Как найти неизвестную площадь или сторону прямоугольника

• Предыдущее
• Следующее

1. Объясни по рисункам смысл равенств. Что ты замечаешь?

Решение

Если взять по два три раза или по три два раза, то получим одно и то же произведение 6. Если произведение разделим на один  из множителей, то получим другой множитель.

2. Объясни по рисунку смысл равенств.

Что означают первые два равенства? Третье и четвертое равенства? Что тебе напоминают эти 4 равенства?

Решение

Первые два равенства означают, если  нужно  вычислить  произведение  чисел 3 и 4, то от перемены их местами все равно получится 12. Если произведение 12 разделить на один из множителей 3 или 4, то получим другой множитель 4 или 3. Эти равенства напоминают таблицу умножения и деления.

3. Пользуясь таблицей умножения, составь 4 равенства из чисел:

а) 3, 6 и 18;    б) 8, 3 и 24;     в) 3, 7 и 21.

Решение

4. Объясни по рисунку смысл равенств, где  а и  b  — длина и ширина прямоугольника, а S  — его площадь.

Что ты замечаешь? Сделай вывод.

Решение

Первые
два равенства показывают, как найти площадь прямоугольника, которая равна
произведению его  сторон а и b или b и а.
Если площадь разделить на одну из сторон прямоугольника, то получится  его другая сторона.

Зная площадь прямоугольника и длину одной из сторон, можно найти длину другой стороны.

5. Найди длину неизвестной стороны прямоугольника:

Решение

а)
Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, надо площадь разделить на
известную сторону.

8
: 2 = 4 (см)

б)
Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, надо площадь разделить на
известную сторону.

10
: 5 = 2 (дм)

в)
Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, надо площадь разделить на
известную сторону.

18 : 2 = 9 (м)

6. Площадь прямоугольника 14 см², а длина  — 7 см. Найди ширину  и периметр прямоугольника.

Решение

1)
14 : 7 = 2 (см) – ширина прямоугольника.

2)
(7 + 2) ∙ 2 = 18 (см) — периметр прямоугольника.

Ответ: 2 см, 18 см.

7. а) Длина прямоугольника 6 см. Это на 4 см больше, чем ширина.  Построй этот прямоугольник, найди его периметр и площадь.

б) Составь все возможные равенства из чисел, выражающих длины сторон и площадь построенного прямоугольника.

Решение

а)   1) 6 – 4 = 2 (см)
– ширина прямоугольника.

      2) (6 + 2) ∙ 2 = 16 (см) — периметр
прямоугольника.

      3) 6 ∙ 2 = 12 (см²) – площадь  прямоугольника.

8. Какие уравнения не имеют решений, а в каких решением является любое число?

х  ∙ 1 = х                   0 ∙ х = 2              х : 1 = х             х : 0 = 0         

Решение

х  ∙ 1 = х  
Решением уравнения является любое число, так как при умножении любого
числа на 1 получается то же самое число.

0
∙ х = 2   У этого  уравнения нет решений, так как при умножении
нуля на любое  число получается нуль

х
: 1 = х  Решением уравнения является
любое число, так как при делении любого числа на 1 получается то же самое
число.

х : 0 = 0  У этого 
уравнения нет решений, так как нуль делить нельзя.

9. Составь программу действий и вычисли:

Решение

10. Составь слова и  исключи  лишнее слово:

УДБ     НЁКЛ       АНИБЯР     ФАШК       АИСОН

Решение

ДУБ   КЛЁН   
РЯБИНА    ШКАФ   ОСИНА

Лишнее слово – ШКАФ, так как это мебель, а все остальные слова – названия деревьев.

Назад к содержанию

Зная в прямоугольнике площадь и сторону можно найти вторую сторону, и затем все остальные параметры по порядку. Вторая сторона прямоугольника будет равна отношению площади к известной стороне.
b=S/a

Для того чтобы найти периметр прямоугольника через площадь и сторону, необходимо подставить в формулу вместо второй стороны полученное отношение
P=2(a+b)=2(a+S/a)

Диагональ прямоугольника можно найти через теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, который она образует. Обе диагонали прямоугольника принимают одно и то же значение. Выразив b через площадь и известную сторону, получим следующее выражение. (рис. 56.1)
d_1=d_2=√(a^2+b^2 )=√(a^2+(S/a)^2 )=√(a^2+S^2/a^2 )

Используя тригонометрические отношения в полученном треугольнике можно найти углы при пересечении диагоналей со сторонами. Для этого проще всего будет использовать тангенс, как отношение катетов друг к другу. Точно также, как и в предыдущих формулах, заменяем неизвестную сторону на равное ей выражение.
α=arc tan⁡〖b/a〗=arc tan⁡〖S/a^2 〗
β=arc tan⁡〖a/b=arc tan⁡〖a^2/S〗 〗

Угол, образованный при пересечении диагоналей, и дополнительный ему до 180° зависят только от углов при диагонали и стороне, и равны удвоенному их значению. (рис. 56.2)
γ=2α
δ=2β

Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен половине диагонали, так как лежит на ней и исходит из точки пересечения диагоналей. (рис. 56.3)
R=d/2=√(a^2+S^2/a^2 )/2

Площадь прямоугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь прямоугольника. Для нахождения площади прямоугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь прямоугольника. Определение

Определение 1. Площадь прямоугольника − это величина той части плоскости, которую занимает прямоугольник.

Площадь прямоугольника. Доказательство

Теорема 1. Площадь S прямоугольника со смежными сторонами a и b равна произведению этих сторон :.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S (Рис.1). Докажем, что .

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b (Рис.2). Площадь этого квадрата равна (a+b)·(a+b) (см. статью Площадь квадрата онлайн).

С другой стороны, данный квадрат состоит из двух квадратов со сторонами со сторонами a и b и площадями a² и b², соответственно и из двух прямоугольников с площадями S. Поэтому сумма площадей этих двух квадратов и двух прямоугольников равна площади квадрата со стороной a+b:

Упрощая полученное равенство, получим: .

Площадь прямоугольника через стороны

Из вышеизложенной теоремы следует, что площадь прямоугольника через его смежные стороны вычисляется из формулы:

Пример 1. Стороны прямоугольника равны и . Найти площадь прямоугольника.

Решение. Для нахождения площади прямоугольника воспользуемся формулой (1). Подставим , в (1):

Ответ:

Площадь прямоугольника через сторону и диагональ

Пример 2. Известна сторона прямоугольника и диагональ (Рис.3). Найти площадь прямоугольника.

Решение. Найдем сначала неизвестную сторону прямоугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Площадь прямоугольника вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления площади прямоугольника через диагональ и сторону:

Подставим , в (3):

Ответ:

Площадь прямоугольника через периметр и сторону

Пример 3. Известны сторона прямоугольника и периметр (Рис.4). Найти площадь прямоугольника.

Решение. Найдем сначала неизвестную сторону прямоугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Площадь прямоугольника вычисляется из формулы (1). Подставляя (4) в (1), получим формулу вычисления площади прямоугольника через периметр и сторону:

Подставим , в (5):

Ответ:

Площадь прямоугольника через диагональ и периметр

Пример 4. Известны диагональ прямоугольника и периметр (Рис.5). Найти площадь прямоугольника.

Решение. Найдем сначала стороны прямоугольника. Запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Упростив (9), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( a ):

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Подставляя значения и в (11), получим:

Поскольку дискриминант неотрицательное число, то такой прямоугольник существует.

Стороны прямоугольника вычисляются из формул:

Почему ( small b ), как и ( small a ) получается неотрицательным, посмотрите «примечание» на странице Прямоугольник. Онлайн калькулятор.

Площадь прямоугольника по двум сторонам равна:

Подставляя (12) в (13), получим:

Далее, из (11) и (14) следует:

Подставляя , в (15), получим:

Ответ:

Смотрите также:

• Прямоугольник. Онлайн калькулятор

• Прямоугольник  — это четырехугольник у которого противоположные стороны равны и параллельны AB = CD и  BC = DA. 
• Стороны прямоугольника являются его высотами.
• Между прилегающими сторонами угол всегда 90°.

Как найти длину стороны прямоугольника?

Сторона прямоугольника может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.

	a = √d2 ― b2
	a = d·cos(α)
	a = d·sin(α)
	a = S b
	a = P — 2b 2
	a = d·sin(0.5·α)