На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.
Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!
При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.
Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.
Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.
Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или иррациональным уравнениям со знаком корня. База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.
Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.
Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!
Метод неопределённых коэффициентов
26 июля 2022
Метод неопределённых коэффициентов — это «полуолимпиадный» приём, с помощью которого вы сможете раскладывать на множители многочлены, которые не раскладываются, и решать уравнения, которые не решаются.:)
В двух словах этот метод звучит так:
В любой непонятной ситуации вводим новую переменную. А затем думаем, что с этой переменной делать.
Сегодня мы детально изучим метод неопределённых коэффициентов. Мы разберём столько разных задач, что не понять этот приём будет просто невозможно. И да: речь пойдёт не только о многочленах.:)
Содержание
- Основная идея
- Разложение многочлена на множители
- Решение уравнений
- Деление многочлена на многочлен
- Выделение точного квадрата
- Избавление от иррациональности
- Зачем всё это нужно
1. Основная идея
Чтобы понять основную идею метода неопределённых коэффициентов, рассмотрим простую наводящую задачу. Допустим, у нас есть квадратный трёхчлен, разложенный на множители:
[Pleft( x right)=left( x-3 right)left( x+2 right)]
Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится тот же многочлен, записанный в стандартном виде:
[Pleft( x right)={{x}^{2}}-x-6]
Зная разложение на множители, легко получить стандартный вид многочлена. А вот обратный переход — от стандартного вида к множителям — является вычислительно сложной операцией, но всё ещё возможной: считаем дискриминант, находим корни, вспоминаем теорему Виета и т.д.
Немного усложним задачу. Рассмотрим разложение на множители многочлена четвёртой степени (почему именно четвёртой — см. урок. «Разложение на множители»):
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-3x+1 right)left( {{x}^{2}}+x+4 right)]
Раскроем скобки и приведём подобные. Вновь получим многочлен в стандартном виде:
[Pleft( x right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-11x+4]
Но как выполнить обратную операцию? Как по стандартному виду многочлена определить, на какие множители его можно разложить? Тут на помощь и приходит метод неопределённых коэффициентов.
Проблема разложения на множители
Рассмотрим задачу в общем виде. Допустим, нам нужно разложить на множители многочлен четвёртой степени:
[Pleft( x right)= color{blue}{{a}_{4}}{{x}^{4}}+ color{blue}{{a}_{3}}{{x}^{3}}+ color{blue}{{a}_{2}}{{x}^{2}}+ color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}]
Из курса алгебры мы знаем, что произвольный многочлен не всегда раскладывается на линейные двучлены вида $x-color{red}{a}$. Однако он совершенно точно раскладывается на квадратные трёхчлены вида $color{red}{a}{{x}^{2}}+color{red}{b}x+color{red}{c}$:
[Pleft( x right)=left(color{blue}{a}{{x}^{2}}+color{blue}{b}x+color{blue}{c} right)left( color{blue}{d}{{x}^{2}}+color{blue}{e}x+color{blue}{f} right)]
Записав такое разложение, мы уже наполовину выполнили задачу. Но нам неизвестны коэффициенты $color{blue}{a}$, $color{blue}{b}$, $color{blue}{c}$ и $color{blue}{d}$, $color{blue}{e}$, $color{blue}{f}$. Отсюда, кстати, и название приёма — «метод неопределённых коэффициентов». И чтобы найти эти самые неопределённые коэффициенты, воспользуемся следующей теоремой.
Теорема о нулевом многочлене
Теорема (критерий многочлена, тождественно равного нулю). Многочлен
[Pleft( x right)= color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+ color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ ldots + color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}]
тождественно равен нулю (т.е. при любом значении переменной $x$) тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю:
[color{blue}{{a}_{n}}= color{blue}{{a}_{n-1}}= ldots = color{blue}{{a}_{1}}= color{blue}{{a}_{0}}= color{red}{0}]
Доказательство я вынесу на отдельную страницу (см. урок «Корни многочлена»). Потому что у этой теоремы много применений, но нас сейчас интересует не сама теорема, а лишь одно-единственное следствие из неё:
Следствие (критерий равенства двух многочленов). Пусть даны два многочлена:
[begin{align}Aleft( x right) &= color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+ color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ ldots + color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}\ Bleft( x right) &= color{blue}{{b}_{n}}{{x}^{n}}+ color{blue}{{b}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ ldots + color{blue}{{b}_{1}}x+ color{blue}{{b}_{0}}\ end{align}]
Эти два многочлена тождественно равны друг другу (т.е. $Aleft( x right)=Bleft( x right)$ при любом $x$) тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях:
[color{blue}{{a}_{n}}= color{blue}{{b}_{n}}; color{blue}{{a}_{n-1}}= color{blue}{{b}_{n-1}}; ldots ; color{blue}{{a}_{1}}= color{blue}{{b}_{1}}; color{blue}{{a}_{0}}= color{blue}{{b}_{0}}]
Вот тут всё становится на свои места!
Основной алгоритм
Пусть даны два представления одного и того же многочлена. Например, в стандартном виде и разложение на множители:
[begin{align} Pleft( x right) &= color{blue}{{a}_{4}}{{x}^{4}}+ color{blue}{{a}_{3}}{{x}^{3}}+ color{blue}{{a}_{2}}{{x}^{2}}+ color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}= \ &=left( color{blue}{a}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( color{blue}{d}{{x}^{2}}+ color{blue}{e}x+ color{blue}{f} right) end{align}]
Тогда для нахождения неизвестных коэффициентов в любом из этих разложений необходимо выполнить три шага:
- Раскрыть все скобки и привести подобные, чтобы получить две записи в стандартном виде;
- Приравнять соответствующие коэффициенты, составить систему уравнений;
- Решить эту систему и правильно интерпретировать ответ.
Вот и вся суть метода. Первые два пункта очевидны. Проблемы возникают лишь на третьем шаге, поскольку зачастую системы уравнений получаются нелинейными. И мы детально разберём, как решать подобные системы.
Но для начала — парочка простых задач.:)
Задача 1.1. Основная идея
Задача. Найдите числа $a$, $b$, $c$, при которых многочлены $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ равны:
[begin{align}Pleft( x right) &=2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-5x-2\ Qleft( x right) &=left( ax+3 right)left( {{x}^{3}}-b right)-3x+c\ end{align}]
Решение. Согласно Теореме 1, многочлены $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ равны, когда в точности равны их коэффициенты. Поэтому раскроем скобки в многочлене $Qleft( x right)$ и найдём эти коэффициенты:
[begin{align}Qleft( x right) &=a{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-abx-3b-3x+c= \ &=color{blue}{a}{{x}^{4}}+ color{blue}{3}{{x}^{3}}+left( color{blue}{-ab-3} right)x+left( color{blue}{c-3b} right) end{align}]
Для удобства коэффициенты выделены синим цветом. Сравним их с коэффициентами многочлена $Pleft( x right)$:
[begin{align}& color{blue}{a}{{x}^{4}}+ color{blue}{3}{{x}^{3}}+left( color{blue}{-ab-3} right)x+left( color{blue}{c-3b} right)= \ = & color{red}{2}{{x}^{4}}+ color{red}{3}{{x}^{3}}+left( color{red}{-5} right)x+left( color{red}{-2} right) \ end{align}]
Чтобы многочлены были равны, должны выполняться равенства
[color{blue}{a}= color{red}{2};quad color{blue}{-ab-3}= color{red}{-5};quad color{blue}{c-3b}= color{red}{-2}]
Получили систему уравнения, которая легко решается:
[color{blue}{a}= color{red}{2}; color{blue}{b}= color{red}{1}; color{blue}{c}= color{red}{1}]
Ответ: $a=2$, $b=1$, $c=1$.
Задача 1.2. Альтернативный подход
Задача. Найдите числа $a$, $b$, $c$, при которых многочлены $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$ равны:
[begin{align}Pleft( x right) &=3{{x}^{4}}+7{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+2\ Qleft( x right) &=left( x+1 right)left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x+c right)\ end{align}]
Решение. Решим эту задачу двумя способами: «чистым» методом неопределённых коэффициентов и с привлечением схемы Горнера.
Способ 1. «Чистый» метод неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки в многочлене $Qleft( x right)$:
[begin{align}Qleft( x right) &=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+cx+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x+c= \ &= color{blue}{a}{{x}^{4}}+left( color{blue}{a+b} right){{x}^{3}}+left( color{blue}{b-1} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{c-1} right)x+ color{blue}{c} end{align}]
Приравниваем многочлены $Qleft( x right)$ и $Pleft( x right)$:
[begin{align}& color{blue}{a}{{x}^{4}}+left( color{blue}{a+b} right){{x}^{3}}+left( color{blue}{b-1} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{c-1} right)x+ color{blue}{c}= \= & color{red}{3}{{x}^{4}}+ color{red}{7}{{x}^{3}}+ color{red}{3}{{x}^{2}}+ color{red}{1}x+ color{red}{2} \ end{align}]
Получим набор из пяти уравнений:
[begin{array}{rrr}color{blue}{a}= color{red}{3}; & color{blue}{b-1}= color{red}{3}; & color{blue}{c}= color{red}{2}.\ color{blue}{a+b}= color{red}{7}; & color{blue}{c-1}= color{red}{1}; & {}\ end{array}]
Решаем систему из этих уравнений и получаем ответ:
[color{blue}{a}=color{red}{3}; color{blue}{b}=color{red}{4}; color{blue}{c}=color{red}{2}]
Способ 2. Привлечение схемы Горнера. Поскольку многочлен $Qleft( x right)$ разложен на множители, сделаем то же самое и с многочленом $Pleft( x right)$ — выделим из него множитель-двучлен $x+1$. Для этого заполним таблицу для $x=color{red}{-1}$:
[begin{array}{r|r|r|r|r|r} {} & color{blue}{3} & color{blue}{7} & color{blue}{3} & color{blue}{1} & color{blue}{2}\ hline color{red}{-1} & 3 & 4 & -1 & 2 & color{green}{0}\ end{array}]
Получили остаток $r=color{green}{0}$, и многочлен $Pleft( x right)$ можно переписать так:
[Pleft( x right)=left( x+1 right)left( 3{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-1x+2 right)]
Приравняем многочлены $Pleft( x right)$ и $Qleft( x right)$:
[begin{align}&left( x+1 right)left( color{red}{3}{{x}^{3}}+ color{red}{4}{{x}^{2}}+left( color{red}{-1} right)x+ color{red}{2} right)= \ = &left( x+1 right)left( color{blue}{a}{{x}^{3}}+ color{blue}{b}{{x}^{2}}+left( color{blue}{-1} right)x+ color{blue}{c} right) \ end{align}]
И сразу получаем ответ:
[color{blue}{a} =color{red}{3}; color{blue}{b} =color{red}{4}; color{blue}{c} =color{red}{2}]
Ответ: $a=3$, $b=4$, $c=2$.
Если вам непонятно, как работает схема Горнера и при чём тут разложение на множители, см. урок «Схема Горнера» — это ещё один универсальный алгоритм. Который, как и метод неопределённых коэффициентов, будет полезен во многих нестандартных задачах.
2. Разложение многочлена на множители
Переходим к серьёзным задачам. Всё, что мы решали выше, сводилось к простым линейным уравнениям, которые решались обычной подстановкой.
Теперь мы разберём многочлены четвёртой степени — те самые, с которых начинали рассуждения. И заодно научимся решать нелинейные системы методом целочисленного перебора.
Задача 2.1. Самая стандартная
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
[Pleft( x right)={{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+10x+25]
Этот многочлен вообще не имеет действительных корней, в чём легко убедиться, выделив точные квадраты:
[begin{align}Pleft( x right) &=left( {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+{{x}^{2}} right)+left( {{x}^{2}}+10x+25 right)= \ &={{x}^{2}}{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( x+5 right)}^{2}} end{align}]
Полученная сумма равна нулю только если $x=-5$ и одновременно $x=0$ или $x=-1$. Что, очевидно, невозможно. Следовательно, линейных множителей в разложении не будет.
Зато квадратные множители точно будут, поэтому используем метод неопределённых коэффициентов. Предположим, что многочлен раскладывается на произведение двух квадратных трёхчленов:
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+ color{blue}{d}x+ color{blue}{e} right)]
Раскрываем скобки и приводим подобные:
[begin{align}Pleft( x right)={{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+ left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ & +left( color{blue}{be+d} right)x+ color{blue}{ce} \ end{align}]
Сравниваем коэффициенты полученного многочлена с коэффициентами исходного:
[Pleft( x right)={{x}^{4}}+ color{red}{2}{{x}^{3}}+ color{red}{2}{{x}^{2}}+ color{red}{10}x+ color{red}{25}]
Выписываем равенства:
[begin{array}{rr}color{blue}{b+d}= color{red}{2}; & color{blue}{be+dc}= color{red}{10};\ color{blue}{bd+c+e}= color{red}{2}; & color{blue}{ce}= color{red}{25}.\ end{array}]
Получили систему из четырёх нелинейных уравнений. Универсального алгоритма для решения таких систем не существует. Однако здесь хорошо работает метод целочисленного перебора.
Рассмотрим последнее уравнение:
[ color{blue}{c} cdot color{blue}{e}= color{red}{25}]
Какие числа нужно перемножить, чтобы в произведении получилось 25? Вот несколько вариантов:
[begin{align}color{blue}{c} cdotcolor{blue}{e} &= color{red}{1} cdotcolor{red}{25}= color{red}{5} cdotcolor{red}{5} = \ & =left( color{red}{-1} right)cdot left( color{red}{-25} right)= \ & =left( color{red}{-5} right)cdot left( color{red}{-5} right) end{align}]
Рассмотрим вариант, когда $color{blue}{c}= color{red}{5}$ и $color{blue}{e}= color{red}{5}$. Именно он будет правильным ответом, в чём мы сейчас убедимся.
Подставим $color{blue}{c}= color{red}{5}$ и $color{blue}{e}= color{red}{5}$ в оставшиеся три уравнения. Получим систему
[left{ begin{align}b+d &=2 \ bd+5+5 &=2 \ 5b+5d &=10 \ end{align} right.]
Последнее уравнение является следствием первого, поэтому система равносильна двум уравнениям:
[left{ begin{align}b+d &=2 \ bd &=-8 \ end{align} right.]
Эта система имеет два решения, которые легко находятся методом подбора: $color{blue}{b} = color{red}{4}$ и $color{blue}{d}= color{red}{-2}$, либо наоборот $color{blue}{b}= color{red}{-2}$ и $color{blue}{d}= color{red}{4}$. Получаем два варианта разложения:
[begin{align}{{P}_{1}}left( x right) &=left( {{x}^{2}}+ color{red}{4}x+ color{red}{5} right)left( {{x}^{2}}+left( color{red}{-2} right)x+ color{red}{5} right) \ {{P}_{2}}left( x right) &=left( {{x}^{2}}+left( color{red}{-2} right)x+ color{red}{5} right)left( {{x}^{2}}+ color{red}{4}x+ color{red}{5} right) \ end{align}]
Но ведь на самом деле это одно и то же разложение — просто множители поменялись местами. Поэтому мы вправе выбрать любой вариант.
Запишем окончательный ответ:
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+4x+5 right)left( {{x}^{2}}-2x+5 right)]
Важное замечание. После приведения подобных и сравнения коэффициентов мы получили систему из нескольких нелинейных уравнений, которые затем начали решать методом целочисленного перебора.
Такие уравнения будут преследовать нас постоянно — это основная трудность метода неопределённых коэффициентов.
Чтобы в процессе перебора не упустить из виду какой-нибудь вариант, целесообразно составлять таблицу всех возможных вариантов. Например, для равенства $color{blue}{c}cdot color{blue}{e}= color{red}{25}$ таблица выглядит так:
[begin{array}{r|r|r|r|r}color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{-1} & color{red}{5} & color{red}{-5}\ hline color{blue}{e} & color{red}{25} & color{red}{-25} & color{red}{5} & color{red}{-5}\ end{array}]
Обратите внимание: в таблице нет варианта $color{blue}{c}= color{red}{25}$, $color{blue}{e}= color{red}{1}$ и $color{blue}{c}= color{red}{-25}$, $color{blue}{e}= color{red}{-1}$, потому что они получаются из первых двух вариантов перестановкой множителей в итоговом разложении.
Тем не менее, в некоторых примерах придётся рассматривать все возможные варианты. Один из таких примеров мы рассмотрим чуть позже, а пока давайте потренируемся на более адекватных задачах.:)
Задача 2.2. Снова стандартная
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
[Pleft( x right)={{x}^{4}}+5{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-4x-2]
Решение. Запишем искомое разложение:
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+ color{blue}{d}x+ color{blue}{e} right)]
Нужно найти четыре числа: $color{blue}{b}$, $color{blue}{c}$, $color{blue}{d}$, $color{blue}{e}$. Собственно, это и есть «неопределённые коэффициенты». Раскрываем скобки и приводим подобные:
[begin{align}Pleft( x right)={{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ &+left( color{blue}{be+d} right)x+ color{blue}{ce} \ end{align}]
Сравниваем коэффициенты этого многочлена с коэффициентами исходного:
[Pleft( x right)={{x}^{4}}+ color{red}{5}{{x}^{3}}+ color{red}{5}{{x}^{2}}+left( color{red}{-4} right)x+left( color{red}{-2} right)]
Получаем четыре уравнения, которые должны выполняться одновременно:
[begin{array}{rr}color{blue}{b+d}= color{red}{5}; & color{blue}{be+dc}= color{red}{-4};\ color{blue}{bd+c+e}= color{red}{5}; & color{blue}{ce}= color{red}{-2}.\ end{array}]
Произведение коэффициентов $color{blue}{c}cdot color{blue}{e}= color{red}{-2}$ — отрицательное число. Положим для определённости, что $color{blue}{c} gt 0$ и $color{blue}{e} lt 0$. Выпишем все возможные варианты:
[begin{array}{r|r|r}color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{2}\ hline color{blue}{e} & color{red}{-2} & color{red}{-1}\ end{array}]
Рассмотрим первый вариант: $color{blue}{c}=color{red}{1}$ и $color{blue}{e}=color{red}{-2}$. Получим систему
[left{ begin{align}b+d &=5 \ bd+1-2 &=5 \ -2b+d &=-4 end{align} right.]
Вычтем почленно из последнего уравнения первое и получим
[begin{align}-3b &=-9 \ color{blue}{b} &= color{red}{3}end{align}]
Подставляем $color{blue}{b}= color{red}{3}$ в первое уравнение и получаем $color{blue}{d}= color{red}{2}$. Найденные значения $color{blue}{b}$ и $color{blue}{d}$ удовлетворяют всем трём равенствам. Следовательно, мы нашли решение системы:
[color{blue}{b}= color{red}{3}; color{blue}{c}= color{red}{1}; color{blue}{d}= color{red}{2}; color{blue}{e}= color{red}{-2}]
Откуда получаем искомое разложение на множители:
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+3x+1 right)left( {{x}^{2}}+2x-2 right)]
Важное замечание. К сожалению, в процессе целочисленного перебора далеко не всегда верный вариант будет попадаться сразу, на первом же шаге. Когда я собирал материалы для этого урока, иногда верным оказывался лишь четвёртый вариант из четырёх возможных.:)
Поэтому не переживайте, когда видите несовместную систему. Это нормально и даже неизбежно.
И вообще давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Например, рассмотрим второй вариант в только что решённой задаче: $color{blue}{c}=color{red}{2}$ и $color{blue}{e}=color{red}{-1}$. Это приведёт нас к системе уравнений:
[left{ begin{align}b+d &=5 \ bd+2-1 &=5 \ -b+2d &=-4 end{align} right.]
Складываем первое уравнение с последним — и тут же получаем проблему:
[begin{align}3d &=1 \ color{blue}{d} &= color{red}{{1}/{3};} \ end{align}]
Получили дробный коэффициент $color{blue}{d}$, откуда следует, что коэффициент $color{blue}{b}$ тоже дробный:
[color{blue}{b}=5- color{blue}{d}=color{red}{{14}/{3};}]
Но тогда не выполняется второе равенство. Следовательно, система несовместна.
Задача 2.3. Упрощённые выкладки
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
[Pleft( x right)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+32x-10]
В этот раз распишу всё кратко — только основные выкладки. Разложим многочлен $Pleft( x right)$ на два квадратных трёхчлена:
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+ color{blue}{d}x+ color{blue}{e} right)]
Раскрываем скобки, приводим подобные:
[begin{align}Pleft( x right)={{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ &+left( color{blue}{be+d} right)x+ color{blue}{ce} \ end{align}]
Сравниваем с исходным многочленом:
[Pleft( x right)={{x}^{4}}+ color{red}{1}{{x}^{3}}+ color{red}{3}{{x}^{2}}+ color{red}{32}x+left( color{red}{-10} right)]
Получаем четыре уравнения:
[begin{array}{rr}color{blue}{b+d}= color{red}{1}; & color{blue}{be+dc}= color{red}{32};\ color{blue}{bd+c+e}= color{red}{3}; & color{blue}{ce}= color{red}{-10}.\ end{array}]
Поскольку $color{blue}{ce}= color{red}{-10} lt 0$, положим $color{blue}{c} gt 0$, $color{blue}{e} lt 0$. Возможные варианты:
[begin{array}{r|r|r|r|r}color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{2} & color{red}{5} & color{red}{10} \ hline color{blue}{e} & color{red}{-10} & color{red}{-5} & color{red}{-2} & color{red}{-1} \ end{array}]
Первые три варианта дают несовместные системы с дробными коэффициентами $color{blue}{b}$ и $color{blue}{d}$ (проверьте это!). Рассмотрим последний вариант: $color{blue}{c}= color{red}{10}$, $color{blue}{e}= color{red}{-1}$. Получим систему
[left{ begin{align}b+d &=1 \ bd+10-1 &=3 \ -b+10d &=32 end{align} right.]
Решение системы: $color{blue}{b}= color{red}{-2}$, $color{blue}{d}= color{red}{3}$. Окончательное разложение на множители:
[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-2x+10 right)left( {{x}^{2}}+3x-1 right)]
3. Решение уравнений методом неопределённых коэффициентов
Одно из важнейших приложений метода неопределённых коэффициентов — это решение уравнений высших степеней. В самом деле, зачем мы раскладываем многочлен $Pleft( x right)$ на множители? Обычно по одной из двух причин:
- Решить уравнение $Pleft( x right)=0$. Ведь произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю;
- Сократить рациональную дробь вида ${Pleft( x right)}/{Qleft( x right)};$. В этом случае многочлен $Qleft( x right)$ также придётся разложить на множители.
Про рациональные дроби мы поговорим в отдельном уроке (см. урок «Разложение на простейшие»). А вот уравнения мы разберём сейчас.
Допустим, нужно решить уравнение вида
[color{blue}{{a}_{n}}{{x}^{n}}+ color{blue}{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ ldots + color{blue}{{a}_{1}}x+ color{blue}{{a}_{0}}=0]
В левой части равенства стоит стандартный многочлен. И если коэффициенты многочлена целые, то мы уже знаем как минимум два способа решения таких уравнений:
- Теорема Безу для отыскания рациональных корней-кандидатов;
- Схема Горнера для быстрой проверки этих кандидатов.
И эта связка отлично работает, когда многочлен имеет рациональные корни вида $x={color{blue}{p}}/{color{red}{q}};$. Вот буквально: мы найдём все такие корни и решим уравнение.
А если корни иррациональны? Безу и Горнер тут бесполезны. Зато полезным оказывается разложение на множители, когда вместо большого и страшного многочлена $Pleft( x right)$ в левой части уравнения появится произведение двух многочленов меньшей степени:
[Hleft( x right)cdot Qleft( x right)=0]
А дальше всё стандартно: произведение равно нулю, когда $Hleft( x right)=0$ или $Qleft( x right)=0$. И вот мы свели исходную задачу к двум уравнениям меньших степеней, которые наверняка легко решаются.:)
Задача 3.1. «Нерешаемое» уравнение
Задача. Решите уравнение методом неопределённых коэффициентов
[{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x-3=0]
Это приведённое целочисленное уравнение, но его нельзя решить по теореме Безу и схеме Горнера. Ведь целые корни этого уравнения являются делителями свободного члена $color{blue}{{a}_{0}}=-3$. Таких делителей ровно четыре:
[x=pm 1; pm 3]
И все они дают ненулевой остаток в схеме Горнера:
[begin{array}{r|r|r|r|r|r} {} & color{blue}{1} & color{blue}{2} & color{blue}{3} & color{blue}{2} & color{blue}{-3}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & 3 & 6 & 8 & color{red}{5}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & 1 & 2 & 0 & color{red}{-3}\ hlinecolor{red}{3} & 1 & 5 & 18 & 56 & color{red}{165}\ hlinecolor{red}{-3} & 1 & -1 & 6 & -16 & color{red}{45}\ end{array}]
Остаётся только метод неопределённых коэффициентов. Разложим уравнение на произведение двух квадратных трёхчленов:
[left( {{x}^{2}}+color{blue}{b}x+color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+color{blue}{d}x+color{blue}{e} right)=0]
Раскроем скобки и приведём подобные в правой части равенства:
[begin{align}{{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+ left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ &+ left( color{blue}{be+dc} right)x+ color{blue}{ce}=0 \ end{align}]
Вспоминаем коэффициенты многочлена в исходном уравнении:
[{{x}^{4}}+ color{red}{2}{{x}^{3}}+ color{red}{3}{{x}^{2}}+ color{red}{2}x+left( color{red}{-3} right)=0]
Получаем уже привычный набор из четырёх уравнений:
[begin{array}{rr} color{blue}{b+d}=color{red}{2}; & color{blue}{be+dc}=color{red}{2};\ color{blue}{bd+c+e}=color{red}{3}; & color{blue}{ce}=color{red}{-3}.\ end{array}]
Рассмотрим последнее уравнение: $color{blue}{ce}=color{red}{-3}$. Произведение отрицательно, значит, множители разных знаков. Без ограничения общности положим $color{blue}{c} gt color{red}{0}$, $color{blue}{e} lt color{red}{0}$. Составим таблицу вариантов:
[begin{array}{r|r|r} color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{3}\ hlinecolor{blue}{e} & color{red}{-3} & color{red}{-1}\ end{array}]
Итого два варианта. Рассмотрим первый вариант: $color{blue}{c}=color{red}{1}$, $color{blue}{e}=color{red}{-3}$. Получим систему
[left{ begin{align}b+d &=2\ bd+1-3 &=3\ -3b+d &=2 end{align} right.]
Вычитая из первого уравнения последнее, получаем $color{blue}{b}=color{red}{0}$, $color{blue}{d}=color{red}{2}$, что противоречит второму уравнению. Система несовместна.
Второй вариант: $color{blue}{c}=color{red}{3}$, $color{blue}{e}=color{red}{-1}$. Система уравнений:
[left{ begin{align}b+d &=2 \ bd+3-1 &=3 \ -b+3d &=2 end{align} right.]
Складывая первое и последнее уравнение, получаем $color{blue}{b}=color{red}{1}$, $color{blue}{d}=color{red}{1}$. При подстановке во второе уравнение получаем верное числовое равенство. Следовательно, мы нашли решение:
[color{blue}{b}=color{red}{1}; color{blue}{c}=color{red}{3}; color{blue}{d}=color{red}{1}; color{blue}{e}=color{red}{-1}]
Переписываем уравнение:
[left( {{x}^{2}}+x+3 right)left( {{x}^{2}}+x-1 right)=0]
Многочлен в первой скобке не имеет действительных корней, во второй — имеет:
[{{x}^{2}}+x-1=0]
Дискриминант положителен:
[D={{1}^{2}}-4cdot 1cdot left( -1 right)=1+4=5]
Корней будет два:
[x=frac{-1pm sqrt{5}}{2}]
Неудивительно, что эти корни не были обнаружены по теореме Безу. Ведь они являются иррациональными.:)
Ответ: $x=frac{-1pm sqrt{5}}{2}$.
Задача 3.2. «Нерешаемое» уравнение — 2
Задача. Решите уравнение методом неопределённых коэффициентов:
[{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2x-6=0]
Это задание похоже на предыдущее, поэтому распишем всё кратко. Ожидаемое разложение на множители:
[left( {{x}^{2}}+color{blue}{b}x+color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+color{blue}{d}x+color{blue}{e} right)=0]
Найдём такое разложение методом неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки, приводим подобные:
[begin{align}{{x}^{4}}+left( color{blue}{b+d} right){{x}^{3}} &+ left( color{blue}{bd+c+e} right){{x}^{2}}+ \ &+ left( color{blue}{be+dc} right)x+ color{blue}{ce}=0 \ end{align}]
Сравниваем с коэффициентами исходного многочлена:
[{{x}^{4}}+left( color{red}{-4} right){{x}^{3}}+ color{red}{5}{{x}^{2}}+left( color{red}{-2} right)x+left( color{red}{-6} right)=0]
Выписываем четыре уравнения:
[begin{array}{rr} color{blue}{b+d}=color{red}{-4}; & color{blue}{be+dc}=color{red}{-2};\ color{blue}{bd+c+e}=color{red}{5}; & color{blue}{ce}=color{red}{-6}.\ end{array}]
Поскольку $color{blue}{ce}=color{red}{-6}$, полагаем $color{blue}{c} gt color{red}{0}$, $color{blue}{e} lt color{red}{0}$. Возможные варианты
[begin{array}{r|r|r|r|r} color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{2} & color{red}{3} & color{red}{6}\ hlinecolor{blue}{e} & color{red}{-6} & color{red}{-3} & color{red}{-2} & color{red}{-1}\ end{array}]
Перебирая варианты, обнаруживаем, что правильная комбинация — это $color{blue}{c}=color{red}{3}$, $color{blue}{e}=color{red}{-2}$:
[left{ begin{align} b+d &=-4 \ bd+3-2 &=5 \ -2b+3d &=-2 end{align} right.]
Дважды прибавим к последнему уравнению первое — получим
[begin{align} 5d&=-10 \ color{blue}{d} &= color{red}{-2} \ color{blue}{b} &= color{red}{-2} end{align}]
Следовательно, исходное уравнение примет вид
[left( {{x}^{2}}-2x+3 right)left( {{x}^{2}}-2x-2 right)=0]
Многочлен в первой скобке корней не имеет (в этом легко убедиться, посчитав дискриминант). Рассмотрим вторую скобку:
[{{x}^{2}}-2x-2=0]
Дискриминант положительный:
[D={{left( -2 right)}^{2}}-4cdot1cdot left( -2 right)=4+8=12]
Уравнение имеет два корня:
[x=frac{2pm sqrt{12}}{2}=frac{2pm 2sqrt{3}}{2}=1pm sqrt{3}]
Ответ: $x=1pm sqrt{3}$.
Задача 3.3. Более сложное уравнение
Задача. Решите уравнение методом неопределённых коэффициентов:
[2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-6x-3=0]
Это уравнение принципиально отличается от предыдущих тем, что старший коэффициент $color{blue}{{a}_{4}}=2$. Многочлен не является приведённым, поэтому разложение на множители, вообще говоря, выглядит так:
[left( color{blue}{a}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( color{blue}{d}{{x}^{2}}+ color{blue}{e}x+ color{blue}{f} right)=0]
Итого шесть неизвестных коэффициентов. Для сравнения: раньше их было всего четыре.
Однако задачу можно существенно упростить, если сделать два допущения:
- Оба старших коэффициента — $color{blue}{a}$ и $color{blue}{d}$ — являются целыми и положительными.
- Положим для определённости, что $color{blue}{a} gt color{blue}{d}$.
В этом и состоит ключевая идея метода неопределённых коэффициентов: мы вводим дополнительные ограничения, которые в итоге почти наверняка выполняются. Да, есть небольшой риск «промахнуться» в своих допущениях, но это компенсируется многократным упрощением дальнейших выкладок.
В нашем случае из двух допущений немедленно следует, что $color{blue}{a}=color{red}{2}$, $color{blue}{b}=color{red}{1}$, и уравнение примет вид
[left( color{red}{2}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( {{x}^{2}}+ color{blue}{e}x+ color{blue}{f} right)=0]
Осталось всего четыре неизвестных коэффициента. Раскроем скобки и приведём подобные:
[begin{align}color{red}{2}{{x}^{4}}+left( color{blue}{b+2e} right){{x}^{3}} &+left( color{blue}{be+c+2f} right){{x}^{2}}+ \ &+left( color{blue}{bf+ce} right)x+ color{blue}{cf}=0 \ end{align}]
Сравним с коэффициентами исходного уравнения:
[color{red}{2}{{x}^{4}}+left( color{red}{-4} right){{x}^{3}}+color{red}{1}{{x}^{2}}+left( color{red}{-6} right)x+left( color{red}{-3} right)=0]
Получим четыре уравнения, но из-за коэффициента $color{blue}{a}=color{red}{2}$ они отличаются от привычных:
[begin{array}{rr} color{blue}{b+2e}= color{red}{-4}; & color{blue}{bf+ce}= color{red}{-6};\ color{blue}{be+c+2f}= color{red}{1}; & color{blue}{cf}= color{red}{-3}.\ end{array}]
Многочлены в первой и второй скобке не являются взаимозаменяемыми (поскольку у них разные коэффициенты при ${{x}^{2}}$), поэтому необходимо рассмотреть все возможные комбинации, дающие $color{blue}{cf}= color{red}{-3}$:
[begin{array}{r|r|r|r|r} color{blue}{c} & color{red}{1} & color{red}{3} & color{red}{-1} & color{red}{-3}\ hlinecolor{blue}{f} & color{red}{-3} & color{red}{-1} & color{red}{3} & color{red}{1}\ end{array}]
Рассмотрим каждую комбинацию. В первом случае быстро обнаружится, что система несовместна. А вот второй случай, когда $color{blue}{c}= color{red}{3}$ и $color{blue}{f}= color{red}{-1}$, представляет интерес:
[left{ begin{align}b+2e &=-4 \ be+3-2 &=1 \ -b+3e &=-6 end{align} right.]
Складываем первое уравнение с последним — получаем
[begin{align}5e &=-10 \ color{blue}{e} &= color{red}{-2} \ color{blue}{b} &= color{red}{0} end{align}]
Итак, система совместна. Получили разложение на множители:
[left( 2{{x}^{2}}+3 right)left( {{x}^{2}}-2x-1 right)=0]
Многочлен в первых скобках принимает только положительные значения, поэтому не имеет корней:
[2{{x}^{2}}+3ge 0+3 gt 0]
Рассмотрим вторые скобки:
[{{x}^{2}}-2x-1=0]
Это квадратное уравнение. Дискриминант положительный:
[D={{2}^{2}}-4cdot 1cdot left( -1 right)=4+4=8]
Следовательно, уравнение имеет два различных корня:
[x=frac{2pm sqrt{8}}{2}=frac{2pm 2sqrt{2}}{2}=1pm sqrt{2}]
Это и есть корни исходного уравнения четвёртой степени.
Ответ: $x=1pm sqrt{2}$.
4. Деление многочлена на многочлен
Ещё одна задача, где работает метод неопределённых коэффициентов — это деление одного многочлена на другой с остатком. Напомню, что разделить многочлен $Pleft( x right)$ на двучлен $Tleft( x right)$ с остатком — это значит представить его в виде
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot Tleft( x right)+Rleft( x right)]
При этом степень остатка $Rleft( x right)$ должна быть меньше степени делителя $Tleft( x right)$. Кроме того,
[deg Qleft( x right)+deg Tleft( x right)=deg Pleft( x right)]
При соблюдении таких ограничений многочлены $Qleft( x right)$ и $Rleft( x right)$ всегда определяются однозначно. Их коэффициенты мы как раз и будем находить.
Задача 4.1. Деление на двучлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Qleft( x right)$ и остаток $Rleft( x right)$ при делении многочлена
[Pleft( x right)={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+15x-6]
на двучлен $Tleft( x right)=x-3$.
Итак, мы хотим представить многочлен $Pleft( x right)$ в виде
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-3 right)+Rleft( x right)]
где $Qleft( x right)$ — неполное частное. Точнее, $Qleft( x right)$ — квадратный трёхчлен, потому что
[begin{align} deg Qleft( x right) &=deg Pleft( x right)-deg Tleft( x right)= \ &=3-1=2end{align}]
Кроме того, степень делителя $deg Tleft( x right)=1$, поэтому степень остатка $deg Rleft( x right)=0$, т.е. $Rleft( x right)$ — это просто число. С учётом этих фактов многочлен $Pleft( x right)$ примет вид
[Pleft( x right)=left( color{blue}{a}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( x-3 right)+ color{blue}{d}]
Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые:
[Pleft( x right)= color{blue}{a}{{x}^{3}}+left( color{blue}{b-3a} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{c-3b} right)x+left( color{blue}{d-3c} right)]
С другой стороны, изначально тот же многочлен $Pleft( x right)$ имел вид
[Pleft( x right)= color{red}{1}{{x}^{3}}+left( color{red}{-5} right){{x}^{2}}+ color{red}{15}x+left( color{red}{-6} right)]
Приравниваем коэффициенты и получаем четыре равенства:
[begin{array}{rr} color{blue}{a}= color{red}{1}; & color{blue}{c-3b}= color{red}{15};\ color{blue}{b-3a}= color{red}{-5}; & color{blue}{d-3c}= color{red}{-6}.\ end{array}]
Это система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, которая легко решается:
[color{blue}{a}= color{red}{1}; color{blue}{b}= color{red}{-2}; color{blue}{c}= color{red}{9}; color{blue}{d}= color{red}{21}]
Подставим найденные числа в $Qleft( x right)$ и $Rleft( x right)$:
[begin{align} & Qleft( x right)={{x}^{2}}-2x+9 \ & Rleft( x right)=21 \end{align}]
Ответ: $Qleft( x right)={{x}^{2}}-2x+9$, $Rleft( x right)=21$.
Поскольку мы делим $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{3}$, составим таблицу для $x=color{red}{3}$:
[begin{array}{r|r|r|r|r} {} & color{blue}{1} & color{blue}{-5} & color{blue}{15} & color{blue}{-6}\ hlinecolor{red}{3} & 1 & -2 & 9 & color{green}{21}\ end{array}]
Перепишем многочлен $Pleft( x right)$ согласно этой таблице и сравним с записью для метода неопределённых коэффициентов:
[begin{align}Pleft( x right) &=left( color{red}{1}{{x}^{2}}- color{red}{2}x+ color{red}{9} right)left( x-color{red}{3} right)+ color{green}{21}= \ &=left( color{blue}{a}{{x}^{2}}+ color{blue}{b}x+ color{blue}{c} right)left( x- color{red}{3} right)+ color{blue}{d} end{align}]
Получили те же числа, что и при решении «напролом».
Впрочем, такие рассуждения актуальны лишь при делении на двучлен вида $x-color{red}{a}$. В следующем задании они нам уже не помогут.:)
Задача 4.2. Многочлен с параметром
Задача. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен
[Pleft( x right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-x+b]
делится без остатка на многочлен
[Tleft( x right)={{x}^{2}}+2x+5]
Решение. Если многочлен $Pleft( x right)$ делится без остатка на многочлен $Tleft( x right)$, то его можно представить в виде
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot Tleft( x right)]
Здесь многочлен $Qleft( x right)$ — это частное, и его степень равна
[deg Qleft( x right)=deg Pleft( x right)-deg Tleft( x right)=3-2=1]
Итак, $Qleft( x right)$ — линейный двучлен вида $color{blue}{c}x+color{blue}{d}$ (коэффициенты $color{blue}{a}$ и $color{blue}{b}$ уже заняты в условии задачи). Выражение для $Pleft( x right)$ можно переписать так:
[Pleft( x right)=left( color{blue}{c}x+ color{blue}{d} right)left( {{x}^{2}}+2x+5 right)]
Найдём коэффициенты $color{blue}{c}$ и $color{blue}{d}$. Раскрываем скобки (стандартная процедура для метода неопределённых коэффициентов) и приводим подобные:
[Pleft( x right)= color{blue}{c}{{x}^{3}}+left( color{blue}{2c+d} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{5c+2d} right)x+ color{blue}{5d}]
Сравниваем с коэффициентами исходного многочлена:
[Pleft( x right)= color{red}{1}{{x}^{3}}+ color{red}{a}{{x}^{2}}+left( color{red}{-1} right)x+ color{red}{b}]
Приравниваем соответствующие «красные» и «синие» коэффициенты и получаем четыре равенства:
[begin{array}{rr}color{blue}{c}= color{red}{1}; & color{blue}{5c+2}d= color{red}{-1};\color{blue}{2c+d}= color{red}{a}; & color{blue}{5d}= color{red}{b}.\end{array}]
Итак, у нас четыре линейных уравнения и четыре переменных. Эта система имеет только одно решение:
[ color{blue}{a}= color{red}{-1}; color{blue}{b}= color{red}{-15}; color{blue}{c}= color{red}{1}; color{blue}{d}= color{red}{-3}]
Впрочем, нас интересуют лишь переменные $color{blue}{a}$ и $color{blue}{b}$.
Ответ: $a=-1$, $b=-15$.
Задача 4.3. Квадратный трёхчлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Qleft( x right)$ и остаток $Rleft( x right)$ при делении многочлена
[Pleft( x right)=2{{x}^{2}}+3x-3]
на двучлен $Tleft( x right)=2x-1$.
Решение. Частное $Qleft( x right)$ имеет степень
[deg Qleft( x right)=deg Pleft( x right)-deg Tleft( x right)=2-1=1]
Следовательно, $Qleft( x right)$ — линейный двучлен вида $color{blue}{a}x+ color{blue}{b}$, а остаток $Rleft( x right)$ — просто число $color{blue}{c}$. С учётом этого перепишем многочлен $Pleft( x right)$:
[begin{align}Pleft( x right) &=left( ax+b right)left( 2x-1 right)+c= \ &=2a{{x}^{2}}-ax+2bx-b+c= \ &= color{blue}{2a}{{x}^{2}}+left( color{blue}{2b-a} right)x+left( color{blue}{c-b} right) end{align}]
Сравним с исходным видом этого же многочлена:
[Pleft( x right)= color{red}{2}{{x}^{2}}+color{red}{3}x+left( color{red}{-3} right)]
Приравниваем соответствующие коэффициенты — получаем три уравнения:
[color{blue}{2a}=color{red}{2};quadcolor{blue}{2b-a}=color{red}{3};quadcolor{blue}{c-b}=color{red}{-3}]
Эта система легко решается:
[color{blue}{a}=color{red}{1}; color{blue}{b}=color{red}{2}; color{blue}{c}=color{red}{-1}]
Следовательно, неполное частное $Qleft( x right)=x+2$ и остаток $Rleft( x right)=-1$.
Ответ: $Qleft( x right)=x+2$, $Rleft( x right)=-1$.
Задача 4.4. Сложный многочлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Qleft( x right)$ и остаток $Rleft( x right)$ при делении многочлена
[Pleft( x right)={{x}^{5}}-1]
на квадратный трёхчлен $Tleft( x right)={{x}^{2}}+2x-1$.
Решение. На самом деле это несложная задача, но вычислений будет много. Запишем результат деления с остатком:
[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( {{x}^{2}}+2x-1 right)+Rleft( x right)]
Сразу найдём степени неполного частного и остатка:
[begin{align} deg Qleft( x right) &=deg Pleft( x right)-deg Tleft( x right)=5-2=3 \ deg Rleft( x right) & lt deg Tleft( x right)=2Rightarrow deg Rleft( x right)=1 \ end{align}]
Переходим к методу неопределённых коэффициентов. Сначала запишем общий вид многочленов $Qleft( x right)$ и $Rleft( x right)$:
[begin{align}Qleft( x right) &= color{blue}{a}{{x}^{3}}+ color{blue}{b}{{x}^{2}}+ color{blue}{c}x+ color{blue}{d} \ Rleft( x right) &= color{blue}{k}x+ color{blue}{l} \ end{align}]
Пусть вас не пугает большое количество переменных. Это нормально для многочленов высших степеней. Подставим наши выражения в формулу для $Pleft( x right)$:
[begin{align}Pleft( x right) &=left( color{blue}{a}{{x}^{3}}+ color{blue}{b}{{x}^{2}}+ color{blue}{c}x+ color{blue}{d} right)left( {{x}^{2}}+2x-1 right)+ \ &+ color{blue}{k}x+ color{blue}{l} \ end{align}]
Раскрываем скобки. Для удобства запишем одночлены одинаковой степени в одном и том же столбце:
[begin{array}{rrrrrr} color{blue}{a}{{x}^{5}} & + color{blue}{2a}{{x}^{4}} & — color{blue}{a}{{x}^{3}} & {} & {} & {}\ {} & + color{blue}{b}{{x}^{4}} & + color{blue}{2b}{{x}^{3}} & — color{blue}{b}{{x}^{2}} & {} & {}\ {} & {} & + color{blue}{c}{{x}^{3}} & + color{blue}{2c}{{x}^{2}} & — color{blue}{c}x & {}\ {} & {} & {} & + color{blue}{d}{{x}^{2}} & + color{blue}{2d}x & — color{blue}{d}\ {} & {} & {} & {} & + color{blue}{k}x & + color{blue}{l}\ end{array}]
Приводим подобные слагаемые:
[begin{align}Pleft( x right) &=color{blue}{a}{{x}^{5}}+left( color{blue}{2a+b} right){{x}^{4}}+left( color{blue}{-a+2b+c} right){{x}^{3}}+ \ &+left( color{blue}{-b+2c+d} right){{x}^{2}}+left( color{blue}{-c+2d+k} right)x+left( color{blue}{-d+l} right) \ end{align}]
Сравниваем эту запись с исходным многочленом:
[Pleft( x right)= color{red}{1}cdot {{x}^{5}}+ color{red}{0}cdot {{x}^{4}}+ color{red}{0}cdot {{x}^{3}}+ color{red}{0}cdot {{x}^{2}}+ color{red}{0}cdot x+left( color{red}{-1} right)]
Получаем шесть уравнений, которые последовательно решаются:
[begin{array}{ll}color{blue}{a}= color{red}{1} & color{blue}{d}=b-2c= color{red}{-12}\ color{blue}{b}=-2a= color{red}{-2} & color{blue}{k}=c-2d= color{red}{29}\ color{blue}{c}=a-2b= color{red}{5} & color{blue}{l}=d-1= color{red}{-13}\ end{array}]
Подставим найденные коэффициенты в выражения для $Qleft( x right)$ и $Rleft( x right)$:
[begin{align}Qleft( x right) &={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5x-12 \ Rleft( x right) &=29x-13 \ end{align}]
Мы нашли неполное частное и остаток от деления. Это и есть окончательный ответ.
Ответ: $Qleft( x right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5x-12$, $Rleft( x right)=29x-13$.
5. Выделение точного квадрата
Ещё одно приложение метода неопределённых коэффициентов — это «сворачивание» многочленов по формулам сокращённого умножения:
[begin{align}{{left( apm b right)}^{2}} &={{a}^{2}}pm 2ab+{{b}^{2}} \ {{left( apm b right)}^{3}} &={{a}^{3}}pm 3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}pm {{b}^{3}} \ end{align}]
Здесь всё как в разложении на множители: раскрывать скобки и привести подобные легко, а вот обратный переход — по коэффициентам «угадать» формулу сокращённого умножения — операция весьма нетривиальная.
Такие «нетривиальные операции» регулярно встречаются в задачах с параметрами и при работе с корнями. Параметрам посвящён отдельный урок, а вот корни мы рассмотрим прямо сейчас.
Задача 5.1. Избавление от корня
Задача. Упростите выражение
[sqrt{7+4sqrt{3}}]
Решение. Единственное, что здесь можно упростить — это избавиться от внешнего большого корня. Для этого нужно представить подкоренное выражение в виде точного квадрата:
[7+4sqrt{3}={{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{2}}]
Почему именно такая конструкция возводится в квадрат? Всё просто: в исходной сумме мы видим одно слагаемое с корнем и одно слагаемое без него. Для получения такой суммы исходные слагаемые тоже должны быть разными: одно с корнем, а другое — без него.
В этом случае числа $color{blue}{a}$ и $color{blue}{b}$ будут либо рациональными, либо вообще целыми. И в этом вся суть метода неопределённых коэффициентов, потому что найти такие числа не составит особого труда — достаточно раскрыть скобки по формуле квадрата суммы:
[begin{align}{{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{2}} &={color{blue}{a}^{2}}+2color{blue}{ab}sqrt{3}+{{left( color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{2}}= \ &=left( {color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} right)+2color{blue}{ab}sqrt{3} end{align}]
Сравниваем полученное разложение с исходным выражением:
[color{red}{7}+color{red}{4}sqrt{3}=left( {color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} right)+2color{blue}{ab}sqrt{3}]
Чтобы эти выражения были гарантированно равны друг другу, достаточно потребовать, чтобы слагаемые без корня совпадали. Как и слагаемые с корнем:
[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} &=7 \ 2color{blue}{ab} &=4 end{align} right.]
Это нелинейная система с двумя переменными, которая легко решается методом подбора:
[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+3cdot {color{blue}{b}^{2}} &={color{red}{2}^{2}}+3cdot {color{red}{1}^{2}} \ color{blue}{a}cdotcolor{blue}{b} &=color{red}{2}cdotcolor{red}{1} end{align} right.]
Научиться раскладывать целые числа на «правильные» слагаемые и множители — вопрос небольшой практики. Просто попробуйте — и вы поймёте, насколько это быстро и легко.
Нам остаётся лишь записать решение:
[color{blue}{a}=color{red}{2}; color{blue}{b}=color{red}{1}]
Затем подставить найденные числа в исходное выражение:
[begin{align}sqrt{7+4sqrt{3}} &=sqrt{{{left( 2+sqrt{3} right)}^{2}}}= \ &=left| 2+sqrt{3} right|= \ &=2+sqrt{3} end{align}]
Ответ: $2+sqrt{3}$.
Важное замечание. Помните, что корень не просто «сжигает» квадрат вокруг выражения — на их месте появляется модуль:
[sqrt{{{a}^{2}}}=left| a right|]
Потому что арифметический квадратный корень — это по определению всегда неотрицательное число:
[begin{align}sqrt{{{5}^{2}}} &=left| 5 right|=5 \ sqrt{{{left( -8 right)}^{2}}} &=left| -8 right|=8 end{align}]
Когда под модулем стоит иррациональное выражение, его знак следует проверять отдельно. Иначе даже при правильном ответе его можно счесть недостаточно обоснованным.
Если вы забыли, как проверять знаки таких выражений, вернитесь к уроку «Знаки иррациональных выражений». В двух словах: для такой проверки используются либо цепочки неравенств, либо цепочки равносильных преобразований.
В следующем задании мы отработаем оба способа.
Задача 5.2. Предварительные преобразования
Задача. Упростите выражение
[sqrt{37-5sqrt{48}}]
Под корнем мы видим ещё один корень: $sqrt{48}$ — это большое число, с ним сложно работать. Поэтому прежде чем искать точный квадрат, немного упростим выражение:
[begin{align}sqrt{37-5sqrt{48}} &=sqrt{37-5sqrt{color{red}{16}cdot 3}}= \ &=sqrt{37-5cdot color{red}{4}cdot sqrt{3}}= \ &=sqrt{37-20sqrt{3}} end{align}]
Теперь представляем подкоренное выражение в виде точного квадрата
[37-20sqrt{3}={{left( color{blue}{a}- color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{2}}]
Обратите внимание: перед нами квадрат разности. Потому что в исходном подкоренном выражении элементы не складывались, а именно вычитались. Этот факт ещё даст о себе знать, когда будем выяснять знак подмодульного выражения.
Ну а пока всё просто. Сравниваем старую запись и новую:
[color{red}{37}-color{red}{20}sqrt{3}=left( {color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} right)-2color{blue}{ab}sqrt{3}]
Получаем систему уравнений:
[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+3{color{blue}{b}^{2}} &=37 \ 2color{blue}{ab} &=20 end{align} right.]
Второе уравнение перепишем в виде $color{blue}{ab}=10$, а затем разложим правые части равенств на «правильные» слагаемые и множители:
[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+3cdot {color{blue}{b}^{2}} &={color{red}{5}^{2}}+3cdot {color{red}{2}^{2}} \ color{blue}{a}cdotcolor{blue}{b} &=color{red}{5}cdotcolor{red}{2} end{align} right.]
Получили красивое решение:
[color{blue}{a}=color{red}{5}; color{blue}{b}=color{red}{2}]
Возвращаемся к исходному выражению и извлекаем корень:
[sqrt{37-20sqrt{3}}=sqrt{{{left( 5-2sqrt{3} right)}^{2}}}=left| 5-2sqrt{3} right|]
Чтобы раскрыть модуль, нужно выяснить знак иррационального числа $5-2sqrt{3}$. Для этого можно заметить, что $sqrt{3} lt 2$, поэтому
[5-2sqrt{3} gt 5-2cdot 2=1 gt 0]
Это и есть цепочка неравенств. Также можно напрямую сравнить число $5-2sqrt{3}$ с нулём:
[begin{align}5-2sqrt{3} &vee 0 \ 5 &vee 2sqrt{3} \ 25 &vee 12 end{align}]
Очевидно, что $25 gt 12$, поэтому мы ещё раз убеждаемся, что исходное число положительное, и модуль раскрывается со знаком «плюс»:
[left| 5-2sqrt{3} right|=5-2sqrt{3}]
Ответ: $5-2sqrt{3}$.
Но всё это были довольно простые примеры с квадратным корнем. Как насчёт корней $n$-й степени?
Задача 5.3. Проблема с корнем
Задача. Упростите выражение
[sqrt[3]{sqrt{10}-3}cdot sqrt[6]{19+6sqrt{10}}]
Решение. Для начала вспомним свойства корней $n$-й кратности. Их можно умножать:
[sqrt[n]{a}cdot sqrt[n]{b}=sqrt[n]{acdot b}]
А также извлекать корень из корня:
[sqrt[k]{sqrt[m]{a}}=sqrt[mcdot k]{a}]
В частности, второй корень из задачи можно переписать так:
[sqrt[6]{19+6sqrt{10}}=sqrt[3]{sqrt{19+6sqrt{10}}}]
Чтобы избавиться от внутреннего квадратного корня, представим подкоренное выражение в виде точного квадрата. Но поскольку $sqrt{10}=sqrt{5}cdot sqrt{2}$, возможны два варианта:
[begin{align}19+6sqrt{10} &={{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{10} right)}^{2}} \ 19+6sqrt{10} &={{left( color{blue}{a}sqrt{2}+ color{blue}{b}sqrt{5} right)}^{2}} \ end{align}]
Однако в исходном выражении (т.е. прямо в условии задачи) есть ещё один $sqrt{10}$, который пока никак не преобразуется и никуда не денется, поэтому целесообразно рассмотреть лишь первый вариант:
[begin{align} color{red}{19}+ color{red}{6}sqrt{10} &={{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{10} right)}^{2}}= \ &=ldots =left( {color{blue}{a}^{2}}+10{color{blue}{b}^{2}} right)+ 2color{blue}{ab}sqrt{10} end{align}]
Получаем стандартную систему:
[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+10{color{blue}{b}^{2}} &=19 \ 2 color{blue}{ab} &=6 end{align} right.]
Второе уравнение равносильно $color{blue}{ab}=3$, и всю систему можно переписать так:
[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+10cdot {color{blue}{b}^{2}} &={color{red}{3}^{2}}+10cdot {color{red}{1}^{2}} \ color{blue}{a} cdotcolor{blue}{b} &= color{red}{3}cdotcolor{red}{1} end{align} right.]
Очевидно, что $color{blue}{a}=color{red}{3}$, $color{blue}{b}=color{red}{1}$, поэтому
[begin{align}sqrt{19+6sqrt{10}} &=sqrt{{{left( 3+sqrt{10} right)}^{2}}}= \ &=left| 3+sqrt{10} right|= \ &=3+sqrt{10} end{align}]
Возвращаемся к исходному заданию:
[sqrt[3]{sqrt{10}-3}cdot sqrt[3]{3+sqrt{10}}=sqrt[3]{{{left( sqrt{10} right)}^{2}}-{{3}^{2}}}=1]
Ответ: 1.
Наконец, рассмотрим задание, где требуется выделить куб суммы и куб разности. Как вы понимаете, это задание совершенно другого уровня сложности.:)
Задача 5.4. Куб суммы и куб разности
Задача. Упростите выражение
[sqrt[3]{10+6sqrt{3}}+sqrt[3]{10-6sqrt{3}}]
Чтобы «красиво» извлечь корень третьей степени, нужно представить подкоренное выражение в виде точного куба. Начнём с суммы:
[begin{align}color{red}{10}+ color{red}{6}sqrt{3} &={{left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt{3} right)}^{3}}= \ &={color{blue}{a}^{3}}+3{color{blue}{a}^{2}} color{blue}{b}sqrt{3}+3color{blue}{a}{color{blue}{b}^{2}}cdot 3+{color{blue}{b}^{3}}cdot 3sqrt{3}= \ &=left( {color{blue}{a}^{3}}+9color{blue}{a}{color{blue}{b}^{2}} right)+left( 3{color{blue}{a}^{2}}color{blue}{b}+3{color{blue}{b}^{3}} right)sqrt{3} end{align}]
Получаем систему с двумя неизвестными:
[left{ begin{align}{color{blue}{a}^{2}}+9color{blue}{a}{color{blue}{b}^{2}} &=10 \ 3{color{blue}{a}^{2}}color{blue}{b}+3{color{blue}{b}^{3}} &=6 end{align} right.]
Методом подбора находим решение: $color{blue}{a}=color{red}{1}$, $color{blue}{b}=color{red}{1}$. Несмотря на грозный внешний вид, такие системы часто легко решаются простым перебором с проверкой:
[{{left( 1+1cdot sqrt{3} right)}^{3}}=1+3sqrt{3}+9+3sqrt{3}=10+6sqrt{3}]
Возвращаемся к исходному выражению:
[begin{align}& sqrt[3]{10+6sqrt{3}}+sqrt[3]{10-6sqrt{3}}= \ = &sqrt[3]{left( 1+sqrt{3} right)}+sqrt[3]{left( 1-sqrt{3} right)}= \ = & 1+sqrt{3}+1-sqrt{3}=2 \ end{align}]
Ответ: 2.
6. Избавление от иррациональности в знаменателе
Последний приём, который мы рассмотрим в этом уроке — избавление от иррациональностей в знаменателе с помощью неопределённых коэффициентов.
Из курса алгебры мы помним, как избавлять от простых иррациональностей. Например, домножение на квадратный корень:
[frac{1}{sqrt{2}}=frac{1cdotcolor{red}{sqrt{2}}}{sqrt{2}cdotcolor{red}{sqrt{2}}}=frac{sqrt{2}}{2}]
Или домножение на сопряжённое:
[frac{1}{sqrt{3}-1}=frac{1cdot left( color{red}{sqrt{3}+1} right)}{left( sqrt{3}-1 right)cdot left( color{red}{sqrt{3}+1} right)}=frac{sqrt{3}+1}{2}]
Но всё это касается лишь самых простых корней — квадратных. Уже в случае с кубическими корнями такой фокус не пройдёт. Тут-то на помощь к нам и приходят коэффициенты-переменные.
Задача 6.1. Корень третьей степени
Задача. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
[frac{10}{1+sqrt[3]{9}}]
Поскольку это иррациональное число, то никакие преобразования не избавят нас от корней полностью.
Заметим, что $sqrt[3]{9}=sqrt[3]{3}cdot sqrt[3]{3}$. Попробуем возвести число $sqrt[3]{3}$ в разные степени:
[begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\ hline{{left( sqrt[3]{3} right)}^{n}} & sqrt[3]{3} & sqrt[3]{9} & 3 & 3sqrt[3]{3} & 3sqrt[3]{9} & 9\ end{array}]
Итак, все степени числа $sqrt[3]{3}$ можно разделить на три типа:
- Целые числа $color{blue}{a}in mathbb{Z}$;
- Иррациональные выражения вида $color{blue}{b}sqrt[3]{3}$ где $color{blue}{b}in mathbb{Z}$;
- Выражения вида $color{blue}{c}sqrt[3]{9}$, где $color{blue}{c}in mathbb{Z}$.
Логично предположить (и это можно доказать), что результат деления на $1+sqrt[3]{9}$ можно представить в виде комбинации слагаемых этих трёх типов:
[frac{10}{1+sqrt[3]{9}}=color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9}]
Однако нам неизвестны коэффициенты $color{blue}{a}$, $color{blue}{b}$ и $color{blue}{c}$. Найти их — в этом и состоит суть задачи.:)
И тут к делу подключается метод неопределённых коэффициентов. Преобразуем уравнение так, чтобы найти эти коэффициенты. Для начала умножим обе части на $1+sqrt[3]{9}$:
[10=left( 1+sqrt[3]{9} right)left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9} right)]
Раскрываем скобки:
[color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9}+ color{blue}{a}sqrt[3]{9}+ 3color{blue}{b}+ 3color{blue}{c}sqrt[3]{3}=10]
Группируем слагаемые относительно одинаковых корней:
[begin{align}& left( color{blue}{a}+ 3color{blue}{b} right)+left( color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} right)sqrt[3]{3}+left( color{blue}{a} + color{blue}{c} right)sqrt[3]{9}= \ = &color{red}{10}+ color{red}{0}cdot sqrt[3]{3}+ color{red}{0}cdot sqrt[3]{9} \ end{align}]
Выше мы предположили, что все коэффициенты $color{blue}{a}$, $color{blue}{b}$, $color{blue}{c}$ — целые (в крайнем случае рациональные). Следовательно, множители при корнях $sqrt[3]{3}$ и $sqrt[3]{9}$ должны быть равны нулю (иначе число слева будет иррациональным):
[begin{align}color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} &= color{red}{0} \ color{blue}{a}+ color{blue}{c} &= color{red}{0} end{align}]
С учётом этих двух условий само уравнение примет вид
[color{blue}{a}+ 3color{blue}{b}= color{red}{10}]
Получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
[left{ begin{align}color{blue}{a}+ 3color{blue}{b} &= color{red}{10} \ color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} &= color{red}{0} \ color{blue}{a}+ color{blue}{c} &= color{red}{0} end{align} right.]
Все уравнения линейные, система решается элементарно. Решением будут числа $color{blue}{a}= color{red}{1}$, $color{blue}{b}= color{red}{3}$, $color{blue}{c}= color{red}{-1}$, поэтому исходное выражение можно переписать так:
[frac{10}{1+sqrt[3]{9}}= color{red}{1}+ color{red}{3}cdot sqrt[3]{3}- color{red}{1}cdot sqrt[3]{9}]
Ответ: $1+3sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9}$.
Важное замечание. Чтобы избавиться от иррациональности конкретно в этой задаче, достаточно было домножить числитель и знаменатель дроби на недостающую часть куба суммы:
[begin{align} frac{10}{1+sqrt[3]{9}} &=frac{10cdot left( color{red}{1-sqrt[3]{9}+sqrt[3]{{{9}^{2}}}} right)}{left( 1+sqrt[3]{9} right)left( color{red}{1-sqrt[3]{9}+sqrt[3]{{{9}^{2}}}} right)}= \ &=ldots =1+3sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9} end{align}]
Однако такой подход не работает, когда в знаменателе стоит конструкция вида $color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9}$. А метод неопределённых коэффициентов работает всегда.:)
Попробуем решить ещё одну задачу такого же типа.
Задача 6.2. То же самое, но чуть сложнее
Задача. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
[frac{46}{2-3sqrt[3]{2}}]
Решение. Найдём несколько степеней числа $sqrt[3]{2}$:
[begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\ hline{{left( sqrt[3]{2} right)}^{n}} & sqrt[3]{2} & sqrt[3]{4} & 2 & 2sqrt[3]{2} & 2sqrt[3]{4} & 4\ end{array}]
На будущее: для корня $n$-й степени достаточно рассмотреть первые $n$ степеней. В нашем случае достаточно было выписать $sqrt[3]{2}$, $sqrt[3]{4}$ и $sqrt[3]{8}=2$ — новых иррациональных чисел мы уже не получим.
Итак, решаем задачу методом неопределённых коэффициентов. Попробуем подобрать целые (или рациональные) числа $color{blue}{a}$, $color{blue}{b}$, $color{blue}{c}$ такие, что
[frac{46}{2-3sqrt[3]{2}}= color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{2}+ color{blue}{c}sqrt[3]{4}]
Умножаем обе части уравнения на $2-3sqrt[3]{2}$:
[left( 2-3sqrt[3]{2} right)left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{2}+ color{blue}{c}sqrt[3]{4} right)=46]
Раскрываем скобки, приводим подобные:
[begin{align}2color{blue}{a}+ 2color{blue}{b}sqrt[3]{2}+ 2color{blue}{c}sqrt[3]{4} -3color{blue}{a}sqrt[3]{2} -3color{blue}{b}sqrt[3]{4} -6color{blue}{c} &= color{red}{46} \ left( 2color{blue}{a}- 6color{blue}{c} right)+left( 2color{blue}{b}- 3color{blue}{a} right)sqrt[3]{2}+left( 2color{blue}{c}- 3color{blue}{b} right)sqrt[3]{4} &= color{red}{46}end{align}]
Это равенство верно при соблюдении трёх условий:
[left{ begin{align}2color{blue}{a}- 6color{blue}{c} &= color{red}{46} \ 2color{blue}{b}- 3color{blue}{a} &=color{red}{0} \ 2color{blue}{c}- 3color{blue}{b} &=color{red}{0} \ end{align} right.]
Это система из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Её решение:
[color{blue}{a}= color{red}{-4}; color{blue}{b}= color{red}{-6}; color{blue}{c}= color{red}{-9}]
Следовательно, исходное выражение можно переписать так:
[frac{46}{2-3sqrt[3]{2}}= color{red}{-4-6}cdot sqrt[3]{2} color{red}{-9}cdot sqrt[3]{4}]
Ответ: $-4-6sqrt[3]{2}-9sqrt[3]{4}$.
Важное замечание. Здесь тоже можно «составить» куб суммы в знаменателе:
[begin{align}frac{46}{2-3sqrt[3]{2}} &=frac{46cdot left( color{red}{{{2}^{2}}+2cdot 3sqrt[3]{2}+9sqrt[3]{4}} right)}{{{2}^{3}}-{{left( 3sqrt[3]{2} right)}^{3}}} \ &= ldots =-4-6sqrt[3]{2}-9sqrt[3]{4} end{align}]
Почему не использовать этот приём всегда? Потому что в следующей задаче он уже не сработает. Там помогут только неопределённые коэффициенты и решение системы уравнений.
Задача 6.3. Когда кубы уже не помогают
Это задание чуть сложнее, потому что здесь не помогут формулы сокращённого умножения. Да и сами вычисления будут чуть сложнее, чем в предыдущих задачах.
Задача. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
[frac{2}{1+sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9}}]
Мы уже встречались с числами $sqrt[3]{3}$ и $sqrt[3]{9}$, поэтому знаем, что исходное выражение можно представить в виде
[frac{2}{1+sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9}}= color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9}]
Преобразуем выражение, избавившись от дроби:
[left( color{blue}{a}+ color{blue}{b}sqrt[3]{3}+ color{blue}{c}sqrt[3]{9} right)cdot left( 1+sqrt[3]{3}-sqrt[3]{9} right)= color{red}{2}]
Раскроем скобки, приведём подобные:
[begin{align}left( color{blue}{a}- 3color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} right) &+left( color{blue}{a}+ color{blue}{b} -3color{blue}{c} right)sqrt[3]{3}+ \ &+left( -color{blue}{a}+ color{blue}{b}+ color{blue}{c} right)sqrt[3]{9}= color{red}{2} \ end{align}]
Это равенство возможно при соблюдении трёх условий:
[left{ begin{align}color{blue}{a}- 3color{blue}{b}+ 3color{blue}{c} &= color{red}{2} \ color{blue}{a}+ color{blue}{b}- 3color{blue}{c} &= color{red}{0} \ -color{blue}{a}+ color{blue}{b}+ color{blue}{c} &= color{red}{0} end{align} right.]
Три линейных уравнения, три переменных. Всё решается легко:
[color{blue}{a}= color{red}{2}; color{blue}{b}= color{red}{1}; color{blue}{c}= color{red}{1}]
Следовательно, исходное выражение перепишется так:
[frac{2}{1+ sqrt[3]{3}- sqrt[3]{9}}= color{red}{2}+ color{red}{1}cdot sqrt[3]{3}+ color{red}{1}cdot sqrt[3]{9}]
Ответ: $2+sqrt[3]{3}+sqrt[3]{9}$.
Как видите, никакие кубы суммы здесь уже не помогут.:)
7. Зачем всё это нужно
В этом уроке мы рассмотрели пять типов задач, которые можно решить методом неопределённых коэффициентов. У внимательного читателя наверняка возник вопрос: зачем вообще нужен этот метод, когда многие из этих задач можно решить проще и быстрее с помощью отдельных специальных приёмов?
В самом деле:
- Большинство многочленов отлично раскладываются на множители с помощью теоремы Безу и схемы Горнера — об этом мы говорили в отдельном уроке. Но только при условии, что среди корней есть рациональные.
- То же самое можно сказать и про решение уравнений.
- Делить многочлены друг на друга с остатком вообще лучше столбиком. Это самый быстрый и самый надёжный способ — при условии, что среди коэффициентов нет параметров.
- Точные квадраты зачастую можно подобрать, если немного подумать. Как и дополнительные множители для избавления от иррациональности. Если только это не «тяжёлый» случай, где формулы сокращённого умножения не работают.
Так зачем же нужен метод неопределённых коэффициентов? Всё дело в тех самых оговорках: «при условии», «только если не тяжёлый случай» и т.д.
Основная сила этого метода — в его универсальности. Да, считать придётся чуть больше, чем при использовании более специализированных приёмов. И да: целочисленный перебор не всегда приводит нас к успеху.
Но перед нами прежде всего универсальный алгоритм. Который точно работает — всегда, везде, без всяких оговорок. И если задача не решается методом неопределённых коэффициентов, то «специализированные» приёмы тем более не помогут.
Более того: область применения этого метода намного шире. Например, мы не рассмотрели разложение рациональных дробей в простейшие, а это очень важный приём, например, в интегрировании — и ему тоже нет альтернативы.
Поэтому берите на вооружение всё, что вы сегодня узнали, практикуйтесь — и да прибудут с вами решённые задачи, олимпиады и университетские зачёты и экзамены.:)
Смотрите также:
- Бином Ньютона
- Схема Горнера
- Сравнение дробей
- Четырехугольная пирамида в задаче C2
- Задача B5: площадь кольца
- Сечения и двугранные углы
Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Он поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.
Одна из их разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие степеней и переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
$$ a^{f(x)}=b^{g(x)}; $$
Где (a) и (b) — некоторые числа, а (f(x)) и (g(x)) — какие-то выражения, зависящие от (x). Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:
$$2^x=8;$$
$$ 2^x=2^{2x+1};$$
$$3^{x^2}=2^{x^2-2x+3};$$
Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
$$ 7x+2=16;$$
$$x^2-4x+5=0;$$
И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:
Пример 1
$$ 2^x=8;$$
Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:
$$ 2^3=2*2*2=8; $$
Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.
Решим что-нибудь по-сложнее.
Пример 2
$$ 3^{4x-1}=frac{1}{9};$$
Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
$$frac{1}{9}=frac{1}{3^2}=3^{-2};$$
Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
$$ a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
$$ 3^{4x-1}=3^{-2};$$
Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
$$ 4x-1=-2;$$
Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
$$4х=-2+1;$$
$$4x=-1;$$
$$x=-frac{1}{4}.$$
Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Пример 3
$$125^x=25;$$
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:
$$ (5^3)^x=5^2;$$
Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^{n*m}):
$$ 5^{3*x}=5^2;$$
И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:
$$ 3*x=2;$$
$$ x=frac{2}{3};$$
И еще один пример:
Пример 4
$$2^x=-4;$$
Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Общий метод решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
$$ a^x=b;$$
Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0)).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.
Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:
$$ a^x=a^m;$$
Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
$$x=m.$$
Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:
Пример 5
$$2^x=16;$$
Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:
$$2^x=2^4$$
Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
$$x=4.$$
Пример 6
$$5^{-x}=125 Rightarrow 5^{-x}=5*5*5 Rightarrow 5^{-x}=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7
$$9^{4x}=81 Rightarrow (3*3)^{4x}=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^{4x}=3^4 Rightarrow 3^{8x}=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac{1}{2}.$$
Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:
Пример 8
$$ 3^x=2;$$
(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):
$$ b=a^{log_{a}(b)};$$
Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):
$$ 2=3^{log_{3}(2)};$$
Подставим данное преобразование в наш пример:
$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$
Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
$$x=log_{3}(2).$$
Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Пример 9
$$ 7^{2x}=5;$$
$$ 7^{2x}=7^{log_{7}(5)};$$
$$2x=log_{7}(5);$$
$$x=frac{1}{2}*log_{7}(5).$$
Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
$$ x=frac{1}{2}*log_{7}(5)=log_{7}(5^{frac{1}{2}})=log_{7}(sqrt{5});$$
Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:
Решение показательных уравнений при помощи замены
Рассмотрим уравнение:
Пример 10
$$ 9^x-5*3^x+6=0;$$
Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^{n*m}). Подставим:
$$(3^x)^2-5*3^x+6=0;$$
Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.
$$t^2-5t+6=0;$$
Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
$$D=5^2-4*6=25-24=1; Rightarrow t_{1}=frac{5+sqrt{1}}{2}=3; Rightarrow t_{2}=frac{5-sqrt{1}}{2}=2;$$
Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
$$ 3^x=3;$$
$$3^x=3^1;$$
$$x=1.$$
И второй корень:
$$ 3^x=2;$$
$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$
$$x=log_{3}(2).$$
Ответ: (x_{1}=1; ; x_{2}=log_{3}(2).)
И еще один пример на замену:
Пример 11
$$3^{4x^2-6x+3}-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):
$$ 3^{4x^2-6x+3}=3^{4x^2-6x+2+1}=3^{2(2x^2-3x+1)+1}=3^{2*(2x^2-3x+1)}*3^1=3*(3^{2x^2-3x+1})^2;$$
Подставим в исходное уравнение:
$$3*(3^{2x^2-3x+1})^2-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$
Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:
$$t=3^{2x^2-3x+1}; ; t>0;$$
$$3*t^2-10t+3=0;$$
$$D=100-36=64; Rightarrow t_{1}=3; t_{2}=frac{1}{3};$$
Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
$$ 3^{2x^2-3x+1}=3;$$
$$ 2x^2-3x+1=1;$$
$$x(2x-3)=0;$$
$$x=0; ; x=frac{3}{2}.$$
И второе значение (t):
$$3^{2x^2-3x+1}=frac{1}{3};$$
$$3^{2x^2-3x+1}=3^{-1};$$
$$2x^2-3x+1=-1;$$
$$2x^2-3x+2=0;$$
$$D=9-16=-7<0;$$
Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.
Ответ: (x_{1}=0; ; x_{2}=frac{3}{2}.)
Однородные показательные уравнения
Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:
Пример 12
$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x};$$
Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):
$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} ; ; :3^x$$
$$ frac{7^{x+1}}{3^x}+frac{3*7^{x}}{3^x}=frac{3^{x+2}}{3^x}+frac{3^{x}}{3^x};$$
Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
$$frac{a^n}{a^m}=a^{n-m};$$
$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$ frac{a^n}{b^n}=(frac{a}{b})^n;$$
Разберем каждое слагаемое:
$$ frac{7^{x+1}}{3^x}=frac{7*7^x}{3^x}=7*frac{7^x}{3^x}=7*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3*7^{x}}{3^x}=3*frac{7^x}{3^x}=3*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9;$$
$$ frac{3^{x}}{3^x}=1;$$
Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:
$$ 7*(frac{7}{3})^x+3*(frac{7}{3})^x=9+1;$$
Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac{7}{3})^x):
$$7t+3t=10;$$
$$10t=10;$$
$$t=1;$$
Сделаем обратную замену:
$$(frac{7}{3})^x=1;$$
Вспоминаем, что (1=(frac{7}{3})^0):
$$(frac{7}{3})^x=(frac{7}{3})^0;$$
$$x=0.$$
Ответ: (x=0).
И последний пример на замену:
Пример 13
$$2^{x+2}+0,5^{-x-1}+4*2^{x+1}=28;$$
Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$${(a^n)}^m=a^{n*m};$$
Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
$$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x;$$
Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!
$$0,5^{-x-1}=0,5^{-(x+1)}={(frac{1}{2})}^{-(x+1)}={(2^{-1})}^{-(x+1)}=2^{x+1}=2^x*2^1=2*2^x;$$
И последнее слагаемое со степенью:
$$ 4*2^{x+1}=4*2^x*2^1=8*2^x;$$
Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
$$4*2^x+2*2^x+8*2^x=28;$$
Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):
$$2^x*(4+2+8)=28;$$
$$14*2^x=28;$$
$$2^x=frac{28}{14}=2;$$
$$2^x=2^1;$$
$$x=1.$$
Ответ: (x=1.)
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера.
Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут
Пример 14
$$2^{x+1}*5^x=10^{x+1}*5^{x+2};$$
Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
$$2^{x+1}*5^x=(2*5)^{x+1}*5^{x+2};$$
Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):
$$ 2^{x+1}*5^x=2^{x+1}*5^{x+1}*5^{x+2};$$
И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:
$$frac{2^{x+1}}{2^{x+1}}=frac{5^{x+1}*5^{x+2}}{5^x};$$
Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^{n+m}) и (frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}):
$$1=frac{5^{x+1+x+2}}{5^x};$$
$$1=frac{5^{2x+3}}{5^x};$$
$$1=5^{2x+3-x};$$
$$1=5^{x+3};$$
$$5^0=5^{x+3};$$
$$x+3=0;$$
$$x=-3.$$
Ответ: (x=-3).
Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!
На чтение 8 мин. Просмотров 6.5k.
В 10-11 классе в курсе алгебры изучаются показательные уравнения, решение показательных уравнений является обязательным навыком, который проверяется на ЕГЭ. Рассмотрим методы решения показательных уравнений. Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная выступает как показатель степени некоторой другой переменной. Например, уравнение 2^x = 8 является показательным уравнением, потому что переменная x появляется как показатель степени с основанием 2. Экспоненциальные уравнения могут иметь множество различных форм в зависимости от конкретных значений и задействованных переменных.
Как правило, экспоненциальные уравнения могут быть трудны для решения, потому что экспоненциальная функция растет очень быстро, что может затруднить поиск точного значения переменной. Однако есть несколько различных методов, которые можно использовать для решения экспоненциальных уравнений, таких как использование логарифмов или выражение уравнения в виде одного и того же основания с обеих сторон.
Показательными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестное входит в показатель степени, общий вид их таков:
displaystyle a^{f (x)}=a^{g (x)}. Решением показательного уравнения будет число или выражение, которое называется корнем уравнения. Корней может быть один или несколько. Решить уравнение это значит найти его корни.
Однако некоторые из них (сложные) еще надо к такому виду привести.
Показательные уравнения решаются после степенных преобразований, в которых могут быть использованы показатели степени дробные, нулевые, отрицательные.
Таблица основных свойств показателей степени, которые используются при решении показательных уравнений.
| 1 | displaystyle a^m cdot a^n | displaystyle a^{m+n} |
| 2 | displaystyle frac{a^m}{a^n} | displaystyle a^{m-n} |
| 3 | displaystyle (a cdot b)^n | displaystyle a^n cdot b^n |
| 4 | displaystyle a | displaystyle a^1 |
| 5 | displaystyle (frac{a}{b})^n | displaystyle frac{a^n}{b^n} |
| 6 | displaystyle 1 | displaystyle a^0 |
| 7 | displaystyle sqrt[n]{a^m} | displaystyle a^{frac{m}{n}} |
| 8 | displaystyle a^{-n} | displaystyle frac{1}{a^{n}} |
| 9 | displaystyle (frac{a}{b})^{-n} | displaystyle (frac{b}{a})^{n} |
Рассмотрим примеры решения и методы решения показательных уравнений из ЕГЭ. Они помогут вам понять, как решаются показательные уравнения и какие они могут встретиться на экзамене.
Показательная функция
- Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
- Область определения показательной функции: D (y)=R — множество всех действительных чисел.
- Область значений показательной функции: E (y)=R+ -множество всех положительных чисел.
- Показательная функция y=ax возрастает при a>1.
- Показательная функция y=ax убывает при 0
График показательной функции:
Решение простейших показательных уравнений вы найдете вот в этих статьях:
Решение простейших показательных уравнений
Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным
Повторим решение показательных уравнений на примерах.
Примеры решения показательных уравнений
Метод приведения к одному основанию
Задание 1
Решите уравнение:
3^{2x-1}=27
Решение:
В левой части можно сразу получить степень с основанием 3:
3^{2x-1}=3^3
2x-1=3
2x=3+1
2x=4
x=2
Ответ: 2
Задание 2
Решить 4^{3x-1}=4 cdot 4^{5x+10}
Решение:
В правой части у нас множитель 4, представим его по формуле (4) так: 4=4^1
Нажми, чтобы посмотреть больше шагов в решении
Теперь у нас получается произведение: 4^1 cdot 4^{5x+10} По формуле (1) мы запишем степень с одним основанием вместо произведения степеней: 4^1 cdot 4^{5x+10} = 4^{1+5x+10}
и получаем:
4^{3x-1}=4^{5x+11}
Если основания степеней равны слева и справа от знака «равно», значит, равны и показатели степеней:
3x-1=5x+11
3x-5x=11+1
-2x=12
x=-6
Таким образом, -6 — корень уравнения.
Ответ: x=-6
Метод деления на степень
Задание 3
Допустим нам надо решить вот такое уравнение:
2^{5x-2}=3^{5x-2}
Решение:
Если показатели степени одинаковые, и данные степени равны, хотя их основания разные, это значит, что данные показатели равны нулю.
5x-2=0
5x=2
x=2/5
x=0,4
Однако, данное уравнение легко решается и первым методом, если мы разделим левую и правую части равенства на 3^{5x-2}. Получим:
displaystyle frac{2^{5x-2}}{3^{5x-2}}=1
По формулам (2) и (6) из таблицы, проведем преобразование: displaystyle (frac{2}{3})^{5x-2}=(frac{2}{3})^0
отсюда:
5x-2=0
x=0,4
Ответ: 0,4
Вынесение множителя за скобки
Суть метода заключается в вынесении за скобки степени с наименьшим показателем.
Чтобы решить показательное уравнение, вынеся общий множитель, можно использовать тот факт, что если два числа имеют общий множитель, то на этот множитель можно сократить, разделив оба числа на один и тот же множитель. Это можно использовать для решения экспоненциальных уравнений путем исключения общих множителей, которые появляются как в основании, так и в показателе степени уравнения.
Например, рассмотрим следующее показательное уравнение:
![[a^b = а^c]](https://mathematics-repetition.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8a71f1a2aec82a66e96ccd4578c63d9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Чтобы решить это уравнение, мы можем вынести общий множитель 
, разделив обе части уравнения на :
![[a^{b-c} = 1]](https://mathematics-repetition.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4aa339711d6301e233000098a833fb2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Это упрощает уравнение до:
![[b-c = 0]](https://mathematics-repetition.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-65bb7e237709cbeda360d51805414e93_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решением исходного уравнения является 
.
Это всего лишь один пример того, как решить показательное уравнение, вынеся общий множитель. Решим еще несколько примеров этим методом.
Пример 4
3^{3x+1}-2 cdot 3^{3x}=27
Решение: наименьшим показателем степени является 3x, вынесем за скобки 3^{3x}
3^{3x}(3-2)=27
3^{3x}=27
3^{3x}=3^3
3x=3
x=1
Ответ: x=1
Пример 5
3^{2x-1}+3^{2x-2}-3^{2x-4}=315
Решение: наименьший показатель степени: 2x-4, тогда вынесем за скобки 3^{2x-4}:
3^{2x-4}(3^3+3^2-1)=315
3^{2x-4}(27+9-1)=315
3^{2x-4} cdot 35=315
3^{2x-4}=315:35
3^{2x-4}=9
3^{2x-4}=3^2
2x-4=2
2x=6
x=3
Ответ: x=3
Метод подстановки и сведения к квадратному уравнению
Рассмотрим еще один вид показательных уравнений — это уравнения, которые можно с помощью подстановки привести к квадратному уравнению.
Пример 6
5 cdot 4^{2x}-6 cdot 4^x+1=0
Решение:
5 cdot 4^{2x}-6 cdot 4^x+1=0
Полагая 4^x=t, получим квадратное уравнение:
5 cdot t^{2}-6 cdot t+1=0
Решим его. Здесь a=5, b=-6, c=1.
Дискриминант displaystyle D=b^2-4ac=(-6)^2-4 cdot 5cdot 1=36-20=16
displaystyle sqrt{D}=4.
Используя формулу displaystyle t_{1,2}=frac{-b pm sqrt{D}}{2a}, находим:
displaystyle t_{1}=frac{-6 — 16}{10}=frac{-22}{10}=-2,2
displaystyle t_{1}=frac{-6 + 16}{10}=frac{10}{10}=1
Возвращаемся к первоначальной переменной:
- 4^x=-2,2. Это равенство невозможно, поскольку показательная функция может принимать только положительные значения.
- 4^x=1
x=0
Ответ: x=0
Пример 7
Найдите корни уравнения displaystyle 3^{2x}-4 cdot 3^{x}=45
Решение:
Выполним замену displaystyle 3^x=t:
displaystyle t^2-4t-45=0
Решим с помощью теоремы Виета:
begin{cases} t_1+t_2 = 4, \ t_1 cdot t_2=-45 end{cases}
Подбирая корни, получаем:
displaystyle t_1=-5
displaystyle t_2=9
Переходим к первоначальной переменной:
- displaystyle 3^x=-5. Такое равенство не существует, так как область значений показательной функции — положительные числа.
- displaystyle 3^x=9. Прологарифмируем данное равенство логарифмом по основанию 3.
displaystyle log_{3}{3^x}=log_{3}9
displaystyle x=2
Ответ: 2
Здесь мы использовали логарифмирование, что это такое и как это применяется к решению экспоненциальных уравнений давайте рассмотрим на примерах.
Логарифмирование
Логарифмирование обеих частей показательного уравнения — это математическая операция, которая часто используется для решения показательных уравнений.
Пример 8
Например, рассмотрим следующее показательное уравнение:
![[2^{x} = 8]](https://mathematics-repetition.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8251cbb1ebd124205cb09b024844195d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение: Чтобы решить это уравнение с помощью логарифмов, мы можем взять логарифм обеих частей уравнения. Это дает нам:
![[log_2(2^x) = log_2(8)]](https://mathematics-repetition.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7beae0a9666181b7755ebea0b818480_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Поскольку логарифм степени равен показателю степени, мы можем упростить левую часть уравнения до:
![[x = log_2(8)]](https://mathematics-repetition.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b756fcc47bb12535c43a05dda738983_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Чтобы найти значение x, мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что 
эквивалентно 
. В этом случае у нас есть 
, поэтому x=3.
Ответ: x=3.
Пример 9
Решить displaystyle e^{2x}=55
Решение: прологарифмируем левую и правую части равенства логарифмом по основанию e — натуральным логарифмом ln
displaystyle ln e^{2x}=ln 55
displaystyle 2x=ln 55
displaystyle x=frac{1}{2}ln 55
Ответ: displaystyle x=frac{1}{2}ln 55
Пример 10
displaystyle 3^x cdot 5^{2x}=150
Решение: Прологарифмируем левую и правую части уравнения логарифмом по основанию 150:
displaystyle log_{150}(3^x cdot 5^{2x})=log_{150}150
displaystyle log_{150}3^x+log_{150}5^{2x}=1
Нажми, чтобы посмотреть больше шагов в решении
displaystyle xlog_{150}3+2xlog_{150}5=1
displaystyle x (log_{150}3+2log_{150}5)=1
displaystyle x (log_{150}3+log_{150}5^2)=1
displaystyle x (log_{150}3 +log_{150}25)=1
displaystyle x log_{150}75=1
displaystyle x= frac{1}{log_{150}75}=log_{75}{150}
Ответ: displaystyle log_{75}{150}
Далее мы рассмотрим показательное неравенство и систему показательных уравнений и неравенств.
Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.
Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.
Так, например, уравнение (х3 – 1)2 + х5 = х6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х5 – 2х3 + 3 = 0 пятой степени.
Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.
Утверждения о корнях многочлена и его делителях:
1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.
2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
3. Если α – корень Р(х), то Рn(х) = (х – α) · Qn – 1(x), где Qn – 1(x) – многочлен степени (n – 1).
4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.
6. Для многочлена третьей степени
Р3(х) = ах3 + bx2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов
Р3(x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р3(x) = а(х – α)(х2 + βх + γ).
7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.
8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».
9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).
10. Теорема Виета: Если х1, х2, …, хn – действительные корни многочлена
Р(х) = а0хn + а1хn — 1 + … + аn, то имеют место следующие равенства:
х1 + х2 + … + хn = -а1/а0,
х1 · х2 + х1 · х3 + … + хn – 1 · хn = a2/а0,
х1 · х2 · х3 + … + хn – 2 · хn – 1 · хn = -a3 / а0,
…
х1 · х2 · х3 · хn = (-1)nan / а0.
Решение примеров
Пример 1.
Найти остаток от деления Р(х) = х3 + 2/3 x2 – 1/9 на (х – 1/3).
Решение.
По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.
Ответ: R = 0.
Пример 2.
Разделить «уголком» 2х3 + 3x2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.
Решение:
2х3 + 3x2 – 2х + 3| х + 2
2х3 + 4x2 2x2 – x
-x2 – 2x
—x2 – 2x
3
Ответ: R = 3; частное: 2х2 – х.
Основные методы решения уравнений высших степеней
1. Введение новой переменной
Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xn или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:
(t1, t2, …, tn). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t1, q(x) = t2, … , q(x) = tn, из которых находят корни исходного уравнения.
Пример 1.
(х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3x – 1 = 0.
Решение:
(х2 + х + 1)2 – 3(х2 + x) – 1 = 0.
(х2 + х + 1)2 – 3(х2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Замена (х2 + х + 1) = t.
t2 – 3t + 2 = 0.
t1 = 2, t2 = 1. Обратная замена:
х2 + х + 1 = 2 или х2 + х + 1 = 1;
х2 + х — 1 = 0 или х2 + х = 0;
Ответ: Из первого уравнения: х1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.
2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения
Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.
Пример 1.
х4 – 3x2 + 4х – 3 = 0.
Решение.
Представим — 3x2 = -2x2 – x2 и сгруппируем:
(х4 – 2x2) – (x2 – 4х + 3) = 0.
(х4 – 2x2 +1 – 1) – (x2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.
(х2 – 1)2 – 1 – (x – 2)2 + 1 = 0.
(х2 – 1)2 – (x – 2)2 = 0.
(х2 – 1 – х + 2)(х2 – 1 + х — 2) = 0.
(х2 – х + 1)(х2 + х – 3) = 0.
х2 – х + 1 = 0 или х2 + х – 3 = 0.
Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов
Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.
Пример 1.
х3 + 4x2 + 5х + 2 = 0.
Решение.
Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.
х3 + 4x2 + 5х + 2 = (х – а)(x2 + bх + c),
х3 + 4x2 + 5х + 2 = х3 +bx2 + cх – ax2 – abх – ac,
х3 + 4x2 + 5х + 2 = х3 + (b – a)x2 + (cх – ab)х – ac.
Решив систему:
{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,
получим
{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.
х3 + 4x2 + 5х + 2 = (х + 1)(x2 + 3х + 2).
Корни уравнения (х + 1)(x2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.
Ответ: -1; -2.
4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту
Метод опирается на применение теорем:
1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а0, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.
Пример 1.
6х3 + 7x2 – 9х + 2 = 0.
Решение:
2 : p = ±1, ±2
6 : q = 1, 2, 3, 6.
Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.
Ответ: -2; 1/2; 1/3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.