Как найти натяжение нити если есть ускорение

Задание. Какой будет сила натяжения нерастяжимой нити, связывающей два груза находящихся на горизонтальной гладкой поверхности (рис.1), если массы грузов равны $m_1$ и $m_2. $К одному из грузов приложена горизонтальная сила $F.$ Трение брусков о поверхность не учитывать. Нить считать невесомой.

Решение. Рассмотрим силы, которые приложены к первому грузу, запишем второй закон Ньютона для этого тела:

[overline{F}+m_1overline{g}+{overline{N}}_1+{overline{T}}_1=m_1overline{a}left(1.1right),]

$m_1overline{g}$ — сила тяжести, действующая на первый груз; ${overline{N}}_1$ — сила реакции горизонтальной опоры; ${overline{T}}_1$ — сила натяжения нити.

Проектируя на оси X и Y уравнение (1.1) получаем:

[left{ begin{array}{c}
X:F-T_1=m_1aleft(1.2right). \
m_1g=N_1left(1.3right). end{array}
right.]

Рассмотрим силы, действующие на второй груз, запишем второй закон Ньютона для этих сил:

[overline{F}+m_2overline{g}+{overline{N}}_2+{overline{T}}_2=m_2overline{a}left(1.4right).]

В проекциях на оси X и Y получаем систему уравнений:

[left{ begin{array}{c}
X:T_2=m_2aleft(1.5right). \
m_2g=N_2left(1.6right). end{array}
right.]

Так как нить считаем невесомой, то имеем:

[T_1=T_2=Tleft(1.7right).]

Из уравнения (1.5) выразим ускорение и подставим его в (1.2)получим величину силы натяжения нити:

[F-T=m_1frac{T}{m_2}to T=frac{Fm_2}{m_1+m_2}.]

Ответ. $T=frac{Fm_2}{m_1+m_2}$

Задание. К нерастяжимой нити подвешен массивный шарик. Шарик подняли так, что нить приняла горизонтальное положение, затем шарик отпустили. Какова сила натяжения нити в момент, когда шарик проходит положение равновесия? Какой угол составляет нить с вертикалью, если сила натяжения равна силе тяжести, действующая на шарик?

Решение. Сделаем рисунок.

1) Силы, действующие на шарик в момент прохождения положения равновесия (положение А на рис.2): сила тяжести и сила натяжения нити. Для них запишем второй закон Ньютона:

[moverline{g}+overline{N}=moverline{a}left(2.1right).]

Запишем проекцию выражения (2.1) на ось Y:

[N-mg=ma_nleft(2.2right),]

где шарик движется с центростремительным ускорением, равным:

[a_n=frac{v^2}{l}left(2.3right),]

$l$ — длина нити; $v$ — величина скорости движения шарика в точке А.

Скорость $v$ найдем из закона сохранения энергии (см. рис.2 $h=l$), который запишем для положений B (максимальная потенциальная энергия шара) и A (максимальная кинетическая энергия шара):

[mgl=mfrac{v^2}{2}to v^2=2gl left(2.4right).]

Выразим силу натяжения нити из (2.2), подставим найденное ускорение, учитывая (2.4):

[N=mg-mfrac{v^2}{l}=mg+mfrac{2gl}{l}=3mg.]

2)

Ось Y направим по нити, ось X перпендикулярно оси Y (рис.3).

Запишем проекцию уравнения (2.1) на новую ось Y:

[N-mg{cos alpha }=ma_{n }left(2.5right).]

Выразим силу натяжения нити:

[N=ma_{n }+mg{cos alpha }left(2.6right).]

Учитывая (2.3), получим:

[N=mfrac{v^2}{l}+mg{cos alpha }left(2.7right).]

Потенциальная энергия шарика в положении C равна $E_p=mgl{cos alpha }$, она переходит полностью в кинетическую энергию положения А ($E_k=mfrac{v^2}{2}$):

[mfrac{v^2}{2}=mgl{cos alpha }left(2.8right).]

Из (2.6) выразим $v^2$, имеем:

[v^2=2gl{cos alpha }left(2.9right).]

Подставим результат (2.9) в формулу (2.7), получили:

[N=mfrac{2gl{cos alpha }}{l}+mg{cos alpha } left(2.10right).]

Приравниваем по условию силу натяжения нити к силе тяжести, выражаем величину угла:

[mg=mfrac{2gl{cos alpha }}{l}+mg{cos alpha }to 1=3{cos alpha to alpha =arc{cos frac{1}{3} } }.]

Ответ. 1) $N=3mg$. 2) $alpha =arc{cos frac{1}{3} }$

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

1. 

   1

   Определите силы на каждом из концов нити. Сила натяжения данной нити, веревки является результатом сил, натягивающих веревку с каждого конца. Напоминаем, сила = масса × ускорение. Предполагая, что веревка натянута туго, любое изменение ускорения или массы объекта, подвешенного на веревке, приведет к изменению силы натяжения в самой веревке. Не забывайте о постоянном ускорении силы тяжести — даже если система находится в покое, ее составляющие являются объектами действия силы тяжести. Мы можем предположить, что сила натяжения данной веревки это T = (m × g) + (m × a), где «g» — это ускорение силы тяжести любого из объектов, поддерживаемых веревкой, и «а» — это любое другое ускорение, действующее на объекты.

   • Для решения множества физических задач, мы предполагаем идеальную веревку — другими словами, наша веревка тонкая, не обладает массой и не может растягиваться или рваться.
   • Для примера, давайте рассмотрим систему, в которой груз подвешен к деревянной балке с помощью одной веревки (смотрите на изображение). Ни сам груз, ни веревка не двигаются — система находится в покое. Вследствие этого, нам известно, чтобы груз находился в равновесии, сила натяжения должна быть равна силе тяжести. Другими словами, Сила натяжения (F_t) = Сила тяжести (F_g) = m × g.
     • Предположим, что груз имеет массу 10 кг, следовательно, сила натяжения равна 10 кг × 9,8 м/с² = 98 Ньютонов.

2. 

   2

   Учитывайте ускорение. Сила тяжести — не единственная сила, что может влиять на силу натяжения веревки — такое же действие производит любая сила, приложенная к объекту на веревке с ускорением. Если, к примеру, подвешенный на веревке или кабеле объект ускоряется под действием силы, то сила ускорения (масса × ускорение) добавляется к силе натяжения, образованной весом этого объекта.

   • Предположим, что в нашем примере на веревку подвешен груз 10 кг, и вместо того, чтобы быть прикрепленным к деревянной балке, его тянут вверх с ускорением 1 м/с². В этом случае, нам необходимо учесть ускорение груза, также как и ускорение силы тяжести, следующим образом:
     • F_t = F_g + m × a
     • F_t = 98 + 10 кг × 1 м/с²
     • F_t = 108 Ньютонов.

3. 

   3

   Учитывайте угловое ускорение. Объект на веревке, вращающийся вокруг точки, которая считается центром (как маятник), оказывает натяжение на веревку посредством центробежной силы. Центробежная сила — дополнительная сила натяжения, которую вызывает веревка, «толкая» ее внутрь так, чтобы груз продолжал двигаться по дуге, а не по прямой. Чем быстрее движется объект, тем больше центробежная сила. Центробежная сила (F_c) равна m × v²/r где «m»– это масса, «v» — это скорость, и «r» — радиус окружности, по которой движется груз.

   • Так как направление и значение центробежной силы меняются в зависимости от того, как объект движется и меняет свою скорость, то полное натяжение веревки всегда параллельно веревке в центральной точке. Запомните, что сила притяжения постоянно действует на объект и тянет его вниз. Так что, если объект раскачивается вертикально, полное натяжение сильнее всего в нижней точке дуги (для маятника это называется точкой равновесия), когда объект достигает максимальной скорости, и слабее всего в верхней точке дуги, когда объект замедляется.
   • Давайте предположим, что в нашем примере объект больше не ускоряется вверх, а раскачивается как маятник. Пусть наша веревка будет длиной 1,5 м, а наш груз движется со скоростью 2 м/с, при прохождении через нижнюю точку размаха. Если нам нужно рассчитать силу натяжения в нижней точке дуги, когда она наибольшая, то сначала надо выяснить равное ли давление силы тяжести испытывает груз в этой точке, как и при состоянии покоя — 98 Ньютонов. Чтобы найти дополнительную центробежную силу, нам необходимо решить следующее:
     • F_c = m × v²/r
     • F_c = 10 × 2²/1.5
     • F_c =10 × 2,67 = 26,7 Ньютонов.
     • Таким образом, полное натяжение будет 98 + 26,7 = 124,7 Ньютона.

4. 

   4

   Учтите, что сила натяжения благодаря силе тяжести меняется по мере прохождения груза по дуге. Как было отмечено выше, направление и величина центробежной силы меняются по мере того, как качается объект. В любом случае, хотя сила тяжести и остается постоянной, результирующая сила натяжения в результате тяжести тоже меняется. Когда качающийся объект находится не в нижней точке дуги (точке равновесия), сила тяжести тянет его вниз, но сила натяжения тянет его вверх под углом. По этой причине сила натяжения должна противодействовать части силы тяжести, а не всей ее полноте.

   • Разделение силы гравитации на два вектора сможет помочь вам визуально изобразить это состояние. В любой точке дуги вертикально раскачивающегося объекта, веревка составляет угол «θ» с линией, проходящей через точку равновесия и центр вращения. Как только маятник начинает раскачиваться, сила гравитации (m × g) разбивается на 2 вектора — mgsin(θ), действуя по касательной к дуге в направлении точки равновесия и mgcos(θ), действуя параллельно силе натяжения, но в противоположном направлении. Натяжение может только противостоять mgcos(θ) — силе, направленной против нее — не всей силе тяготения (исключая точку равновесия, где все силы одинаковы).
   • Давайте предположим, что, когда маятник отклоняется на угол 15 градусов от вертикали, он движется со скоростью 1,5 м/с. Мы найдем силу натяжения следующими действиями:
     • Отношение силы натяжения к силе тяготения (T_g) = 98cos(15) = 98(0,96) = 94,08 Ньютона
     • Центробежная сила (F_c) = 10 × 1,5²/1,5 = 10 × 1,5 = 15 Ньютонов
     • Полное натяжение = T_g + F_c = 94,08 + 15 = 109,08 Ньютонов.

5. 

   5

   Рассчитайте трение. Любой объект, который тянется веревкой и испытывает силу «торможения» от трения другого объекта (или жидкости), передает это воздействие натяжению в веревке. Сила трения между двумя объектами рассчитывается также, как и в любой другой ситуации — по следующему уравнению: Сила трения (обычно пишется как F_r) = (mu)N, где mu — это коэффициент силы трения между объектами и N — обычная сила взаимодействия между объектами, или та сила, с которой они давят друг на друга. Отметим, что трение покоя — это трение, которое возникает в результате попытки привести объект, находящийся в покое, в движение — отличается от трения движения — трения, возникающего в результате попытки заставить движущийся объект продолжать движение.

   • Давайте предположим, что наш груз в 10 кг больше не раскачивается, теперь его буксируют по горизонтальной плоскости с помощью веревки. Предположим, что коэффициент трения движения земли равен 0,5 и наш груз движется с постоянной скоростью, но нам нужно придать ему ускорение 1м/с². Эта проблема представляет два важных изменения — первое, нам больше не нужно рассчитывать силу натяжения по отношению к силе тяжести, так как наша веревка не удерживает груз на весу. Второе, нам придется рассчитать натяжение, обусловленное трением, также как и вызванное ускорением массы груза. Нам нужно решить следующее:
     • Обычная сила (N) = 10 кг & × 9,8 (ускорение силы тяжести) = 98 N
     • Сила трения движения (F_r) = 0,5 × 98 N = 49 Ньютонов
     • Сила ускорения (F_a) = 10 kg × 1 м/с² = 10 Ньютонов
     • Общее натяжение = F_r + F_a = 49 + 10 = 59 Ньютонов.

   Реклама

1. 

   1

   Поднимите вертикальные параллельные грузы с помощью блока. Блоки — это простые механизмы, состоящие из подвесного диска, что позволяет менять направление силы натяжения веревки. В простой конфигурации блока, веревка или кабель идет от подвешенного груза вверх к блоку, затем вниз к другому грузу, создавая тем самым два участка веревки или кабеля. В любом случае натяжение в каждом из участков будет одинаковым, даже если оба конца будут натягиваться силами разных величин. Для системы двух масс, подвешенных вертикально в блоке, сила натяжения равна 2g(m₁)(m₂)/(m₂+m₁), где «g» — ускорение силы тяжести, «m₁» — масса первого объекта, «m₂»– масса второго объекта.

   • Отметим следующее, физические задачи предполагают, что блоки идеальны — не имеют массы, трения, они не ломаются, не деформируются и не отделяются от веревки, которая их поддерживает.
   • Давайте предположим, что у нас есть два вертикально подвешенных на параллельных концах веревки груза. У одного груза масса 10 кг, а у второго — 5 кг. В этом случае, нам необходимо рассчитать следующее:
     • T = 2g(m₁)(m₂)/(m₂+m₁)
     • T = 2(9,8)(10)(5)/(5 + 10)
     • T = 19,6(50)/(15)
     • T = 980/15
     • T = 65,33 Ньютонов.
   • Отметим, что, так как один груз тяжелее, все остальные элементы равны, эта система начнет ускоряться, следовательно, груз 10 кг будет двигаться вниз, заставляя второй груз идти вверх.

2. 2

   Подвесьте грузы, используя блоки с не параллельными вертикальными нитями. Блоки зачастую используются для того, чтобы направлять силу натяжения в направлении, отличном от направления вниз или вверх. Если, к примеру, груз подвешен вертикально к одному концу веревки, а другой конец держит груз в диагональной плоскости, то непараллельная система блоков принимает форму треугольника с углами в точках с первых грузом, вторым и самим блоком. В этом случае натяжение в веревке зависит как от силы тяжести, так и от составляющей силы натяжения, которая параллельна к диагональной части веревки.

   • Давайте предположим, что у нас есть система с грузом в 10 кг (m₁), подвешенным вертикально, соединенный с грузом в 5 кг(m₂), расположенным на наклонной плоскости в 60 градусов (считается, что этот уклон не дает трения). Чтобы найти натяжение в веревке, самым легким путем будет сначала составить уравнения для сил, ускоряющих грузы. Далее действуем так:
     • Подвешенный груз тяжелее, здесь нет трения, так что мы знаем, что он ускоряется вниз. Натяжение в веревке тянет вверх, так что он ускоряется по отношению к равнодействующей силе F = m₁(g) — T, или 10(9,8) — T = 98 — T.
     • Мы знаем, что груз на наклонной плоскости ускоряется вверх. Так как она не имеет трения, мы знаем, что натяжение тянет груз вверх по плоскости, а вниз его тянет только свой собственный вес. Составляющая силы, тянущей вниз по наклонной, вычисляется как mgsin(θ), так что в нашем случае мы можем заключить, что он ускоряется по отношению к равнодействующей силе F = T — m₂(g)sin(60) = T — 5(9,8)(0,87) = T — 42,14.
     • Если мы приравняем эти два уравнения, то получится 98 — T = T — 42,14. Находим Т и получаем 2T = 140,14, или T = 70,07 Ньютонов.

3. 

   3

   Используйте несколько нитей, чтобы подвесить объект. В заключение, давайте представим, что объект подвешен на «Y-образной» системе веревок — две веревки закреплены на потолке и встречаются в центральной точке, из которой идет третья веревка с грузом. Сила натяжения третьей веревки очевидна — простое натяжение в результате действия силы тяжести или m(g). Натяжения на двух остальных веревках различаются и должны составлять в сумме силу, равную силе тяжести вверх в вертикальном положении и равны нулю в обоих горизонтальных направлениях, если предположить, что система находится в состоянии покоя. Натяжение в веревке зависит от массы подвешенных грузов и от угла, на который отклоняется от потолка каждая из веревок.

   • Давайте предположим, что в нашей Y-образной системе нижний груз имеет массу 10 кг и подвешен на двух веревках, угол одной из которых составляет с потолком 30 градусов, а угол второй — 60 градусов. Если нам нужно найти натяжение в каждой из веревок, нам понадобится рассчитать горизонтальную и вертикальную составляющие натяжения. Чтобы найти T₁ (натяжение в той веревке, наклон которой 30 градусов) и T₂ (натяжение в той веревке, наклон которой 60 градусов), нужно решить:
     • Согласно законам тригонометрии, отношение между T = m(g) и T₁ и T₂ равно косинусу угла между каждой из веревок и потолком. Для T₁, cos(30) = 0,87, как для T₂, cos(60) = 0,5
     • Умножьте натяжение в нижней веревке (T=mg) на косинус каждого угла, чтобы найти T₁ и T₂.
     • T₁ = 0,87 × m(g) = 0,87 × 10(9,8) = 85,26 Ньютонов.
     • T₂ =0,5 × m(g) = 0,5 × 10(9,8) = 49 Ньютонов.

   Реклама