Как найти нейтральный элемент множества - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Тема: Найдите нейтральный элемент (Прочитано 3210 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Как найти нейтральный элемент для следующей операции *
х*у = ху+7х+7у+42

Знаю, что нейтральный элемент — это элемент Е удовлетворяющий условию А*Е=Е*А=А
Ну и как же найти этот нейтральный элемент?

« Последнее редактирование: 24 Мая 2011, 23:35:43 от NELL »

Не знаком с нейтральными элементами, но хорошо знаю алгебру. Чтобы выполнялось тождество, должно быть: 7х+7у+42=0 и, следовательно,
y=-x-6

За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

xy сокращаются и остается 7х+7у+42=0. Отсюда y=-x-6

За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

нееет! Вы не поняли.

В условии дается такая бинарная операция » * » (умножения), которая определяется выражением
х*у = ху+7х+7у+42

т.е. х * у — это не такое обычное умножение, а это операция, которая определяется этим вот большим выражением

« Последнее редактирование: 25 Мая 2011, 02:03:00 от NELL »

Тишина…

ex=e*x+7x+7e+42=x
e(x+7)=-42-6x
e = -(42+6x)/(x+7)
e = -6(x+7)/(x+7)
e = -6

Ого! Спасибо большое!

Источник

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — это элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении к ним этой бинарной операции.

Содержание

1 Определение
2 Замечания
3 Примеры
4 См. также

Определение

Пусть — множество с определённой на нём бинарной операцией . Элемент называется нейтральным относительно , если

{displaystyle xcdot e=ecdot x=x,quad forall xin M.}

Иногда различают нейтральный слева элемент ${displaystyle e_{mathrm {l} }}$ , для которого

${displaystyle e_{mathrm {l} }cdot x=x,quad forall xin M,}$

и нейтральный справа элемент ${displaystyle e_{mathrm {r} }}$ , для которого

${displaystyle xcdot e_{mathrm {r} }=x,quad forall xin M.}$

Замечания

Если существует только левый или только правый нейтральный элемент, то в общем случае их может быть больше одного. Если одновременно существуют левый и правый нейтральный элементы, то они совпадают.

В приведённой выше мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть «единицей». Если для обозначения операции используется аддитивная нотация , то нейтральный элемент называют «нулём».

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	(сложение)	0
Вещественные числа		1
Вещественные числа	${displaystyle a^{b}}$ (возведение в степень)	1 (нейтральный справа)
Матрицы размера	(матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера	(матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида	(композиция функций)	Тождественное отображение
Функции вида	* (свёртка)	(дельта-функция)
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	или
Расширенная числовая прямая	или
Подмножества множества	(пересечение множеств)
Множества	(объединение множеств)	(пустое множество)
Булева логика	(логическое и)	(истина)
Булева логика	(логическое или)	(ложь)

См. также

Обратный элемент;
Моноид;
Группа.

ar:عنصر حيادي
bg:Неутрален елемент
ca:Element neutre
cs:Neutrální prvek
et:Ühikelement
he:איבר יחידה
hu:Neutrális elem
lmo:Elemeent néutar
nl:Neutraal element
pl:Element neutralny
simple:Identity element
sk:Neutrálny prvok
sl:Nevtralni element
sr:Неутрал
sv:Neutralt element
uk:Нейтральний елемент
vi:Phần tử đơn vị
yi:נאטוראלע עלעמענט

Источник

Группы, кольца, поля в математике

Группа: определение и примеры групп

Множество с алгебраической операцией ast называется группой, если выполняются следующие условия:

1) операция ast в ассоциативна: aast(bast c)=(aast b)ast c~ forall a,bin G ;

2) в существует нейтральный элемент thetacolon, aasttheta=thetaast a=a~ forall ain G ;

3) для каждого элемента ain G существует обратный ему элемент $a^{-1}in Gcolon, aast a^{-1}=a^{-1}ast a=theta$ .

Если операция ast коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Относительно операции сложения группами являются множества mathbb{Z},~ mathbb{Q},~ mathbb{R} . Относительно операции умножения группами являются множества mathbb{Q}setminus{0} и Rsetminus{0} отличных от нуля рациональных и действительных чисел, поскольку для нуля не существует обратного элемента. Все эти группы коммутативные.

В группах по сложению нейтральный элемент theta называют нулевым (или просто нулем), а обратный элемент $a^{-1}$ — противоположным (-a) . В группах по умножению нейтральный элемент theta называют единичным (или просто единицей) и обозначают , для обратного элемента $a^{-1}$ название и обозначение сохраняется.

Пример В.4. Доказать, что множество {0} , состоящее из одного числа нуль, образует коммутативную группу по сложению.

Решение. Действительно, операция сложения определена на указанном множестве, так как 0+0=0 . Из этого равенства следует, что этот единственный элемент множества служит нулевым (нейтральным) элементом, а также противоположным (обратным) для себя. Ассоциативность сложения очевидна: (0+0)+0=0+(0+0) . Следовательно, все (три) условия в определении группы выполняются. Учитывая коммутативность сложения, заключаем, что рассматриваемое множество — коммутативная группа.

Пример В.5. Доказать, что множество {+1,-1} , состоящее из двух чисел, образует коммутативную группу по умножению.

Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как

(+1)cdot(+1)=+1,qquad (+1)cdot(-1)=(-1)cdot(+1)=-1,qquad (-1)cdot(-1)=+1.

(B.1)

Следовательно, произведение элементов есть элемент того же множества. Ассоциативность умножения очевидна. Из равенств (В.1) следует, что существует единичный элемент e=+1 . Кроме того, каждый элемент имеет обратный: $(+1)^{-1}=+1,$ $(-1)^{-1}=-1$ . Таким образом, все (три) условия в определении группы выполняются. Из (В.1) следует, что умножение коммутативно, поэтому данная группа коммутативная.

Кольцо

Множество , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение (cdot) , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1) относительно операции сложения множество — коммутативная группа, т.е.

а) операция сложения коммутативна: a+b=b+a~ forall a,bin K ;

б) операция сложения ассоциативна: a+(b+c)=(a+b)+c~ forall a,b,cin K ;

в) существует нулевой элемент thetacolon, a+theta=theta+a=a~ forall ain K ;

г) для каждого элемента ain K существует противоположный ему элемент (-a)in Kcolon, a+(-a)=(-a)+a=theta ;

2) операция умножения в множестве ассоциативна:

acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot cqquad forall ain K,,quad forall bin K,,quad forall cin K,;

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

(a+b)cdot c=acdot c+bcdot c,quad ccdot(a+b)=ccdot a+ccdot bqquad forall ain K,,quad forall bin K,,quad forall cin K,;

Если операция умножения коммутативна: acdot b=bcdot a , то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент ecolon,acdot e=ecdot a=a , то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

Рассмотрим подробнее законы дистрибутивности. Пусть на множестве заданы две операции oplus и otimes . Операция otimes называется дистрибутивной слева относительно операции oplus , если для любых a,,b,,c из справедливо равенство:

cotimes bigl(aoplus bbigr)= bigl(cotimes abigr)oplus bigl(cotimes bbigr),

и дистрибутивной справа относительно операции otimes , если для любых a,,b,,c из справедливо равенство:

bigl(aoplus bbigr)otimes c=bigl(aotimes cbigr)oplus bigl(botimes cbigr).

Если операция otimes коммутативна, то дистрибутивность слева операции otimes относительно операции oplus влечет дистрибутивность справа, так как

bigl(aoplus bbigr)otimes c= cotimes bigl(aoplus bbigr)= bigl(cotimes abigr)oplus bigl(cotimes bbigr)= bigl(aotimes cbigr)oplus bigl(botimes cbigr).

В этом случае говорят, что операция otimes дистрибутивна относительно операции oplus . Например, операция умножения чисел дистрибутивна (слева и справа) относительно операции сложения чисел. Следующий пример показывает, что имеются операции с «односторонней» дистрибутивностью.

Пример В.6. Рассмотрим множество $mathbb{R}^{+}$ положительных действительных чисел. На этом множестве определим две операции: умножения (times b) и возведения в положительную степень (auparrow b=a^b) . Доказать, что операция uparrow возведения в степень дистрибутивна справа относительно умножения, но не дистрибутивна слева.

Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел a,,b,,c справедливы равенства

(acdot b) uparrow c= (acdot b)^c= a^ccdot b^c= bigl(auparrow cbigr)cdot bigl(buparrow cbigr).

Следовательно, операция uparrow дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность uparrow слева относительно умножения опровергается примером

$2uparrow (3cdot 2)= 2^{3cdot2}= 2^6= 64ne 32=2^3cdot2^2= bigl(2uparrow 3bigr)cdot bigl(2uparrow 2bigr).$

Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где и — целые числа, является кольцом:

m+ncdotsqrt{2},.

(B.2)

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:

$begin{aligned}bigl(m_1+n_1cdotsqrt{2}bigr)+ bigl(m_2+n_2cdotsqrt{2}bigr)&= bigl(m_1+m_2bigr)+ bigl(n_1+n_1bigr)cdotsqrt{2},;\ bigl(m_1+n_1cdotsqrt{2}bigr)cdot bigl(m_2+n_2cdotsqrt{2}bigr)&= bigl(m_1cdot m_2+2n_1cdot n_2bigr)+ bigl(m_1cdot n_2+m_2cdot n_1bigr)cdotsqrt{2},.end{aligned}$

Числа (m_1+m_2),~ (n_1+n_2),~ (m_1m_2+2n_1n_2),~ (m_1n_2+m_2n_1) , очевидно, целые для любых целых m_1,,m_2,,n_1,,n_2 . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число theta=0+0sqrt{2} . Для каждого числа m+nsqrt{2} l противоположным элементом является число (-m)+(-n)sqrt{2} , так как

big(m+ncdotsqrt{2}bigr)+ bigl((-m)+(-n)sqrt{2}bigr)= (m-m)+(n-n)cdotsqrt{2}= 0+0cdotsqrt{2},.

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.

Поле: определение и примеры полей

Множество , на котором заданы две операции: сложение (+) и умножение (cdot) , называется полем, если выполняются следующие условия:

1) — коммутативное кольцо с единицей enetheta ;

2) для каждого элемента ainPi , отличного от нулевого (anetheta) , существует обратный элемент $a^{-1}inPicolon, acdot a^{-1}=e$ .

Как видим, поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.

Пример В.8. На множестве $M_3={0,1,2}$ трех целых чисел определим две операции:

1) «сложение по модулю 3» — остаток от деления суммы a+b на 3 (обозначим через overset{3}{a+b} );

2) «умножение по модулю 3» — остаток от деления произведения на 3 (обозначим через overset{3}{acdot b} ).

Доказать, что множество M_3 является полем относительно введенных операций.

Решение. В этом примере остаток от деления целого числа на 3 будем обозначать через ${a}_3$ . Напомним простые свойства деления целых чисел с остатком:

– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:

${a+b}_3=bigl{a+{b}_3bigr}_3;$

– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:

${acdot b}_3=bigl{acdot{b}_3bigr}_3.$

Рассматриваемые в примере операции «сложения по модулю 3» и «умножения по модулю 3» можно представить в виде

$overset{3}{a+b}= {a+b}_3$ и $overset{3}{acdot b}= {acdot b}_3$

а указанные свойства остатков записать так $overset{3}{a+b}= overset{3}{a+{b}_3},~ overset{3}{acdot b}= overset{3}{acdot{b}_3}$ .

Перейдем теперь к решению задачи. Отметим, что введенные операции overset{3}{a+b} и overset{3}{acdot b} определены на M_3 . Составим таблицы «сложения по модулю 3» и «умножения по модулю 3» (рис.В.2). Как видим, результаты этих операций принадлежат M_3 . Следовательно, операции действительно определены на M_3 .

Таблица «сложения по модулю» $begin{array}{|c|c|c|c|} hline asetminus b &0&1&2\hline 0&0&1&2\hline 1&1&2&0\hline 2&2&0&1 \hlineend{array}$ . Таблица «умножения по модулю» $begin{array}{|c|c|c|c|} hline asetminus b &0&1&2\hline 0&0&0&0\hline 1&0&1&2\hline 2&0&2&1 \hlineend{array}$ .

Покажем, что множество M_3 является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция «сложения по модулю 3» коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства a+b=b+a следует, что

$overset{3}{a+b}= {a+b}_3= {b+a}_3= overset{3}{b+a},.$

Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность «сложения по модулю 3» видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые и в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.

Из равенства a+(b+c)=(a+b)+c следует, что

$a,overset{3}{+}bigl(overset{3}{b+c}bigr)= bigl{a+{b+c}_3bigr}_3= {a+b+c}_3= bigl{{a+b}_3+cbigr}_3= bigl(overset{3}{a+b}bigr)overset{3}{+},c,.$

Ассоциативность «сложения по модулю 3» доказана.

Нулевым элементом theta служит число 0. По таблице «сложения по модулю 3» определяем, что для каждого элемента из M_3 имеется противоположный элемент (-a)colon, (-0)=0;~ (-1)=2;~ (-2)=1 . Действительно, по таблице «сложения по модулю 3» получаем

0,overset{3}{+},(-0)= overset{3}{0+0}=0;qquad 1,overset{3}{+},(-1)= overset{3}{1+2}=0;qquad 2,overset{3}{+},(-2)= overset{3}{2+1}=0;

Итак, множество M_3 относительно операции «сложения по модулю 3» является коммутативной группой.

Операция «умножение по модулю 3» ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:

$begin{gathered}a,overset{3}{cdot}bigl(b,overset{3}{cdot},cbigr)= bigl{acdot{bcdot c}_3bigr}_3= {acdot bcdot c}_3= bigl{{acdot b}_3cdot cbigr}_3= bigl(a, overset{3}{cdot}, bbigr) overset{3}{cdot},c\[2pt] a,overset{3}{cdot},b= {acdot b}_3= {bcdot a}_3=b ,overset{3}{cdot},a.end{gathered}$

Проверим дистрибутивность:

$a,overset{3}{cdot},bigl(overset{3}{b+c}bigr)= bigl{acdot{b+c}_3bigr}_3= bigl{acdot(b+ c)bigr}_3= bigl{acdot b+acdot cbigr}_3= bigl{{acdot b}_3+{acdot c}_3bigr}_3= bigl(overset{3}{acdot b}bigr) overset{3}{+}, bigl(overset{3}{acdot c}bigr).$

Следовательно, операция «умножения по модулю 3» дистрибутивна слева относительно операции «сложения по модулю 3». Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.

Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице «умножения по модулю 3»). Следовательно, M_3 — коммутативное кольцо с единицей.

Осталось показать существование обратных элементов. Для любого ain M_3 , отличного от нуля, существует обратный элемент $a^{-1}colon, 1^{-1}=1$ ; $2^{-1}=2$ . В самом деле, по таблице «умножения по модулю 3» $1,overset{3}{cdot},1^{-1}= 1,overset{3}{cdot},1 =1$ и $2,overset{3}{cdot},2^{-1}= 2,overset{3}{cdot},2 =1$ . Таким образом, множество M_3 с введенными операциями является полем.

Замечание В.2. Можно доказать, что числовое множество $M_p={0,1,2,ldots,p-1}$ с операциями «сложения по модулю » и «умножения по модулю » является полем для любого простого числа .

Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где и — рациональные числа, является полем:

p+qcdotsqrt{2},.

(B.3))

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:

$begin{aligned}bigl(p_1+q_1cdotsqrt{2}bigr)+ bigl(p_2+q_2cdotsqrt{2}bigr)&= (p_1+p_2)+(q_1+q_2)sqrt{2},;\ bigl(p_1+q_1cdotsqrt{2}bigr)cdot bigl(p_2+ q_2cdotsqrt{2} bigr)&= (p_1p_2+ 2q_1q_2)+ (p_1q_2+p_2q_1)sqrt{2},.end{aligned}$

Числа (p_1+p_2),~ (q_1+q_2),~ (p_1p_2+2q_1q_2),~ (p_1q_2+p_2q_1) очевидно, рациональные для любых рациональных p_1,,p_2,,q_1,,q_2 . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число theta=0+ 0sqrt{2} . Для каждого числа p+qsqrt{2} противоположным элементом является число (-p)+(-q)sqrt{2} , так как

bigl(p+qsqrt{2}bigr)+ bigl((-p)+(-q)sqrt{2}bigr)= (p-p)+(q-q)sqrt{2}=0+0sqrt{2},.

Единичным элементом служит число e=1+0sqrt{2} . В самом деле, для любого числа p+qsqrt{2} имеет место равенство:

bigl(p+qsqrt{2}bigr)cdot bigl(1+0sqrt{2}bigr)= bigr(1+0sqrt{2}bigl)cdot bigl(p+qsqrt{2}bigr)= p+qsqrt{2},.

Таким образом, рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей (enetheta) . Осталось показать, что любое число p+qsqrt{2} , отличное от нулевого элемента theta=0+0sqrt{2} , имеет обратный. В самом деле, учитывая, что

$frac{1}{p+qsqrt{2}}= frac{p-qsqrt{2}}{(p+qsqrt{2})cdot (p-qsqrt{2})}= frac{p}{p^2-2q^2}-frac{q}{p^2-2q^2}cdotsqrt{2},,$

определим обратный элемент равенством $bigl(p+qsqrt{2}bigr)^{-1}= frac{p}{p^2-2q^2}-frac{qsqrt{2}}{p^2-2q^2}$ . Тогда

$bigl(p+qsqrt{2}bigr)bigl(p+qsqrt{2}bigr)^{-1}= bigl(p+qsqrt{2}bigr)^{-1}bigl(p+qsqrt{2}bigr)= bigl(p+qsqrt{2}bigr)left(frac{p}{p^2-2q^2}-frac{qsqrt{2}}{p^2-2q^2}right)= 1+0sqrt{2}=e,.$

Заметим, что знаменатель p^2-2q^2 отличен от нуля для любых рациональных чисел и , не равных нулю одновременно. Действительно, равенство p^2=2q^2 равносильно равенству |p|=|q|sqrt{2} , а это означает, что sqrt{2} — рациональное число. Поскольку число sqrt{2} — иррациональное, значит p^2-2q^2ne0 , т.е. обратный элемент существует для любого p+qsqrt{2}netheta .

Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Нейтральный элемент

Материал из Большого Справочника

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Терминология
- 3.1 В алгебре
- 3.2 В теории решёток
4 См. также
5 Ссылки

Определение

Пусть — множество с определённой на нём бинарной операцией « cdot ». Элемент ein M называется нейтральным относительно cdot (умножения), если

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент ${displaystyle e_{mathrm {l} }}$ , для которого

${displaystyle e_{mathrm {l} }cdot x=x,quad forall xin M}$

и правый нейтральный элемент ${displaystyle e_{mathrm {r} }}$ , для которого

${displaystyle xcdot e_{mathrm {r} }=x,quad forall xin M}$

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент $e_{{{mathrm l}}}$ , и нейтральный справа элемент $e_{{{mathrm r}}}$ , то они обязаны совпадать (так как $e_{{{mathrm r}}}=e_{{{mathrm l}}}cdot e_{{{mathrm r}}}=e_{{{mathrm l}}}$ ).

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	(сложение)	число 0
Вещественные числа	(умножение)	число 1
Вещественные числа	(вычитание)	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	$a^{b}$ (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	(деление)	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	(сложение векторов)	(нуль-вектор)
Матрицы размера	(матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера	(матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида	(композиция функций)	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	(минимум) или (инфимум)
Расширенная числовая прямая	(максимум) или (супремум)
Подмножества множества	(пересечение множеств)
Множества	(объединение множеств)	(пустое множество)
Исчисление высказываний	(конъюнкция)	(истина)
Исчисление высказываний	(дизъюнкция)	(ложь)

Терминология

В алгебре

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но и (иногда) групповую операцию в абелевых группах.

В теории решёток

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также

Обратный элемент
Моноид
Группа

Ссылки

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 «Нейтральные элементы»
http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity (рус.)
http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html (рус.)
https://brilliant.org/identity-element/ (англ.)
Weisstein, Eric W. «Identity Element.» From MathWorld—A Wolfram Web Resource (англ.)

Источник

Нейтральные элементы

Пусть

— бинарная операция на непустом множестве
А.

def.
Элемент е
из А
называется левым
нейтральным относительно
операции

,
если для любого а
из А
выполняется равенство е

а
= а.

def.
Элемент е
из А
называется правым
нейтральным относительно
операции

,
если для любого а
из А
имеем а

е
= а.

def.
Элемент е
из А
называется нейтральным
относительно
операции

,
если для любого элемента а
из А
верны равенства e

a
= a
= a

Теорема 1.
Если нейтральный элемент относительно
операции

существует, то он единственен.

Доказательство.

Следствие.
Если нейтральный элемент относительно
операции

существует, то все левые и правые
нейтральные элементы относительно

с ним совпадают.

Примеры.

1) Число 0 есть
нейтральный элемент относительно
сложения целых чисел. Число 1 есть
нейтральный элемент относительно
умножения целых чисел.

2) На множестве
Р(М)
относительно

нейтральный ;
относительно

нейтральный P(M).

Симметричные элементы

Пусть

– бинарная операция на множестве А,
обладающая нейтральным элементом е.

def.
Элемент v
из А
называется левым
симметричным
к элементу а

А
относительно операции

,
если v

a
= e.

def.
Элемент v
из А
называется правым
симметричным
к а
относительно операции

,
если а

v
= е.

def.
Элемент а’

А
называется симметричным
к элементу а

А относительно
операции

,
если а

a’
= е
= a’
a.
В этом случае элемент а
называется симметризуемым,
а элементы а
и а’
– взаимно
симметричными.

Примеры.

1) Относительно
сложения целых чисел симметричным к
данному целому числу является то же
число, взятое со знаком «минус».

2) Относительно
умножения рациональных чисел симметричным
к нулевому числу а
является

;
число нуль не имеет симметричного
относительного умножения.

Теорема 2.
Если операция

ассоциативна и элемент a
симметризуем, то существует единственный
элемент, симметричный к а.

Доказательство.

Следствие.
Если элемент a
имеет симметричный элемент а’
относительно ассоциативной операции

,
то все левые и все правые симметричные
к а
элементы совпадают с элементом а’.

Аддитивная и мультипликативная форма записи

Наиболее часто
используется аддитивная и мультипликативная
формы записи бинарной операции. При
аддитивной форме записи бинарную
операцию

называют сложением
и пишут а
+ b
вместо a

b,
называя элемент a
+ b
суммой
a
и b.
Элемент, симметричный элементу а,
обозначают (-а)
и называют противоположным
элементу а.
Нейтральный элемент относительно
сложения обозначают символом 0 и называют
нулевым
элементом
относительно сложения. При аддитивной
записи свойства ассоциативности и
коммутативности записывается в виде

a
+ (b
+ c)
= (a
+ b)
+ c,
a
+ b
= b
+ a.

При мультипликативной
форме записи бинарную операцию называют
умножением
и пишут a

b
(вместо а

b),
называется элемент a

b
произведением
а
и b.
Элемент, симметричный а,
обозначают а^-1
и называют обратным
элементу а.
Нейтральный элемент относительно
умножения обозначают через e
и 1 и называют единичным
элементом
или единицей
относительно умножения.
При мультипликативной записи свойства
ассоциативности и коммутативности
записываются в виде a

c)=(a

c,
a

b
= b

Свойство
дистрибутивности умножения относительно
сложения записываются в виде (a
+ b)

c
= a

c
+ b

c,
c

(a
+ b)
= c

a
+ c

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник