Тема
урока: «Нахождение неизвестного множителя»
Учитель:
Ермак Н.Ф.
Тип
урока: урок открытия нового знания.
Цель:
организовать совместную деятельность учащихся с целью знакомства с нахождением
неизвестного множителя.
Задачи:
Предметные:
сформировать умение решать уравнения с нахождением неизвестного множителя;
умение решать задачи с помощью уравнения; составлять уравнения с неизвестным
множителем.
Метапредметные:
·
Познавательные:
развивать умение самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель;
строить речевое высказывание в устной форме; выдвигать гипотезу; устанавливать
причинно-следственные связи; делать обобщение; искать и выделять необходимую
информацию; моделировать информацию;
·
Коммуникативные:
формировать умение договариваться и приходить к общему решению в совместной
деятельности; учитывать разные мнения и стремиться к координации различных
позиций в сотрудничестве;
·
Регулятивные:
учить ставить новую учебную задачу в сотрудничестве с учителем; принимать и
сохранять учебную задачу; осуществлять контроль по результату и способу
действия;
·
Личностные: формировать
внутреннюю позицию школьника на уроке, положительного отношения к школе;
учебно – познавательный интерес к новому материалу; способность к самооценке на
основе критерия успешности учебной деятельности.
Методы
обучения:
По характеру
учебно –познавательной деятельности: проблемно-поисковые.
По способу
организации и осуществления познавательной деятельности: словесные, наглядные,
практические.
Формы организации
учебной деятельности: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.
Материально-техническое
обеспечение: учебник «Математика» 3класс, 2 часть
А.Л. Чекин, тетрадь для самостоятельной работы 3 класс, 2часть, рабочая тетрадь,
компьютер, проектор, экран.
Ход
урока
I. Мотивационный
этап (орг. момент)
– Давайте наш урок начнем с пожелания друг другу добра.
Я желаю тебе добра, ты желаешь мне добра, мы желаем друг другу
добра. Если будет трудно — я тебе помогу. Если будет трудно мне, ты мне
поможешь. Улыбнитесь друг другу, улыбнитесь мне, улыбнитесь нашим гостям.
– Я рада видеть ваши улыбающиеся лица. Покажите какой
смайлик соответствует вашему настроению в начале нашего урока. Надеюсь, что
урок пройдет интересно и увлекательно. Шаг за шагом мы будем подниматься с вами
к вершине успеха.
– Записали
число, классная работа.
II. Минутка
каллиграфии.
Слайд 3.
– Начинаем
наш урок с минутки каллиграфии.
–Продолжите
числовой ряд, установив закономерность.
0
6 12 …
– Что
помогло вам справиться с этим заданием?
III. Устный
счёт.
Слайд 4.
–
Чтобы спорилась работа проведём «разминку» для ума – устный счёт.
Математический
диктант:
1) 1 множитель
7, второй — 9. Найти значение произведения.
2) восемью
девять
3) 6
увеличить в 9 раз
4) найти
значение произведения чисел 3 и 9
5) пятью
девять
6) по 4
взять 9 раз
7) девятью
девять
1
множитель 2, второй множитель – 9. Найти значение произведения.
(4слайд (щелчок):
самопроверка,
ответы математического диктанта)
2.
Математический ребус.
–
Следующее задание, разгадывание математического ребуса, будем выполнять в
группах. Перед выполнением вспомним правила дружной работы.
Слайд 5. Выскажи
мнение;
Выслушай мнение соседа;
Придите к единому мнению;
Действуйте!
– Возьмите
карточку для работы в группе.
Слайд 6 .
2152
*4
****
6456
*****
–Как получили
первое неполное произведение?
–Как определили
количество десятков во втором множителе?
–Как нашли
значение произведения?
Слайд 7. Проверьте
какая группа справилась правильно.
Работают
на личной карте «Успеха».
— Оцени свои
первые 3 шага по карте «Успеха».
IV. Актуализация
опорных знаний.
Слайд 8.
1.Продолжим
нашу работу. Возьмите карточку для работы в паре. Исследуйте выражения и
соедините выражение с его названием.
6 · 2 = 12
х · 2 = 6 уравнения
3 · х = 9 числовые выражения
3 · 2
= 6
—–На
какие две группы можно разделить данные записи? Слайд 9.
–Что
такое уравнение?
(Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число.)
–Рассмотрите
уравнения. Что общего?
(Действие умножение.)
—–Назовите
компоненты действия умножения.
( Первый множитель, второй множитель, значение произведения)
–Как
вы думаете какие же главные слова будут звучать на уроке математики сегодня?
Слайд
10.
2. Создание проблемной ситуации.
––Рассмотрите
данные уравнения.
х · 2 = 6
3 · х = 9
–Какой
компонент умножения неизвестен?
VI.
Определение темы урока, постановка учебной задачи.
–Как
вы считаете, какая тема нашего урока?
–Откройте
учебник на странице26. Оправдались ли ваши предположения.
Слайд
11.
–Поставьте
перед собой учебную цель.
(Научиться находить
неизвестное делимое, решать уравнения и задачи.)
VII. Первичное
восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала.
1. Работа
с учебником
Слайд
12. Задание 59.
– Найдите значения
данных выражений (самостоятельно, в тетрадях).
6·9 54:9 54:6
– Выполним
проверку. (самопроверка)
6 · 9 = 54 54
: 6 = 9 54 : 9 = 6
– Назовите
компоненты первого выражения. Чему равно значение произведения?
– Что
получится, если значение произведения разделить на первый множитель? (Второй
множитель.)
– Что
получится, если значение произведения разделить на второй множитель? (Первый
множитель.)
– Сформулируйте
правило, которое связывает умножение с делением.
Работают
на личной карте «Успеха».
— Оцени свой
4 шага по карте «Успеха».
Слайд 13. Задание
60.
– Первый
множитель – 6, второй – неизвестное число х, а значение
произведения – 54. Составьте и запишите уравнение.
6 · х = 54
х = 54
: 6
х
= 9
6 · 9 = 54
54 = 54
– Какое число
является корнем этого уравнения?
– Как нашли
корень уравнения?
– Что такое
54?
– Что такое
6?
– Как нашли 2
множитель?
–Как
проверить правильно ли найден корень уравнения?
Слайд 13
(щелчок) Проверка по образцу.
– Какие
трудности возникли у вас при выполнении этого задания?
(Дети
проговаривают вслух: что и как они делали. Фиксируют момент на котором они
«споткнулись»)
— Те ребята у кого
возникли затруднения просигнальте красной карточкой.
Слайд 14.
4. Построение проекта выхода из
затруднения
Задание 61
– Какой компонент
умножения является неизвестным в данном уравнении? (Первый множитель.)
– Как можно найти
первый множитель, если известны значение произведения и второй множитель? (Значение
произведения разделить на второй множитель.)
– Выполните
соответствующие вычисления.
х
· 8 = 72 У доски работает ребёнок у которого
были
х = 72
: 8 трудности при выполнении №60.
х
= 9
9 · 8 = 72
72 = 72
– Сделайте
вывод, как найти неизвестный множитель?
–Сравните свой
вывод с выводом учебника на стр. 27.
Работают
на личной карте «Успеха».
— Оцени свой
5 шага по карте «Успеха».
Слайд 15.
Физминутка
Раз – подняться, потянуться,
Два – согнуться, разогнуться.
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре — руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть
– за парту сесть опять
VIII. Первичное
закрепление.
Слайд 16.
Задание 62
1. Первый столбик
решают у доски (дети у которого были трудности при выполнении
№60.
Слайд 17.
2. Самостоятельно
решают 2 столбик (по вариантам)
(взаимопроверка)
Обменялись
тетрадями.
– Какая
пара готова?
–Какое
правило помогло выполнить это задание?
–Чему равен корень
первого уравнения? Второго?
–Сверьте правильно
ли вы выполнили взаимопроверку.
Работают
на личной карте «Успеха».
— Оцени свой
6 шага по карте «Успеха».
IX. Самостоятельное,
творческое использование сформированных умений и навыков
Слайд 18.
1.Задание 63.
– Корень какого
уравнения можно найти данным образом? Запишите это уравнение.
х
· 8 = 48
– Сравните свое уравнение
с уравнением соседа по парте.
– Могут ли ваши
уравнения отличаться при правильном выполнении задания? (Могут. Другой
вариант: 8 · х = 48.)
– У кого
различаются?
– Сколько человек
в классе записали уравнение х · 8 = 48?
– А уравнение 8 · х
= 48?
– Какое уравнение
встретилось чаще?
– Почему у
того и другого уравнения корень равен 6?
Работают
на личной карте «Успеха».
— Оцени свой
7 шага по карте «Успеха».
Слайд 19.
2. Работа над задачами № 64.
– Прочитайте
задачу.
– Что известно?
– Что требуется
узнать?
– Составь
уравнение для решения данной задачи, обозначив искомое через х. Проверь.
– Если уравнение
составлено правильно, запиши решение самостоятельно.
(Группа детей,
работающих по зелёной карточке.)
– Найдите корень
данного уравнения. Запишите ответ данной задачи.
Слайд 20.
–Ребята,
составившие уравнение не правильно, продолжают работу со мной.
(Группа детей,
работающих по красной карточке, анализируют подобную задачу с изменёнными
числовыми данными и решают её коллективно.)
|
Посетили музей |
Увеличилось за |
Стало |
|
? уч. |
в 7 раз |
56 уч. |
–Каким
правилом пользовались для нахождения корня составленного уравнения?
(Тем
учащимся, которые работали по зелёной карточке, предлагаются карточки для
самостоятельной работы.)
Работают
на личной карте «Успеха».
— Оцени свой
8 шага по карте «Успеха».
Слайд 21.
X.
Домашнее задание.
–Как составить
задачу обратную данной?
(Известное
делаем неизвестным, а неизвестное – известным)
– Что такое
кратное сравнение? (Надо узнать во сколько раз одно число больше или меньше другого)
–Попробуйте
сформулировать задачу.
(До
осенних каникул краеведческий музей посетили 9 учащихся. За осенние каникулы
число учащихся данной школы, посетивших краеведческий музей составило 72
человека. Во сколько раз больше учащихся посетило краеведческий музей за
осенние каникулы, чем до каникул?)
Д/з. с.26
№62, 3 столбик; с. 27 №64, составить и решить обратную задачу.
Слайд 22.
XI. Рефлексия
деятельности (итог урока)
–
Какую учебную цель ставили перед собой в начале урока?
–
Что было трудно?
–
Что понравилось?
–
Придя домой, каким новым открытием вы поделитесь со своими
родителями.
–
Как бы вы закончили фразу «Чтобы найти неизвестный множитель……»
–Посмотрите
на свои карты «успеха» и оцените свою работу на уроке. А поможет вам в этом
«Лесенка успеха».
–Спасибо
за урок. Я горжусь вами, потому что сегодня вы сделали еще один шаг к успеху. Покажите
какой смайлик соответствует вашему настроению.
–Изменилось
ли ваше настроение? У кого оно стало лучше?
–
А за что бы вы хотели похвалить себя?
КАРТА
«УСПЕХА» _______________________________
|
Этап |
Учебная |
Выполнил |
Выполнил |
Испытывал |
|
1 |
Минутка |
|||
|
2 |
Математический |
|||
|
3 |
Ребусы. |
|||
|
4 |
Нахождение |
|||
|
5 |
Составление |
|||
|
6 |
Самостоятельная |
|||
|
7 шаги |
Определение |
|||
|
8 |
Работа |
|||
|
9 |
Работа |
«ЛЕСЕНКА УСПЕХА»
У
меня всё
получилось.
Мне
кое-что
чуть-чуть неясно.
Мне ещё многому
надо научиться.
Я ничего не знаю,
не умею.
Множитель,
множитель, произведение. Делимое, делитель, частное.
Привет,
ребята!
Сегодня
у нас непростой урок, ведь нам предстоит разобраться, как находить неизвестные: множитель, делимое или делитель.
А для чего это надо уметь? Догадались? Ну конечно для того, чтобы уверенно решать
уравнения! И мы, конечно же, решим несколько уравнений. Но прежде надо
кое-что вспомнить.
Я предлагаю вам посмотреть на буквенную запись
действия умножения.
А и Б в этой записи являются множителями,
Ц – произведением. Понятно, что произведение мы получаем
действием умножения. Это – целое, то есть наибольшее число. А вот множители
являются частями. Значит, их мы находим обратным действием, делением.
То есть, если нужно найти неизвестный
множитель, мы произведение делим на известный множитель.
А теперь посмотрим на буквенную запись деления:
Обычно, целое можно разделить на части. Поэтому
К, делимое, является целым, а М и Н – это части. И, естественно, что целое мы находим
умножением. Поэтому, если надо найти неизвестное делимое, мы
перемножаем делитель с частным.
А вот делитель является частью. И, если надо найти
неизвестный делитель, то его мы найдём, разделив делимое на частное.
Ну а теперь пришло время решать уравнения.
Давайте разберём вот это уравнение:
х · 9 = 126 : 2
Посмотрите, это у нас осложнённое уравнение.
Поэтому, прежде всего, надо его упростить, то есть, выполнить действие в правой
части уравнения. Сто двадцать шесть разделить на два равно шестьдесят три. Переписываем
уравнение, заменив действие деления на его результат. Здесь надо найти
неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, мы
произведение делим на известный множитель.
Шестьдесят
три делим на девять, получается семь.
х
· 9 = 63
х
= 63 : 9
х
= 7
7
· 9 = 126 : 2
63
= 63
Не
забываем выполнить проверку уравнения. Сначала переписываем его, заменив икс на
его значение, которое мы получили – семь. Семью девять – шестьдесят три. Сто
двадцать шесть разделить на два – шестьдесят три. Левая и правая части
уравнения равны, значит, уравнение решено верно. Решаем следующее уравнение:
х
: 7 = 15 · 4
Упрощаем:
х
: 7 = 60
х
= 60 · 7
х
= 420
Неизвестное
делимое находим умножением.
Проверяем.
420
: 7 = 15 · 4
60
= 60
Ну, а следующее уравнение я предлагаю вам решить
самостоятельно.
360 : х = 96 + 24
Какой компонент здесь надо найти? Неизвестный
делитель. А его мы находим
делением.
Проверьте,
ребята, так ли решено у вас уравнение?
360
: х = 90
х
= 360 : 90
х
= 4
360
: 4 = 66 + 24
90
= 90
Видите,
как помогает при решении уравнений знание
правил.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный
множитель.
Чтобы
найти неизвестное делимое, надо делитель
умножить на частное.
Чтобы
найти неизвестный делитель, надо делимое
разделить на частное.
Выучите
их, ребята, и не забывайте пользоваться при решении уравнений. Пока! До новых
встреч!
Тип урока: урок постановки учебной задачи, планирования и поиска способа её решения, конкретизации и применения способа.
Практическое задание.
– Что мы уже знаем по этой теме?
– Я предлагаю вам подумать, чему мы учимся, выполняя такие задания?
– Какие из данных уравнений вы уже умеете решать, а какие пока ещё нет?
x + 35 = 50
70 – x = 28
x – 23 = 46
x ·3 = 15
– На какой вопрос мы будем искать ответ, чтобы научиться выполнять такие задания? Какую цель поставим перед собой?
– Умножение- это сложение одинаковых слагаемых.
– Умножение 1 и 0 на число.
– При перестановке множителей произведение не изменяется.
– Заменяем умножение сложением и сложение умножением.
– Решаем задачи на умножение и составляем обратные задачи.
– Мы учимся находить неизвестные компоненты.
– Мы умеем находить неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое.
– Но мы пока не знаем, как найти неизвестный множитель.
– Мы не можем решить уравнение, так как не знаем, как найти неизвестный множитель.
– Научиться находить неизвестный множитель.
Это помогло связать пройденное с новым материалом.
Предлагаю задание, с которым может справиться каждый ребёнок.
Создаю ситуацию противоречия между имеющимся жизненным опытом и учебной проблемной ситуацией.
– Если мы найдём ответ на вопрос, то сможем решать такие уравнения?
x · 3 = 15
□ · 3 = 15
? · 3 = 15
x =?
– Да, мы будем знать, как найти неизвестный множитель, сможем воспользоваться этим правилом.
– Итак, для того, чтобы помочь вам ответить на вопрос, я предложу вам задание.
Сначала каждый подумает сам. А потом проверим свои предположения в паре.
На втором этапе поработаем в группе и попытаемся ответить на вопрос: как найти неизвестный множитель.
Как можем проверить себя, свои выводы?
– Для чего мы будем искать этот способ?
– Затем мы потренируемся с помощью этого способа выполнять другие задания.
– На доске появляется план урока.
– Чтобы выполнять различные задания, уметь решать уравнения, задачи.
С помощью составленной лесенки-плана дети могут удерживать учебную цель, задачу.
– На полку поставили 3 ряда кубиков по 7 кубиков в каждом ряду. Сколько кубиков поставили?
– Сделайте рисунок.
– Решите задачу.
– Составьте обратные задачи.
– Запишите только решение.
– Проверьте работу друг друга
– Просмотрите все числовые выражения. Как связаны числа между собой?
– Определите эту зависимость и попробуйте записать её схематически, буквами или символами.
– Как будем выполнять это задание: каждый попробует сам, в группе или вместе? Почему?
– Представьте, пожалуйста, классу результаты своей работы в группе.
– Сравните свой вывод с выводом в учебнике.
○○○○○○○
○○○○○○○
○○○○○○○
7 · 3 = 21(к.)
21 : 3 = 7(к.)
21 : 7 = 3(р.)
– Дети проверяют работы друг друга, объясняют, если есть ошибки.
– Я думаю в группе, потому что так легче найти решение.
– Можно в группе, так как из нескольких предложенных вариантов лучше найти правильный ответ.
– В группе, потому что можно поделиться открытием с товарищем.
Дети работают в группах.
– Дети представляют варианты своих ответов.
a · b = c
a · x = c
a = c : b
c : a = b
x = c :
a b = c : a
c : b = a
a = c : x
– Читают вывод в учебнике, сравнивают со своим.
– Организую взаимопроверку работ с целью выявления правильности выполнения для дальнейшей постановки проблемы.
Поддерживаю осознание причастности каждого в результат совместной учебной деятельности.
Для организации учебного сотрудничества считаю необходимым на данном этапе провести работу в группах.
Учу детей слушать друг друга.
Все предложения детей фиксирую на доске.
Провожу обсуждение.
Обсуждаем, как не очень удачные предложения сделать понятными.
Контроль схемы действия.
– Распределите работу в паре.
– Повторите задание.
– Что требуется? Как будем делать? На что опираться?
– Дети договариваются об очерёдности, повторяют задание.
– Нам надо решить уравнение. Для этого нужно найти неизвестный множитель.
– Чтобы его найти (показывают на схему) надо произведение разделить на другой множитель.
Учу действовать совместно, помогаю парам, которые затрудняются.
Цель данного этапа достигнута, детям удалось самим вывести правило.
Конкретизация области применения способа.
– Какая пара готова рассказать о своём решении?
– Есть ли другие решения?
– Как найти неизвестный множитель?
– Выбери те задания, которые можно выполнить таким способом.
1. x + 15 = 45
2. 6 · x = 18
3. Составить тройку примеров, используя числа 5, 3, 15.
– Как изменить условие, чтобы был применим этот способ?
– Какие ещё задачи могут быть решены тем же способом?
– Выберите задание из учебника, для выполнения которого подойдёт правило.
– Сделаем задание №2.
– Достигли ли мы своей цели?
– Чему учились? С каким новым правилом мы познакомились?
– Что нового узнали?
– Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.
– Это правило поможет при решении второго уравнения.
– При выполнении задания №3.
– При составлении первого уравнения можно поменять знак.
– При решении примеров на деление. Например, чтобы узнать, сколько будет 27 : 3 надо вспомнить пример на умножение 3 · 9 = 27, потому что, если произведение разделить на множитель получится другой множитель.
– При решении задач. Когда мы решаем задачу на умножение и составляем обратные задачи. При проверке задач.
– Это правило используется при выполнении задания №2.
– Дети самостоятельно выполняют задание.
– После выполнения один ученик зачитывает результаты. Остальные ребята сравнивают со своими решениями.
– Мы узнали, как находить неизвестный множитель. Да, мы достигли своей цели.
– Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Организую слушание детьми ответов друг друга.
Помогаю детям вспомнить материал. Какой шаг выполнен.
– Посмотрите на наш план работы.
– На каком этапе мы остановились? Чему будем учиться теперь?
– Пользуясь этим правилом, выполните следующие задания.
1. Составьте тройки примеров, используя числа 6, 4, 18.
2. Решите уравнение.
x + 5 = 15
3. Найдите значение вторых выражений, используя первые выражения.
6 · 4 = 24 2 · 8 = 16
24 : 2 = 16 : 4 =
– Обсудите решение в группах. Кто готов поделиться своим мнением?
– Можно ли действовать, используя это правило, если изменить условие в заданиях.
– Посмотрите на страницу 28. Выберите те задания, для выполнения которых можно использовать правило о нахождении неизвестного множителя, те задания, которые помогут этому научиться.
– Мы будем учиться выполнять задания на нахождение неизвестного множителя.
– Дети распределяют функции, очерёдность. Затем повторяют задание.
– Эти задания нельзя решить, используя данное правило.
– В них надо изменить условие.
– Дети предлагают свои варианты.
– Надо поменять числа, чтобы множители и произведение были связаны между собой.
– Во втором задании можно поменять знак действия, так как в правиле говорится о множителях и произведении.
– Дети выбирают соответствующие задания, аргументируют свой выбор.
– Дети, ориентируясь на схему плана, смогли поставить перед собой задачу.
Организую обсуждение вариантов решения в группах.
Дети обобщают выводы об условиях использования способа.
Учу задавать вопросы на понимание.
Коллективное обсуждение условий, задач, для решения которых применимо правило, соотнесение частных задач с общим способом позволяет конкретизировать способ, выявить условия, в которых этот способ применим.
Учу работать с информацией учебника, определять цель заданий. Помогаю детям осознать, чему они будут учиться, выполняя это задание.
– Что нужно сделать?
– Как вы думаете, можно ли для его выполнения использовать данное правило? Почему?
– Это задание мы будем выполнять с комментированием. Кто хочет «вести за собой» класс?
– Выполняя это задание, мы будем использовать правило о связи множителей и произведения.
– В первом произведении получится 18. Во втором произведении множители поменялись местами, результат тот же. Чтобы составить и решить следующий пример, надо воспользоваться правилом. Разделим произведение 18 на первый множитель 6, получится другой множитель 3. Теперь произведение 18 разделим на второй множитель 3, получится первый множитель 6.
Дети контролируют свои действия, сверяют их с объяснением товарища.
Комментированное управление помогает одним ученикам учиться управлять работой класса, а другим – выполнять задание под его руководством.
– Выполним задание №2.
– Если у вас и у вашего товарища не будет ошибок при объяснении в решении примеров, то оставшиеся примеры вы можете решить самостоятельно.
Пары, которые не допустили ошибок, переходят к самостоятельному выполнению заданий.
– Чему учились сегодня на уроке?
– Что нового узнали?
– Что получается?
– Над чем ещё следует поработать?
– Чему учились, работая в группах, в парах?
– Что было интересным?
– Домашнее задание: составьте несколько троек примеров, для решения которых нужно применить открытое нами правило, найденный способ решения, потренируйтесь в решении таких уравнений.
– Дети уточняют, что они усвоили, над чем ещё надо поработать.
– В группах мы учились работать дружно, выслушивать мнение каждого, старались понять и поддержать друг друга.
– Ребята осмысливают, чему они научились, работая в парах, в группах. Дают советы друг другу и себе, чему ещё надо учиться.
Также дети продолжали учиться сотрудничеству, работая в группе, в паре.
Организую рефлексивный анализ деятельности детей.
Мы научим решать уравнения быстро и быть уверенными в правильном и успешном результате. Для начала, выучим простые правила и рассмотрим примеры. Самый лёгкий тип уравнений — это у которых слева размещена разность, произведение, частное или сумма чисел и одно неизвестное, а справа — известное число. Если проще, нам надо найти в уравнении одно неизвестное. Неизвестное делимое с делителем, слагаемое или уменьшаемое с вычитаемым. Такие типы уравнений мы рассмотрим далее в статье.
Распишем основные правила для поиска неизвестных слагаемых, множителей, делимых и так далее. Для закрепления теории, мы подобрали конкретные примеры под каждое правило и каждую ситуацию, с которой вы можете столкнуться при решении уравнений такого типа.
Как найти неизвестное слагаемое, правило
Представим, что на столе стоит две вазы. В этих вазах в общей сложности лежит 7 яблок. В одной вазе лежит 2 яблока. Как узнать сколько яблок лежит во второй вазе и есть ли они там вообще? Посмотрим, как выглядит эта задача в математическом виде, отметив неизвестное число яблок во второй вазе как x. Согласно условиям выше, это неизвестное вместе с числом 2 образовывают 7. Значит, наше уравнение будет выглядеть как: 2 + x = 7. Справа имеем значение суммы, а слева — сумма чисел с одним неизвестным слагаемым. Для решения уравнения надо найти число x. В таких случаях используют правило:
Правило 1
Чтобы найти неизвестное слагаемое в уравнении, надо из суммы вычесть известное.
В ситуации, где происходит математическое нахождение неизвестного слагаемого, вычитание является обратный действием по смыслу, относительно сложения. Другими словами, между действиями вычитания и сложения есть математическая связь, и правило нахождения неизвестного слагаемого благодаря этой связи можно отобразить в буквенном виде: если в условии a + b = c, то c − b = a и c − a = b. А если вы видите обратные примеры, такие как c − a = b и c − b = a, то можете быть уверенны в том что a + b = c. Благодаря определению и математической связи, мы можем узнать неизвестное слагаемое, имея только его сумму с известным слагаемым. От перестановки слагаемых, значение не меняется, поэтому неважно какое надо найти слагаемое — первое или второе. Давайте используем это правило на практике, для лучшего понимания теории.
Пример 1
Давайте решим уравнение, которое мы составили выше: 2 + x = 7. С учётом правила, мы должны из суммы обоих слагаемых, 7, вычесть известное, 2. В решении это будет выглядеть так: 7 − 2 = 5.
В решении математических задач и примеров очень важно знать и использовать правильный алгоритм записи таких уравнений:
- Запишем исходное уравнение, на базе математической задачи.
- Применяем подходящее правило и записываем следующее уравнение на его основании.
- Записываем финальное уравнение, где указываем значение ранее неизвестного.
Запись решения по этой последовательности, отображает последовательные замены изначального уравнения равносильными ему по значениям. В итоге мы сможем увидеть в решении весь процесс нахождения неизвестного. Правильная форма записи нашего уравнения будет в виде такого решения:
2 + x = 7,
x = 7 – 2,
x = 5.
Четвертой строкой в решении примера может стать проверка решения, которая даст уверенность в правильности найденного ответа. Подставим найденное значение в исходное уравнение. Берем число 5 и подставляем в пример 2 + x = 7. У нас получится:
2 + 5 = 7.
Так как мы получили правильное исходное уравнение, значит мы решили пример верно. Если бы у нас получило неверное равенство в проверочном примере, например, 2 + 8 = 7, мы бы вернулись к первому пункту алгоритма решения примера. Неверное равенство при проверке указывает на допущенную ошибку в расчётах или неверно подобранном или использованном правиле.
Находим неизвестное уменьшаемое или вычитаемое
Итак, в математических примерах в процессе вычитания и сложения существует нерушимая связь. Эта связь сформулировала правила, благодаря которым можно быстро найти неизвестное — уменьшаемое, если нам известны разность и вычитаемое, или вычитаемое, если мы знаем разность и уменьшаемое. Для каждого случая есть правило, которое мы сейчас рассмотрим вместе с решением примера.
Правила 2 — 3 + примеры
Если прибавить к разности вычитаемое, получим неизвестное уменьшаемое.
Возьмем для примера уравнение x – 1 = 4. В качестве неизвестного сейчас выступает уменьшаемое. Исходя из правила выше, мы к разности 4 добавляем вычитаемое 1. В сумме получаем 5. Значит, изначальное неизвестное уменьшаемое равно 5. Запишем решение по правильному алгоритму:
x – 1 = 4,
x = 4 + 1,
x = 5.
Не лишним будет проверить правильность решения примера путём подстановки найденного числа 5 в исходный пример:
5 – 1 = 4.
Мы получили верное уравнение, значит решение правильное. Можно переходить к изучению следующего правила.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Используем это правило для нахождения неизвестного вычитаемого в примере 5 – x = 2. Для решения этого уравнения мы определили, что неизвестное является вычитаемым, а значит, в этом случае будем использовать Определение 3. Вычтем из числа 5 известную разность 2 и получим 5 – 2 = 3. Вот так выглядит полная правильная запись решения:
5 – x = 2,
x = 5 – 2,
x = 3.
Давайте убедимся, что мы правильно решили уравнение. Для этого подставим найденное число в исходный пример.
5 – 3 = 2.
Полученное уравнение верное, значит мы правильно нашли неизвестное вычитаемое. Теперь, когда вы выучили базовые правила нахождения неизвестных, мы поделимся с вами более простым способ решения примеров. Для нахождения неизвестного, нам нужно перенести неизвестное по одну сторону знака равности в уравнении, чаще левую, а известные — по другую, например, правую. При этом, когда переносите известное или неизвестное через знак равности, меняете его знак на противоположный. Если на одной из сторон ничего не остаётся, значит там будет стоять число 0. Мы покажем, как это работает на практике.
Есть пример 5 – x = 2, перенесём известные по правую сторону от знака уравнения:
– x = 2 – 5
При решении, получим уравнение:
– x = – 3
Так как в уравнениях всегда ищется неизвестное с положительным знаком, сменим знаки на противоположные в обеих частях уравнения, как бы перенося известное и неизвестное через знак равности, получим:
x = 3
Как видим, найденное значение неизвестного вычитаемого совпадает с тем значением, которое мы нашли при использовании Определения 3. Правило переноса чисел через знак равности со сменой их знака на противоположный работает для всех уравнений без исключения. Можем использовать это правило вместо всех вышеперечисленных.
Находим неизвестный множитель
Рассмотрим два уравнения: 3 ⋅ x = 9 и x ⋅ 2 = 6. И в первом, и во втором примере нужно найти один из неизвестных множителей. Второй множитель и производное — известны. Давайте запомним правило для решения подобных примеров.
Правило 4 + пример
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно разделить производное на другой, известный множитель. Смысл этого правила базируется на обратном смысле к операции умножения. Между операциями деления и умножения также есть связь, которая выражается в следующем: если a ⋅ b = c и при этом ни a, ни b не равны 0, то c : a = b и, наоборот, c : b = a.
Найдём неизвестный множитель из уравнения 3 ⋅ x = 9 путём деления известного частного 9 на известный множитель 3. Запишем решение по алгоритму:
3 ⋅ x = 9,
x = 9 : 3,
x = 3.
Выполним подстановку, чтобы проверить правильность результата:
3 ⋅ 3 = 9
Уравнение правильное, это значит, мы верно установили значение неизвестного множителя. Обратите внимание, правило невозможно использовать в случае, если известный множитель равен 0. К примеру, если вам попадётся уравнение x ⋅ 0 = 8, вы не сможете его решить с помощью этого правила. Само уравнение x ⋅ 0 = 8 бессмысленно, так как для его решения нужно было бы разделить 8 на 0, а делить на 0 нельзя.
Подобные ситуации детально рассмотрены в статье о линейных уравнениях. В случае использования Определения 4, по факту мы делим обе части примера на известный множитель, за исключением 0. Согласно более сложному правилу, мы можем делить обе части уравнения на любой множитель, отличный от 0 и это не повлияет на правильность уравнения и на значение его корня. Оба правила согласованы между собой и отражают математическую связь между обеими частями уравнения.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Находим неизвестный делитель или делимое
Последний случай, с которым вы можете столкнуться в решении простых математических примеров — как найти неизвестное делимое при известном частном и делителе, и наоборот, как найти делитель, если из уравнения известно значение только делимого и частного. Используя знакомую связь между делением и умножением, сформируем правило для решения подобных примеров.
Правило 5 + пример
Если мы ищем неизвестное делимое, то умножаем частное на делитель. Давайте рассмотрим, как использовать правило при решении практических примеров.
Возьмем для решение уравнение типа x : 2 = 4. Перемножаем делитель 2 и частное 4 между собой, получаем ответ 8. Вот мы и нашли неизвестное делимое. Последовательная запись решения будет выглядеть в виде:
x : 2 = 4,
x = 4 · 2,
x = 8.
Также запишем проверочный пример, подставив найденное делимое 8 в исходное уравнение:
8 : 2 = 4.
Правильность проверочного уравнения указывает на правильность найденного ответа.
Определение 5 можно связать с умножением обеих частей уравнения на один и тот же множитель, отличный от 0. Такие изменения в примере никаким образом не повлияют на корни обеих частей уравнения или итоговое значение его неизвестного. Давайте ознакомимся со следующим правилом.
Правило 6 + пример
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на известное частное. Разберем простой пример ниже.
Возьмём уравнение 10 : x = 5. Разделим делимое 10 на известное частное 5. Получим ответ 2, что и будет значением неизвестного делителя в этом уравнении. В любом случае, уравнение нельзя решать в уме, а нужно обеспечить запись процесса решения по алгоритму:
10 : x = 5,
x = 10 : 5,
x = 2.
Завершаем решение примера проверкой результата:
10 : 2 = 5.
Мы получили верное уравнение, значит нашли корень правильно. Обратите внимание, если частное равно 0, мы не может применять это Определение, так как придётся делить делимое на 0. И в таком случае найти делимое невозможно. Но число 0 может выступать в роли частного в уравнении 0 : x = 0. В этом случае, неизвестное x может быть любым положительным или отрицательным числом, то есть равняться бесконечному количеству вариантов значения.
На практике вы будете встречать более сложные примеры и задачи на нахождение неизвестного слагаемого, вычитаемого или множителя/делимого, в которых будете последовательно применять вышеперечисленные правила.
Как найти неизвестный множитель, делимое, делитель
В уравнении х ∙ 10 = 20 неизвестен первый множитель, в выражении 20 : х = 10 неизвестен делитель, а в уравнении х : 2 = 10 неизвестно делимое.
Чтобы решить данные уравнения, нужно найти неизвестное число в каждом из них. В этом уроке научимся находить неизвестный множитель, делимое, делитель.
Найдем значения выражений 4 ∙ 9, 36 : 4, 36 : 9.
Вычислим сначала первое выражение 4 ∙ 9 = 36.
4 – это первый множитель, 9 – это второй множитель, 36 – значение произведения.
Найдем значение второго выражения 36 : 4 = 9.
36 – значение произведения первого выражения, 4 – первый множитель первого выражения, 9 – второй множитель первого выражения.
Таким образом, мы значение произведения разделили на первый множитель, и в результате получился второй множитель.
Найдем значение третьего выражения 36 : 9 = 4.
В данном случае мы значение первого произведения разделили на второй множитель и получили первый множитель.
Решим уравнение х ∙ 10 = 20. В нем неизвестен первый множитель.
Чтобы его найти, нужно значение произведения 20 разделить на второй известный множитель 10, 20 : 10 = 2, х = 2.
Итак, чтобы найти неизвестный множитель, нужно значение произведения разделить на известный множитель.
Теперь перейдем к определению связи между элементами деления. Для этого найдем значения выражений 56 : 8, 56 : 7, 8 ∙ 7.
Вычислим первое выражение 56 : 8 = 7.
56 – это делимое, 8 – это делитель, 7 – значение частного.
Найдем значение второго выражения 56 : 7 = 8.
В данном случае делимое первого выражения 56 разделили на значение частного первого выражения 7, получился делитель первого выражения.
Решим уравнение 20 : х = 10. В уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, нужно делимое 20 разделить на значение частного 10.
20: 10 = 2, х = 2.
Таким образом, чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на значение частного.
Вычислим и рассмотрим третье выражение 8 ∙ 7 = 56. В этом случае делитель первого выражения 8 умножили на значение частного первого выражения 7, получилось делимое первого выражения 56.
Решим еще одно уравнение.
Х : 2 = 10
В нем неизвестное число является делимым.
Чтобы его найти, нужно делитель 2 умножить на значение частного 10, получится делимое 20, х = 20.
Вывод: чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на значение частного.
Используя полученные в этом уроке правила, Вы сможете находить неизвестный множитель, делитель и делимое.