Как найти неизвестный коэффициент уравнения

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax 2 + c = 0, при b = 0;
• ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
• разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n 2 — ac;
• если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Метод неопределенных коэффициентов и его универсальность

Разделы: Математика

Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.

Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).

Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а₀+ а₁х + а₂х 2 +. + а _nx n , заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а₀, а₁, а₂, . а_n равны нулю.

Теорема №2 (следствие теоремы № 1).

Деление многочлена на многочлен.

Пример 1. Выполнить деление многочлена х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 на многочлен х 2 – х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 = (х 2 – х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 2 – х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:

Раскроем скобки в правой части равенства:

Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:

Ответ: Q(x) = x 3 + x 2 — 6x — 5, R(x) = x + 1.

Пример 2. Выполнить деление многочлена х 7 –1 на многочлен х 3 + х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 7 –1 = (х 3 + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 3 + х + 1).

Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q ₄x 4 + q ₃x 3 + q ₂x 2 + q ₁x + q₀,
R(x) = r ₂x 2 + r ₁x + r0.

Подставим Q(x) и R(x):

Раскроем скобки в правой части равенства:

Получаем систему уравнений:

Ответ: Q(x) = x 4 — x 2 — x + 1, R(x) = 2x 2 — 2.

Расположение многочлена по степеням.

Возьмем функцию Поставим перед собой задачу «расположить многочлен по степеням f(x) по степеням (х-х₀).

Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов а₀, а₁, . а_n. В каждом конкретном случае эти числа найти легко. Действительно, расположим многочлены, находящиеся в левой и правой частях равенства, по степеням x. Так как мы имеем тождество, то (по теореме № 2) коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны между собой. Приравняв коэффициенты правой части соответствующим заданным коэффициентам левой, мы придем к системе n+1 уравнений с n+1 неизвестными а₀, а₁, . а_n , которую нужно решить.

Пример 3. Расположим многочлен по степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему:

Решая систему, находим:

Ответ: .

Пример 4. Расположим f(x) = х 4 — 8х 3 + 24х 2 — 50х + 90 по степеням (х-2).

Решение: Полагаем х₄ — 8х 3 + 24х 2 — 50х + 90

Ответ: f(x) =

Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.

Пример 5. Не выполняя действий, представим в виде многочлена стандартного вида произведение (х — 1)(х + 3)(х + 5).

Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:

(х — 1)(х + 3)(х + 5) = х 3 + ах 2 + вх — 15, где а и в — неизвестные коэффициенты.

Для вычисления их положим х = 1 и х = — 3, тогда получим:

откуда а =7, в = 7.

Ответ: х 3 +7х 2 + 7х — 15.

Разложение многочлена на множители

Пример 6. Дан многочлен

Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2, -5, 1 и 3. Следовательно х 4 + 3х 3 — 15х 2 — 19х + 30 = (х — 1)(х — 3)(х + 2)(х + 5)

Пример 7. Дан многочлен .

Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 84. Следовательно, их следует искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -7,-2,2,3. Следовательно х 4 + 4х 3 — 25х 2 — 16х + 84 = (х — 2)(х — 3)(х + 2)(х + 7)

Пример 8. Разность является целым числом. Найдем это число.

Решение: Так как,

Тогда

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

Тогда

Решая данную систему уравнений, получим а = 5, b = -4.

Значит так как

Аналогично устанавливаем, что

Следовательно

Пример 9. Является ли разность целым числом.

Решение: Т.к.

тогда —

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

Тогда откуда

из второго уравнения тогда первое уравнение принимает вид

b 2 = 12,5 — — не удовлетворяет условию задачи, или b 2 = 9, откуда b = -3 или b = 3 — не удовлетворяет числу Значит, а = 5.

Аналогично,

Окончательно получаем: — иррациональное число.

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Пример 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Решение:

отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем:

Ответ:

Пример 11. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Решение: ,

отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем

Отсюда

Итак

Следовательно

Ответ:

Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений

Пример 12. Решим уравнение х 4 + х 3 — 4х 2 — 9х — 3 = 0.

Решение: Предположим, что корни уравнения — целые числа, тогда их надо искать среди чисел

Если х = 1, то
если х = -1, то
если х = 3, то
если х = -3, то

Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.

Попробуем разложить многочлен на множители в следующем виде:

, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:

Проверим вариант № 2, когда b = —1; d = 3:

Пример 13. Решить уравнение: х 4 — 15х 2 + 12х + 5= 0.

Решение: Разложим многочлен f(х) = х 4 — 15х 2 + 12х + 5 на множители в следующем виде: , где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:

Системе удовлетворяет вариант №2, т.е. а = 3, b = -1, c = -3, d = 5.

Итак,

D =13
D = 29

Ответ:

О решении одного класса кубических уравнений.

Пусть дано кубическое уравнение: а ₁ х 3 + b ₁х 2 +с ₁х +d₁ = 0, где а ≠ 0.
Приведём его к виду х 3 + ах 2 +bх + с = 0 (1), где а = , в = , с =
Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение:
Раскроем скобки, сгруппируем: y 3 +3у 2 m + 3ym 2 + m 3 + ay 2 + 2aym +am 2 + by +bm + с = 0,
y 3 + y 2 (a +3m) +y(3m 2 +2am +b) + m 3 +am 2 +bm + с = 0.

Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:

Решения этой системы: m = -; a 2 = 3b. Таким образом, при произвольном с и при a 2 = 3b уравнение подстановкой х = у — можно привести к двучленному уравнению третьей степени.

Пример14. Решить уравнение: х 3 + 3х 2 +3х — 9 =0.

Решение: В данном уравнении а = 3, в =3, тогда условие a 2 = 3b выполняется, а m = — = -1. Выполним подстановку х = у -1.

Уравнение принимает вид: (у -1) 3 +3(у -1) 2 +3(у -1) – 9 = 0.
y 3 -3y 2 +3у -1 +3у 2 – 6у +3 +3у –3 – 9 = 0.
y 3 – 10 = 0, откуда у = , а х = — 1.

Ответ: — 1.

Пример15. Решить уравнение: х 3 + 6х 2 + 12х + 5 = 0.

Решение: а = 6, в =12, тогда условие a 2 = 3b (62 = 3×12) выполняется, а m = — = -2.

Выполним подстановку х = у — 2. Уравнение принимает вид: (у -2) 3 +6(у -2) 2 +12(у -2) + 5 = 0.

у 3 – 6у 2 + 12у – 8 + 6у 2 -24у + 24 + 12у – 24 + 5 = 0.
у 3 – 3 = 0, у = , а х = — 2.

Ответ: – 2.

Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

• освобождение от дробных членов;
• раскрытие скобок;
• перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
• сделать приведение подобных членов;
• разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

Освобождаем уравнение от дробных членов:

20x — 28 — 24 = 9x + 36.

20x — 9x = 36 + 28 + 24.

Выполняем приведение подобных членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

Выполняем приведение подобных членов:

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

5(11 — 2) = 45;
5 · 9 = 45;
45 = 45.

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

Метод неопределённых коэффициентов

26 июля 2022

Метод неопределённых коэффициентов — это «полуолимпиадный» приём, с помощью которого вы сможете раскладывать на множители многочлены, которые не раскладываются, и решать уравнения, которые не решаются.:)

В двух словах этот метод звучит так:

В любой непонятной ситуации вводим новую переменную. А затем думаем, что с этой переменной делать.

Сегодня мы детально изучим метод неопределённых коэффициентов. Мы разберём столько разных задач, что не понять этот приём будет просто невозможно. И да: речь пойдёт не только о многочленах.:)

Содержание

1. Основная идея
2. Разложение многочлена на множители
3. Решение уравнений
4. Деление многочлена на многочлен
5. Выделение точного квадрата
6. Избавление от иррациональности
7. Зачем всё это нужно

1. Основная идея

Чтобы понять основную идею метода неопределённых коэффициентов, рассмотрим простую наводящую задачу. Допустим, у нас есть квадратный трёхчлен, разложенный на множители:

[Pleft( x right)=left( x-3 right)left( x+2 right)]

Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится тот же многочлен, записанный в стандартном виде:

[Pleft( x right)={{x}^{2}}-x-6]

Зная разложение на множители, легко получить стандартный вид многочлена. А вот обратный переход — от стандартного вида к множителям — является вычислительно сложной операцией, но всё ещё возможной: считаем дискриминант, находим корни, вспоминаем теорему Виета и т.д.

Немного усложним задачу. Рассмотрим разложение на множители многочлена четвёртой степени (почему именно четвёртой — см. урок. «Разложение на множители»):

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-3x+1 right)left( {{x}^{2}}+x+4 right)]

Раскроем скобки и приведём подобные. Вновь получим многочлен в стандартном виде:

[Pleft( x right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-11x+4]

Но как выполнить обратную операцию? Как по стандартному виду многочлена определить, на какие множители его можно разложить? Тут на помощь и приходит метод неопределённых коэффициентов.

Проблема разложения на множители

Рассмотрим задачу в общем виде. Допустим, нам нужно разложить на множители многочлен четвёртой степени:

[Pleft( x right)= color{blue}{{a}_{4}}{{x}^{4}}+ color{blue}{{a}_{3}}{{x}^{3}}+ color{blue}{{a}_{2}}{{x}^{2}}+ color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}]

Из курса алгебры мы знаем, что произвольный многочлен не всегда раскладывается на линейные двучлены вида $x-color{red}{a}$. Однако он совершенно точно раскладывается на квадратные трёхчлены вида $color{red}{a}{{x}^{2}}+color{red}{b}x+color{red}{c}$:

[Pleft( x right)=left(color{blue}{a}{{x}^{2}}+color{blue}{b}x+color{blue}{c} right)left( color{blue}{d}{{x}^{2}}+color{blue}{e}x+color{blue}{f} right)]

Записав такое разложение, мы уже наполовину выполнили задачу. Но нам неизвестны коэффициенты $color{blue}{a}$, $color{blue}{b}$, $color{blue}{c}$ и $color{blue}{d}$, $color{blue}{e}$, $color{blue}{f}$. Отсюда, кстати, и название приёма — «метод неопределённых коэффициентов». И чтобы найти эти самые неопределённые коэффициенты, воспользуемся следующей теоремой.

Теорема о нулевом многочлене

Теорема (критерий многочлена, тождественно равного нулю). Многочлен

[Pleft( x right)= color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+ color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ ldots + color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}]

тождественно равен нулю (т.е. при любом значении переменной $x$) тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю:

[color{blue}{{a}_{n}}= color{blue}{{a}_{n-1}}= ldots = color{blue}{{a}_{1}}= color{blue}{{a}_{0}}= color{red}{0}]

Доказательство я вынесу на отдельную страницу (см. урок «Корни многочлена»). Потому что у этой теоремы много применений, но нас сейчас интересует не сама теорема, а лишь одно-единственное следствие из неё:

Следствие (критерий равенства двух многочленов). Пусть даны два многочлена:

[begin{align}Aleft( x right) &= color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+ color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ ldots + color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}\ Bleft( x right) &= color{blue}{{b}_{n}}{{x}^{n}}+ color{blue}{{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ ldots + color{blue}{{b}_{1}}x+ color{blue}{{b}_{0}}\ end{align}]

Эти два многочлена тождественно равны друг другу (т.е. $Aleft( x right)=Bleft( x right)$ при любом $x$) тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях:

[color{blue}{{a}_{n}}= color{blue}{{b}_{n}}; color{blue}{{a}_{n-1}}= color{blue}{{b}_{n-1}}; ldots ; color{blue}{{a}_{1}}= color{blue}{{b}_{1}}; color{blue}{{a}_{0}}= color{blue}{{b}_{0}}]

Вот тут всё становится на свои места!

Основной алгоритм

Пусть даны два представления одного и того же многочлена. Например, в стандартном виде и разложение на множители:

[begin{align} Pleft( x right) &= color{blue}{{a}_{4}}{{x}^{4}}+ color{blue}{{a}_{3}}{{x}^{3}}+ color{blue}{{a}_{2}}{{x}^{2}}+ color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}= \ &=left( color{blue}{a}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( color{blue}{d}{{x}^{2}}+ color{blue}{e}x+ color{blue}{f} right) end{align}]

Тогда для нахождения неизвестных коэффициентов в любом из этих разложений необходимо выполнить три шага:

1. Раскрыть все скобки и привести подобные, чтобы получить две записи в стандартном виде;
2. Приравнять соответствующие коэффициенты, составить систему уравнений;
3. Решить эту систему и правильно интерпретировать ответ.

Вот и вся суть метода. Первые два пункта очевидны. Проблемы возникают лишь на третьем шаге, поскольку зачастую системы уравнений получаются нелинейными. И мы детально разберём, как решать подобные системы.

Но для начала — парочка простых задач.:)

Задача 1.1. Основная идея

Задача. Найдите числа $a$, $b$, $c$, при которых многочлены $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ равны:

[begin{align}Pleft( x right) &=2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-5x-2\ Qleft( x right) &=left( ax+3 right)left( {{x}^{3}}-b right)-3x+c\ end{align}]

Решение. Согласно Теореме 1, многочлены $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ равны, когда в точности равны их коэффициенты. Поэтому раскроем скобки в многочлене $Qleft( x right)$ и найдём эти коэффициенты:

[begin{align}Qleft( x right) &=a{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-abx-3b-3x+c= \ &=color{blue}{a}{{x}^{4}}+ color{blue}{3}{{x}^{3}}+left( color{blue}{-ab-3} right)x+left( color{blue}{c-3b} right) end{align}]

Для удобства коэффициенты выделены синим цветом. Сравним их с коэффициентами многочлена $Pleft( x right)$:

[begin{align}& color{blue}{a}{{x}^{4}}+ color{blue}{3}{{x}^{3}}+left( color{blue}{-ab-3} right)x+left( color{blue}{c-3b} right)= \ = & color{red}{2}{{x}^{4}}+ color{red}{3}{{x}^{3}}+left( color{red}{-5} right)x+left( color{red}{-2} right) \ end{align}]

Чтобы многочлены были равны, должны выполняться равенства

[color{blue}{a}= color{red}{2};quad color{blue}{-ab-3}= color{red}{-5};quad color{blue}{c-3b}= color{red}{-2}]

Получили систему уравнения, которая легко решается:

[color{blue}{a}= color{red}{2}; color{blue}{b}= color{red}{1}; color{blue}{c}= color{red}{1}]

Ответ: $a=2$, $b=1$, $c=1$.

Задача 1.2. Альтернативный подход

Задача. Найдите числа $a$, $b$, $c$, при которых многочлены $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ равны:

[begin{align}Pleft( x right) &=3{{x}^{4}}+7{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+2\ Qleft( x right) &=left( x+1 right)left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x+c right)\ end{align}]

Решение. Решим эту задачу двумя способами: «чистым» методом неопределённых коэффициентов и с привлечением схемы Горнера.

Способ 1. «Чистый» метод неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки в многочлене $Qleft( x right)$:

[begin{align}Qleft( x right) &=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+cx+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x+c= \ &= color{blue}{a}{{x}^{4}}+left( color{blue}{a+b} right){{x}^{3}}+left( color{blue}{b-1} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{c-1} right)x+ color{blue}{c} end{align}]

Приравниваем многочлены $Qleft( x right)$ и $Pleft( x right)$:

[begin{align}& color{blue}{a}{{x}^{4}}+left( color{blue}{a+b} right){{x}^{3}}+left( color{blue}{b-1} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{c-1} right)x+ color{blue}{c}= \= & color{red}{3}{{x}^{4}}+ color{red}{7}{{x}^{3}}+ color{red}{3}{{x}^{2}}+ color{red}{1}x+ color{red}{2} \ end{align}]

Получим набор из пяти уравнений:

[begin{array}{rrr}color{blue}{a}= color{red}{3}; & color{blue}{b-1}= color{red}{3}; & color{blue}{c}= color{red}{2}.\ color{blue}{a+b}= color{red}{7}; & color{blue}{c-1}= color{red}{1}; & {}\ end{array}]

Решаем систему из этих уравнений и получаем ответ:

[color{blue}{a}=color{red}{3}; color{blue}{b}=color{red}{4}; color{blue}{c}=color{red}{2}]

Способ 2. Привлечение схемы Горнера. Поскольку многочлен $Qleft( x right)$ разложен на множители, сделаем то же самое и с многочленом $Pleft( x right)$ — выделим из него множитель-двучлен $x+1$. Для этого заполним таблицу для $x=color{red}{-1}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r} {} & color{blue}{3} & color{blue}{7} & color{blue}{3} & color{blue}{1} & color{blue}{2}\ hline color{red}{-1} & 3 & 4 & -1 & 2 & color{green}{0}\ end{array}]

Получили остаток $r=color{green}{0}$, и многочлен $Pleft( x right)$ можно переписать так:

[Pleft( x right)=left( x+1 right)left( 3{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-1x+2 right)]

Приравняем многочлены $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$:

[begin{align}&left( x+1 right)left( color{red}{3}{{x}^{3}}+ color{red}{4}{{x}^{2}}+left( color{red}{-1} right)x+ color{red}{2} right)= \ = &left( x+1 right)left( color{blue}{a}{{x}^{3}}+ color{blue}{b}{{x}^{2}}+left( color{blue}{-1} right)x+ color{blue}{c} right) \ end{align}]

И сразу получаем ответ:

[color{blue}{a} =color{red}{3}; color{blue}{b} =color{red}{4}; color{blue}{c} =color{red}{2}]

Ответ: $a=3$, $b=4$, $c=2$.

Если вам непонятно, как работает схема Горнера и при чём тут разложение на множители, см. урок «Схема Горнера» — это ещё один универсальный алгоритм. Который, как и метод неопределённых коэффициентов, будет полезен во многих нестандартных задачах.

2. Разложение многочлена на множители

Переходим к серьёзным задачам. Всё, что мы решали выше, сводилось к простым линейным уравнениям, которые решались обычной подстановкой.

Теперь мы разберём многочлены четвёртой степени — те самые, с которых начинали рассуждения. И заодно научимся решать нелинейные системы методом целочисленного перебора.

Задача 2.1. Самая стандартная

Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+10x+25]

Этот многочлен вообще не имеет действительных корней, в чём легко убедиться, выделив точные квадраты:

[begin{align}Pleft( x right) &=left( {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} right)+left( {{x}^{2}}+10x+25 right)= \ &={{x}^{2}}{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( x+5 right)}^{2}} end{align}]

Полученная сумма равна нулю только если $x=-5$ и одновременно $x=0$ или $x=-1$. Что, очевидно, невозможно. Следовательно, линейных множителей в разложении не будет.

Зато квадратные множители точно будут, поэтому используем метод неопределённых коэффициентов. Предположим, что многочлен раскладывается на произведение двух квадратных трёхчленов:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+ color{blue}{d}x+ color{blue}{e} right)]

Раскрываем скобки и приводим подобные:

[begin{align}Pleft( x right)={{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+ left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ & +left( color{blue}{be+d} right)x+ color{blue}{ce} \ end{align}]

Сравниваем коэффициенты полученного многочлена с коэффициентами исходного:

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+ color{red}{2}{{x}^{3}}+ color{red}{2}{{x}^{2}}+ color{red}{10}x+ color{red}{25}]

Выписываем равенства:

[begin{array}{rr}color{blue}{b+d}= color{red}{2}; & color{blue}{be+dc}= color{red}{10};\ color{blue}{bd+c+e}= color{red}{2}; & color{blue}{ce}= color{red}{25}.\ end{array}]

Получили систему из четырёх нелинейных уравнений. Универсального алгоритма для решения таких систем не существует. Однако здесь хорошо работает метод целочисленного перебора.

Рассмотрим последнее уравнение:

[ color{blue}{c} cdot color{blue}{e}= color{red}{25}]

Какие числа нужно перемножить, чтобы в произведении получилось 25? Вот несколько вариантов:

[begin{align}color{blue}{c} cdotcolor{blue}{e} &= color{red}{1} cdotcolor{red}{25}= color{red}{5} cdotcolor{red}{5} = \ & =left( color{red}{-1} right)cdot left( color{red}{-25} right)= \ & =left( color{red}{-5} right)cdot left( color{red}{-5} right) end{align}]

Рассмотрим вариант, когда $color{blue}{c}= color{red}{5}$ и $color{blue}{e}= color{red}{5}$. Именно он будет правильным ответом, в чём мы сейчас убедимся.

Подставим $color{blue}{c}= color{red}{5}$ и $color{blue}{e}= color{red}{5}$ в оставшиеся три уравнения. Получим систему

[left{ begin{align}b+d &=2 \ bd+5+5 &=2 \ 5b+5d &=10 \ end{align} right.]

Последнее уравнение является следствием первого, поэтому система равносильна двум уравнениям:

[left{ begin{align}b+d &=2 \ bd &=-8 \ end{align} right.]

Эта система имеет два решения, которые легко находятся методом подбора: $color{blue}{b} = color{red}{4}$ и $color{blue}{d}= color{red}{-2}$, либо наоборот $color{blue}{b}= color{red}{-2}$ и $color{blue}{d}= color{red}{4}$. Получаем два варианта разложения:

[begin{align}{{P}_{1}}left( x right) &=left( {{x}^{2}}+ color{red}{4}x+ color{red}{5} right)left( {{x}^{2}}+left( color{red}{-2} right)x+ color{red}{5} right) \ {{P}_{2}}left( x right) &=left( {{x}^{2}}+left( color{red}{-2} right)x+ color{red}{5} right)left( {{x}^{2}}+ color{red}{4}x+ color{red}{5} right) \ end{align}]

Но ведь на самом деле это одно и то же разложение — просто множители поменялись местами. Поэтому мы вправе выбрать любой вариант.

Запишем окончательный ответ:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+4x+5 right)left( {{x}^{2}}-2x+5 right)]

Важное замечание. После приведения подобных и сравнения коэффициентов мы получили систему из нескольких нелинейных уравнений, которые затем начали решать методом целочисленного перебора.

Такие уравнения будут преследовать нас постоянно — это основная трудность метода неопределённых коэффициентов.

Чтобы в процессе перебора не упустить из виду какой-нибудь вариант, целесообразно составлять таблицу всех возможных вариантов. Например, для равенства $color{blue}{c}cdot color{blue}{e}= color{red}{25}$ таблица выглядит так:

[begin{array}{r|r|r|r|r}color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{-1} & color{red}{5} & color{red}{-5}\ hline color{blue}{e} & color{red}{25} & color{red}{-25} & color{red}{5} & color{red}{-5}\ end{array}]

Обратите внимание: в таблице нет варианта $color{blue}{c}= color{red}{25}$, $color{blue}{e}= color{red}{1}$ и $color{blue}{c}= color{red}{-25}$, $color{blue}{e}= color{red}{-1}$, потому что они получаются из первых двух вариантов перестановкой множителей в итоговом разложении.

Тем не менее, в некоторых примерах придётся рассматривать все возможные варианты. Один из таких примеров мы рассмотрим чуть позже, а пока давайте потренируемся на более адекватных задачах.:)

Задача 2.2. Снова стандартная

Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+5{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-4x-2]

Решение. Запишем искомое разложение:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+ color{blue}{d}x+ color{blue}{e} right)]

Нужно найти четыре числа: $color{blue}{b}$, $color{blue}{c}$, $color{blue}{d}$, $color{blue}{e}$. Собственно, это и есть «неопределённые коэффициенты». Раскрываем скобки и приводим подобные:

[begin{align}Pleft( x right)={{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ &+left( color{blue}{be+d} right)x+ color{blue}{ce} \ end{align}]

Сравниваем коэффициенты этого многочлена с коэффициентами исходного:

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+ color{red}{5}{{x}^{3}}+ color{red}{5}{{x}^{2}}+left( color{red}{-4} right)x+left( color{red}{-2} right)]

Получаем четыре уравнения, которые должны выполняться одновременно:

[begin{array}{rr}color{blue}{b+d}= color{red}{5}; & color{blue}{be+dc}= color{red}{-4};\ color{blue}{bd+c+e}= color{red}{5}; & color{blue}{ce}= color{red}{-2}.\ end{array}]

Произведение коэффициентов $color{blue}{c}cdot color{blue}{e}= color{red}{-2}$ — отрицательное число. Положим для определённости, что $color{blue}{c} gt 0$ и $color{blue}{e} lt 0$. Выпишем все возможные варианты:

[begin{array}{r|r|r}color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{2}\ hline color{blue}{e} & color{red}{-2} & color{red}{-1}\ end{array}]

Рассмотрим первый вариант: $color{blue}{c}=color{red}{1}$ и $color{blue}{e}=color{red}{-2}$. Получим систему

[left{ begin{align}b+d &=5 \ bd+1-2 &=5 \ -2b+d &=-4 end{align} right.]

Вычтем почленно из последнего уравнения первое и получим

[begin{align}-3b &=-9 \ color{blue}{b} &= color{red}{3}end{align}]

Подставляем $color{blue}{b}= color{red}{3}$ в первое уравнение и получаем $color{blue}{d}= color{red}{2}$. Найденные значения $color{blue}{b}$ и $color{blue}{d}$ удовлетворяют всем трём равенствам. Следовательно, мы нашли решение системы:

[color{blue}{b}= color{red}{3}; color{blue}{c}= color{red}{1}; color{blue}{d}= color{red}{2}; color{blue}{e}= color{red}{-2}]

Откуда получаем искомое разложение на множители:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+3x+1 right)left( {{x}^{2}}+2x-2 right)]

Важное замечание. К сожалению, в процессе целочисленного перебора далеко не всегда верный вариант будет попадаться сразу, на первом же шаге. Когда я собирал материалы для этого урока, иногда верным оказывался лишь четвёртый вариант из четырёх возможных.:)

Поэтому не переживайте, когда видите несовместную систему. Это нормально и даже неизбежно.

И вообще давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Например, рассмотрим второй вариант в только что решённой задаче: $color{blue}{c}=color{red}{2}$ и $color{blue}{e}=color{red}{-1}$. Это приведёт нас к системе уравнений:

[left{ begin{align}b+d &=5 \ bd+2-1 &=5 \ -b+2d &=-4 end{align} right.]

Складываем первое уравнение с последним — и тут же получаем проблему:

[begin{align}3d &=1 \ color{blue}{d} &= color{red}{{1}/{3};} \ end{align}]

Получили дробный коэффициент $color{blue}{d}$, откуда следует, что коэффициент $color{blue}{b}$ тоже дробный:

[color{blue}{b}=5- color{blue}{d}=color{red}{{14}/{3};}]

Но тогда не выполняется второе равенство. Следовательно, система несовместна.

Задача 2.3. Упрощённые выкладки

Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+32x-10]

В этот раз распишу всё кратко — только основные выкладки. Разложим многочлен $Pleft( x right)$ на два квадратных трёхчлена:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+ color{blue}{d}x+ color{blue}{e} right)]

Раскрываем скобки, приводим подобные:

[begin{align}Pleft( x right)={{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ &+left( color{blue}{be+d} right)x+ color{blue}{ce} \ end{align}]

Сравниваем с исходным многочленом:

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+ color{red}{1}{{x}^{3}}+ color{red}{3}{{x}^{2}}+ color{red}{32}x+left( color{red}{-10} right)]

Получаем четыре уравнения:

[begin{array}{rr}color{blue}{b+d}= color{red}{1}; & color{blue}{be+dc}= color{red}{32};\ color{blue}{bd+c+e}= color{red}{3}; & color{blue}{ce}= color{red}{-10}.\ end{array}]

Поскольку $color{blue}{ce}= color{red}{-10} lt 0$, положим $color{blue}{c} gt 0$, $color{blue}{e} lt 0$. Возможные варианты:

[begin{array}{r|r|r|r|r}color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{2} & color{red}{5} & color{red}{10} \ hline color{blue}{e} & color{red}{-10} & color{red}{-5} & color{red}{-2} & color{red}{-1} \ end{array}]

Первые три варианта дают несовместные системы с дробными коэффициентами $color{blue}{b}$ и $color{blue}{d}$ (проверьте это!). Рассмотрим последний вариант: $color{blue}{c}= color{red}{10}$, $color{blue}{e}= color{red}{-1}$. Получим систему

[left{ begin{align}b+d &=1 \ bd+10-1 &=3 \ -b+10d &=32 end{align} right.]

Решение системы: $color{blue}{b}= color{red}{-2}$, $color{blue}{d}= color{red}{3}$. Окончательное разложение на множители:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-2x+10 right)left( {{x}^{2}}+3x-1 right)]

3. Решение уравнений методом неопределённых коэффициентов

Одно из важнейших приложений метода неопределённых коэффициентов — это решение уравнений высших степеней. В самом деле, зачем мы раскладываем многочлен $Pleft( x right)$ на множители? Обычно по одной из двух причин:

1. Решить уравнение $Pleft( x right)=0$. Ведь произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю;
2. Сократить рациональную дробь вида ${Pleft( x right)}/{Qleft( x right)};$. В этом случае многочлен $Qleft( x right)$ также придётся разложить на множители.

Про рациональные дроби мы поговорим в отдельном уроке (см. урок «Разложение на простейшие»). А вот уравнения мы разберём сейчас.

Допустим, нужно решить уравнение вида

[color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+ color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ ldots + color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}=0]

В левой части равенства стоит стандартный многочлен. И если коэффициенты многочлена целые, то мы уже знаем как минимум два способа решения таких уравнений:

• Теорема Безу для отыскания рациональных корней-кандидатов;
• Схема Горнера для быстрой проверки этих кандидатов.

И эта связка отлично работает, когда многочлен имеет рациональные корни вида $x={color{blue}{p}}/{color{red}{q}};$. Вот буквально: мы найдём все такие корни и решим уравнение.

А если корни иррациональны? Безу и Горнер тут бесполезны. Зато полезным оказывается разложение на множители, когда вместо большого и страшного многочлена $Pleft( x right)$ в левой части уравнения появится произведение двух многочленов меньшей степени:

[Hleft( x right)cdot Qleft( x right)=0]

А дальше всё стандартно: произведение равно нулю, когда $Hleft( x right)=0$ или $Qleft( x right)=0$. И вот мы свели исходную задачу к двум уравнениям меньших степеней, которые наверняка легко решаются.:)

Задача 3.1. «Нерешаемое» уравнение

Задача. Решите уравнение методом неопределённых коэффициентов

[{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x-3=0]

Это приведённое целочисленное уравнение, но его нельзя решить по теореме Безу и схеме Горнера. Ведь целые корни этого уравнения являются делителями свободного члена $color{blue}{{a}_{0}}=-3$. Таких делителей ровно четыре:

[x=pm 1; pm 3]

И все они дают ненулевой остаток в схеме Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r} {} & color{blue}{1} & color{blue}{2} & color{blue}{3} & color{blue}{2} & color{blue}{-3}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & 3 & 6 & 8 & color{red}{5}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & 1 & 2 & 0 & color{red}{-3}\ hlinecolor{red}{3} & 1 & 5 & 18 & 56 & color{red}{165}\ hlinecolor{red}{-3} & 1 & -1 & 6 & -16 & color{red}{45}\ end{array}]

Остаётся только метод неопределённых коэффициентов. Разложим уравнение на произведение двух квадратных трёхчленов:

[left( {{x}^{2}}+color{blue}{b}x+color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+color{blue}{d}x+color{blue}{e} right)=0]

Раскроем скобки и приведём подобные в правой части равенства:

[begin{align}{{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+ left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ &+ left( color{blue}{be+dc} right)x+ color{blue}{ce}=0 \ end{align}]

Вспоминаем коэффициенты многочлена в исходном уравнении:

[{{x}^{4}}+ color{red}{2}{{x}^{3}}+ color{red}{3}{{x}^{2}}+ color{red}{2}x+left( color{red}{-3} right)=0]

Получаем уже привычный набор из четырёх уравнений:

[begin{array}{rr} color{blue}{b+d}=color{red}{2}; & color{blue}{be+dc}=color{red}{2};\ color{blue}{bd+c+e}=color{red}{3}; & color{blue}{ce}=color{red}{-3}.\ end{array}]

Рассмотрим последнее уравнение: $color{blue}{ce}=color{red}{-3}$. Произведение отрицательно, значит, множители разных знаков. Без ограничения общности положим $color{blue}{c} gt color{red}{0}$, $color{blue}{e} lt color{red}{0}$. Составим таблицу вариантов:

[begin{array}{r|r|r} color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{3}\ hlinecolor{blue}{e} & color{red}{-3} & color{red}{-1}\ end{array}]

Итого два варианта. Рассмотрим первый вариант: $color{blue}{c}=color{red}{1}$, $color{blue}{e}=color{red}{-3}$. Получим систему

[left{ begin{align}b+d &=2\ bd+1-3 &=3\ -3b+d &=2 end{align} right.]

Вычитая из первого уравнения последнее, получаем $color{blue}{b}=color{red}{0}$, $color{blue}{d}=color{red}{2}$, что противоречит второму уравнению. Система несовместна.

Второй вариант: $color{blue}{c}=color{red}{3}$, $color{blue}{e}=color{red}{-1}$. Система уравнений:

[left{ begin{align}b+d &=2 \ bd+3-1 &=3 \ -b+3d &=2 end{align} right.]

Складывая первое и последнее уравнение, получаем $color{blue}{b}=color{red}{1}$, $color{blue}{d}=color{red}{1}$. При подстановке во второе уравнение получаем верное числовое равенство. Следовательно, мы нашли решение:

[color{blue}{b}=color{red}{1}; color{blue}{c}=color{red}{3}; color{blue}{d}=color{red}{1}; color{blue}{e}=color{red}{-1}]

Переписываем уравнение:

[left( {{x}^{2}}+x+3 right)left( {{x}^{2}}+x-1 right)=0]

Многочлен в первой скобке не имеет действительных корней, во второй — имеет:

[{{x}^{2}}+x-1=0]

Дискриминант положителен:

[D={{1}^{2}}-4cdot 1cdot left( -1 right)=1+4=5]

Корней будет два:

[x=frac{-1pm sqrt{5}}{2}]

Неудивительно, что эти корни не были обнаружены по теореме Безу. Ведь они являются иррациональными.:)

Ответ: $x=frac{-1pm sqrt{5}}{2}$.

Задача 3.2. «Нерешаемое» уравнение — 2

Задача. Решите уравнение методом неопределённых коэффициентов:

[{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2x-6=0]

Это задание похоже на предыдущее, поэтому распишем всё кратко. Ожидаемое разложение на множители:

[left( {{x}^{2}}+color{blue}{b}x+color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+color{blue}{d}x+color{blue}{e} right)=0]

Найдём такое разложение методом неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки, приводим подобные:

[begin{align}{{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+ left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ &+ left( color{blue}{be+dc} right)x+ color{blue}{ce}=0 \ end{align}]

Сравниваем с коэффициентами исходного многочлена:

[{{x}^{4}}+left( color{red}{-4} right){{x}^{3}}+ color{red}{5}{{x}^{2}}+left( color{red}{-2} right)x+left( color{red}{-6} right)=0]

Выписываем четыре уравнения:

[begin{array}{rr} color{blue}{b+d}=color{red}{-4}; & color{blue}{be+dc}=color{red}{-2};\ color{blue}{bd+c+e}=color{red}{5}; & color{blue}{ce}=color{red}{-6}.\ end{array}]

Поскольку $color{blue}{ce}=color{red}{-6}$, полагаем $color{blue}{c} gt color{red}{0}$, $color{blue}{e} lt color{red}{0}$. Возможные варианты

[begin{array}{r|r|r|r|r} color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{2} & color{red}{3} & color{red}{6}\ hlinecolor{blue}{e} & color{red}{-6} & color{red}{-3} & color{red}{-2} & color{red}{-1}\ end{array}]

Перебирая варианты, обнаруживаем, что правильная комбинация — это $color{blue}{c}=color{red}{3}$, $color{blue}{e}=color{red}{-2}$:

[left{ begin{align} b+d &=-4 \ bd+3-2 &=5 \ -2b+3d &=-2 end{align} right.]

Дважды прибавим к последнему уравнению первое — получим

[begin{align} 5d&=-10 \ color{blue}{d} &= color{red}{-2} \ color{blue}{b} &= color{red}{-2} end{align}]

Следовательно, исходное уравнение примет вид

[left( {{x}^{2}}-2x+3 right)left( {{x}^{2}}-2x-2 right)=0]

Многочлен в первой скобке корней не имеет (в этом легко убедиться, посчитав дискриминант). Рассмотрим вторую скобку:

[{{x}^{2}}-2x-2=0]

Дискриминант положительный:

[D={{left( -2 right)}^{2}}-4cdot1cdot left( -2 right)=4+8=12]

Уравнение имеет два корня:

[x=frac{2pm sqrt{12}}{2}=frac{2pm 2sqrt{3}}{2}=1pm sqrt{3}]

Ответ: $x=1pm sqrt{3}$.

Задача 3.3. Более сложное уравнение

Задача. Решите уравнение методом неопределённых коэффициентов:

[2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-6x-3=0]

Это уравнение принципиально отличается от предыдущих тем, что старший коэффициент $color{blue}{{a}_{4}}=2$. Многочлен не является приведённым, поэтому разложение на множители, вообще говоря, выглядит так:

[left( color{blue}{a}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( color{blue}{d}{{x}^{2}}+ color{blue}{e}x+ color{blue}{f} right)=0]

Итого шесть неизвестных коэффициентов. Для сравнения: раньше их было всего четыре.

Однако задачу можно существенно упростить, если сделать два допущения:

1. Оба старших коэффициента — $color{blue}{a}$ и $color{blue}{d}$ — являются целыми и положительными.
2. Положим для определённости, что $color{blue}{a} gt color{blue}{d}$.

В этом и состоит ключевая идея метода неопределённых коэффициентов: мы вводим дополнительные ограничения, которые в итоге почти наверняка выполняются. Да, есть небольшой риск «промахнуться» в своих допущениях, но это компенсируется многократным упрощением дальнейших выкладок.

В нашем случае из двух допущений немедленно следует, что $color{blue}{a}=color{red}{2}$, $color{blue}{b}=color{red}{1}$, и уравнение примет вид

[left( color{red}{2}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+ color{blue}{e}x+ color{blue}{f} right)=0]

Осталось всего четыре неизвестных коэффициента. Раскроем скобки и приведём подобные:

[begin{align}color{red}{2}{{x}^{4}}+left( color{blue}{b+2e} right){{x}^{3}} &+left( color{blue}{be+c+2f} right){{x}^{2}}+ \ &+left( color{blue}{bf+ce} right)x+ color{blue}{cf}=0 \ end{align}]

Сравним с коэффициентами исходного уравнения:

[color{red}{2}{{x}^{4}}+left( color{red}{-4} right){{x}^{3}}+color{red}{1}{{x}^{2}}+left( color{red}{-6} right)x+left( color{red}{-3} right)=0]

Получим четыре уравнения, но из-за коэффициента $color{blue}{a}=color{red}{2}$ они отличаются от привычных:

[begin{array}{rr} color{blue}{b+2e}= color{red}{-4}; & color{blue}{bf+ce}= color{red}{-6};\ color{blue}{be+c+2f}= color{red}{1}; & color{blue}{cf}= color{red}{-3}.\ end{array}]

Многочлены в первой и второй скобке не являются взаимозаменяемыми (поскольку у них разные коэффициенты при ${{x}^{2}}$), поэтому необходимо рассмотреть все возможные комбинации, дающие $color{blue}{cf}= color{red}{-3}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r} color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{3} & color{red}{-1} & color{red}{-3}\ hlinecolor{blue}{f} & color{red}{-3} & color{red}{-1} & color{red}{3} & color{red}{1}\ end{array}]

Рассмотрим каждую комбинацию. В первом случае быстро обнаружится, что система несовместна. А вот второй случай, когда $color{blue}{c}= color{red}{3}$ и $color{blue}{f}= color{red}{-1}$, представляет интерес:

[left{ begin{align}b+2e &=-4 \ be+3-2 &=1 \ -b+3e &=-6 end{align} right.]

Складываем первое уравнение с последним — получаем

[begin{align}5e &=-10 \ color{blue}{e} &= color{red}{-2} \ color{blue}{b} &= color{red}{0} end{align}]

Итак, система совместна. Получили разложение на множители:

[left( 2{{x}^{2}}+3 right)left( {{x}^{2}}-2x-1 right)=0]

Многочлен в первых скобках принимает только положительные значения, поэтому не имеет корней:

[2{{x}^{2}}+3ge 0+3 gt 0]

Рассмотрим вторые скобки:

[{{x}^{2}}-2x-1=0]

Это квадратное уравнение. Дискриминант положительный:

[D={{2}^{2}}-4cdot 1cdot left( -1 right)=4+4=8]

Следовательно, уравнение имеет два различных корня:

[x=frac{2pm sqrt{8}}{2}=frac{2pm 2sqrt{2}}{2}=1pm sqrt{2}]

Это и есть корни исходного уравнения четвёртой степени.

Ответ: $x=1pm sqrt{2}$.

4. Деление многочлена на многочлен

Ещё одна задача, где работает метод неопределённых коэффициентов — это деление одного многочлена на другой с остатком. Напомню, что разделить многочлен $Pleft( x right)$ на двучлен $Tleft( x right)$ с остатком — это значит представить его в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot Tleft( x right)+Rleft( x right)]

При этом степень остатка $Rleft( x right)$ должна быть меньше степени делителя $Tleft( x right)$. Кроме того,

[deg Qleft( x right)+deg Tleft( x right)=deg Pleft( x right)]

При соблюдении таких ограничений многочлены $Qleft( x right)$ и $Rleft( x right)$ всегда определяются однозначно. Их коэффициенты мы как раз и будем находить.

Задача 4.1. Деление на двучлен

Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Qleft( x right)$ и остаток $Rleft( x right)$ при делении многочлена

[Pleft( x right)={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+15x-6]

на двучлен $Tleft( x right)=x-3$.

Итак, мы хотим представить многочлен $Pleft( x right)$ в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-3 right)+Rleft( x right)]

где $Qleft( x right)$ — неполное частное. Точнее, $Qleft( x right)$ — квадратный трёхчлен, потому что

[begin{align} deg Qleft( x right) &=deg Pleft( x right)-deg Tleft( x right)= \ &=3-1=2end{align}]

Кроме того, степень делителя $deg Tleft( x right)=1$, поэтому степень остатка $deg Rleft( x right)=0$, т.е. $Rleft( x right)$ — это просто число. С учётом этих фактов многочлен $Pleft( x right)$ примет вид

[Pleft( x right)=left( color{blue}{a}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( x-3 right)+ color{blue}{d}]

Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые:

[Pleft( x right)= color{blue}{a}{{x}^{3}}+left( color{blue}{b-3a} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{c-3b} right)x+left( color{blue}{d-3c} right)]

С другой стороны, изначально тот же многочлен $Pleft( x right)$ имел вид

[Pleft( x right)= color{red}{1}{{x}^{3}}+left( color{red}{-5} right){{x}^{2}}+ color{red}{15}x+left( color{red}{-6} right)]

Приравниваем коэффициенты и получаем четыре равенства:

[begin{array}{rr} color{blue}{a}= color{red}{1}; & color{blue}{c-3b}= color{red}{15};\ color{blue}{b-3a}= color{red}{-5}; & color{blue}{d-3c}= color{red}{-6}.\ end{array}]

Это система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, которая легко решается:

[color{blue}{a}= color{red}{1}; color{blue}{b}= color{red}{-2}; color{blue}{c}= color{red}{9}; color{blue}{d}= color{red}{21}]

Подставим найденные числа в $Qleft( x right)$ и $Rleft( x right)$:

[begin{align} & Qleft( x right)={{x}^{2}}-2x+9 \ & Rleft( x right)=21 \end{align}]

Ответ: $Qleft( x right)={{x}^{2}}-2x+9$, $Rleft( x right)=21$.

Поскольку мы делим $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{3}$, составим таблицу для $x=color{red}{3}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r} {} & color{blue}{1} & color{blue}{-5} & color{blue}{15} & color{blue}{-6}\ hlinecolor{red}{3} & 1 & -2 & 9 & color{green}{21}\ end{array}]

Перепишем многочлен $Pleft( x right)$ согласно этой таблице и сравним с записью для метода неопределённых коэффициентов:

[begin{align}Pleft( x right) &=left( color{red}{1}{{x}^{2}}- color{red}{2}x+ color{red}{9} right)left( x-color{red}{3} right)+ color{green}{21}= \ &=left( color{blue}{a}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( x- color{red}{3} right)+ color{blue}{d} end{align}]

Получили те же числа, что и при решении «напролом».

Впрочем, такие рассуждения актуальны лишь при делении на двучлен вида $x-color{red}{a}$. В следующем задании они нам уже не помогут.:)

Задача 4.2. Многочлен с параметром

Задача. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен

[Pleft( x right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-x+b]

делится без остатка на многочлен

[Tleft( x right)={{x}^{2}}+2x+5]

Решение. Если многочлен $Pleft( x right)$ делится без остатка на многочлен $Tleft( x right)$, то его можно представить в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot Tleft( x right)]

Здесь многочлен $Qleft( x right)$ — это частное, и его степень равна

[deg Qleft( x right)=deg Pleft( x right)-deg Tleft( x right)=3-2=1]

Итак, $Qleft( x right)$ — линейный двучлен вида $color{blue}{c}x+color{blue}{d}$ (коэффициенты $color{blue}{a}$ и $color{blue}{b}$ уже заняты в условии задачи). Выражение для $Pleft( x right)$ можно переписать так:

[Pleft( x right)=left( color{blue}{c}x+ color{blue}{d} right)left( {{x}^{2}}+2x+5 right)]

Найдём коэффициенты $color{blue}{c}$ и $color{blue}{d}$. Раскрываем скобки (стандартная процедура для метода неопределённых коэффициентов) и приводим подобные:

[Pleft( x right)= color{blue}{c}{{x}^{3}}+left( color{blue}{2c+d} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{5c+2d} right)x+ color{blue}{5d}]

Сравниваем с коэффициентами исходного многочлена:

[Pleft( x right)= color{red}{1}{{x}^{3}}+ color{red}{a}{{x}^{2}}+left( color{red}{-1} right)x+ color{red}{b}]

Приравниваем соответствующие «красные» и «синие» коэффициенты и получаем четыре равенства:

[begin{array}{rr}color{blue}{c}= color{red}{1}; & color{blue}{5c+2}d= color{red}{-1};\color{blue}{2c+d}= color{red}{a}; & color{blue}{5d}= color{red}{b}.\end{array}]

Итак, у нас четыре линейных уравнения и четыре переменных. Эта система имеет только одно решение:

[ color{blue}{a}= color{red}{-1}; color{blue}{b}= color{red}{-15}; color{blue}{c}= color{red}{1}; color{blue}{d}= color{red}{-3}]

Впрочем, нас интересуют лишь переменные $color{blue}{a}$ и $color{blue}{b}$.

Ответ: $a=-1$, $b=-15$.

Задача 4.3. Квадратный трёхчлен

Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Qleft( x right)$ и остаток $Rleft( x right)$ при делении многочлена

[Pleft( x right)=2{{x}^{2}}+3x-3]

на двучлен $Tleft( x right)=2x-1$.

Решение. Частное $Qleft( x right)$ имеет степень

[deg Qleft( x right)=deg Pleft( x right)-deg Tleft( x right)=2-1=1]

Следовательно, $Qleft( x right)$ — линейный двучлен вида $color{blue}{a}x+ color{blue}{b}$, а остаток $Rleft( x right)$ — просто число $color{blue}{c}$. С учётом этого перепишем многочлен $Pleft( x right)$:

[begin{align}Pleft( x right) &=left( ax+b right)left( 2x-1 right)+c= \ &=2a{{x}^{2}}-ax+2bx-b+c= \ &= color{blue}{2a}{{x}^{2}}+left( color{blue}{2b-a} right)x+left( color{blue}{c-b} right) end{align}]

Сравним с исходным видом этого же многочлена:

[Pleft( x right)= color{red}{2}{{x}^{2}}+color{red}{3}x+left( color{red}{-3} right)]

Приравниваем соответствующие коэффициенты — получаем три уравнения:

[color{blue}{2a}=color{red}{2};quadcolor{blue}{2b-a}=color{red}{3};quadcolor{blue}{c-b}=color{red}{-3}]

Эта система легко решается:

[color{blue}{a}=color{red}{1}; color{blue}{b}=color{red}{2}; color{blue}{c}=color{red}{-1}]

Следовательно, неполное частное $Qleft( x right)=x+2$ и остаток $Rleft( x right)=-1$.

Ответ: $Qleft( x right)=x+2$, $Rleft( x right)=-1$.

Задача 4.4. Сложный многочлен

Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Qleft( x right)$ и остаток $Rleft( x right)$ при делении многочлена

[Pleft( x right)={{x}^{5}}-1]

на квадратный трёхчлен $Tleft( x right)={{x}^{2}}+2x-1$.

Решение. На самом деле это несложная задача, но вычислений будет много. Запишем результат деления с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( {{x}^{2}}+2x-1 right)+Rleft( x right)]

Сразу найдём степени неполного частного и остатка:

[begin{align} deg Qleft( x right) &=deg Pleft( x right)-deg Tleft( x right)=5-2=3 \ deg Rleft( x right) & lt deg Tleft( x right)=2Rightarrow deg Rleft( x right)=1 \ end{align}]

Переходим к методу неопределённых коэффициентов. Сначала запишем общий вид многочленов $Qleft( x right)$ и $Rleft( x right)$:

[begin{align}Qleft( x right) &= color{blue}{a}{{x}^{3}}+ color{blue}{b}{{x}^{2}}+ color{blue}{c}x+ color{blue}{d} \ Rleft( x right) &= color{blue}{k}x+ color{blue}{l} \ end{align}]

Пусть вас не пугает большое количество переменных. Это нормально для многочленов высших степеней. Подставим наши выражения в формулу для $Pleft( x right)$:

[begin{align}Pleft( x right) &=left( color{blue}{a}{{x}^{3}}+ color{blue}{b}{{x}^{2}}+ color{blue}{c}x+ color{blue}{d} right)left( {{x}^{2}}+2x-1 right)+ \ &+ color{blue}{k}x+ color{blue}{l} \ end{align}]

Раскрываем скобки. Для удобства запишем одночлены одинаковой степени в одном и том же столбце:

[begin{array}{rrrrrr} color{blue}{a}{{x}^{5}} & + color{blue}{2a}{{x}^{4}} & — color{blue}{a}{{x}^{3}} & {} & {} & {}\ {} & + color{blue}{b}{{x}^{4}} & + color{blue}{2b}{{x}^{3}} & — color{blue}{b}{{x}^{2}} & {} & {}\ {} & {} & + color{blue}{c}{{x}^{3}} & + color{blue}{2c}{{x}^{2}} & — color{blue}{c}x & {}\ {} & {} & {} & + color{blue}{d}{{x}^{2}} & + color{blue}{2d}x & — color{blue}{d}\ {} & {} & {} & {} & + color{blue}{k}x & + color{blue}{l}\ end{array}]

Приводим подобные слагаемые:

[begin{align}Pleft( x right) &=color{blue}{a}{{x}^{5}}+left( color{blue}{2a+b} right){{x}^{4}}+left( color{blue}{-a+2b+c} right){{x}^{3}}+ \ &+left( color{blue}{-b+2c+d} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{-c+2d+k} right)x+left( color{blue}{-d+l} right) \ end{align}]

Сравниваем эту запись с исходным многочленом:

[Pleft( x right)= color{red}{1}cdot {{x}^{5}}+ color{red}{0}cdot {{x}^{4}}+ color{red}{0}cdot {{x}^{3}}+ color{red}{0}cdot {{x}^{2}}+ color{red}{0}cdot x+left( color{red}{-1} right)]

Получаем шесть уравнений, которые последовательно решаются:

[begin{array}{ll}color{blue}{a}= color{red}{1} & color{blue}{d}=b-2c= color{red}{-12}\ color{blue}{b}=-2a= color{red}{-2} & color{blue}{k}=c-2d= color{red}{29}\ color{blue}{c}=a-2b= color{red}{5} & color{blue}{l}=d-1= color{red}{-13}\ end{array}]

Подставим найденные коэффициенты в выражения для $Qleft( x right)$ и $Rleft( x right)$:

[begin{align}Qleft( x right) &={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5x-12 \ Rleft( x right) &=29x-13 \ end{align}]

Мы нашли неполное частное и остаток от деления. Это и есть окончательный ответ.

Ответ: $Qleft( x right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5x-12$, $Rleft( x right)=29x-13$.

5. Выделение точного квадрата

Ещё одно приложение метода неопределённых коэффициентов — это «сворачивание» многочленов по формулам сокращённого умножения:

[begin{align}{{left( apm b right)}^{2}} &={{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}} \ {{left( apm b right)}^{3}} &={{a}^{3}}pm 3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}pm {{b}^{3}} \ end{align}]

Здесь всё как в разложении на множители: раскрывать скобки и привести подобные легко, а вот обратный переход — по коэффициентам «угадать» формулу сокращённого умножения — операция весьма нетривиальная.

Такие «нетривиальные операции» регулярно встречаются в задачах с параметрами и при работе с корнями. Параметрам посвящён отдельный урок, а вот корни мы рассмотрим прямо сейчас.

Задача 5.1. Избавление от корня

Задача. Упростите выражение

[sqrt{7+4sqrt{3}}]

Решение. Единственное, что здесь можно упростить — это избавиться от внешнего большого корня. Для этого нужно представить подкоренное выражение в виде точного квадрата:

[7+4sqrt{3}={{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{2}}]

Почему именно такая конструкция возводится в квадрат? Всё просто: в исходной сумме мы видим одно слагаемое с корнем и одно слагаемое без него. Для получения такой суммы исходные слагаемые тоже должны быть разными: одно с корнем, а другое — без него.

В этом случае числа $color{blue}{a}$ и $color{blue}{b}$ будут либо рациональными, либо вообще целыми. И в этом вся суть метода неопределённых коэффициентов, потому что найти такие числа не составит особого труда — достаточно раскрыть скобки по формуле квадрата суммы:

[begin{align}{{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{2}} &={color{blue}{a}^{2}}+2color{blue}{ab}sqrt{3}+{{left( color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{2}}= \ &=left( {color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} right)+2color{blue}{ab}sqrt{3} end{align}]

Сравниваем полученное разложение с исходным выражением:

[color{red}{7}+color{red}{4}sqrt{3}=left( {color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} right)+2color{blue}{ab}sqrt{3}]

Чтобы эти выражения были гарантированно равны друг другу, достаточно потребовать, чтобы слагаемые без корня совпадали. Как и слагаемые с корнем:

[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} &=7 \ 2color{blue}{ab} &=4 end{align} right.]

Это нелинейная система с двумя переменными, которая легко решается методом подбора:

[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+3cdot {color{blue}{b}^{2}} &={color{red}{2}^{2}}+3cdot {color{red}{1}^{2}} \ color{blue}{a}cdotcolor{blue}{b} &=color{red}{2}cdotcolor{red}{1} end{align} right.]

Научиться раскладывать целые числа на «правильные» слагаемые и множители — вопрос небольшой практики. Просто попробуйте — и вы поймёте, насколько это быстро и легко.

Нам остаётся лишь записать решение:

[color{blue}{a}=color{red}{2}; color{blue}{b}=color{red}{1}]

Затем подставить найденные числа в исходное выражение:

[begin{align}sqrt{7+4sqrt{3}} &=sqrt{{{left( 2+sqrt{3} right)}^{2}}}= \ &=left| 2+sqrt{3} right|= \ &=2+sqrt{3} end{align}]

Ответ: $2+sqrt{3}$.

Важное замечание. Помните, что корень не просто «сжигает» квадрат вокруг выражения — на их месте появляется модуль:

[sqrt{{{a}^{2}}}=left| a right|]

Потому что арифметический квадратный корень — это по определению всегда неотрицательное число:

[begin{align}sqrt{{{5}^{2}}} &=left| 5 right|=5 \ sqrt{{{left( -8 right)}^{2}}} &=left| -8 right|=8 end{align}]

Когда под модулем стоит иррациональное выражение, его знак следует проверять отдельно. Иначе даже при правильном ответе его можно счесть недостаточно обоснованным.

Если вы забыли, как проверять знаки таких выражений, вернитесь к уроку «Знаки иррациональных выражений». В двух словах: для такой проверки используются либо цепочки неравенств, либо цепочки равносильных преобразований.

В следующем задании мы отработаем оба способа.

Задача 5.2. Предварительные преобразования

Задача. Упростите выражение

[sqrt{37-5sqrt{48}}]

Под корнем мы видим ещё один корень: $sqrt{48}$ — это большое число, с ним сложно работать. Поэтому прежде чем искать точный квадрат, немного упростим выражение:

[begin{align}sqrt{37-5sqrt{48}} &=sqrt{37-5sqrt{color{red}{16}cdot 3}}= \ &=sqrt{37-5cdot color{red}{4}cdot sqrt{3}}= \ &=sqrt{37-20sqrt{3}} end{align}]

Теперь представляем подкоренное выражение в виде точного квадрата

[37-20sqrt{3}={{left( color{blue}{a}- color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{2}}]

Обратите внимание: перед нами квадрат разности. Потому что в исходном подкоренном выражении элементы не складывались, а именно вычитались. Этот факт ещё даст о себе знать, когда будем выяснять знак подмодульного выражения.

Ну а пока всё просто. Сравниваем старую запись и новую:

[color{red}{37}-color{red}{20}sqrt{3}=left( {color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} right)-2color{blue}{ab}sqrt{3}]

Получаем систему уравнений:

[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} &=37 \ 2color{blue}{ab} &=20 end{align} right.]

Второе уравнение перепишем в виде $color{blue}{ab}=10$, а затем разложим правые части равенств на «правильные» слагаемые и множители:

[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+3cdot {color{blue}{b}^{2}} &={color{red}{5}^{2}}+3cdot {color{red}{2}^{2}} \ color{blue}{a}cdotcolor{blue}{b} &=color{red}{5}cdotcolor{red}{2} end{align} right.]

Получили красивое решение:

[color{blue}{a}=color{red}{5}; color{blue}{b}=color{red}{2}]

Возвращаемся к исходному выражению и извлекаем корень:

[sqrt{37-20sqrt{3}}=sqrt{{{left( 5-2sqrt{3} right)}^{2}}}=left| 5-2sqrt{3} right|]

Чтобы раскрыть модуль, нужно выяснить знак иррационального числа $5-2sqrt{3}$. Для этого можно заметить, что $sqrt{3} lt 2$, поэтому

[5-2sqrt{3} gt 5-2cdot 2=1 gt 0]

Это и есть цепочка неравенств. Также можно напрямую сравнить число $5-2sqrt{3}$ с нулём:

[begin{align}5-2sqrt{3} &vee 0 \ 5 &vee 2sqrt{3} \ 25 &vee 12 end{align}]

Очевидно, что $25 gt 12$, поэтому мы ещё раз убеждаемся, что исходное число положительное, и модуль раскрывается со знаком «плюс»:

[left| 5-2sqrt{3} right|=5-2sqrt{3}]

Ответ: $5-2sqrt{3}$.

Но всё это были довольно простые примеры с квадратным корнем. Как насчёт корней $n$-й степени?

Задача 5.3. Проблема с корнем

Задача. Упростите выражение

[sqrt[3]{sqrt{10}-3}cdot sqrt[6]{19+6sqrt{10}}]

Решение. Для начала вспомним свойства корней $n$-й кратности. Их можно умножать:

[sqrt[n]{a}cdot sqrt[n]{b}=sqrt[n]{acdot b}]

А также извлекать корень из корня:

[sqrt[k]{sqrt[m]{a}}=sqrt[mcdot k]{a}]

В частности, второй корень из задачи можно переписать так:

[sqrt[6]{19+6sqrt{10}}=sqrt[3]{sqrt{19+6sqrt{10}}}]

Чтобы избавиться от внутреннего квадратного корня, представим подкоренное выражение в виде точного квадрата. Но поскольку $sqrt{10}=sqrt{5}cdot sqrt{2}$, возможны два варианта:

[begin{align}19+6sqrt{10} &={{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{10} right)}^{2}} \ 19+6sqrt{10} &={{left( color{blue}{a}sqrt{2}+ color{blue}{b}sqrt{5} right)}^{2}} \ end{align}]

Однако в исходном выражении (т.е. прямо в условии задачи) есть ещё один $sqrt{10}$, который пока никак не преобразуется и никуда не денется, поэтому целесообразно рассмотреть лишь первый вариант:

[begin{align} color{red}{19}+ color{red}{6}sqrt{10} &={{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{10} right)}^{2}}= \ &=ldots =left( {color{blue}{a}^{2}}+10{color{blue}{b}^{2}} right)+ 2color{blue}{ab}sqrt{10} end{align}]

Получаем стандартную систему:

[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+10{color{blue}{b}^{2}} &=19 \ 2 color{blue}{ab} &=6 end{align} right.]

Второе уравнение равносильно $color{blue}{ab}=3$, и всю систему можно переписать так:

[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+10cdot {color{blue}{b}^{2}} &={color{red}{3}^{2}}+10cdot {color{red}{1}^{2}} \ color{blue}{a} cdotcolor{blue}{b} &= color{red}{3}cdotcolor{red}{1} end{align} right.]

Очевидно, что $color{blue}{a}=color{red}{3}$, $color{blue}{b}=color{red}{1}$, поэтому

[begin{align}sqrt{19+6sqrt{10}} &=sqrt{{{left( 3+sqrt{10} right)}^{2}}}= \ &=left| 3+sqrt{10} right|= \ &=3+sqrt{10} end{align}]

Возвращаемся к исходному заданию:

[sqrt[3]{sqrt{10}-3}cdot sqrt[3]{3+sqrt{10}}=sqrt[3]{{{left( sqrt{10} right)}^{2}}-{{3}^{2}}}=1]

Ответ: 1.

Наконец, рассмотрим задание, где требуется выделить куб суммы и куб разности. Как вы понимаете, это задание совершенно другого уровня сложности.:)

Задача 5.4. Куб суммы и куб разности

Задача. Упростите выражение

[sqrt[3]{10+6sqrt{3}}+sqrt[3]{10-6sqrt{3}}]

Чтобы «красиво» извлечь корень третьей степени, нужно представить подкоренное выражение в виде точного куба. Начнём с суммы:

[begin{align}color{red}{10}+ color{red}{6}sqrt{3} &={{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{3}}= \ &={color{blue}{a}^{3}}+3{color{blue}{a}^{2}} color{blue}{b}sqrt{3}+3color{blue}{a}{color{blue}{b}^{2}}cdot 3+{color{blue}{b}^{3}}cdot 3sqrt{3}= \ &=left( {color{blue}{a}^{3}}+9color{blue}{a}{color{blue}{b}^{2}} right)+left( 3{color{blue}{a}^{2}}color{blue}{b}+3{color{blue}{b}^{3}} right)sqrt{3} end{align}]

Получаем систему с двумя неизвестными:

[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+9color{blue}{a}{color{blue}{b}^{2}} &=10 \ 3{color{blue}{a}^{2}}color{blue}{b}+3{color{blue}{b}^{3}} &=6 end{align} right.]

Методом подбора находим решение: $color{blue}{a}=color{red}{1}$, $color{blue}{b}=color{red}{1}$. Несмотря на грозный внешний вид, такие системы часто легко решаются простым перебором с проверкой:

[{{left( 1+1cdot sqrt{3} right)}^{3}}=1+3sqrt{3}+9+3sqrt{3}=10+6sqrt{3}]

Возвращаемся к исходному выражению:

[begin{align}& sqrt[3]{10+6sqrt{3}}+sqrt[3]{10-6sqrt{3}}= \ = &sqrt[3]{left( 1+sqrt{3} right)}+sqrt[3]{left( 1-sqrt{3} right)}= \ = & 1+sqrt{3}+1-sqrt{3}=2 \ end{align}]

Ответ: 2.

6. Избавление от иррациональности в знаменателе

Последний приём, который мы рассмотрим в этом уроке — избавление от иррациональностей в знаменателе с помощью неопределённых коэффициентов.

Из курса алгебры мы помним, как избавлять от простых иррациональностей. Например, домножение на квадратный корень:

[frac{1}{sqrt{2}}=frac{1cdotcolor{red}{sqrt{2}}}{sqrt{2}cdotcolor{red}{sqrt{2}}}=frac{sqrt{2}}{2}]

Или домножение на сопряжённое:

[frac{1}{sqrt{3}-1}=frac{1cdot left( color{red}{sqrt{3}+1} right)}{left( sqrt{3}-1 right)cdot left( color{red}{sqrt{3}+1} right)}=frac{sqrt{3}+1}{2}]

Но всё это касается лишь самых простых корней — квадратных. Уже в случае с кубическими корнями такой фокус не пройдёт. Тут-то на помощь к нам и приходят коэффициенты-переменные.

Задача 6.1. Корень третьей степени

Задача. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

[frac{10}{1+sqrt[3]{9}}]

Поскольку это иррациональное число, то никакие преобразования не избавят нас от корней полностью.

Заметим, что $sqrt[3]{9}=sqrt[3]{3}cdot sqrt[3]{3}$. Попробуем возвести число $sqrt[3]{3}$ в разные степени:

[begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\ hline{{left( sqrt[3]{3} right)}^{n}} & sqrt[3]{3} & sqrt[3]{9} & 3 & 3sqrt[3]{3} & 3sqrt[3]{9} & 9\ end{array}]

Итак, все степени числа $sqrt[3]{3}$ можно разделить на три типа:

1. Целые числа $color{blue}{a}in mathbb{Z}$;
2. Иррациональные выражения вида $color{blue}{b}sqrt[3]{3}$ где $color{blue}{b}in mathbb{Z}$;
3. Выражения вида $color{blue}{c}sqrt[3]{9}$, где $color{blue}{c}in mathbb{Z}$.

Логично предположить (и это можно доказать), что результат деления на $1+sqrt[3]{9}$ можно представить в виде комбинации слагаемых этих трёх типов:

[frac{10}{1+sqrt[3]{9}}=color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9}]

Однако нам неизвестны коэффициенты $color{blue}{a}$, $color{blue}{b}$ и $color{blue}{c}$. Найти их — в этом и состоит суть задачи.:)

И тут к делу подключается метод неопределённых коэффициентов. Преобразуем уравнение так, чтобы найти эти коэффициенты. Для начала умножим обе части на $1+sqrt[3]{9}$:

[10=left( 1+sqrt[3]{9} right)left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9} right)]

Раскрываем скобки:

[color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9}+ color{blue}{a}sqrt[3]{9}+ 3color{blue}{b}+ 3color{blue}{c}sqrt[3]{3}=10]

Группируем слагаемые относительно одинаковых корней:

[begin{align}& left( color{blue}{a}+ 3color{blue}{b} right)+left( color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} right)sqrt[3]{3}+left( color{blue}{a} + color{blue}{c} right)sqrt[3]{9}= \ = &color{red}{10}+ color{red}{0}cdot sqrt[3]{3}+ color{red}{0}cdot sqrt[3]{9} \ end{align}]

Выше мы предположили, что все коэффициенты $color{blue}{a}$, $color{blue}{b}$, $color{blue}{c}$ — целые (в крайнем случае рациональные). Следовательно, множители при корнях $sqrt[3]{3}$ и $sqrt[3]{9}$ должны быть равны нулю (иначе число слева будет иррациональным):

[begin{align}color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} &= color{red}{0} \ color{blue}{a}+ color{blue}{c} &= color{red}{0} end{align}]

С учётом этих двух условий само уравнение примет вид

[color{blue}{a}+ 3color{blue}{b}= color{red}{10}]

Получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

[left{ begin{align}color{blue}{a}+ 3color{blue}{b} &= color{red}{10} \ color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} &= color{red}{0} \ color{blue}{a}+ color{blue}{c} &= color{red}{0} end{align} right.]

Все уравнения линейные, система решается элементарно. Решением будут числа $color{blue}{a}= color{red}{1}$, $color{blue}{b}= color{red}{3}$, $color{blue}{c}= color{red}{-1}$, поэтому исходное выражение можно переписать так:

[frac{10}{1+sqrt[3]{9}}= color{red}{1}+ color{red}{3}cdot sqrt[3]{3}- color{red}{1}cdot sqrt[3]{9}]

Ответ: $1+3sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9}$.

Важное замечание. Чтобы избавиться от иррациональности конкретно в этой задаче, достаточно было домножить числитель и знаменатель дроби на недостающую часть куба суммы:

[begin{align} frac{10}{1+sqrt[3]{9}} &=frac{10cdot left( color{red}{1-sqrt[3]{9}+sqrt[3]{{{9}^{2}}}} right)}{left( 1+sqrt[3]{9} right)left( color{red}{1-sqrt[3]{9}+sqrt[3]{{{9}^{2}}}} right)}= \ &=ldots =1+3sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9} end{align}]

Однако такой подход не работает, когда в знаменателе стоит конструкция вида $color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9}$. А метод неопределённых коэффициентов работает всегда.:)

Попробуем решить ещё одну задачу такого же типа.

Задача 6.2. То же самое, но чуть сложнее

Задача. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

[frac{46}{2-3sqrt[3]{2}}]

Решение. Найдём несколько степеней числа $sqrt[3]{2}$:

[begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\ hline{{left( sqrt[3]{2} right)}^{n}} & sqrt[3]{2} & sqrt[3]{4} & 2 & 2sqrt[3]{2} & 2sqrt[3]{4} & 4\ end{array}]

На будущее: для корня $n$-й степени достаточно рассмотреть первые $n$ степеней. В нашем случае достаточно было выписать $sqrt[3]{2}$, $sqrt[3]{4}$ и $sqrt[3]{8}=2$ — новых иррациональных чисел мы уже не получим.

Итак, решаем задачу методом неопределённых коэффициентов. Попробуем подобрать целые (или рациональные) числа $color{blue}{a}$, $color{blue}{b}$, $color{blue}{c}$ такие, что

[frac{46}{2-3sqrt[3]{2}}= color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{2}+ color{blue}{c}sqrt[3]{4}]

Умножаем обе части уравнения на $2-3sqrt[3]{2}$:

[left( 2-3sqrt[3]{2} right)left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{2}+ color{blue}{c}sqrt[3]{4} right)=46]

Раскрываем скобки, приводим подобные:

[begin{align}2color{blue}{a}+ 2color{blue}{b}sqrt[3]{2}+ 2color{blue}{c}sqrt[3]{4} -3color{blue}{a}sqrt[3]{2} -3color{blue}{b}sqrt[3]{4} -6color{blue}{c} &= color{red}{46} \ left( 2color{blue}{a}- 6color{blue}{c} right)+left( 2color{blue}{b}- 3color{blue}{a} right)sqrt[3]{2}+left( 2color{blue}{c}- 3color{blue}{b} right)sqrt[3]{4} &= color{red}{46}end{align}]

Это равенство верно при соблюдении трёх условий:

[left{ begin{align}2color{blue}{a}- 6color{blue}{c} &= color{red}{46} \ 2color{blue}{b}- 3color{blue}{a} &=color{red}{0} \ 2color{blue}{c}- 3color{blue}{b} &=color{red}{0} \ end{align} right.]

Это система из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Её решение:

[color{blue}{a}= color{red}{-4}; color{blue}{b}= color{red}{-6}; color{blue}{c}= color{red}{-9}]

Следовательно, исходное выражение можно переписать так:

[frac{46}{2-3sqrt[3]{2}}= color{red}{-4-6}cdot sqrt[3]{2} color{red}{-9}cdot sqrt[3]{4}]

Ответ: $-4-6sqrt[3]{2}-9sqrt[3]{4}$.

Важное замечание. Здесь тоже можно «составить» куб суммы в знаменателе:

[begin{align}frac{46}{2-3sqrt[3]{2}} &=frac{46cdot left( color{red}{{{2}^{2}}+2cdot 3sqrt[3]{2}+9sqrt[3]{4}} right)}{{{2}^{3}}-{{left( 3sqrt[3]{2} right)}^{3}}} \ &= ldots =-4-6sqrt[3]{2}-9sqrt[3]{4} end{align}]

Почему не использовать этот приём всегда? Потому что в следующей задаче он уже не сработает. Там помогут только неопределённые коэффициенты и решение системы уравнений.

Задача 6.3. Когда кубы уже не помогают

Это задание чуть сложнее, потому что здесь не помогут формулы сокращённого умножения. Да и сами вычисления будут чуть сложнее, чем в предыдущих задачах.

Задача. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

[frac{2}{1+sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9}}]

Мы уже встречались с числами $sqrt[3]{3}$ и $sqrt[3]{9}$, поэтому знаем, что исходное выражение можно представить в виде

[frac{2}{1+sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9}}= color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9}]

Преобразуем выражение, избавившись от дроби:

[left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9} right)cdot left( 1+sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9} right)= color{red}{2}]

Раскроем скобки, приведём подобные:

[begin{align}left( color{blue}{a}- 3color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} right) &+left( color{blue}{a}+ color{blue}{b} -3color{blue}{c} right)sqrt[3]{3}+ \ &+left( -color{blue}{a}+ color{blue}{b}+ color{blue}{c} right)sqrt[3]{9}= color{red}{2} \ end{align}]

Это равенство возможно при соблюдении трёх условий:

[left{ begin{align}color{blue}{a}- 3color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} &= color{red}{2} \ color{blue}{a}+ color{blue}{b}- 3color{blue}{c} &= color{red}{0} \ -color{blue}{a}+ color{blue}{b}+ color{blue}{c} &= color{red}{0} end{align} right.]

Три линейных уравнения, три переменных. Всё решается легко:

[color{blue}{a}= color{red}{2}; color{blue}{b}= color{red}{1}; color{blue}{c}= color{red}{1}]

Следовательно, исходное выражение перепишется так:

[frac{2}{1+ sqrt[3]{3}- sqrt[3]{9}}= color{red}{2}+ color{red}{1}cdot sqrt[3]{3}+ color{red}{1}cdot sqrt[3]{9}]

Ответ: $2+sqrt[3]{3}+sqrt[3]{9}$.

Как видите, никакие кубы суммы здесь уже не помогут.:)

7. Зачем всё это нужно

В этом уроке мы рассмотрели пять типов задач, которые можно решить методом неопределённых коэффициентов. У внимательного читателя наверняка возник вопрос: зачем вообще нужен этот метод, когда многие из этих задач можно решить проще и быстрее с помощью отдельных специальных приёмов?

В самом деле:

• Большинство многочленов отлично раскладываются на множители с помощью теоремы Безу и схемы Горнера — об этом мы говорили в отдельном уроке. Но только при условии, что среди корней есть рациональные.
• То же самое можно сказать и про решение уравнений.
• Делить многочлены друг на друга с остатком вообще лучше столбиком. Это самый быстрый и самый надёжный способ — при условии, что среди коэффициентов нет параметров.
• Точные квадраты зачастую можно подобрать, если немного подумать. Как и дополнительные множители для избавления от иррациональности. Если только это не «тяжёлый» случай, где формулы сокращённого умножения не работают.

Так зачем же нужен метод неопределённых коэффициентов? Всё дело в тех самых оговорках: «при условии», «только если не тяжёлый случай» и т.д.

Основная сила этого метода — в его универсальности. Да, считать придётся чуть больше, чем при использовании более специализированных приёмов. И да: целочисленный перебор не всегда приводит нас к успеху.

Но перед нами прежде всего универсальный алгоритм. Который точно работает — всегда, везде, без всяких оговорок. И если задача не решается методом неопределённых коэффициентов, то «специализированные» приёмы тем более не помогут.

Более того: область применения этого метода намного шире. Например, мы не рассмотрели разложение рациональных дробей в простейшие, а это очень важный приём, например, в интегрировании — и ему тоже нет альтернативы.

Поэтому берите на вооружение всё, что вы сегодня узнали, практикуйтесь — и да прибудут с вами решённые задачи, олимпиады и университетские зачёты и экзамены.:)

Смотрите также:

1. Бином Ньютона
2. Схема Горнера
3. Сравнение дробей
4. Четырехугольная пирамида в задаче C2
5. Задача B5: площадь кольца
6. Сечения и двугранные углы

Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.

Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).

Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) =
а₀+ а₁х
+ а₂х² +…+ а
_nxⁿ, заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты
а₀, а₁, а₂, …, а_n
равны нулю.

Теорема №2 (следствие теоремы № 1).

Пусть и f(x) = а₀+а₁х +…+
а
_nxⁿ, и g (x)=
b
₀+
b
₁х + b
₂х² +…+
b_nxⁿ.

Для того чтобы f(x)= g(x)необходимо и достаточно, что бы

а₀=
b₀,
а₁
= b₁,

а₂
= b
₂
,

…, а
_n= b_n

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие использование метода неопределенных коэффициентов.

Деление многочлена на многочлен.

Пример 1. Выполнить деление многочлена х⁵ – 6х³ + 2х² -4 на многочлен
х² – х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х⁵ – 6х³ + 2х²
-4 = (х² – х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х² –
х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:

Q(x) = q ₃x³ + q ₂x² + q ₁x + q₀,

R(x) = r ₁x + r₀.
Подставим Q(x) и R(x):
х⁵ – 6х³ + 2х² -4 = (х² – х + 1)( q
₃x³ + q ₂x² + q ₁x + q₀) + r
₁x + r₀.

Раскроем скобки в правой части равенства:

х⁵ – 6х³ + 2х² -4 =
= q ₃x ⁵ + q ₂x⁴ + q ₁x³ + q
₀x² – q ₃x⁴ — q ₂x³ — q
₁x² –q ₀ x + q ₃x³ + q
₂x² + q ₁x + q ₀ + r ₁x + r₀ =

= q ₃x ⁵ + (q₂ – q₃) x⁴ + (q₁ — q
₂ + q₃) x₃ + (q₀ — q ₁ + q₂) x² + (q₁ – q₀ +r₁) x + q₀ +r₀.

Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:

q₀ +r₀. = — 4, решая которую, получаем q₃
=1, q₂ =1, q₁ =-6,  q₀ =-5, r₁
= 1, r₀ = 1.

Ответ: Q(x) = x³ + x² — 6x — 5, R(x) = x + 1.

Пример 2. Выполнить деление многочлена х⁷ –1 на многочлен х³ + х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что
х⁷ –1 = (х³ + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х³ + х + 1).

Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:
Q(x) = q ₄x⁴ + q ₃x³ + q ₂x² + q
₁x + q₀,
R(x) = r ₂x² + r ₁x + r0.

Подставим Q(x) и R(x):

х⁷ –1 = (х³ + х + 1) (q ₄x⁴ + q ₃x³ + q
₂x² + q ₁x + q₀ ) + ( r ₂x² + r
₁x + r₀ ).

Раскроем скобки в правой части равенства:

х⁷ –1= q ₄x ⁷ + q ₃x⁶ + q
₂x⁵ + q ₁x⁴ + q ₀x ³ + q
₄x⁵ + q ₃x⁴ + q ₂x³ + q
₁x² + q ₀ x +  q ₄x⁴ + q
₃x³ + q ₂x² +q
₁x + q ₀ + r
₂x² +r ₁x + r₀.

х⁷ –1= q ₄x ⁷ + q ₃x⁶+(q₂ + q₄) x⁵+(q₁+ q₃) x⁴+(q₀ + q
₂ + q₃) x³+(q₁ + q₂ +r₂) x² +(q₀ +r₁) x+( q₀ +r₀).

Получаем систему уравнений:

их которой получаем: q₄=1, q₃ = 0, q₂= -1, q₁ = -1, q₀ =1, r₂ = 2, r₁ =0 , r₀ = -2.

Ответ: Q(x) = x⁴ — x² — x + 1, R(x) = 2x² — 2.

Расположение многочлена по степеням.

Возьмем функцию
Поставим перед собой задачу «расположить многочлен по степеням
f(x) по степеням (х-х₀).

Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов а₀, а₁,
…, а_n.
В каждом конкретном случае эти числа найти легко. Действительно, расположим многочлены, находящиеся в левой и правой частях равенства, по степеням x. Так как мы имеем тождество, то (по теореме № 2) коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны между собой. Приравняв коэффициенты правой части соответствующим заданным коэффициентам левой, мы придем к системе
n+1 уравнений с n+1 неизвестными а₀, а₁, …, а_n
,
которую нужно решить.

Пример 3. Расположим многочлен
по степеням.

Решение. Полагаем:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему:

Решая систему, находим:

Ответ:
.

Пример 4. Расположим f(x) = х⁴ — 8х³ + 24х² — 50х + 90 по степеням (х-2).

Решение: Полагаем х₄ — 8х³ + 24х²
— 50х + 90 

Ответ: f(x) =

Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.

Пример 5. Не выполняя действий, представим в виде многочлена стандартного вида
произведение (х — 1)(х + 3)(х + 5).

Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем
члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:

(х — 1)(х + 3)(х + 5) = х³ + ах² + вх — 15, где
а и в — неизвестные коэффициенты.

Для вычисления их положим х = 1 и х = — 3, тогда получим:

откуда а =7, в =
7.

Ответ: х³ +7х² + 7х — 15.

Разложение многочлена на множители

Пример 6. Дан многочлен

Разложим его на множители, если известно, сто все его
корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его
корнями.
Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы
заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует
искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2,
-5, 1 и 3.
Следовательно х⁴+ 3х³ — 15х² — 19х + 30 = (х —
1)(х — 3)(х + 2)(х + 5)

Ответ: (х — 1)(х — 3)(х + 2)(х + 5)

Пример 7. Дан многочлен
.

Разложим его на множители, если известно, сто все его
корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

 

полагая числа a, b, c и d его
корнями.
Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы
заключаем, что они должны быть делителями числа 84. Следовательно, их следует
искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -7,-2,2,3.
Следовательно х⁴+ 4х³ — 25х² — 16х + 84 = (х —
2)(х — 3)(х + 2)(х + 7)

Ответ: (х — 2)(х — 3)(х +2)(х + 7)

Упрощение выражений

Пример 8. Разность
является целым числом. Найдем это число.

Решение: Так как,

Тогда

Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.

Тогда

Решая данную систему уравнений, получим а = 5,
b = -4.

Значит так как

Аналогично устанавливаем, что

Следовательно

Ответ: -10

Пример 9. Является ли разность
целым числом.

Решение: Т.к.

 тогда —
 

Положим
где a и
b
– неизвестные коэффициенты.

Тогда откуда

из второго уравнения
тогда первое уравнение принимает вид

b² = 12,5 — — не удовлетворяет
условию задачи, или b² = 9, откуда
b = -3 или b = 3 — не удовлетворяет числу
Значит, а
= 5.

Аналогично,

Окончательно получаем:
—
иррациональное число.

Ответ: нет.

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Пример 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Решение:

отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем:

с = 4;
b — 4 = 1;
-а + 15 — 8 = 0;
b = 5;
а = 7

Ответ:

Пример 11. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Решение:
,

отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем

Отсюда

Итак

Следовательно

Ответ:

Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений

Пример 12. Решим уравнение х⁴ + х³
— 4х² — 9х — 3 = 0.

Решение: Предположим, что корни уравнения — целые числа, тогда их надо искать
среди чисел 

Если х = 1, то

если х = -1, то

если х = 3, то

если х = -3, то

Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.

Попробуем
разложить многочлен
на множители в следующем виде:

, где
a, b, c и d – целые.
Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c
и d
получаем систему уравнений:

Так как
bd
= -3, то будем искать решения среди вариантов:

Проверим вариант № 2, когда
b = —1; d = 3:

а = -2, с =3

Пример 13. Решить уравнение: х⁴ — 15х²
+ 12х + 5= 0.

Решение: Разложим многочлен f(х) =
х⁴ — 15х² + 12х + 5 на множители в следующем виде:
, где a, b, c и
d -целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c
и d получаем систему уравнений:

Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:

Системе удовлетворяет вариант №2, т.е. а = 3,
b = -1, c = -3, d
= 5.

Итак,

D =13
D = 29

Ответ:

О решении одного класса кубических уравнений.

Пусть дано кубическое уравнение: а ₁ х³ + b ₁х² +с
₁х +d₁ = 0, где а ≠ 0. 
Приведём его к виду х³ + ах² +bх + с = 0 (1), где а =
, в =
, с =

Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение:

Раскроем скобки, сгруппируем:  y³+3у²m + 3ym² + m³ + ay²+ 2aym +am² + by +bm + с = 0,

y³ + y²(a +3m) +y(3m² +2am +b) + m³ +am² +bm + с = 0.

Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:

Решения этой системы: m = —;
a² = 3b. Таким образом, при произвольном с и при
a²
= 3b уравнение подстановкой х = у —
можно привести к двучленному уравнению
третьей степени.

Пример14. Решить уравнение: х ³ + 3х ²+3х — 9 =0.

Решение: В данном уравнении а = 3, в =3, тогда условие
a² = 3b выполняется, а m =
— = -1. Выполним подстановку х = у -1.

Уравнение принимает вид: (у -1)³ +3(у -1)²
+3(у -1) – 9 = 0.

y³ -3y² +3у -1 +3у² – 6у +3 +3у –3 – 9 = 0.

y³ – 10 = 0, откуда у =
, а х =
— 1.

Ответ:
— 1.

Пример15. Решить уравнение: х ³ + 6х ²+ 12х + 5 = 0.

Решение: а = 6, в =12, тогда условие a² = 3b (62 = 3×12) выполняется, а
m =
— = -2.

Выполним подстановку х = у — 2. Уравнение принимает вид: (у -2)³ +6(у
-2)² +12(у -2) + 5 = 0.

у³ – 6у² + 12у – 8 + 6у² -24у + 24 + 12у – 24 + 5 = 0.

у³ – 3 = 0, у =
, а х =
— 2.

Ответ:
– 2.

Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель
работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов,
показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не
отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным
преобразованиям.