной
поверхности следует придать форму
цилиндрической поверхности, коаксиальной
заряду. Длина этого цилиндра может быть
произвольной, но заведомо много меньше,
чем длина заряженного цилиндра. Характер
функциональной зависимости
для точек, лежащих внутри и вне объемного
заряда, различен. Поэтому следует
провести две вспомогательные цилиндрические
поверхностиS₁
и S₂
с радиусами
и.

Определим
проекцию вектора E
на нормаль выбранной поверхности
Е_n₁=E=const
и E_n₂=0.
Поток через выбранную поверхность
цилиндра равен

(3.17)

где
h
– высота цилиндра.

Определим
заряд, попадающий внутрь выделенной
поверхности: при r<R₀
,
а приr>R₀

.
(3.18)

Применим
теорему Гаусса
,
используя выражение (3.17) и (3.18),
откуда

–напряженность
внутри цилиндра (3.19)

,
откуда

–напряженность
вне цилиндра. (3.20)

Для
определения разности потенциалов между
точками 1
и 2
разобьем 
на два интеграла: в пределах от точки 1
до поверхности, ограничивающей объемный
заряд, и от этой поверхности до точки
2:.
В первый интеграл следует подставлять
выражение (3.19), во второй выражение
(3.20):.
(3.21)

Подставляя
в (3.19) r=r₁
и в (3.20) r=r₂,
находим:

;

Вычислим численное
значение выражения (3.21):

Для
построения графика E_r(r)
на основании выражений (3.19) и (3.20)
целесообразно сначала рассчитать E_r
при r=R₀:

В/м.

Графическая
зависимость E_r(r)
показана на рис. 3.9.

График
зависимостиможно построить из анализа графикаE_r(r),
учитывая, что
.
Выберем начало отсчета на оси объемного
заряда:(0)=0.
Так как во всей области E_r>0,
т.е. (d/dr)<0,
то потенциал непрерывно убывает. В
области r<R₀ E_rвозрас-

тает

,
соответственно
и график(r)
обращен вогнутостью вниз. При
r>R₀E_r
убывает
, соответственно

и график(r)
обращен вогнутостью вверх.

При
r=R₀кривая (r)
имеет точку перегиба (вторая производная
изменяет знак). График (r)
изображен на рис. 3.10. Если изменить
начало отсчета потенциала, то характер
графика не изменяется, например, при
выборе начала отсчета на поверхности
объемного заряда
график примет вид, изображенный на рис.
3.10 пунктиром.

Пример
8. Электрическое
поле создается двумя зарядами Q₁=2 мкКл
и Q₂= -4 мкКл,
находящимися на расстоянии а=
0,2 м друг от
друга. Определить работу A_1,2
сил поля по перемещению заряда Q=50
нКл из точки
1 в точку 2
(рис. 3.11).

Решение.
Для определения работы A_1,2
сил поля воспользуемся соотношением
A_1,2=
Q(φ₁—φ₂).

Рис. 3.11

Применяя
принцип суперпозиции электрических
полей, определим потенциалы φ₁и φ₂точек 1 и
2 поля:

;

Тогда

или

Проверим, дает ли
правая часть равенства единицу работы
(Дж):

Подставим
числовые значения физических величин
в СИ:

(Q=50
^.10^-9Кл,
Q₁=2^.10^-6Кл,
Q₂=
4^.10^-6Кл,
a= 0,2 м,
)
и произведем вычисления:

Пример
9. Определить
ускоряющую разность потенциалов U,
которую должен пройти в электрическом
поле электрон, обладающий скоростью
v₁=3^,10⁶м/с,
чтобы скорость его возросла в n
= 3 раза.

Решение.
Ускоряющую разность потенциалов можно
найти, вычислив работу А
сил электростатического поля. Эта
работа определяется произведением
элементарного заряда е
на разность потенциалов U:

A=eU. (3.22)

Работа
сил электростатического поля в данном
случае равна изменению кинетической
энергии электрона:

, (3.23)

где
Т₁
и Т₂
– кинетическая энергия электрона до и
после прохождения ускоряющего поля; m
– масса электрона; v₁
и v₂
– начальная и конечная скорости его.

Приравняв
правые части равенств (3.22) и (3.23), получим:

,
где
.

Отсюда
искомая разность потенциалов
.

Произведем
вычисления:

=
204,7 В.

Рис. 3.12

Пример
10.
С поверхности бесконечного равномерно
заряженного
(τ = 50 нКл/м)
прямого цилиндра вылетает α-частица
(v₀= 0).
Определить кинетическую энергию T₂
α-частицы (кэВ)
в точке 2 на расстоянии 8R
от поверхности цилиндра (рис. 3.12).

Решение.
Так как силы электростатического поля
являются консервативными, то для
определения кинетической энергии
α-частицы в точке 2 воспользуемся законом
сохранения энергии, записанном в виде
W₁=W₂,
где W₁
и W₂
– полные
энергии α-частицы в точках 1 и 2.

Так
как W₁=T₁+U₁
и W₂=T₂+U₂
(T₁
и Т₂
– кинетические энергии α-частицы;
U₁
и U₂
– потенциальные) , то, учитывая, что Т₁=0
(v₀=0),
можно записать U₁=T₂+U₂,
откуда Т₂=U₁-U₂=Q(φ₁-φ₂)
(Q
– заряд α-частицы; φ₁
и φ₂
– потенциалы точек 1 и 2).

Для
определения разности потенциалов
воспользуемся соотношением между
напряженностью поля и изменением
потенциала: Е=-gradφ.
Для поля с осевой симметрией, каким
является поле цилиндра, это соотношение
можно записать в виде

,
или dφ=-Edr.

Интегрируя
это выражение, найдем разность
потенциалов двух точек, отстоящих
на расстояниях r₁
и r₂
оси цилиндра:

. (3.24)

Так как цилиндр
длинный и точки взяты вблизи его средней
части, то для выражения напряженности
поля можно воспользоваться формулой
напряженности поля, создаваемого
бесконечно длинным цилиндром:

Подставив
это выражение в (3.24), получим:

Учитывая,
что,
а,
запишем

Тогда

Выразим
все величины в единицах СИ (Q= 2^.1,60^.10^-19Кл, τ= 50^.10^-9Кл/м,
)
и произведем вычисления (—
коэффициент перевода из Дж
в эВ):

= = 3,96 кэВ.

Пример
11. Конденсатор
емкостью С₁=6
мкФ был
заряжен до разности потенциалов U₁=20
В. После
отключения от источника тока конденсатор
соединили параллельно с другим
незаряженным конденсатором емкостью
С₂=10
мкФ. Какая
энергия W’
израсходуется на образование искры в
момент присоединения второго конденсатора?

Решение.
Энергия, израсходованная на образование
искры:

W’=W₁—W₂, (3.25)

где
W₁
– энергия, которой обладал первый
конденсатор до присоединения к нему
второго конденсатора; W₂
– энергия, которую имеет батарея,
составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного
конденсатора определяется по формуле

W=½CU², (3.26)

где
С – емкость
конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив
в формуле (3.25) энергии W₁
и W₂
по формуле (3.26) и приняв во внимание,
что общая емкость параллельно соединенных
конденсаторов равна сумме емкостей
отдельных конденсаторов, получим

W’=½C₁U₁²-½(C₁+C₂)U₂², (3.27)

где
U₂
– разность потенциалов на зажимах
батареи конденсаторов.

Учитывая,
что заряд после присоединения второго
конденсатора остался прежним, выразим
разность потенциалов U₂
следующим образом:

Подставив
выражение U₂
в (3.27)), найдем

или

Произведем
вычисления:

Дж=750
мкДж.

Пример
12. Потенциометр
сопротивлением R=150
Ом подключен к батарее с ЭДС
=300
В и внутренним
сопротивлением R_i= 50
Ом. Определить:
1) показание вольтметра сопротивлением
R_V= 500 Ом,
соединенного с одной из клемм потенциометра
и подвижным контактом, установленным
посередине потенциометра; 2) разность
потенциалов между теми же точками
потенциометра при отключении вольтметра.

Решение.
1. Показание вольтметра, подключенного
к точкам A
и В (рис. 3.13), определим по формуле

U₁=I₁R_1,

гдеR₁
– сопротивление параллельно соединенных
вольтметра и половины потенциометра;
I₁
– суммарная сила тока в ветвях этого
соединения (она равна силе тока в
неразветвленной части цепи).

Силу
тока I₁
найдем по закону Ома для полной цепи:

I₁=/(R_e+R_i), (3.28)

где
R_e
– сопротивление внешней цепи. Это
сопротивление есть сумма двух
сопротивлений:

R_e=R/2+R₁. (3.29)

Сопротивление
R₁
найдем по формуле параллельного
соединения проводников
,
откуда

Подставив
в (3.28) выражение R_e
по (3.29), найдем

В
данном случае решение задачи в общем
виде было бы громоздким. Поэтому удобно
вычисление величин провести раздельно:

=
65,22 Ом;

=
1,58 A;

U₁=1,58
^.65,22
= 103,04 B.

2.
Разность потенциалов между точками А
и В при отключенном вольтметре равна
произведению силы тока I₂
на половину сопротивления потенциометра:

,
(3.30)

где
I₂
– сила тока в цепи при отключенном
вольтметре. Ее определим по формуле

Подставив
выражение I₂
в (3.30), найдем

Произведем
вычисления:

=
112,5 В.

Пример
13. Сила тока
в проводнике сопротивлением R=20
Ом нарастает
в течение времени Δt
=2 с по
линейному закону от I₀=0
до I=6
А (рис. 3.14). Определить теплоту Q₁,
выделившуюся в этом проводнике за первую
секунду, и Q₂
– за вторую, а также найти отношение
.

Решение.
Закон Джоуля–Ленца в виде Q=I²Rt
справедлив для постоянного тока
(I=const).
Если же сила тока в проводнике изменяется,
то указанный закон справедлив для
бесконечно малого интервала времени и
записывается в виде

dQ=I²Rdt. (3.31)

Здесь
сила тока I
является некоторой функцией времени.
В данном случае

I=kt,
(3.32)

где
k
— коэффициент пропорциональности,
характеризующий скорость изменения
силы тока:

С
учетом (3.32) формула (3.31) примет вид

dQ=k²Rt²dt. (3.33)

Для
определения теплоты, выделившейся за
конечный интервал времени Δt,
выражение (3.33) надо проинтегрировать
в пределах от t₁
до t₂:

Произведем
вычисления:

Q₁=^.
3²
^.20(1-0)=60
Дж;

Q₂=^.3^2.20(8-1)=420
Дж.

Следовательно,

т.е.
за вторую секунду выделится теплоты в
семь раз больше, чем за первую.

Источник

Законом Кулона описывается взаимодействие заряженных частиц. Однако большинство сил, с которыми мы работали, возникает при взаимодействии тел посредством контакта (т.е. тела касаются друг друга). В случае электромагнитного взаимодействия контакта нет, тогда взаимодействие происходит посредством неких невидимых элементов. Тогда взаимодействия между частицами вещества и удалёнными друг от друга макроскопическими телами осуществляются через посредство физических полей, которые создаются этими частицами или телами в окружающем пространстве. В случае с заряженными частицами, эти поля назовём электромагнитными.

Тогда логика электромагнитного взаимодействия такова: заряд создаёт вокруг себя электромагнитное поле, которое, в свою очередь, действует на любой другой заряд displaystyle q , находящийся на любом расстоянии от источника.

Закон Кулона описывает взаимодействие между двумя зарядами:

$displaystyle left| {{F}_{k}} right|=kfrac{left| Q right|left| q right|}{{{r}^{2}}}$ (1)

где

Рис. 1. Закон Кулона. Пробный заряд

Сила (1) зависит от обоих зарядов, что не позволяет толком описать электрическое поле, создаваемое каждым из взаимодействующих частиц. Тогда придумаем немного другую систему: возьмём пробный заряд — некий малый заряд, который не будет искажать поле исследуемого нами заряда displaystyle left| Q right| . Поместим пробный заряд в различные точки пространства рядом с исследуемым нами зарядом и проиллюстрируем силы Кулона (рис. 1).

В принципе, значение силы Кулона можно найти в любой точке пространства, однако данные силы зависят как от заряда источника, так и от значения пробного заряда. Введём новую переменную, поделив значение силы Кулона на значение пробного заряда:

$displaystyle vec{E}=frac{{{{vec{F}}}_{k}}}{q}$ (2)

где
- — вектор напряжённости электрического поля.

Подставим силу Кулона в (1):

$displaystyle vec{E}=kfrac{Qq}{q{{r}^{3}}}vec{r}=kfrac{Q}{{{r}^{3}}}vec{r}$ (3)

Исходя из (3), можно заключить, что напряжённость электрического поля зависит от заряда источника поля и точки наблюдения, описываемой расстоянием от заряда (рис. 2).

Рис. 2. Напряжённость электрического поля

Т.е. напряжённость электрического поля — параметр, описывающий поле, создаваемое зарядом-источником. Значение напряжённости электрического поля позволяет оценить сильно или слабо будет действовать поле на заряд, помещённый в него. Размерность displaystyle vec{E} — В/м.

Исходя из (3), можно найти напряжённость поля точечного заряда. Напряжённость электрического поля — величина векторная, поэтому для её нахождения необходимо знать как модуль, так и направление вектора. Начнём с модуля:

$displaystyle left| {vec{E}} right|=kfrac{left| Q right|}{{{r}^{3}}}left| {vec{r}} right|=kfrac{left| Q right|}{{{r}^{2}}}$ (4)

Рис. 3. Напряжённость электрического поля (направление)

Чтобы выяснить направление вектора, воспользуемся уравнением (2). Исходя из (2), можно заключить, что направление напряжённости электрического поля совпадает с направлением силы Кулона, а направление силы Кулона зависит от знака взаимодействующих зарядов. Чтобы не заморачиваться с рассмотрением этих зарядов в каждой задаче, просто договоримся. Если источник поля (заряд) положителен, тогда напряжённость поля направлена от заряда, если источник поля (заряд) отрицателен, тогда напряжённость поля направлена к заряду (рис. 3).

Напряжённость системы зарядов. Принцип суперпозиции напряжённости.

В случае, если в задаче источниками поля являются несколько зарядов, тогда напряжённость в интересующей точке можно найти как векторную сумму напряжённостей от каждого из зарядов:

$displaystyle {{vec{E}}_{o}}=sumlimits_{i}{{{{vec{E}}}_{i}}}$ (5)

где

Важно: поиск векторной суммы чаще всего сопряжён с реализацией теоремы Пифагора, теоремы косинусов или синусов, иногда с проецированиием векторов напряжённости на оси с последующим суммированием.

Рис. 4. Принцип суперпозиции напряжённости

Проиллюстрируем: пусть в системе присутствует 3 заряда ( $displaystyle {{q}_{2}}$ , $displaystyle {{q}_{3}}$ , $displaystyle {{vec{r}}_{1}}$ ), найти напряжённость в точке А, находящейся на заданном расстоянии от каждого из них ( $displaystyle {{vec{r}}_{2}}$ , $displaystyle {{vec{r}}_{3}}$ , $displaystyle {{vec{r}}_{3}}$ ) (рис. 4).

Пользуясь знаниями о зарядах, расставляем направления напряжённостей от каждого из зарядов, значение модуля каждой из них можем найти из (4). А далее геометрически складываем, получая искомый $displaystyle {{vec{E}}_{o}}$ .

Напряжённость поля бесконечной заряженной плоскости.

Отдельно в школьной физике рассматривается бесконечная (осень большая) заряженная равномерно плоскость (рис. 5).

Рис. 5. Напряжённость бесконечной плоскости

Напряжённость такой плоскости вблизи её:

$displaystyle E=frac{sigma }{2varepsilon {{varepsilon }_{0}}}$ (6)

где

В (6) использовалось определение поверхностной плотности заряда:

$displaystyle sigma =frac{Q}{S}$ (7)

где

Важно: напряжённость бесконечной плоскости не зависит от расстояния от плоскости.

Напряжённость поля двух бесконечных заряженных плоскостей (конденсатор).

Рис. 6. Напряжённость двух бесконечных плоскостей

Если составить систему из двух бесконечных плоскостей, заряженных одинаковым по модулю и различным по знаку зарядом (при этом площади плоскостей одинаковы), то общая напряжённость между ними:

$displaystyle {{E}_{0}}=frac{sigma }{2varepsilon {{varepsilon }_{0}}}+frac{sigma }{2varepsilon {{varepsilon }_{0}}}=frac{sigma }{varepsilon {{varepsilon }_{0}}}=frac{q}{varepsilon {{varepsilon }_{0}}S}$ (8)

Уравнение (8) характеризует напряжённость внутри конденсатора (рис. 6).

Вывод: в случае, если в задаче требуется найти напряжённость, она дана, достаточно рассмотреть систему. Различных систем, а соответственно, и формул, немного: точечный заряд, шар, система точечных зарядов и бесконечные плоскости. Для каждой системы — своё решение.

Источник

Содержание:

Определение и формула напряженности электрического поля
Принцип суперпозиции напряженностей электрических полей
Напряженность поля в диэлектрике
Напряженность поля точечного заряда
Связь напряженности и потенциала
Единицы измерения напряженности электрического поля
Примеры решения задач

Определение и формула напряженности электрического поля

Определение

Вектор напряженности $bar{E}$ – это силовая характеристика электрического поля. В некоторой точке поля, напряженность равна
силе, с которой поле действует на единичный положительный заряд, размещенный в указанной точке, при этом направление силы и напряженности
совпадают. Математическое определение напряженности записывается так:

$$bar{E}=frac{bar{F}}{q}$$

где $bar{F}$ – сила, с которой электрическое поле действует на
неподвижный, «пробный», точечный заряд q, который размещают в рассматриваемой точке поля. При этом считают, что «пробный» заряд
мал на столько, что не искажает исследуемого поля.

Если поле является электростатическим, то его напряженность от времени не зависит.

Если электрическое поле является однородным, то его напряженность во всех точках поля одинакова.

Графически электрические поля можно изображать при помощи силовых линий. Силовыми линиями (линиями напряженности) называют
линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности в этой точке поля.

Принцип суперпозиции напряженностей электрических полей

Если поле создано несколькими электрическими полями, то напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей отдельных полей:

$$bar{E}=sum_{i=1}^{n} bar{E}_{i}(2)$$

Допустим, что поле создается системой точечных зарядов и их распределение непрерывно, тогда результирующая напряженность находится как:

$$bar{E}=int d bar{E}(3)$$

интегрирование в выражении (3) проводят по всей области распределения заряда.

Напряженность поля в диэлектрике

Напряженность поля $bar{E}$ в диэлектрике равна векторной сумме
напряженностей полей, создаваемых свободными зарядами $bar{E}_0$ и
связанными (поляризационными зарядами) $bar{E}_p$:

$$bar{E}=bar{E}_{0}+bar{E}_{p}(4)$$

В том случае, если вещество, которое окружает свободные заряды однородный и изотропный диэлектрик, то напряженность
$bar{E}$ равна:

$$bar{E}=frac{bar{E}_{0}}{varepsilon}(5)$$

где $varepsilon$ – относительная диэлектрическая проницаемость вещества в исследуемой точке
поля. Выражение (5) обозначает то, что при заданном распределении зарядов напряженность электростатического поля в однородном изотропном
диэлектрике меньше, чем в вакууме в $varepsilon$ раз.

Напряженность поля точечного заряда

Напряженность поля точечного заряда q равна:

$$bar{E}=frac{1}{4 pi varepsilon varepsilon_{0}} frac{q}{r^{3}} bar{r}(6)$$

где $varepsilon_{0}=8,85 cdot 10^{-12}$ Ф/м (система СИ) — электрическая постоянная.

Связь напряженности и потенциала

В общем случае напряженность электрического поля связана с потенциалом как:

$$bar{E}=-operatorname{grad} varphi-frac{partial bar{A}}{partial t}(7)$$

где $varphi$ – скалярный потенциал,
$bar{a}$ – векторный потенциал.

Для стационарных полей выражение (7) трансформируется в формулу:

$$bar{E}=-operatorname{grad} varphi(8)$$

Единицы измерения напряженности электрического поля

Основной единицей измерения напряженности электрического поля в системе СИ является: [E]=В/м(Н/Кл)

Примеры решения задач

Пример

Задание. Каков модуль вектора напряженности электрического поля
$bar{E}$ в точке, которая определена радиус- вектором
$bar{r}_{2}=7 bar{i}+3 bar{j}$ (в метрах), если электрическое поле создает положительный точечный
заряд (q=1Кл), который лежит в плоскости XOY и его положение задает радиус вектор
$bar{r}_{1}=bar{i}-5 bar{j}$, (в метрах)?

Решение. Модуль напряжения электростатического поля, которое создает точечный заряд, определяется формулой:

$$E=frac{1}{4 pi varepsilon varepsilon_{0}} frac{q}{r^{2}}(1.1)$$

r- расстояние от заряда, создающего поле до точки в которой ищем поле.

$$bar{r}=bar{r}_{2}-bar{r}_{1}=6 bar{i}-8 bar{j}(1.2)$$

Из формулы (1.2) следует, что модуль $bar{r}$ равен:

$$r=|bar{r}|=sqrt{36+64}=10(mathrm{~m})$$

Подставим в (1.1) исходные данные и полученное расстояние r, имеем:

$$E=9 cdot 10^{9} frac{1}{100}=9 cdot 10^{7}left(frac{B}{m}right)$$

Ответ. $E=9 cdot 10^{7}left(frac{B}{m}right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Запишите выражение для напряженности поля в точке, которая определена радиус – вектором
$bar{r}$, если поле создается зарядом, который распределен по объему V с плотностью
$rho=rho(r)$ .

Решение. Сделаем рисунок.

Проведем разбиение объема V на малые области с объемами
$Delta V_{i}$ заряды этих объемов
$Delta q_{i}$, тогда напряженность поля точечного заряда в точке А (рис.1) будет равна:

$$bar{E}_{i A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} frac{Delta q_{i}}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right)(2.1)$$

Для того чтобы найти поле, которое создает все тело в точке А, используем принцип суперпозиции:

$$bar{E}_{A}=sum_{i=1}^{N} bar{E}_{i A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} sum_{i=1}^{N} frac{Delta q_{i}}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right)(2.2)$$

где N – число элементарных объемов, на которые разбивается объем V.

Плотность распределения заряда можно выразить как:

$rholeft(bar{r}_{i}right)=frac{Delta q_{i}}{Delta V_{i}}(2.3)$

Из выражения (2.3) получим:

$Delta q_{i}=rholeft(bar{r}_{i}right) Delta V_{i}(2.4)$

Подставим выражение для элементарного заряда в формулу (2.2), имеем:

$$bar{E}_{A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} sum_{i=1}^{N} frac{rholeft(bar{r}_{i}right) Delta V_{i}}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}_{i}right)(2.5)$$

Так ка распределение зарядов задано непрерывное, то если устремить
$Delta V_i$ к нулю, то можно перейти от суммирования к интегрированию, тогда:

$$bar{E}_{A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} int_{V} frac{rho(bar{r})}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}right) d V$$

Ответ. $bar{E}_{A}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} int_{V} frac{rho(bar{r})}{left|bar{r}^{prime}-bar{r}right|^{3}}left(bar{r}^{prime}-bar{r}right) d V$

Читать дальше: Формула пути.

Источник

Теорема Гаусса и постулат Максвелла, представленные в интегральной форме, дают возможность решить ряд задач в тех случаях, когда условия симметрии таковы, что в каждой точке замкнутой поверхности интегрирования (поверхности симметрии), охватывающей заряды, вектор напряженности поля (или электрического смещения )

имеет одно и то же значение и может быть вынесен из-под интеграла.

Пример 1. Точечный заряд q = 10^-9 Кл помещен в начале сферической системы координат. Определить напряжение между точками а (R_a = 4см, q_а = 45^°, j_а = 0^°) и b (R_b = 8см, , q_b = 180^°, j_b = 90^°) и напряженность в тех же точках, если окружающей средой является воздух.

Решение.

Решение будем проводить с помощью теоремы Гаусса (1.9), так как среда однородна.

Поскольку поле точечного заряда характеризуется сферической симметрией, то, если в качестве поверхности интегрирования взять поверхность сферы с центром в точке, где расположен заряд (в нашем случае это начало системы координат), то в любой точке на поверхности этой сферы напряженность поля будет иметь одно и то же значение. Направление же вектора будет совпадать с направлением радиуса, то есть перпендикулярно к поверхности сферы. В связи с этим, интеграл по этой поверхности, составленный по теореме Гаусса, можно преобразовать следующим образом:

Поскольку данный интеграл (согласно теореме Гаусса) равен отношению заряда, помещенного внутри сферы, к диэлектрической проницаемости среды, то напряженность поля будет определяться соотношением

Е_r = q/(4pe₀r²).

Здесь индекс r у напряженности проставлен для того, чтобы показать, что напряженность поля имеет одну составляющую, направленную по радиусу.

Отметим, что данная формула полностью соответствует выражению (1.1), полученному из закона Кулона.

Поскольку напряженность электрического поля в данном случае имеет только радиальную составляющую, величина которой является функцией радиуса и не зависит от угловой координаты, то в указанных в исходном задании точках она будет равна:

E(r_a)=q/(4pe₀r_a²)=10^-9/(4p?8.85·10^-12·0.04²)=5.62кВ/м.

E(r_в)=q/(4pe₀r_в²)=10^-9/(4p8.85·10^-12·0.08²)=1.405кВ/м.

Разность потенциалов между точками а и в определяется при помощи выражения (1.6). Эта разность в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования. Поэтому, если разбить путь интегрирования на две части и сначала проводить интегрирование вдоль радиуса от точки а до точки, которая является точкой пересечения продолжения этого радиуса с поверхностью воображаемой сферы с центром в начале координат и радиусом r_в, а затем проводить интегрирование по любой линии, лежащей на поверхности этой серы от данной точки до точки в, то интеграл вдоль этой линии будет равен нулю, поскольку вектор напряженности поля имеет одну составляющую, направленную вдоль радиуса, а подинтегральным выражением в формуле (1.6) является скалярное произведение вектора напряженности поля и вектора dl, который совпадает с касательной к поверхности сферы.

Таким образом, разность потенциалов между точками а и в будет равна

В.

Пример 2. Уединенный проводящий шар радиусом R₀ = 6 см, поверхностная плотность заряда которого s = 0,1*10^-6 Кл/м², помещен в диэлектрик (e_r = 3).

Определить закон изменения напряженности поля и потенциала в функции расстояния r от центра шара, приняв потенциал равным нулю в бесконечности. Рассчитать напряжение между точками, одна из которых лежит на поверхности шара, а другая – на расстоянии 20 см от его поверхности. Вычислить емкость шара.

Решение.

Поле внутри проводящего шара отсутствует. Поле вне шара обладает сферической симметрией, поэтому рассчитывается с помощью теоремы Гаусса точно так же как и для точечного заряда.

Здесь в качестве поверхности интегрирования взята поверхность сферы радиуса r ?

R₀ с центром, совпадающим с центром шара.

Заряд шара определяется через поверхностную плотность

q = s·4p·R₀².

Таким образом, напряженность поля вне шара имеет только одну радиальную составляющую и равна

Е_r = s·R₀²/(e_re₀r²) =

0,1·10^-6·0,06²/(3·8,85·10^-12r²).

Потенциал в любой точке вне шара, находящейся на расстоянии r от его центра, определяется с помощью выражения (1.5), которое с учетом того, что напряженность поля направлена вдоль радиуса, будет иметь следующий вид:

Потенциал шара равен потенциалу любой точки, лежащей на поверхности шара (r = R₀) U =

13,56/0,06 = 173,8 В.

Разность потенциалов между любыми точками А (r = R_A) и В (r = R_В) определяется с помощью следующей формулы:

UA – UВ = 13,56· (1/RA – 1/RВ).

Таким образом, разность потенциалов между точкой, лежащей на поверхности шара, и точкой, отстоящей от поверхности на расстоянии 20 см, равна

UAВ = 13,56· (1/0,06 – 1/0,26) = 173,8 В.

Емкость шара можно определяется выражением (1.19)

С = 4·p·ere0·R0 = 4·p·3·8,85·10-12·0,06 = 2·10-11 Ф.

Пример 3.

Шар из диэлектрика (e_r = 4) заряжен и расположен в воздухе. Объемная плотность заряда является функцией расстояния r от центра шара: r = k*r,

где k = 0,05p [Кл/м⁴].

Радиус шара R = 2см. Рассчитать и построить графики изменения потенциала и напряженности поля вдоль радиуса.

Решение. В

данном случае поле также обладает сферической симметрией, но область не однородна. Поэтому здесь удобнее применять постулат Максвелла (1.10).

Так, при 0 ? r ? R где s – сферическая поверхность радиусом r с

центром, совпадающим с центром шара; v – объем, заключенный внутри этой поверхности.

Перепишем уравнение с учетом симметрии поля

Отсюда находим радиальную составляющую вектора электрического смещения:

D_r = 0,25·k·r².

Напряженность электрического поля, которая также как и вектор электрического смещения направлена по радиусу, внутри шара будет равна

(1.8):

E₁_r = D_r/e_re₀ = 0,25·k·r²/e_re₀.

Вне шара (r ? R) электрическое смещение, исходя из постулата Максвелла, определяется следующим образом:

Следовательно, электрическое смещение и напряженность поля будут равны:

D_r = 0,25·k·R⁴/r²; E_r = D_r/e₀.

Графики изменения напряженности поля и вектора электрического смещения представлены на рис.1.4. Значения напряженности поля и вектора электрического смещения даны в относительных единицах. За базисные значения приняты значения этих величин на поверхности шара, которые для заданных исходных данных соответственно равны E_rb = 4,435·10⁵В/м; D_rb = 1,571·10^-5Кл/м².

Потенциал поля внутри шара можно определить по формуле

где С₁ – постоянная интегрирования.

Принимая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, определим потенциал любой произвольной точки в области вне шара.

Постоянную интегрирования С₁ можно определить из условия равенства потенциалов U₁ и U₂ на поверхности шара (при r = R)

Отсюда

График изменения потенциала вдоль радиуса также в относительных единицах показан на рис.1.4. За базисное значение потенциала принято значение потенциала на поверхности шара U_b = 35.5кВ.

Отметим, что если бы объемная плотность заряда r оставалась постоянной, то напряженность поля и потенциалы поля в соответствующих подобластях определялись бы следующими выражениями:

E₁ = r·r/(3·e_re₀); U₁ = – r·r²/(6·e_re₀) + C₁;

E₂ = r·R³/(3·e₀·r²);

U₂ = r·R³/(3·e₀·r).

Постоянная С₁ в этом случае определяется также из условия равенства потенциалов U₁ и U₂ на поверхности шара

С₁ = r·R³· (1+2·e_r)/(6·e₀·e_r).

Пример 4. Сферический конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутренней сферы r₁=12 мм, внутренний радиус наружной сферы – r₃=22 мм и радиус поверхности раздела диэлектриков – r₂=16 мм.

Относительное значение диэлектрической проницаемости внутреннего слоя диэлектрика e_r₁=5, наружного слоя – e_r₂=3. Разрез конденсатора показан на рис.1.5. Заряд конденсатора q = 10^-8Кл.

Определить и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Найти разность потенциалов между электродами. Вычислить емкость конденсатора. Изменяя радиус поверхности раздела диэлектриков r₂ и значение диэлектрической проницаемости наружного слоя e_r₂ получить конденсатор с наилучшим использованием двухслойного диэлектрика. Рассчитать емкость данного конденсатора и сопоставить ее с емкостью исходного конденсатора.

Решение. Используя постулат Максвелла для любой сферической поверхности радиусом r, построенной внутри k-го слоя (k=1,2) диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e_rk, получим выражение для вектора электрического смещения и напряженности электрического поля

D_k= q/(4pr²); E_k= D_k/(e_rk·e₀) = q/(4pr²·e_rk·e₀).

Максимальное значение напряженности поля в первом слое, очевидно, будет на поверхности внутреннего электрода

E₁_max= q/(4p·r₁²·e_r₁e₀)=10^-8/(4p·12²·10^-6·5·8,85·10^-12) = 1,249·10⁵ В/м.

Максимальное значение напряженности поля во втором слое на сферической поверхности раздела диэлектриков

E₂_max= q/(4pr₂²·e_r₂·e₀)=10^-8/(4p16²·10^-6·3·8,85·10^-12) =1,171*10⁵ В/м.

Графики изменения напряженности поля в диэлектрике вдоль радиуса представлены на рис.1.6. Значения напряженности на графиках приведены в относительных единицах. За базисное значение принято максимальное значение напряженности в первом слое E_b= E₂_max.

Разность потенциалов между электродами определяется при помощи следующего выражения:

Емкость конденсатора равна (1.15)

C=q/U₁₂ = 10^-8/885,6 = 1,129·10^-11Ф.

Отметим, что емкость сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком можно определить и по такой формуле

С=С₁С₂/(С₁+С₂),

где С₁ – емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₁ и r₂ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости первого слоя; С₂ – емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₂ и r₃ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости второго слоя.

Поскольку емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком определяется с помощью выражения (1.18), то емкости С₁, С₂ и С будут равны:

С1 = 4·p·8,85·10-12·5·0,012·0,016/(0,016-0,012) = 2,669·10-11Ф;

С2=4·p·8,85·10-12·3·0,016·0,022/(0,022-0,016) = 1,957·10-11Ф;

С=2,669·1,957·10-11(2,669+1,957) = 1,129·10-11Ф.

Для наилучшего использования диэлектриков в конденсаторе необходимо так подобрать толщину слоев, чтобы максимальное значение напряженности поля было одинаковым. Поскольку напряженность поля имеет максимальное значение у внутренней поверхности слоя, то для выполнения этого условия, необходимо, чтобы произведение квадрата внутреннего радиуса слоя на его диэлектрическую проницаемость было постоянным, то есть r₁²e₁= r₂²e₂=const.

Если значение диэлектрической проницаемости оставлять неизменным, а изменять толщину слоев, то с помощью данного выражения можно определить радиус поверхности раздела диэлектриков.

м.

Разность потенциалов U₁₂ и емкость такого конденсатора будут равны: U₁₂=910,13В; C=1,099*10^-11Ф.

Пример 5.

Бесконечно длинная тонкая заряженная нить расположена в воздухе вдоль оси z цилиндрической системы координат (рис. 1.7). Линейная плотность заряда t=10^-9Кл/м. Рассчитать и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Определить разность потенциалов между точками

m (r_m=10cм; q_m=270^°) и n (r_n=40cм; q_n=180^°).

Решение. В этом случае поле характеризуется цилиндрической симметрией, то есть во всех точках цилиндрической поверхности, охватывающей заряженную нить, произвольного радиуса r напряженность поля имеет одно и то же значение и направлена перпендикулярно к поверхности. Поэтому, если окружить нить цилиндрической поверхностью длиной l и радиусом r и использовать теорему Гаусса, то можно получить выражение для напряженности поля Е.

График изменения напряженности поля вдоль радиуса представлен на рис. 1.8.

Значение напряженности поля на графике даны в относительных единицах. За базисное значение принято значение напряженности на расстоянии одного миллиметра от начала координат (Е_b=1,798·10⁴ В/м).

Потенциал поля в любой точке m, расположенной на расстоянии r_m от оси провода, равен:

Здесь r_p – расстояние от оси провода до некоторой фиксированной точки пространства р, в которой потенциал принимается равным нулю.

Если за такую точку принять точку, расположенную на расстоянии одного метра от оси провода, то потенциал точки m будет равен:

Изменение потенциала вдоль радиуса представлено на рис. 1.8. Значения потенциала даны также в относительных единицах. За базисное значение потенциала принято значение потенциала в той же точке, что и базисное значение напряженности поля (U_b=124,226 В).

Разность потенциалов между точками, указанными в условии задачи, равна 24,931 В.

Пример 6.

Бесконечно длинный цилиндрический конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутреннего электрода r₁=1 мм, внутренний радиус внешнего электрода – r₃=4 мм и радиус поверхности раздела диэлектриков – r₂=2 мм.

Относительное значение диэлектрической проницаемости внутреннего слоя диэлектрика e_r₁=5, наружного слоя – e_r₂=2,5. Поперечное сечение конденсатора показано на рис.1.9. Линейная плотность заряда конденсатора t = 10^-8 Кл/м.

Определить и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Найти разность потенциалов между электродами.

Вычислить емкость конденсатора на единицу длины.

Решение. Для решения задачи используем обобщенную теорему Гаусса. В качестве поверхности интегрирования возьмем замкнутую цилиндрическую поверхность длиной l и радиусом r (r₁?r?r₃).

Ввиду цилиндрической симметрии (вектор электрического смещения на этой поверхности не изменяется по величине и направлен по радиусу) последнее уравнение можно переписать следующим образом:

D·2·p·r·l = t·l,

откуда

D = D_r = t/(2·p·r).

Напряженность поля в первом слое диэлектрика (r₁ ?r ? r₂) будет при этом равна:

E₁ = D/(e_r₁e₀) = t/(2·p·e_r₁e₀·r).

Во втором слое (r₂ ?r ? r₃) –

E₂ = D/(e_r₂e₀) = t/(2·p·e_r₂e₀·r).

График изменения напряженности поля представлен на рис.1.10. На графике значения напряженности поля представлены в относительных единицах. За базисное значение принято значение напряженности в первом слое при r = r₁, ( E_b = 35,970 кВ/м).

Как видно из рис. 1.10, напряженность поля на границе раздела диэлектриков испытывает скачек. Для лучшего использования изоляции стараются подобрать толщину слоев диэлектрика и их диэлектрическую проницаемость таким образом, чтобы максимальное значение напряженности поля в обоих слоях было одинаково. Это будет соблюдаться при условии r₁e₁ = r₂e₂, как в данном примере.

Разность потенциалов между электродами определяется при помощи выражения (1.6), которое для цилиндрического конденсатора можно переписать в следующем виде:

74,792В.

Емкость конденсатора на единицу его длины будет равна:

С = t/U = 10^-8/74,792 = 0,1337 нФ/м.

Отметим, что емкость цилиндрического конденсатора с двухслойным диэлектриком можно определить и по такой формуле

С=С1С2/(С1+С2),

где С₁ – емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₁ и r₂ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости первого слоя; С₂ – емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₂ и r₃ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрическойпроницаемости второго слоя.

Поскольку емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком определяется с помощью выражения (1.23), то емкости С₁, С₂ и С будут равны:

С = С₁·С₂/(С₁ + С₂) = 0,1337 нФ/м.

Пример 7.

Бесконечно длинный цилиндр, выполненный из диэлектрика, относительное значение диэлектрической проницаемости которого e_r₁ = 4, заряжен и находится в минеральном масле (e_r₂ = 2,5).

Радиус цилиндра r₀ = 5мм (рис. 1.11). Объемная плотность заряда является функцией расстояния от оси цилиндра r = r/10.

Найти законы изменения потенциала и напряженности поля внутри и вне цилиндра в функции расстояния r от оси, приняв потенциал равным нулю на оси цилиндра (r = 0). Построить графики этих функций.

Решение. В

качестве поверхности интегрирования выбирается боковая поверхность цилиндра длиной один метр, радиусом r и с осью, совпадающей с осью исходного цилиндра. При 0 ? r ? r₀ внутри этой поверхности будет находиться заряд, величина которого может быть определена с помощью следующего выражения:

Таким образом, с учетом цилиндрической симметрии поля,

получим

Отсюда

где А₁=9.416·10⁸ В/м³.

В области вне цилиндра (r₀?r??)

Из этого выражения легко определяется напряженность поля вне цилиндра

где А₂=183.432 В.

Потенциал электрического поля внутри цилиндра (при условии, что точка, в которой потенциал поля принимается равным нулю, лежит на оси цилиндра) можно определить следующим образом:

Потенциал поля в области вне цилиндра равен

Здесь В₂ – постоянная интегрирования, которую можно найти из условия равенства потенциалов на поверхности цилиндра.

В.

Распределение напряженности электрического поля и потенциала представлено в относительных единицах на рис. 1.12. За базисные значения напряженности поля и потенциала приняты максимальное значение напряженности на границе раздела сред (Е_max=3.669·10⁴ В/м) и значение потенциала при r=0.019 м (j_в=-284 В).

В частном случае, когда объемная плотность заряда r является постоянной величиной, решение упрощается, и выражения для функции напряженности поля и потенциала будут иметь вид:

где

Пример 8.

Рассчитать электростатическое поле, создаваемое зарядом, который равномерно распределен между двумя цилиндрическими бесконечно длинными поверхностями.

Объемная плотность заряда r=10^-6 Кл/м³.

Радиус внешнего цилиндра R₁=20 см, внутреннего – R₂ =4 см, расстояние между осями цилиндров – а=10 см. Относительное значение диэлектрической проницаемости окружающей среды и обоих цилиндров равно e_r₁=1.

Определить распределение составляющих напряженности электрического поля и потенциала вдоль осей Х и Y (рис. 1.13).

Решение.

Данная задача решается методом наложения. Сначала рассчитывается поле в любой точке М от заряда с объемной плотностью +r, равномерно распределенного по объему всего большого цилиндра. Затем в этой же точке рассчитывается поле от заряда, объемная плотность которого равна -r, равномерно распределенного по объему малого цилиндра. Результирующая напряженность поля Е в любой точке М определяется как векторная сумма напряженности Е₁ и Е₂. Потенциал любой точки определяется также как сумма потенциалов U₁ и U₂.

Так, в точке М, которая находится на расстоянии r₁ от оси большого цилиндра и r₂ от оси малого цилиндра и имеет координаты r₁ и a (рис. 1.14) модули напряженности поля от соответствующих зарядов определяются согласно теореме Гаусса по следующим формулам:

Вектор напряженности Е₁ направлен по радиусу r₁ от оси О большого цилиндра, а вектор Е₂ – по радиусу r₂ к оси О₁ малого цилиндра (рис. 1.14).

Потенциалы поля при этом будут равны:

Здесь С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Потенциал поля в области между цилиндрами определяется следующим выражением:

Принимая потенциал равным нулю на оси большого цилиндра (r₁=0; r₂=a), найдем постоянную интегрирования С.

С учетом этого, выражение для потенциала в области между цилиндрами окончательно можно записать в следующем виде:

Если поле определяется в области, лежащей внутри малого цилиндра, то напряженность поля в произвольной точке этой области будет определяться при помощи следующего выражения:

Здесь i – единичный орт, направленный вдоль оси Х.

Таким образом, внутри малого цилиндра напряженность поля будет иметь только одну составляющую, направленную вдоль оси Х и являющуюся постоянной величиной.

Потенциал поля при этом будет равен

где В – постоянная интегрирования.

Эта постоянная определяется исходя из равенства потенциалов для точки, лежащей на поверхности малого цилиндра, один из которых рассчитывается по последнему уравнению, а второй – по выражению, справедливому для точек, находящихся в области между цилиндрами.

Определяя с помощью теоремы косинусов r₂ через r₁, выражения для потенциала и напряженности поля можно преобразовать.

Если точка, в которой определяется поле, лежит в области вне цилиндров (r₁?R₁), то модули напряженности поля будут определяться при помощи следующих выражений:

где t₁ и t₂ – линейная плотность зарядов большого и малого цилиндров.

Направление векторов напряженности поля определяется так же, как и для области, лежащей между цилиндрами.

Потенциал поля для области вне цилиндров будет равен

Постоянная интегрирования В₁ определяется из условия равенства потенциалов на поверхности большого цилиндра (r₁=R₁, r₂=R₁-a), один из которых рассчитывается по последнему уравнению, а второй – по выражению, справедливому для точек, находящихся в области между цилиндрами.

Следовательно, окончательно можно записать следующее выражение для определения потенциала в данной области:

Построим графики изменения модуля напряженности поля и потенциала вдоль оси Y при х=0, для чего положим r₁=y; r₂=(y²+a²)^0,5.

При этом выражения для напряженности поля и потенциала можно несколько преобразовать. Так, при 0?y?R₁ они будут иметь следующий вид:

В области вне цилиндров (у?R₁) эти выражения можно записать следующим образом:

Графики изменения данных функций представлены на рис. 1.15.

На графиках все величины даны в относительных величинах. За базисные значения потенциала и напряженности поля приняты значения соответствующих функций на поверхности цилиндра радиусом R₁ (x=0; y=R₁), которые оказались равными U_б=-1057 В,

Е_б=10,94 кВ/м.

На рис. 1.16 представлены графики распределения потенциала и напряженности поля (в относительных единицах) вдоль оси Х (при Y=0).

Пример 9.

Рассчитать электростатическое поле от двух бесконечно длинных, равномерно заряженных, параллельных, тонких проводников, расположенных в воздухе на расстоянии 2d=6 м друг от друга. Проводники имеют одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды, линейная плотность которых равна t=4*10^-9 Кл/м.

Построить график изменения напряженности поля вдоль оси Y (при х=0) и вывести уравнения для построения эквипотенциальных линий и линий поля.

Решение.

Поскольку среда линейна, то данную задачу можно решить методом наложения.

Вначале рассчитываем напряженность поля в любой точке М от правого провода (рис. 1.17), а затем в этой же точке от левого провода. Задача по расчету поля от бесконечно длинного заряженного провода решена в примере 5. Поэтому сразу запишем выражения для определения напряженности поля от правого и левого провода

Направление векторов напряженности поля показано на рис. 1.17. Результирующая напряженность поля определяется как векторная сумма этих векторов

Модуль данной результирующей напряженности поля рассчитывается по формуле

где

E₁_x, E₂_x,

E₁_y, E₂_y—

проекции векторов напряженности поля на соответствующие декартовы оси координат.

Здесь y_м и x_м – координаты произвольной точки М.

В частности, если точка М лежит на оси Y, то (r₁=r₂) результирующая напряженность поля будет направлена вдоль оси Х (Е=Е_х). График распределения данной величины вдоль оси Y представлен на рис. 1.18. Значения напряженности поля на графике даны в относительных единицах, при этом за базисное значение принято значение напряженности в начале координат (x=0, y=0), которое оказалось равным 47,956 В/м.

Потенциал поля в любой точке М определяется также, как сумма потенциалов поля от одного и другого провода

Здесь С – постоянная интегрирования. Эта постоянная будет равна нулю, если принять потенциал точки, которая находится в начале координат, равным нулю.

В этом случае ось OY будет являться эквипотенциальной линией нулевого потенциала.

Все остальные линии равного потенциала являются окружностями с центрами, лежащими на оси ОХ. Координаты этих центров и радиусы окружностей определяются с помощью следующих формул:

Таким образом, если необходимо провести линию равного потенциала через точку, потенциал которой задан (например, 100 В), то надо определить k, используя формулу для потенциала

При построении картины поля, для того чтобы приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней оставалось постоянным, должно соблюдаться условие

Здесь В – постоянная; n – порядковый номер линии равного потенциала.

Таким образом, число k при возрастании порядкового номера линии равного потенциала n должно изменяться в геометрической прогрессии.

Линиями поля данной системы заряженных проводников являются дуги окружностей, пересекающихся с проводниками. При этом, центры этих дуг лежат на оси OY и имеют координаты, которые определяются при помощи следующей формулы:

Чтобы при построении картины поля подразделить поле на трубки равного потенциала, необходимо при переходе от любой линии напряженности поля к соседней изменять угол J на постоянную величину.

Пример 10.

Два одинаковых бесконечно длинных проводящих цилиндра расположены в воздухе. Радиус цилиндров R=0.04 м, расстояние между геометрическими осями 2h=0.12 м (рис.1.19).

Напряжение, приложенное к цилиндрам U₁₂=100 В.

Рассчитать электростатическое поле, построить графики изменения напряженности поля и потенциала вдоль оси х.

Найти емкость системы проводов на единицу длины.

Решение.

Поле внутри проводящих проводов отсутствует. Поле же в воздухе будет точно таким, как и поле от двух бесконечно тонких линейных проводников, проходящих через электрические оси данных проводов.

Таким образом, задача по расчету поля двух проводов круглого сечения сводится к нахождению электрических осей проводов, поскольку в дальнейшем расчет поля в воздухе будет аналогичным расчету поля, проведенному в предыдущем примере.

Поскольку поверхность проводящих проводов является поверхностью равного потенциала, то, используя выражения для координаты центра и радиуса линий равного потенциала, которые приведены в примере 9, можно получить формулу для определения координат центра электрических осей проводов b.

В условии задачи задана не линейная плотность зарядов, а разность потенциалов между проводами (разность потенциалов между точками m и n).

Поэтому, прежде всего, следует определить линейную плотность зарядов t. Для этого используем выражение для потенциалов, которое также приведено в предыдущем примере

Здесь r₁ и r₂ – расстояние от электрической оси первого (левого) и второго провода, соответственно, до точки m, которая находится на поверхности первого провода, а r₁^/ и r₂^/ – расстояние от электрической оси первого и второго провода, соответственно, до точки n, которая находится на поверхности второго провода.

С учетом последних соотношений, можно записать выражение для определения линейной плотности зарядов

После определения линейной плотности зарядов и расположения электрических осей проводов, выражения для расчета напряженности поля и потенциала в области вне проводов полностью аналогичны тем, которые приведены в примере 9.

Графики распределения напряженности поля и потенциала вдоль оси ОХ (при y=0) приведены на рис. 1.20. Все значения на графике даны в относительных единицах, причем, за базисные значения приняты значения напряженности поля и потенциала на поверхности правого провода, которые оказались равными Е_б=2904 В/м, j_б=-50 В.

С учетом того, что ось OY является осью симметрии для напряженности поля и осью антисимметрии для потенциала, графики построены только для положительных значений х.

Емкость между двумя проводниками на единицу их длины определяется при помощи следующего выражения:

Пример 11. Рассчитать

электростатическое поле от двух параллельных бесконечно длинных заряженных несоосных проводящих цилиндров, расположенных в воздухе. Радиусы цилиндров R₁=0.02 м и R₂=0.04 м. Расстояние между геометрическими осями D=0.08 м (рис. 1.21). Цилиндры имеют одинаковый по величине, но противоположный по знаку заряд, линейная плотность которого t₁=-t₂=t=10^-8 Кл/м.

Определить разность потенциалов между цилиндрами, емкость системы на единицу длины.

Построить график изменения потенциала поля вдоль оси ОХ (при y=0).

Решение.

Расположим оси цилиндров (О₁ и О₂) так, чтобы их поверхности совпали с поверхностями равного потенциала. Обозначим через h₁ и h₂ расстояние от геометрических осей первого и второго цилиндра до плоскости постоянного (нулевого) потенциала, а через b – расстояние от электрических осей-до этой плоскости. После определения данных величин задача по расчету поля в области вне цилиндров сводится к расчету электростатического поля от двух заряженных бесконечно длинных линейных проводов, проходящих через центры зарядов, и оказывается, таким образом, полностью аналогичной задачам, рассмотренным в предыдущих примерах.

Используя выражение для определения координат центров зарядов, справедливое как для одного, так и для второго провода, составим следующее уравнение:

или

При заданном расположении цилиндров (рис. 1.21) имеем

h₁+h₂=D

и, следовательно,

В этом случае

Разность потенциалов между двумя цилиндрами можно определить по следующей формуле (как и в примере 10):

Здесь r₁^/ и r₂^/ – расстояние от центра электрических осей первого и второго цилиндра, соответственно, до точки n, лежащей на поверхности первого цилиндра; r₁^// и r₂^// – расстояние от центра электрических осей первого и второго цилиндра, соответственно, до точки m, лежащей на поверхности второго цилиндра

r₁^/ = (R₁ + b – h₁) = 0.0131м; r₂^/ = 2b – r₁^/ = 0.0381м;

r₂^// = (R₂ + b – h₂) = 0.0181м; r₁^// = 2b – r₂^// = 0.0331м.

Потенциал любой произвольной точки d будет равен

где r₁ и r₂ – расстояние от электрических осей первого и второго провода до точки d.

Если точка d лежит на оси ОХ между цилиндрами, то

r₂ = b – x; r₁ = b + x;

График изменения потенциала вдоль оси ОХ (при (R₁ – h₁) < x < (h₂ – – R₂)) показан на рис. 1.22.

Емкость системы цилиндров на единицу длины определяется по следующей формуле:

Построение линий равного потенциала и линий поля в области вне цилиндров проводится таким же образом, как и для линейных проводов, которые совпадают с электрическими осями (см. пример 9).

Пример 12. Бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом R₁=2см расположен внутри другого бесконечно длинного проводящего цилиндра радиусом R₂=6см.

Расстояние между геометрическими осями цилиндров D=3см (рис. 1.23). Область между цилиндрами заполнена диэлектриком с относительным значением диэлектрической проницаемости e_r=2.

Цилиндры имеют одинаковый по величине, но противоположный по знаку заряд, линейная плотность которого t₁=-t₂=t=10^-8Кл/м.

Определить разность потенциалов между цилиндрами, емкость системы на единицу длины. Построить график изменения напряженности поля вдоль оси Х (при Y=0) между цилиндрами.

Решение.

Решение данной задачи, как и в предыдущих примерах, сводится к отысканию положения электрических осей.

Полагая, что оси проводов расположены так, что их поверхности совпадают с эквипотенциальными поверхностями электростатического поля, будем иметь:

где h₁ и h₂ – расстояние от геометрических осей цилиндров до плоскости постоянного (нулевого) потенциала; b – расстояние от электрических осей до этой же плоскости.

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

Но, поскольку при расположении цилиндров один внутри другого, выполняется равенство

то

Таким образом, выражения для определения h₁, h₂, и b будут иметь следующий вид:

После нахождения положения электрических осей задача по расчету поля в диэлектрике между цилиндрами становится полностью аналогичной задаче по расчету поля от линейных проводов, совпадающих с электрическими осями цилиндров.

Так, потенциал любой точки М, находящейся в области между цилиндрами, будет равен

где r₁ и r₂ – расстояние от электрических осей первого и второго цилиндров соответственно до точки М.

Разность потенциалов между цилиндрами (между точками m и n) при этом будет равна

Здесь r₁^/ и r₂^/ – расстояние от электрических осей первого и второго цилиндров соответственно до точки m, а r₁^// и r₂^// – расстояние от электрических осей этих цилиндров до точки n.

При заданном расположении цилиндров указанные расстояния будут равны

Таким образом, разность потенциалов между цилиндрами U_mn будет составлять величину, равную 67.1В.

Напряженность электрического поля в любой точке, лежащей на оси ОХ между цилиндрами (между точками m и n), находится методом наложения

График изменения данной величины вдоль оси ОХ представлен на рис. 1.24.

Для удобства изображения все величины на рисунке представлены в относительных единицах. За базисное значение напряженности поля принято значение напряженности поля на поверхности малого цилиндра в точке m (E_b =Е_m=8020 В/м), а за базисное значение переменной х – абсолютное значение координаты этой же точки (х_b=|х_m|= 0.0183 м).

Емкость системы проводов на единицу их длины определяется с помощью следующей формулы:

Зная разность потенциалов между цилиндрами и линейную плотность зарядов t емкость С, согласно определению, можно найти и как отношение линейной плотности зарядов к разности потенциалов

Для построения силовых линий и линий равного потенциала можно воспользоваться рекомендациями, данными в предыдущих примерах.

Источник