Как найти неизвестные члены в матрице

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.   

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A^-1 · B, где A^-1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A^-1 — матрицу, обратную к матрице A:  A^-1 (AX) = A^-1 B

Так как A^-1A = E, получаем X = A^-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они  понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Теперь найдём союзную матрицу и транспонируем  её, потом подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Найдем неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу  и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Если у Вас есть вопросы или Вам нужна помощь в решении линейных уравнений или систем, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.  

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Система
линейных алгебраических уравнений.
Основные термины. Матричная форма
записи.

Определение
системы линейных алгебраических
уравнений. Решение системы. Классификация
систем.

Под системой
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
подразумевают систему

содержащую m уравнений
и n неизвестных
(x1,x2,…,xn).
Прилагательное «линейных» означает,
что все неизвестные (их еще называют
переменными) входят только в первой
степени.

Параметры aij 
называют коэффициентами,
а bi – свободными
членами СЛАУ.
Иногда, чтобы подчеркнуть количество
уравнений и неизвестных, говорят так
«m×n система
линейных уравнений», – тем самым
указывая, что СЛАУ содержит m уравнений
и n неизвестных.

Если
все свободные члены bi=0 то
СЛАУ называют однородной.
Если среди свободных членов есть хотя
бы один, отличный от нуля, СЛАУ
называют неоднородной.

Решением
СЛАУ (1)
называют всякую упорядоченную совокупность
чисел (α1,α2,…,αn),
если элементы этой совокупности,
подставленные в заданном порядке вместо
неизвестных x1,x2,…,xn,
обращают каждое уравнение СЛАУ в
тождество.

Любая
однородная СЛАУ имеет хотя бы одно
решение: нулевое (в
иной терминологии – тривиальное),
т.е. x1=x2=…=xn=0.

Если
СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее
называют совместной,
если же решений нет – несовместной.
Если совместная СЛАУ имеет ровно одно
решение, её именуют определённой,
если бесконечное множество решений
– неопределённой.

Матричная
форма записи систем линейных алгебраических
уравнений.

С
каждой СЛАУ можно связать несколько
матриц; более того – саму СЛАУ можно
записать в виде матричного уравнения.
Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица A называется матрицей
системы.
Элементы данной матрицы представляют
собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица A˜ называется расширенной
матрицей системы.
Её получают добавлением к матрице
системы столбца, содержащего свободные
члены b1,b2,…,bm.
Обычно этот столбец отделяют вертикальной
чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец B называется матрицей
свободных членов,
а матрица-столбец X – матрицей
неизвестных.

Используя
введённые выше обозначения, СЛАУ (1)
можно записать в форме матричного
уравнения: A⋅X=B.

Примечание

Матрицы,
связанные с системой, можно записать
различными способами: всё зависит от
порядка следования переменных и уравнений
рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае
порядок следования неизвестных в каждом
уравнении заданной СЛАУ должен быть
одинаков 

Теорема
Кронекера-Капелли. Исследование систем
линейных уравнений на совместность.

Теорема
Кронекера-Капелли

Система
линейных алгебраических уравнений
совместна тогда и только тогда, когда
ранг матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы системы,
т.е. rangA=rangA˜.

Система
называется совместной, если она имеет
хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли
говорит вот о чём: если rangA=rangA˜,
то решение есть; если rangA≠rangA˜,
то данная СЛАУ не имеет решений
(несовместна). Ответ на вопрос о количестве
этих решений даёт следствие из теоремы
Кронекера-Капелли. В формулировке
следствия использована буква n,
которая равна количеству переменных
заданной СЛАУ.

Следствие
из теоремы Кронекера-Капелли

1. Если rangA≠rangA˜,
   то СЛАУ несовместна (не имеет решений).

2. Если rangA=rangA˜<n,
   то СЛАУ является неопределённой (имеет
   бесконечное количество решений).

3. Если rangA=rangA˜=n,
   то СЛАУ является определённой (имеет
   ровно одно решение).

Заметьте,
что сформулированная теорема и следствие
из неё не указывают, как найти решение
СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить,
существуют эти решения нет, а если
существуют – то сколько.

Методы
решения СЛАУ

1. Метод
   Крамера

Метод
Крамера предназначен для решения
тех систем
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),
у которых определитель матрицы
системы отличен
от нуля. Естественно, при этом
подразумевается, что матрица системы
квадратна (понятие определителя
существует только для квадратных
матриц). Суть метода Крамера можно
выразить в трёх пунктах:

1. Составить
   определитель матрицы системы (его
   называют также определителем системы),
   и убедиться, что он не равен нулю,
   т.е. Δ≠0.

2. Для
   каждой переменной xi
   необходимо
   составить определитель Δ
   X_i,
   полученный из определителя Δ
   заменой
   i-го столбца столбцом свободных членов
   заданной СЛАУ.

3. Найти
   значения неизвестных по формуле xi=
   Δ
   X_i
   /Δ 

Решение
систем линейных алгебраических уравнений
с помощью обратной матрицы.

Решение систем
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
с помощью обратной
матрицы (иногда
этот способ именуют ещё матричным
методом или методом обратной матрицы)
требует предварительного ознакомления
с таким понятием как матричная
форма записи СЛАУ.
Метод обратной матрицы предназначен
для решения тех систем линейных
алгебраических уравнений, у которых
определитель матрицы
системы отличен
от нуля. Естественно, при этом
подразумевается, что матрица системы
квадратна (понятие определителя
существует только для квадратных
матриц). Суть метода обратной матрицы
можно выразить в трёх пунктах:

1. Записать
   три матрицы: матрицу системы A,
   матрицу неизвестных X,
   матрицу свободных членов B.

2. Найти обратную
   матрицу A^-1.

3. Используя
   равенство X=A^-1⋅B получить
   решение заданной СЛАУ.

Метод
Гаусса. Примеры решения систем линейных
алгебраических уравнений методом
Гаусса.

Метод
Гаусса является одним из самых наглядных
и простых способов решения систем
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
как однородных, так и неоднородных.
Коротко говоря, суть данного метода
состоит в последовательном исключении
неизвестных.

Преобразования,
допустимые в методе Гаусса:

1. Смена
   мест двух строк;

2. Умножение
   всех элементов строки на некоторое
   число, не равное нулю.

3. Прибавление
   к элементам одной строки соответствующих
   элементов другой строки, умноженных
   на любой множитель.

4. Вычеркивание
   строки, все элементы которой равны
   нулю.

5. Вычеркивание
   повторяющихся строк.

Насчет
последних двух пунктов: повторяющиеся
строки можно вычёркивать на любом этапе
решения методом Гаусса, – естественно,
оставляя при этом одну из них. Например,
если строки №2, №5, №6 повторяются, то
можно оставить одну из них, – например,
строку №5. При этом строки №2 и №6 будут
удалены.

Нулевые
строки убираются из расширенной матрицы
системы по мере их появления.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

.

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица свободных членов:

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица свободных членов:

Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Конспект на тему: «Решение системы линейных уравнений матричным методом»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных .

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов:

Тогда используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:

Это равенство называется простейшим матричным уравнением .

Чтобы решить матричное уравнение, нужно:

Найти обратную матрицу .

Найти произведение обратной матрицы на матрицу – столбец свободных членов В, т.е..

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Решить систему уравнений

Представим уравнение в виде матричного уравнения.

Решение . Перепишем систему в виде АХ=В, где

Решение матричного уравнения имеет вид .

Найдем обратную матрицу :

Следовательно, х=2, y =3, z =-2.

Решить систему уравнений матричным методом

Найдем обратную матрицу А -1 .

 = det A = 20 – 12 – 3 + 8 – 45+2= -30.

Находим матрицу Х.

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 831 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 10.06.2020
• 440
• 28

• 10.06.2020
• 433
• 16

• 10.06.2020
• 346
• 4

• 10.06.2020
• 113
• 1

• 10.06.2020
• 110
• 0

• 10.06.2020
• 380
• 8

• 10.06.2020
• 97
• 0

• 10.06.2020
• 291
• 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.06.2020 489
• DOCX 77.3 кбайт
• 24 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ажулаева Патимат Магомедрасуловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 134080
• Всего материалов: 69

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Содержание:

• Матричный метод решения
• Примеры решения систем уравнений

Матричный метод решения

Запишем заданную систему в матричном виде:

$$AX=B$$

Если матрица $$A$$ невырождена, то тогда с помощью
операций над матрицами
выразим неизвестную матрицу $$X$$ . Операция деления на множестве
матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу $A^{-1}$ слева:

$$A^{-1} A X=A^{-1} B Rightarrow E X=A^{-1} B Rightarrow$$
$$X=A^{-1} B$$

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу $$X$$ надо найти обратную матрицу
к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Примеры решения систем уравнений

Читать дальше: метод Крамера.

Перед тем как перейти к решению систем линейных уравнений методом обратной матрицы вспомним, что такое обратная матрица, какие способы ее нахождения существуют, что такое матричные уравнения и как они решаются.

Система линейных уравнений (СЛУ)

Под системой линейных уравнений (СЛУ) будем понимать систему {a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2,………………………………….am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm.begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+ldots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+ldots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\ldotsldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots.\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+ldots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.end{cases},
содержащую mm уравнений и nn неизвестных.

Линейность означает, что все неизвестные в уравнении содержатся в первой степени.

Рассмотрим на схеме основные понятия, связанные с понятием системы линейных уравнений.

Матричная форма записи СЛУ

С каждой системой линейных уравнений

{a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2,………………………………….am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm.begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+ldots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+ldots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\ldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldots.\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+ldots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.end{cases} можно связать несколько матриц.

1. Матрица системы, состоящая из коэффициентов заданной системы линейных уравнений: A=(a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……………am1am2am3…amn)A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&ldots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&ldots&a_{2n}\ldots&ldots&ldots&ldots&ldots\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&ldots&a_{mn}end{pmatrix}.

2. Матрица неизвестных, состоящая из столбца, который содержит неизвестные x1,x2,…,xn:x_{1}, x_{2}, … , x_{n}:

X=(x1x2…xn)X=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\…\x_{n}end{pmatrix}.

1. Матрица свободных членов, состоящая из столбца, который содержит свободные члены b1,b2,…,bm:b_{1}, b_{2}, … , b_{m}:

B=(b1b2…bm)B=begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\ … \b_{m}end{pmatrix}.

Используя введенные обозначения (AA — матрица системы, XX — матрица неизвестных, BB — матрица свободных членов) СЛУ можно записать в виде матричного уравнения A⋅X=BAcdot X=B, поэтому метод обратной матрицы, по существу, является частным случаем матричного уравнения.

Важно!

Метод обратной матрицы может применяться только для тех систем линейных уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля, а именно ∣A∣≠0begin{vmatrix}Aend{vmatrix}neq0. Если же ∣A∣=0begin{vmatrix}Aend{vmatrix}=0, то решить СЛУ матричным методом невозможно (в таком случае СЛУ может быть решена методом Гаусса).

Алгоритм решения СЛУ методом обратной матрицы

1. Записать систему линейных уравнений в матричной форме: A⋅X=BAcdot X=B, где

A=(a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……………am1am2am3…amn)A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&ldots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&ldots&a_{2n}\ ldots&ldots&ldots&ldots&ldots\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&ldots&a_{mn}end{pmatrix} — матрица системы,

X=(x1x2…xn)X=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\…\x_{n}end{pmatrix} — матрица неизвестных,

B=(b1b2…bm)B=begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\…\b_{m}end{pmatrix} — матрица свободных членов.

1. Решить матричное уравнение A⋅X=BAcdot X=B:

2.1 Найти обратную матрицу A−1A^{-1} одним из способов.
2.2 Найти XX, используя равенство X=(x1x2…xn)=A−1⋅BX=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\…\x_{n}end{pmatrix}=A^{-1}cdot B.
Рассмотрим примеры решения СЛУ методом обратной матрицы.

Пример 1

Решить систему {x1−2×2+x3=1,2×1−x2+x3=2,3×1+2×2+2×3=−2.begin{cases}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1,\2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\3x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-2.end{cases} с помощью обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме A⋅X=BAcdot X=B, где

A=(1−212−11322)A=begin{pmatrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{pmatrix},

X=(x1x2x3)X=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix},

B=(12−2):B=begin{pmatrix}1\2\-2end{pmatrix}:

(1−212−11322)⋅(x1x2x3)=(12−2)begin{pmatrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1\2\-2end{pmatrix}.

∣1−212−11322∣=5≠0begin{vmatrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{vmatrix}=5neq0, значит, уравнение можно решить методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу A−1A^{-1} методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(1−212−11322∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(1−212−11322∣100010001)∼(1−2103−1322∣100−210001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&3&-1\3&2&2end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-2&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на -3:

(1−2103−1322∣100−210001)∼(1−2103−108−1∣100−210−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&3&-1\3&2&2end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-2&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&3&-1\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-2&1&0\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на -1:

(1−2103−108−1∣100−210−301)∼(1−210−5008−1∣10011−1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&3&-1\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-2&1&0\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&-5&0\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\1&1&-1\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №2 на −15-frac{1}{5}:

(1−210−5008−1∣10011−1−301)∼(1−2101008−1∣100−15−1515−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&-5&0\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\1&1&-1\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -8:

(1−2101008−1∣100−15−1515−301)∼(1−2101000−1∣100−15−1515−7585−35)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\-frac{7}{5}&frac{8}{5}&-frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на -1:

(1−2101000−1∣100−15−1515−7585−35)∼(1−21010001∣100−15−151575−8535)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\-frac{7}{5}&frac{8}{5}&-frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -1:

(1−21010001∣100−15−151575−8535)∼(1−20010001∣−2585−35−15−151575−8535)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}-frac{2}{5}&frac{8}{5}&-frac{3}{5}\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 2:

(1−20010001∣−2585−35−15−151575−8535)∼(100010001∣−4565−15−15−151575−8535)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}-frac{2}{5}&frac{8}{5}&-frac{3}{5}\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}-frac{4}{5}&frac{6}{5}&-frac{1}{5}\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}.

A−1=(−4565−15−15−151575−8535)=15(−46−1−1−117−83)A^{-1}=begin{pmatrix}-frac{4}{5}&frac{6}{5}&-frac{1}{5}\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{pmatrix}=frac{1}{5}begin{pmatrix}-4&6&-1\-1&-1&1\7&-8&3end{pmatrix}.

Подставим матрицы в равенство X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B:

(x1x2x3)=15(−46−1−1−117−83)⋅(12−2)=15(10−5−15)=(2−1−3)begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=frac{1}{5}begin{pmatrix}-4&6&-1\-1&-1&1\7&-8&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}1\2\-2end{pmatrix}=frac{1}{5}begin{pmatrix}10\-5\-15end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-1\-3end{pmatrix}.

Получили равенство (x1x2x3)=(2−1−3)begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-1\-3end{pmatrix}. Исходя из этого, имеем: x1=2,x2=−1,x3=−3x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=-3.

Ответ: x1=2,x2=−1,x3=−3x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=-3.

Пример 2

Решить систему {3×1+2×2+x3=5,2×1+3×2+x3=1,2×1+x2+3×3=11.begin{cases}3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5,\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1,\2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=11.end{cases} с помощью обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме A⋅X=BAcdot X=B,

где A=(321231213)A=begin{pmatrix}3&2&1\2&3&1\2&1&3end{pmatrix},
X=(x1x2x3)X=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix},

B=(5111):B=begin{pmatrix}5\1\11end{pmatrix}:

(321231213)⋅(x1x2x3)=(5111)begin{pmatrix}3&2&1\2&3&1\2&1&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}5\1\11end{pmatrix}.

∣321231213∣=12≠0begin{vmatrix}3&2&1\2&3&1\2&1&3end{vmatrix}=12neq0, значит, уравнение можно решить методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу A−1A^{-1} по формуле A−1=1∣A∣⋅A∗TA^{-1}=frac{1}{|A|}cdot A_{*}^{T}, где A∗TA_{*}^{T} — транспонированная матрица алгебраических дополнений.

A∗T=(a11a21a31a12a22a32a13a23a33)A_{*}^{T}=begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\a_{12}&a_{22}&a_{32}\a_{13}&a_{23}&a_{33}end{pmatrix}, aija_{ij} — алгебраические дополнения матрицы AA.

A∗T=(8−5−1−47−1−415)A_{*}^{T}=begin{pmatrix}8&-5&-1\-4&7&-1\-4&1&5end{pmatrix}.

A−1=112⋅(8−5−1−47−1−415)A^{-1}=frac{1}{12}cdot begin{pmatrix}8&-5&-1\-4&7&-1\-4&1&5end{pmatrix}.

Подставим матрицы в равенство X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B:

(x1x2x3)=112(8−5−1−47−1−415)⋅(5111)=112(24−2436)=(2−23)begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=frac{1}{12}begin{pmatrix}8&-5&-1\-4&7&-1\-4&1&5end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}5\1\11end{pmatrix}=frac{1}{12}begin{pmatrix}24\-24\36end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-2\3end{pmatrix}.

Получили равенство (x1x2x3)=(2−23)begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-2\3end{pmatrix}.

Исходя из этого, имеем: x1=2,x2=−2,x3=3x_{1}=2, x_{2}=-2, x_{3}=3.

Ответ: x1=2,x2=−2,x3=3x_{1}=2, x_{2}=-2, x_{3}=3.

Возникают трудности с решением уравнений с помощью обратной матрицы? Советуем вам заказать решение задачи у наших экспертов!

Тест по теме “Линейные уравнения и и метод обратной матрицы”