Как найти неизвестное число в ряду

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: (2; 4; 6; 8; 10…) А правило «первое число равно (3), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: (3; 6; 12; 24; 48….)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Например, в последовательности (3; 6; 12; 24; 48…) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

То есть, если последовательность (3; 6; 12; 24; 48…) обозначить как (a_n), то можно записать, что (a_1=3), (a_2=6), (a_3=12), (a_4=24) и так далее.

Иными словами, для последовательности (a_n={ 3;: 6; :12; : 24; : 48; : 96; : 192; : 384…}).

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: (1; : 1; : 1; : 1…) .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

— I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

— II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Четвертый ((n=3)):     (c_{3+1}=c_3+3)
                                         (c_4=c_3+3=10+3=13).

Пятый ((n=4)):   (c_{4+1}=c_4+3)
                              (c_5=c_4+3=13+3=16).

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула (c_{n+1}=c_n+3) требовала именно этого. В ней (c_n) – это предыдущий элемент, а (c_{n+1}) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента (z_1=2;)   (z_2=5). Так же известна формула следующего элемента (z_{n+2}=3z_{n+1}-z_n). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Ответ: (c_3=13); (c_4=34); (c_5=89).

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности (a_n=n^2-n):

а) (1)               б) (3)               в) (6)              г) (10) ?

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

(a_1=1^2-1=0) – мимо.

(a_2=2^2-2=2) – тоже не то.

(a_3=3^2-3=6) – есть!

Нужный элемент найден.

Ответ: (6).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

1. Подставляют заданное число в формулу (n) -го члена вместо (a_n); 

2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное (n); 

3. Если (n) – натуральное, то данное число — член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число (3) членом последовательности (a_n=)(frac{51+2n}{n+4}) ?

Решение:

Ответ: Да, число (3) является элементом данной последовательности.

Смотри также:
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

В курсе высшей математики в теме «Ряды» возникает задача о нахождении общего члена ряда или задача о последующих членах ряда, если задано несколько первых членов. Задача не простая. Особенно, если последовательность хитрая. Решить такую задачу бывает не просто. Вот почему, такие же задачки иногда предлагают в тестах на сообразительность или при проверке коэффициента IQ. Теперь вы сможете и задачи по вышке решать легко и интеллект показать при прохождении тестов. Для этого вам просто надо воспользоваться нашим решателем. Сделать это очень просто. Вводите через запятую известные члены последовательности и добавляете в конце три точки, а затем нажимаете кнопку «решить» и получаете результат, если закономерность существует. В качестве ответа вы получите формулу общего члена ряда и продолжение вашей последовательности. Примеры последовательностей приведены ниже.

1, 4, 9, 16, 25, ...

1, -1, 1, -1, 1, ...

5, 14, 23, 32, 41, ...

А вот пример посерьезнее:

1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ...

Или вот такая последовательность — любителям математики:

118, 199, 226, 235, ...

И на закуску, совсем жесткая последовательность:

3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, ...

Наш решатель справляется даже с такой головоломкой.

Правда, с некоторыми головоломками решатель может и не справиться… Пишите в комментариях решенные вами головоломки или те, которые не удалось решить…

Похожие публикации

2015-11-27 • Просмотров [ 30216 ]

Числа в многоугольнике — один из вариантов оформления заданий из тестов iq. Чтобы найти, какое число следующее в последовательности чисел, заключенных в многоугольник, нужно определить связывающую их закономерность.

Рассмотрим примеры, в которых требуется найти числа в многоугольнике.

1) Закономерности, связывающие числа в многоугольнике, могут быть самыми разными. Например, это может быть связь последовательно идущих чисел по часовой стрелке или против часовой стрелки,  а также чисел, стоящих через одно или два числа, чисел, стоящих напротив друг друга и т.д. Поскольку в данном задании нужно найти всего одно число, можно предположить, что все числа связаны одной закономерностью, а не несколькими. Попробуйте определить, как связаны числа в данном 6-угольнике, и найти, какое число следующее. (Ответ и объяснения скрыты под спойлером).

Показать решение

2) Еще одно задание на многоугольник с числами.

Показать решение

3)Показать решение

4)Показать решение

5)Показать решение

6)Показать решение

7)Показать решение

Как видите,  в таких заданиях закономерность, которой связаны числа в многоугольнике, может быть различна. Самый быстрый и эффективный способ научиться решать тестовые задачи — придумывать аналогичные задания самостоятельно. Составляя задачи, подчиненные самым разным закономерностям, вы будете готовы видеть такого рода закономерности и тестах.

Если ваша задача — развитие способностей ребенка, то сначала рассмотрите с ним готовые примеры, обсудите возможные варианты их решения. После этого предложите ему придумать задачи на связь  чисел в многоугольнике самому.

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = frac{A}{2n+1} + frac{B}{2n+3} = frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \ n^1: &3A+B=1 end{cases}Rightarrow begin{cases} A=frac{1}{2} \ B=-frac{1}{2} end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2} frac{1}{2n+1} — frac{1}{2} frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$

$$ a_1 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) $$

$$ a_2 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) $$

$$ a_3 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) $$

$$ …………………………………. $$

$$ a_{n-1}=frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) $$

$$ a_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Итого, получаем:

$$ S_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) + … $$

$$ … + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9} … + $$

$$ + … frac{1}{2n-1} — frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+1} — frac{1}{2n+3} bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=lim_{ntoinfty} S_n = lim_{ntoinfty} frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

$$ = frac{1}{2} lim_{ntoinfty} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = frac{1}{2} cdot frac{1}{3} = frac{1}{6} $$