Как найти натяжение нити перекинутой через блок

Блоки, нити, грузы и перегрузки

Задача 1.  К телу массой кг подвешено на веревке тело массой кг. Масса веревки кг. Вся система движется ускоренно вверх под действием силы Н, приложенной к верхнему телу (рис.1). Найти натяжение веревки в ее центре и в точках крепления тел и .

Представим всю систему единым телом массой . Будем действовать на эту систему с силой . Тогда по второму закону Ньютона

Откуда найдем ускорение системы:

Теперь вернемся к первому рисунку и запишем уравнения по второму закону Ньютона для верхнего  и нижнего грузов:

Откуда

Очевидно, что посередине веревки сила ее натяжения будет средним арифметическим найденных двух сил:

Ответ: Н, Н, Н.

Задача 2. Маляр массой кг работает в подвесном кресле. Ему понадобилось срочно подняться вверх. Он начинает тянуть веревку с такой силой, что сила давления на кресло уменьшается до Н. Масса кресла кг. Чему равно ускорение маляра? Чему равна нагрузка на блок?

Расставим силы. Отметим все силы, действующие не маляра, и силы, действующие на люльку:

Теперь можно написать уравнения:

Вычитаем уравнения:

Ответ: м/с.

Задача 3.

Через легкий неподвижный блок перекинута невесомая нерастяжимая нить с двумя грузами на концах, массы которых и , . Система приходит в движение, причем нить не проскальзывает относительно блока. Определить ускорение грузов, силу натяжения нити и силу давления на ось блока.

Понятно, что больший груз перетянет и начнет двигаться вниз, а меньший – подниматься. Запишем для них уравнение по второму закону:

Сложим уравнения:

Откуда

Теперь можно найти и силу натяжения нити:

Сила давления на блок равна :

Ответ: , ,
.

Задача 4.

Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами . Одновременно на каждый из грузов кладут по перегрузку: справа  массой , слева (рис. 2). Определить ускорение системы, силу натяжения нити и силу давления перегрузков на основные грузы.

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для обоих грузов с учетом массы перегрузков:

Сложение уравнений даст нам

Сила натяжения нити найдется подстановкой найденного ускорения в любое уравнение системы:

Определим силу давления меньшего перегрузка массой на груз :

Для большего перегрузка

Ответ: , , , .

Задача 5.

Через неподвижный блок перекинута нить, к которой подвешены три одинаковых груза массой кг каждый (рис. 3). Найти ускорение системы и силу натяжения нити между грузами 1 и 2. Какой путь пройдут грузы за первые с движения? Трением пренебречь.

Сначала мысленно объединим два груза слева в один и запишем уравнение по второму закону:

Для правого грузика

Складываем уравнения:

Определим силу натяжения нити между грузиками. Обозначим ее . Тогда для самого нижнего грузика слева:

Определяем путь грузиков за 4 с:

Ответ: м/с, Н, м.

Задача 6.

Определить ускорение грузов и силы натяжения всех нитей в системе, изображенной на рисунке. Масса каждого груза , массой блока пренебречь.

Сначала определяем ускорение. Для этого записываем уравнение по второму закону для грузиков справа и слева, пока не вспоминая о том, что их там несколько. Для нас сейчас это  груз массой  справа и слева. Силу натяжения основной нити обозначим :

Складываем уравнения:

Тогда

Рассмотрим теперь грузы, висящие справа. Обозначим натяжение нити между ними . Для нижнего груза справа

Осталось определить и . Для верхнего грузика слева

Откуда

А для нижнего грузика слева

Ответ: , , , , .

Задача 7.

Два груза массами г и г соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис.). Грузы прижимаются друг к другу с постоянными силами Н. Коэффициент трения между ними . Найти ускорение, с которым движутся грузы.

Записываем уравнение по второму закону:

Тогда

Ответ: .

Задача 8.

Невесомая нить, перекинутая через неподвижный блок, пропущена через щель (рис.). При движении нити на нее действует постоянная сила трения . На концах нити подвешены грузы, массы которых и . Определить ускорение грузов.

Давайте предположим, что . Тогда левый груз начинает движение вверх, правый – вниз. Записываем для них уравнение  по второму закону с учетом наличия силы трения:

Складывая уравнения, имеем:

Откуда

Но, если бы , тогда

Тогда, чтобы учесть обе возможности, запишем ответ так:

Ответ: .

Задача 9.

Через невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить, к одному концу которой привязан груз массой г, а по другому
скользит кольцо массой г (рис.). С каким ускорением движется кольцо, если груз  неподвижен?

Сила трения кольца в данном случае и порождает силу натяжения нити, то есть это одна и та же сила. Поэтому для неподвижного груза

А для кольца

Ответ: 6 м/с.

4 комментария

Рассмотрим широко известную задачу (см. [1]-[5]), условие которой сформулируем следующим образом.

Однородная гладкая веревка массой m и длиной L переброшена через блок. В начальный момент веревка висит симметрично и покоится, а затем в результате незначительного толчка начинает двигаться по блоку. Какова скорость υ конца веревки в тот момент, когда с одной стороны блока свешивается большая часть веревки длиной x? Чему равно ускорение a конца веревки в этот момент? С какой силой F веревка давит на блок в этот момент? Чему равны силы натяжения веревки T_t и T₂ в точках 1 и 2 (рис. 1)? Массой блока пренебречь, радиус блока считать малым, веревка нерастяжима.

Рис. 1

Приступая к решению задачи, допустим, что веревка натянута в каждом своем сечении, что важно для дальнейших рассуждений. В частности, в этом случае модули линейных скоростей всех элементов веревки равны, что позволяет легко вычислять кинетическую энергию веревки. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне оси блока. Тогда в начальный момент потенциальная энергия веревки

так как центр масс ниже нулевого уровня на L/4. В момент, когда с одной стороны свешивается часть веревки длиной xи массой  (ее центр масс ниже оси блока на x/2), а с другой — часть веревки длиной  и массой  (ее центр масс ниже оси блока на , потенциальная энергия всей веревки

Тогда из закона сохранения механической энергии  легко найти скорость конца веревки υ:

                                             (1)

Перейдем к нахождению ускорения конца веревки. Поскольку зависимость для скорости известна, оптимальным способом будет нахождение ускорения в соответствии с определением

Из соотношения (1) найдем

и, учитывая, что по определению

окончательно имеем:

                                              (2)

Для определения сил натяжения веревки в точках 1 и 2 в литературе [4] (задача 8.20), [6] для левого и правого концов веревки составляется система уравнений, аналогичная стандартной системе уравнений для движения грузов массами m₁и m₂,связанных невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок (рис. 2):

                                               (*)

Рис. 2

Из этой системы следует, что

                                        (3)

                                           (4)

Кстати, формула ускорения, получаемая из системы (*), имеет вид (2).) Однако, если по формуле (4) найти ответ к задаче 2.4.13 из [5] (при ), то получим , хотя в книге ответ другой: . В чем же дело? И какой ответ правильный? Оказывается, второй, а значит, формулы (3) и (4) неверны. В [6] сделана попытка объяснить это различие тем, что «небольшой блок может сыграть дурную шутку: ведь часть веревки, которая находится на блоке, обладает центростремительным ускорением и таким образом «съедает» часть силы давления». Далее находится эта часть . Такой подход представляется формальным и недостаточно обоснованным, ибо не позволяет выявить истинную причину правильности второго ответа. К тому же формула (3) остается даже при таком подходе, а она неверна, что мы и покажем ниже.

Попробуем корректно найти силы, о которых идет речь в задаче. Главный источник ошибки при выводе формул (3) и (4) — игнорирование того факта, что второй закон Ньютона в форме

применим только к простейшей модели — материальной точке (или поступательно движущемуся абсолютно твердому телу). Веревка же в описанной ситуации ею не является, она даже поступательно не движется. Более того, в отличие от аналогичной ситуации с грузами на невесомой веревке, массы левого и правого концов веревки все время изменяются. В этой ситуации необходимо применять закон изменения импульса системы точек в форме

                                               (5)

где  — изменение суммарного импульса системы точек за время Δt, а  — векторная сумма внешних сил, действующих на тела системы.

Рассмотрим два возможных варианта дальнейшего решения задачи. Поскольку блок мал, массой части веревки, прилегающей к блоку, пренебрегаем.

Решение 1. Формулу (5) будем применять для правого и левого концов веревки отдельно, что очень удобно с точки зрения равенства скоростей  и ускорений  всех точек данного конца веревки. Так как изменяется и масса m₁ свисающего конца веревки, и его скорость, то

Учитывая определение ускорения и то, что

(знак «+» — при увеличении массы, знак «–» — приуменьшении массы), перепишем (5) в виде

                                               (6)

Тогда для левого конца веревки (сила T₁ являетсядля него внешней) (см. рис. 2)

                                    (7)

откуда с учетом (1) и (2)

Аналогично для правого конца веревки

откуда с учетом (1) и (2)

                                                  (8)

Таким образом, . (Сравните формулы (3) и (8).) Значит, веревка давит на блок с силой

                                  (9)

При  получаем ,

при  —  (см. выше).

Решение 2. Формулу (5) применяем для всей веревки (рис. 3):

                                       (10)

Рис. 3

Пусть за время Δt левый конец веревки сместился на Δx, а скорость его увеличилась на Δυ. Тогда с учетом направления движения концов веревки запишем проекции начального импульса

и конечного импульса всей веревки

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, содержащим произведение , для проекции изменения импульса имеем:

Учитывая определения скорости и ускорения и формулу (10), получим

откуда

Так как по третьему закону Ньютона , то, учитывая (1) и (2), окончательно имеем:

что совпадает с (9).

Проанализируем формулы (8) и (9). Решив квадратное уравнение

получим, что при длине левого конца веревки

веревка перестанет действовать на блок. Очевидно, что

Таким образом, формулы (1), (2), (7)-(9) перестают быть справедливыми при . Значит, веревка перестанет действовать на блок раньше, чем вся она соскользнет с блока и станет невесомой. При длине веревки 1 м длина короткого конца веревки в этот момент составит весьма заметную величину порядка 14 см. В этот момент модель, принятая нами, перестанет действовать. Натяжение веревки в точках 1 и 2 исчезает. Точно описать поведение всей веревки в дальнейшем мы не можем. Для этого необходимо знать силы натяжения веревки в ее различных сечениях. (Можно провести наблюдение за скольжением металлической цепочки с мелкими звеньями по стеклянной палочке и направлением падения ее верхнего конца.) Правомерно ли в таком случае требовать нахождения скорости веревки (как единого целого) в тот момент, когда она сойдет с блока (подразумевается прохождение конца вертикально расположенной веревки через точку 1),если мы не уверены в том, что все точки веревки двигаются с одинаковой линейной скоростью? А ведь именно так стоит вопрос к этой задаче в большинстве сборников задач ([1]-[3]).

И последнее. Почему выражение, получаемое для ускорения из заведомо ложной системы уравнений (*), получается правильным? Очевидно, это происходит потому, что при сложении выражений, предшествующих (7) и (8), слагаемые компенсируют друг друга (поскольку они имеют противоположные знаки). При этом получается точно такое же уравнение, как и при сложении уравнений системы (*).

1. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения. — М.: Мир, 1967.

2. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. — М.: Высш. шк., 1975.

3. Сборник задач по физике / Под ред. С.М.Козела. — М.: Наука, 1990.

4. Гельфгат И.М., Генденштейн Л.Э., Кирик Л.А. 1001 задача по физике с ответами, указаниями, решениями. — М.: Илекса, 2001.

5. Задачи по физике / Под ред. О.Я.Савченко. — М.: Наука, 1988.

6. Корсунский Б. Внимание: ловушка! // Квант. — 1992. — № 7.

Как найти силу натяжения нити

Часто в задачах по механике приходится иметь дело с блоками и грузами, подвешенных на нитях. Груз натягивает нить, под его действием на нить действует сила натяжения. Точно такая же по модулю, но противоположная по направлению сила действует со стороны нити на груз согласно третьему закону Ньютона.

Вам понадобится

• машина Атвуда, грузики

Инструкция

Для начала нужно рассмотреть простейший случай, когда груз, подвешенный на нити покоится. На груз в вертикальном направлении вниз действует сила тяжести Fтяж = mg, где m — масса груза, а g — ускорение свободного падения (на Земле ~9,8 м/(с^2). Так как груз неподвижен, а кроме силы тяжести и силы натяжения нити другие силы на него не действуют, то согласно второму закону Ньютона T = Fтяж = mg, где T — сила натяжения нити. Если груз при этом движется равномерно, то есть без ускорения, то T также равно mg согласно первому закону Ньютона.

Пусть теперь груз с массой m движется вниз с ускорением a. Тогда по второму закону Ньютона Fтяж-T = mg-T = ma. Таким образом, T = mg-a.

Эти два простейших случая, приведенных выше, и нужно использовать в более сложных задах для определения силы натяжения нити.

В задачах по механике обычно делается важное допущение, что нить нерастяжима и невесома. Это означает, что массой нити можно пренебречь, а сила натяжения нити одинакова по всей длине.

Простейший случай такой задачи — анализ движения грузов на машине Атвуда. Эта машина представляет из себя закрепленный блок, через который перекинута нить, к которой подвешены два груза массами m1 и m2. Если массы грузов различны, то система приходит в поступательное движение.

Уравнения для левого и правого тел на машине Атвуда будут записываться в виде: -m1*a1 = -m1*g+T1 и m2*a2 = -m2*g+T2. Учитывая свойства нити, T1 = T2. Выразив силу натяжения нити T из двух уравнений, вы получите: T = (2*m1*m2*g)/(m1+m2).

Источники:

• натяжение нити

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?