Как найти неизвестный элемент треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

Решение:

Из теоремы косинусов имеем:

Откуда

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos находим углы A и B:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Решение:

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

найдем cosA:

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Вычисления выше легко производить инженерным онлайн калькулятором.

Из формулы (3) найдем cosA:

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos или инженерный онлайн калькулятор находим угол A:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Решение:

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Откуда

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Ответ:

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

.

.

Далее, из формулы

.

.

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

,

Из формулы (3) найдем cosA:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Элементы треугольника — формулы вычисления основных параметров

Общие сведения

Произвольное множество точек называют геометрической фигурой. На плоскости они соединены замкнутыми линиями, образующими контур тела. В трёхмерном пространстве многоугольник, состоящий из трёх отрезков, не принадлежащих одной прямой, носит имя треугольник. Его линии называют сторонами или боковыми гранями, а место их пересечения — вершинами.

Треугольник — замкнутое геометрическое тело, состоящее из трёх сторон и такого же количества углов. Боковые грани принято обозначать маленькими латинскими буквами. Углы на рисунке показывают маленькой дугой, а в записи — символом ∠ с указанием соответствующей вершины. Точки же пересечения линий подписывают большими буквами.

Например, если имеется треугольник ABC, у него есть углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут обозначать и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA. Строгого требования в виде обозначений нет, но существуют негласные правила, которых всё же рекомендуется придерживаться.

Хотя определение треугольника и его элементов одинаковое, выделяют 3 класса фигур:

• остроугольный — любой из углов тела не превышает 90 градусов;
• тупоугольный — форма одного из разворотов тупоугольная;
• прямоугольный — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.

Кроме этого, многоугольник классифицируют по числу равных сторон. Разносторонним он считается в том случае, если все они разной длины, равнобедренным — треугольник, имеющий 2 равные стороны, а равносторонним — у которого все стороны равны. Последний в литературе может ещё называться правильным.

На основании классификационных групп треугольники можно сравнивать между собой. Они считаются подобными, если 2 угла одного соответственно равны двум углам другого, или когда 2 стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Эти правила называют признаками подобия. Они особенно популярны среди физиков. Их часто используют при вычислении элементов прямоугольников, квадратов, трапеций.

Элементы треугольника

Кроме сторон и вершин, фигура имеет различные точки и линии, называемые замечательными. Такое имя они получили из-за своих свойств. Но перед тем как их перечислить, нелишним будет привести основные величины, характеризующие фигуру, способы их нахождения и теоремы.

Периметр многоугольника можно определить, сложив все стороны: P = a + b + c. Площадь треугольника находится как половина произведения двух граней, умноженных на синус угла между ними: S = (a * b * sinC) / 2. Сумма углов равна 180 градусов, при этом напротив равных сторон лежат одинаковые углы.

К замечательным линиям относят:

1. Медиану — линию, проходящую через вершину к середине противолежащей стороны. Всего в треугольнике можно провести 3 таких отрезка. Точка их пересечения является центром массы. Если считать от вершины, в ней она делится в отношении 2 к 1. Каждая медиана разделяет фигуру на 2 объекта с одинаковой площадью.
2. Биссектрису — отрезок, построенный к стороне из угла и делящий его на 2 равные части. Она делит грань на 2 замкнутые линии, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка, в которой пересекаются биссектрисы, является началом диаметра вписанной в треугольник окружности.
3. Высоту — перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Все они пересекаются в одной точке.
4. Срединную линию — проходит всегда параллельно одной из граней и соединяет середины двух оставшихся сторон. 3 таких линии разделят многоугольник на 4 равных треугольника.

При измерениях используют и «особенные» точки фигуры. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом скрещивания перпендикуляров. А если поместить в круг, середина будет совпадать с пересечением биссектрис. Для других замечательных линий точки их соприкосновения также имеют свои названия: ортоцентр (высот) и центроид (медиан). Первая может принадлежать как внутренней площади фигуры, так и внешней (тупоугольный треугольник).

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. При этом их центр является серединой как вписанной окружности, так и описанного круга. А угол, из которого построен один из таких отрезков, будет разделён на 2 одинаковых разворота равных 30 градусам.

Основные формулы

Найти любой элемент треугольника можно по специальным формулам. Чаще всего приходится искать стороны фигуры. Зная их, можно найти практически любые параметры, просто подставив в выражения значения размеров граней.

Найти длину отрезка, формирующего контур фигуры, можно, зная длины двух сторон и угла или значения двух углов и одной стороны. Для первого случая формула имеет вид a = b * sin (a) / sin (b) = b * sin (a) / sin (a + c), а второго: a = √(b 2 + c 2 — 2bc * cos (a)). Если имеется тупой угол, косинус будет отрицательный. Это необходимо учитывать при расчётах.

Это общие формулы, подходящие для любого типа треугольника. Но в то же время для прямоугольного существует своё правило, связывающее все 3 грани в одну формулу: c = √(b 2 + a 2 ). Называется оно теоремой Пифагора. В равнобедренном вычислить сторону можно, зная любую другую и угол. Для основания используют равенство b = 2a * cos (a), а для равных граней: a = b / 2 * cos (a).

Из множества других существующих формул для определения различных элементов фигуры, можно указать на те, что чаще всего используются при решении примеров:

1. Высота: h = (2 / a) * √(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) или h = b * sin© = c * sin (b). Отрезок можно найти, зная площадь и сторону h = 2 * S / a или радиус описанной окружности: h = (b * c) / 2 * R.
2. Биссектриса: L = √(a * b * (a + b + c) * (a + b — c)) / (a + b). Формулу можно упростить, используя периметр: L = 2 * √ (a * b * P) * (P — c)) / (a + b), где P = p /2 (полупериметр).
3. Медиана: М = √(2 * a 2 + 2b 2 — c 2 ) / 2. Линию можно определить, зная только 2 стороны и лежащий между ними угол: М = √(a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (с)) / 2. В прямоугольном треугольнике она равняется радиусу описанного круга или половине гипотенузы: М = R = c / 2.

Существуют и упрощённые выражения. Формула Герона позволяет высчитать площадь, используя полупериметр и длины сторон: S = √(P * (P — a) * (P — b) * (P — c)). Также величину можно определить, зная высоту и длину основания: S = (a * H) / 2.

Для нахождения элементов треугольника в 7 классе ученикам дают ещё 2 фундаментальные теоремы: косинусов и синусов. Первая сообщает, что квадрат грани фигуры равен удвоенному произведению двух сторон и косинуса угла между ними, вычтенному из сумы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sin©.

Решение примеров

Формул для вычисления элементов треугольников можно насчитать несколько десятков. Запомнить их довольно сложно, поэтому нужно выучить основные определения и выражения, а сделать это лучше всего, решая практические примеры. Вот некоторые из них:

1. В треугольнике проведено 2 высоты. Одна равняется 63 см, а другая 56 см. Найти истинный отрезок, если основание AC = 84 см, а размер медианы BK совпадает с длиной стороны BC. Так как точка K делит отрезок AC пополам, AK = KC = AC / 2 = 84 /2 = 42 см. В треугольнике BKC 2 стороны равны друг другу, согласно условию, значит, он равнобедренный. Следовательно, высота является одновременно и медианой. KH = HC = MC /2 = 42 / 2 = 21 см. Искомый отрезок будет равен: h = AK + KC = 42 + 21 = 63 см. Следовательно, правильный первый вариант.
2. Пусть дан треугольник ABC. Найти возможный отрезок BN, на который биссектриса поделит сторону BC, если AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Для решения понадобится вспомнить свойство биссектрисы. Из него следует, что BN / NC = AB / AC = 6 / 8. Если искомый отрезок принять за икс, будет верным равенство KC = 7 — x. Значит: x / (7 — x) = 6 / 8. Отсюда можно выразить неизвестное: x = 42 / 14 = 3 см. Теперь останется подставить найденное число и найти искомое значение: KC = 7 — 3 = 4 см.
3. Завод начал выпускать новую серию объёмных фигур. Определить, какой тип многоугольника лежит в их основании, если её стороны равны 3, 2 и √3. Чтобы найти ответ, нужно проанализировать исходные данные. Так как сумма двух меньших сторон больше третей боковой грани, в основании лежит треугольник. 3 в квадрате не равно 2 2 + (√3) 2 . Следовательно, геометрическое тело непрямоугольное. По теореме косинусов можно записать: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Исходя из того, что cos (a) = -1/ √ 3, то есть он отрицательный, можно утверждать, что разворот угла тупой. Значит, треугольник у основания тупоугольный.

Проверить правильность вычислений можно, воспользовавшись онлайн-калькуляторами. Это сервисы, предоставляющие услуги по расчёту различных математических величин. Воспользоваться ими сможет любой, даже тот, кто не знает ни одной формулы и теоремы. Всё, что требуется от пользователя — правильно ввести исходные данные в специальную форму и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд ответ, а в некоторых случаях и решение, появится на экране.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Эта математическая программа находит сторону ( c ), углы ( alpha ) и ( beta ) по заданным пользователем сторонам ( a, b ) и углу между ними ( gamma )

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Введите стороны ( a, b ) и угол между ними ( gamma ) Решить треугольник

Однозначное задание треугольника

У треугольника шесть основных элементов, которые можно измерить, – три стороны и три угла (см. рис. 1).

Рис. 1. Шесть основных элементов треугольника, которые можно измерить, – три стороны и три угла

Мы уже говорили, что треугольник почти всегда однозначно задается любыми тремя из них. Что значит «однозначно»? Это значит, что можно построить только один треугольник с такими элементами (или, если точнее: все треугольники с такими элементами будут эквивалентны – равны друг другу) (см. рис. 2).

Рис 2. Равные треугольники

Почему почти? Есть два исключения. Первое – три угла. Действительно, если мы знаем два угла треугольника, то можем найти третий (сумма равна ). Значит, никакой новой информации величина третьего угла нам не дает. Поэтому мы можем говорить о том, что в этом случае знаем всего лишь два элемента, а этого достаточно, чтобы задать треугольника с точностью до подобия (см. рис. 3).

Рис. 3. Подобные треугольники

Еще одно исключение – две стороны и угол не между ними. Действительно, у этих двух треугольников равны две стороны и по одному углу, но они не равны друг другу (см. рис. 4).

Рис. 4. Неравные треугольники, у которых равны две стороны и угол не между ними

Во всех остальных случаях три элемента (длины сторон или величины углов) однозначно задают треугольник (см. рис. 5). А значит, мы можем попытаться вычислить значения остальных неизвестных элементов треугольника по известным.

Рис. 5. Три элемента (длины сторон или величины углов) однозначно задают треугольник

Решение треугольников

Нахождение всех шести основных элементов треугольника называется «решением треугольника». Для этих целей нам понадобятся два важных инструмента: теорема синусов и теорема косинусов. Вспомним их.

Теорема синусов – в любом треугольнике:

где  – длины сторон,  – углы треугольника,  – радиус описанной окружности (см. рис. 6).

 

Рис. 6. Окружность радиуса  описана около треугольника со сторонами  и углами

При этом чаще всего мы будем использовать не всю теорему синусов, а равенство двух выражений из нее, например:

Теорема косинусов – в любом треугольнике (см. рис. 7):

Рис. 7. Треугольник со сторонами , где  – угол, лежащий напротив стороны

В каких случаях использовать каждую из теорем? Логика очень простая: если нам известны три элемента из четырех, которые фигурируют в формулировке какой-то из теорем, то эту теорему можно использовать, чтобы найти четвертый неизвестный элемент.

Например, если мы знаем длины двух сторон и угол между ними, то с помощью теоремы косинусов легко найдем длину третьей стороны (см. рис. 8).

Рис. 8. Если известны длины двух сторон  и угол  между ними, то с помощью теоремы косинусов легко можно найти длину третьей стороны

Если мы знаем углы треугольника и одну из сторон, то с помощью теоремы синусов можем найти длины оставшихся сторон (см. рис. 9).

Рис. 9. Если известны градусные меры углов  треугольника и длина одной из сторон , то с помощью теоремы синусов легко можно найти длины двух других сторон

В некоторых случаях можно использовать любую из теорем – тогда выбор можно сделать на свой вкус. Даже если вы сразу не видите, какую из теорем использовать, не переживайте. Их всего две – попробуйте воспользоваться одной, если не получается или получается слишком громоздко, то вернитесь и используйте вторую теорему.

Задача 1. Решить треугольник, если две его стороны  и  см, а угол между ними  (см. рис. 10). 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 1

Решение.

Т. е. требуется найти оставшиеся три элемента – сторону и два угла. Мы знаем длины двух сторон и угол между ними. Напрашивается использование теоремы косинусов, чтобы найти длину третьей стороны.

Получаем:

Откуда:

Если нас интересует приближенный результат, то можно считать, что:

Теперь мы знаем три стороны и один из углов (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 1

Как найти оставшиеся углы? Можно использовать как теорему косинусов, так и теорему синусов. Рассмотрим оба способа.

Способ 1 (теорема косинусов).

Применим теорему косинусов для неизвестного угла :

Выразим  (кстати, полезно помнить, как выводится эта формула – с ее помощью можно найти любой из углов треугольника, в котором известны три стороны):

Хоть мы и получили точное значение косинуса угла, мы до сих пор плохо себе представляем, чему равен сам угол. Здесь нужно посчитать приближенное значение:

Осталось найти сам угол. Для этого можно использовать таблицы Брадиса или инженерный калькулятор (функцию арккосинус), получим:

Третий угол найти совсем легко, используя то, что сумма углов треугольника равна :

Способ 2 (теорема синусов).

Рассмотрим второй способ нахождения углов  и  с использованием теоремы синусов. Мы знаем угол , хотим найти, к примеру, угол , значит, будем использовать равенство:

Откуда:

Несложно проверить себя: мы уже находили . Мы знаем, что для любого угла должно выполняться:

Проверим:

Верно. Итак, нашли синус угла, можно вычислить его приблизительное значение, найти с помощью таблиц или калькулятора  – естественно, получим тоже около .  в этой ситуации мы уже искать умеем.

Ответ: .

Решим теперь треугольник по известной стороне и двум углам.

Задача 2. Пусть дан треугольник со стороной  и углами , .

Найти остальные элементы этого треугольника (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

Решение.

Легче всего найти :

Чтобы использовать теорему косинусов, нужно знать длины двух сторон. Мы же пока знаем лишь одну. Поэтому воспользуемся теоремой синусов, только запишем ее в другом виде: если равны дроби, то равны и обратные к ним (надо не забыть, что равны они будут ):

Подставим известные нам величины:

Подставим приближенные значения синусов:

Из двух пропорций находим длины сторон  и :

Ответ: .

Наконец, решим треугольник, зная длины трех его сторон.

Задача 3. Пусть в треугольнике стороны равны . Найти углы (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 3

Решение.

Теорему синусов есть смысл использовать, если мы знаем хотя бы один угол. Поэтому в данном случае воспользуемся теоремой косинусов:

Выразим :

Найдем , используя таблицы Брадиса или калькулятор:

Аналогично можем найти, например, :

Выразим :

Косинус получился отрицательный. Вспомним, что это означает: косинус – это координата  точки . Значит, в данном случае точка находится во второй четверти, а соответствующий ей угол – тупой (см. рис. 14). Действительно, получаем:

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 3

 можно найти так же, как мы искали  и . А можно воспользоваться свойством суммы углов треугольника:

Ответ: .

В рассмотренной задаче, после того как мы нашли угол , угол  можно было искать, используя теорему синусов, а не косинусов. Действительно:

Подставим значение первого синуса и найдем синус угла :

Пока все просто. Но если теперь с помощью калькулятора искать значение соответствующего угла, то получим:

И этот результат совсем не похож на тот, который мы получили с помощью теоремы косинусов:

Посмотрим снова на единичную окружность. Синус – это координата . Если , то этому значению соответствует два возможных значения угла треугольника:  и .

 

Рис. 15. Значению  соответствует два возможных значения угла треугольника:  и

Калькулятор выдаст только одно значение угла – , а в нашей задаче как раз нужно второе значение. И по одному значению синуса нельзя понять, какое именно значение угла нужно выбрать. Потребуются дополнительные условия (например, известен вид угла: острый или тупой).

Именно поэтому в общем случае нельзя решить треугольник, зная две его стороны и угол не между ними. В самом деле, теорему косинусов использовать не получится, только теорему синусов. Но в этом случае мы найдем значение синуса неизвестного угла и не получим два возможных треугольника – с острым и тупым углом (см. рис. 16). Обязательно нужно дополнительное условие, например, что треугольник остроугольный или тупоугольный.

Рис. 16. В общем случае нельзя решить треугольник, зная две его стороны и угол не между ними

С косинусом таких сюрпризов не бывает. Поскольку для углов от  до  косинус меняется в пределах от  до  и каждое свое значение принимает только один раз, то по известному значению косинуса угла треугольника мы всегда сможем однозначно восстановить сам угол (см. рис. 17).

Рис. 17. Для углов от  до  косинус меняется в пределах от  до

Если косинус положительный, то угол острый. Если отрицательный – тупой. Если равен  – прямой. Поэтому в задачах на решение треугольников угол предпочтительнее находить по теореме косинусов, а не синусов, чтобы не допустить ошибку.

Напоследок рассмотрим практическую задачу решения треугольников.

Задача 4. Как определить расстояние от наблюдателя на берегу до корабля на прямой видимости.

Решение.

Пусть наблюдатель находится в точке . И видит корабль в море. Мы хотим измерить расстояние  от наблюдателя до корабля. Замерим угол  между береговой линией и направлением на корабль (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 4

Если наблюдатель пройдет расстояние  (чем больше расстояние, тем точнее будут расчеты) до точки  и там измерит угол между направлением наблюдения и берегом, то в полученном треугольнике нам будет известна сторона и два прилежащих к ней угла (см. рис. 19). Это второй тип задачи на решение треугольника из рассмотренных сегодня.

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 4

Третий угол треугольника равен:

Найти  мы сможем по теореме синусов.

Откуда:

Подставив конкретные значения, сможем для любой такой задачи вычислить интересующее нас расстояние.

Ответ: .

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал uztest.ru (Источник)
3. Интернет-портал ru.solverbook.com (Источник)

Домашнее задание

1. Стороны треугольника равны . Найти углы.
2. Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен . Доказать, что треугольник – прямоугольный.
3. Решить треугольник, одна из сторон которого равна , а прилежащие к ней углы равны  и .

Конспект
Элементами треугольника являются его стороны и углы.

Решить треугольник – это найти его неизвестные элементы, по каким-нибудь трём данным элементам.
Решим треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Дано: a, b, ∠C
Найти: с, ∠А, ∠B
Зная две стороны и угол между ними, по теореме косинусов можно найти третью сторону треугольника.
Решение.
1) c² = a² + b² — 2ab cosC
с = √(a² + b² — 2ab cosC)
Запишем теорему косинуса для одной из известных сторон и выразим из этой формулы косинус противолежащего угла.
2) a² = b² + c² — 2bc cosA
cosA = (b² + c² — a²)/(2bc)
∠А находим по таблице или с помощью калькулятора.
Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, можно вычислить третий угол.
3) ∠В = 180°- ∠А — ∠С.
Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Дано: с, ∠А, ∠B
Найти: a, b, ∠C
Решение.
Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, вычислим третий угол.
1) ∠C = 180° — ∠А — ∠В.
Запишем теорему синусов данного треугольника и выразим неизвестные стороны треугольника.
2) b/sinB = c/sinC;
a/sinA = c/sinC
b = (c ∙ sinB)/sinC;
a = (c ∙ sinA)/sinC
Решение треугольника по трём сторонам.

Дано: a, b, с
Найти: ∠А, ∠B, ∠C
Решение.
Чтобы найти неизвестный угол треугольника, воспользуемся теоремой косинусов.
Вычислив косинус угла, сам угол находим по таблице или с помощью калькулятора.
1) a² = b² + c² — 2bc cosA
cosA = (b² + c² — a²)/(2bc)
∠А находим по таблице или с помощью калькулятора.
Так же, с помощью теоремы косинусов, найдём величину другого угла.
2) b² = a² + c² — 2ac cosB
cosB = (a² + c² — b²)/(2ac)
∠B находим по таблице или с помощью калькулятора.
Для вычисления третьего угла воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника.
3) ∠А + ∠B + ∠C = 180°
∠C = 180° — ∠А — ∠B
С помощью тригонометрических формул можно определить высоту предмета, например, дерева.
Для этого отметим точку В на определённом расстоянии от точки Н, которая является основанием дерева, и измерим угол АВН. Из прямоугольного треугольника АВН, найдём высоту дерева.

AH = a tgα
Если основание дерева недоступно, то на прямой, проходящей через основание дерева – точку Н, отметим точки В и С на определённом расстоянии друг от друга. Измерим углы АВН и АСН. Решим треугольник АВС: найдём величину угла А и длину АВ.

В ∆ABC: ∠A = α — β,
AB/sin⁡C = BC/sin⁡A, тогда AB/sin⁡β = a/sin⁡(α — β).
AB = (a sin⁡β)/sin⁡(α — β).
Из прямоугольного треугольника АВН найдём высоту дерева – длину отрезка АН.
В ∆ABH : AH = AB ∙ sin⁡α.
Следовательно, AH = (a sin⁡β sin⁡α)/sin(α — β).
Предположим, что нам нужно найти расстояние от точки А до недоступного объекта С.
Выберем точку В и измерим длину отрезка АВ.
Измерим углы А и В, это можно сделать с помощью астролябии.

Зная сторону АВ треугольника АВС и значение двух углов, прилежащих к этой стороне, можно найти длину отрезка АС.
1) ∠C = 180° — α — β
sin⁡C = sin(180° — α — β) = sin⁡(α + β)
2) AC/sin⁡B = AB/sin⁡C;
AC = (AB sin⁡B)/sin⁡C = (c sin⁡β)/sin⁡(α + β)