Как найти натуральную величину сечения фигуры

Задача
о пересечении многогранника плоскостью
решается так же, как и ряд предыдущих,
построением вспомогательных секущих
плоскостей. Пусть требуется решить
задачу о нахождении общих геометрических
элементов плоскости, заданной
пересекающимися прямыми в
и d,
и призмы АВСDА*В*С*D*
(рис. 3.11.).

Рис.
3.11. Построение линии пересечения
плоскости и призмы.

Очевидно,
что этими общими геометрическими
элементами будут отрезки прямой. Для
упрощения построений вспомогательные
секущие плоскости проведем через ребра
призмы. В данном случае удобнее
использовать горизонтально–проецирующие
плоскости. ,
*,**,***.
Тогда линиями их пересечения с прямыми
в
и d
будут на П₁
прямые 5₁5₁*,
6₁6₁*,
7₁7₁*,
8₁8₁*.
По линиям связи найдем фронтальные
проекции 5₂5₂*,
6₂6₂*,
7₂7₂*,
8₂8₂*
линий пересечения секущих плоскостей
с заданной плоскостью. Далее определим
точки пересечения этих линий с
соответствующими ребрами призмы:
например, для ребра DD*,
через которое проходит вспомогательная
секущая плоскость ,
линией пересечения плоскости 
и заданной плоскости будет 88*, а значит,
в проекции на П₂
точкой пересечения заданной плоскости
и ребра DD*
является точка 1₂.
Аналогично построим другие точки 2₂,
3₂,
4₂.
Соединив их, получаем ломаную линию
1₂2₂3₂4₂,
которая является фронтальной проекцией
линии пересечения плоскости, заданной
пересекающимися прямыми в
и d,
и призмы. Горизонтальную проекцию
ломаной линии 1₁2₁3₁4₁
легко построить по линиям связи, опущенным
на соответствующие проекции ребер
призмы. Видимость участков проекций
ломаной линии определяем по принадлежности
к граням призмы.

Сечением
многогранника
называется плоская фигура, расположенная
в секущей плоскости и ограниченная
линиями пересечения ее с многогранником.
Очевидно, такая фигура представляет
собой некоторый многоугольник. Так на
рисунке 3.11 это четырехугольник 1234.

3.5. Определение натуральной величины фигуры сечения

Нередко
практический интерес представляет
задача определения натуральной величины
фигуры сечения.

Определим
натуральную величину сечения
(четырехугольника), полученного на рис.
3.11. Так как четырехугольник 1234 занимает
общее положение в пространстве, то его
натуральную величину можно определить
двумя переменами плоскостей проекций,
сначала построив плоскость, перпендикулярную
четырехугольнику 1234, а затем – параллельную
ему. Чтобы не загромождать чертеж (рис.
3.11), вынесем построения на отдельный
рисунок 3.12. Для построения плоскости,
перпендикулярной плоскости четырехугольника
1234, необходимо начертить одну из главных
линий, например, горизонталь. Ее
фронтальная проекция h₂
должна быть параллельна оси П₁/П₂.
По точкам пересечения 2 и 4 с четырехугольником
1234 находим и горизонтальную проекцию
h₁
горизонтали.

Рис.
3.12.
Определение натуральной величины
сечения.

Новая
ось П₄/П₁,
разделяющая П₁
и новую плоскость П₄,
должна быть перпендикулярна h₁.
Затем получаем проекцию 1₄2₄3₄4₄
в виде прямой. И наконец, вычертив вторую
новую ось П₅/П₄,
параллельно 1₄3₄,
построим проекцию 1₅2₅3₅4₅
четырехугольника в плоскости П₅.
Это и есть натуральная величина
четырехугольника 1234. Сечение заштрихуем
под углом 45
к горизонтальной прямой.

Чаще
приходится решать более простую задачу
– определение натуральной величины
сечения многогранника плоскостью
частного положения. В этом случае
достаточно сделать всего одну замену
плоскостей проекций. Рассмотрим на
примере сечения пирамиды
горизонтально–проецирующей плоскостью

(рис 3.13). Пусть задана горизонтальная
проекция ₁.
Необходимо найти линию пересечения
плоскости 
с пирамидой и определить натуральную
величину сечения. Таким образом, задача
разбивается на две части: сначала надо
построить сечение в плоскостях П₁и
П₂,
а затем определить его натуральную
величину.

Рис.
3.13. Построение линии пересечения и
определение натуральной величины
сечения пирамиды плоскостью.

Чтобы
решить первую часть задачи нужно найти
все точки пересечения плоскости 
с ребрами пирамиды и соединить их
отрезками прямой. Горизонтальная
проекция ₁
пересекает ребра пирамиды в точках 1₁,
2₁,
3₁,
4₁
(рис. 3.13, а). По линиям связи находим их
фронтальные проекции 1₂,
2₂,
3₂,
4₂
на фронтальных проекциях соответствующих
ребер. Соединяя найденные точки, получаем
линию пересечения 1₂2₂3₂4₂
заданной плоскости с пирамидой. Отрезок
1₂4₂
этой линии будет невидимым, так как он
лежит на невидимой грани A₂S₂C₂.
Плоская фигура, ограниченная полученной
линией (на рис. 5.9, а заштрихована), и
является сечением пирамиды плоскостью.
В нашем примере это четырехугольник
1234.

Для
определения натуральной величины
четырехугольника 1234 способом замены
плоскостей проекций не обязательно
строить новую ось параллельно ₁
(или 1₁2₁4₁3₁),
ввиду ограниченности площади чертежа.
Достаточно соблюдать основные принципы
построения. Начертим новую ось на
свободном поле чертежа. Перенесем на
нее точки 1₁,2₁,4₁,3₁,
не меняя расстояния между ними. Проведем
через них перпендикуляры к оси. Затем
отложим на построенных перпендикулярах
отрезки, равные расстояниям от оси
П₂/П₁,
которую считаем расположенной на
основании А₂В₂С₂
пирамиды, до соответствующих проекций
1₂,
2₂,
4₂,
3₂.
Соединив указанные точки, получим
натуральную величину сечения пирамиды
заданной плоскостью 
(рис. 3.13, б).

Как
видим, сечение в натуральную величину
отличается от 1₂2₂3₂4₂
лишь тем, что оно вытянуто вдоль ₁.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Определение натуральной величины сечения

Цель видеоурока Автокад/НГ: Обучение Автокад 2D на практике и закрепление пройденного материала раздела «Теоретические и практические видеоуроки Автокад». Закрепление знаний по решению задач на построение натуральной величины отрезка, треугольника, сечения и т.д. используя для этого любой способ преобразования чертежа.

Дано: чертеж «Сечение комбинированной поверхности плоскостью».

Задание: Построить натуральную величину сечения, применив для этого любой способ преобразования чертежа.

Решение задачи по начертательной геометрии на определение натуральной величины сечения:

Все способы преобразования чертежа представлены в виде практических видеоуроков по НГ/Автокад в разделе «Способы преобразования чертежа».

В этом видеоуроке мы будем использовать способ перемены плоскостей проекций. Мы уже решили несколько задач по начертательной геометрии, используя способ перемены плоскостей проекций, вот некоторые из них:

• Построение натуральной величины сечения.
• Способ замены (перемены) плоскостей проекций для нахождения натуральной величины сечения цилиндра.

Алгоритм решения задачи с использованием способа замены (перемены) плоскостей проекции

• Вводим новую плоскость, которая будет располагаться параллельно отрезка, в который проецируется сечение комбинированной поверхности на горизонтальной плоскости проекции.
• Строим линии связи.
• На линиях проекционной связи откладываем координаты Z точек сечения цилиндра.

Повторим специальную команду Выровнять в Автокад, которая ускорит построение натуральной величины сечения в 3 раза.

Более подробно в видеоуроке по начертательной геометрии в Автокад.

Видео «Определение натуральной величины сечения — Способ перемены плоскостей проекций»

Как найти натуральную величину сечения

Свойствами фигур в пространстве занимается такой раздел геометрии, как стереометрия. Основным методом для решения задач в стереометрии является метод сечения многогранников. Он позволяет правильно строить сечения многогранников и определять вид этих сечений.

Инструкция

Определение вида сечения какой-либо фигуры, то есть натуральной величины этого сечения, часто подразумевается при формулировке задач на построение наклонного сечения. Наклонное сечение правильнее называть фронтально-проецирующей секущей плоскостью. И для построения его натуральной величины достаточно выполнить несколько действий.

С помощью линейки и карандаша начертите фигуру в 3х проекциях – вид спереди, вид сверху и вид сбоку. На главной проекции на виде спереди покажите путь, по которому проходит фронтально-проецирующая секущая плоскость, для чего начертите наклонную прямую.

На наклонной прямой отметьте главные точки: точки вхождения сечения и выхода сечения. Если фигурой является прямоугольник, то точек вхождения и выхода будет по одной. Если фигурой является призма, то количество точек удваивается. Две точки определяют вхождение в фигуру и выход. Две другие определяют точки на боках призмы.

На произвольном расстоянии проведите прямую, параллельную фронтально-проецирующей секущей плоскости. Затем из точек, расположенных на оси главного вида, проведите вспомогательные линии перпендикулярно наклонной прямой, пока они не пересекутся с параллельной осью. Тем самым вы получите проекции полученных точек фигуры в новой координатной системе.

Чтобы определить ширину фигуры, опустите прямые из точек главного вида на фигуру вида сверху. Обозначьте соответствующими индексами проекции точек при каждом пересечении прямой и фигуры. Например, если точка А принадлежит главному виду фигуры, то точки А’ и А” принадлежат проецирующим плоскостям.

Отложите в новой координатной системе расстояние, которое образуется между вертикальными проекциями основных точек. Фигура, которая получается в результате построения, и является натуральной величиной наклонного сечения.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Наверх

В статье рассмотрим вопрос: «Как чертится натуральная величина сечения конуса»

Первоначально необходимо начертить сечение конуса, полученное в результате секущей плоскости, и отобразить на трех видовых проекциях.

Определение точек сечения определяется с помощью секущих плоскостей.

1.) Отмеряем размер от оси Х до осевой линии вида сверху и откладывается от точки до оси  строящегося сечения;

2.) Также как и в 1 пункте отмеряем длину от оси Х до оси вида сверху;

3.) Чертим центральную ось сечения под углом 90⁰;

4.) Отмеряют расстояние согласно рисунку;

5.) Подобным образом переносятся остальные точки;

6.) Соединяем и обводим полученное сечение.

Вы также можете ознакомиться с построение в видео.

Просмотрели 615

а                                 б                            в

 

Рис. 71

           а                                 б                           
в

 

 

Рис. 72

На фронтальной проекции фигура сечения пирамиды совпадает с проекцией
плоскости и изображается отрезком. Горизонтальная и профильная проекции фигуры
сечения строятся в проекционной связи. Искомые точки лежат на  пересечении 
линий связи с ребрами пирамиды (рис.72).

При
построении проекций усеченных плоскостью многогранников определяют проекции
фигуры сечения, вершины которой находятся на ребрах  (точки пересечения ребер
многогранника с секущей плоскостью). Вначале находят точки, принадлежащие
фигуре сечения, на  фронтальной проекции. На других проекциях изображение
усеченной части выявляется  с помощью линий связи (рис 73.).

На фронтальной проекции фигура сечения пирамиды совпадает с проекцией
плоскости и изображается отрезком. Горизонтальная и профильная проекции фигуры
сечения строятся в проекционной связи. Искомые точки лежат на  пересечении 
линий связи с ребрами пирамиды (рис. 73).

 

                                     12º32  3313

                                                 4 3

          22º 42                   23  1

                                                 3

                  41                31  4                        

                                               
2

                  21                 11

Рис. 73

При
пересечении различных  поверхностей вращения  плоскостью,  фигура сечения может
представлять собой различные фигуры. Как правило, ими являются различные кривые
линии. Фигурой сечения сферы всегда  является окружность, диаметр которой
зависит от положения секущей плоскости относительно экватора (рис.74, а).

Фигуры сечения конуса  могут быть как кривые линии, так и
прямые. Если секущая плоскость располагается перпендикулярно к оси конуса, то
фигура сечения будет являться окружностью. Если секущая плоскость проходит
через вершину, а также ось симметрии конуса, то фигура сечения отображается
прямыми линиями или повторит очерк конуса (рис.74, б). Если секущая
плоскость наклонена к оси вращения  и пересекает все образующие конуса, в
сечении получается эллипс. Когда секущая плоскость параллельна одной из
образующих конуса, в сечении получается парабола (рис. 75, б).   Если
секущая плоскость параллельна оси вращения конуса или расположена так, что угол
наклона между секущей плоскостью и  осью вращения будет меньше, чем угол между
осью вращения и образующей,   то  сечением будет  гипербола (рис. 75, б).

Фигурами сечения цилиндра являются окружность, если секущая плоскость
параллельна основанию. Если секущая плоскость располагается параллельно оси
вращения или совпадает с ней, то сечение изображается прямоугольником (рис.75, в).

              а                            
б                                     в

                             

                               Гипербола

 

Рис. 74

а                             б                                     в

                         
Парабола

 

Рис. 75

В частном случае, когда диаметр цилиндра равен его высоте и
секущая плоскость проходит через ось вращения, фигура будет выглядеть   
квадратом. При рассечении цилиндра наклонной плоскостью сечение представляет
собой эллипс или его часть (рис.75, в).

9.1 Определение натуральной величины фигуры сечения

Изобразить натуральную величину фигуры сечения можно различными
способами. Мы предлагаем  достаточно простое построение (см. рис. 76).

На свободном поле чертежа рядом от  заданной секущей плоскости, на
фронтальной проекции, восстанавливаются перпендикуляры. Это  позволяет определить
истинную величину высоты фигуры, так как при подобном расположении секущей
плоскости данный размер спроецирован на фронтальной проекции в натуральную
величину. Размеры ширины фигуры сечения переносятся с горизонтальной или
профильной проекции. Именно на этих проекциях требуемые размеры отображены без
искажения. Имеющиеся величины ширины фигуры сечения откладываются на
проведенных перпендикулярах (рис.76). 

 

                                               
*

                    3                       1

                     *   

                                                        
1213

               4                       
2               

ø

                                  22º32                       33                                     
23                

                            42

                                                 31                       43                                                 
1

                                                                                           
3

                             41                          11

                   
ø                                        *                                                  

                                                                                    
4                      2  

                                           

                                            21

Рис. 76

Таблица
7

Алгоритм построения натуральной величины фигуры сечения

№	Последовательность действий
1	Анализируется положение секущей плоскости и возможная форма фигуры сечения
2	Определяются опорные точки на той проекции, где секущая плоскость проецируется в виде прямой линии. Точки находятся на очерках геометрического тела и секущей плоскости