Как найти неопределенный интеграл интегрирование по частям - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Интегрирование по частям

Пусть U(x) и V(x) — дифференцируемые функции. Тогда d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x). Поэтому U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x). Вычисляя интеграл от обеих частей последнего равенства, с учетом того, что ∫d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, получаем соотношение

называемое формулой интегрирования по частям. Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.

Решение онлайн
Видеоинструкция

С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word.

Также рекомендуется изучить сервис вычисление интегралов онлайн

Примеры

≡ x^2/(x+2)

cos²(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2

≡ x+(x-1)^(2/3)

Применение метода интегрирования по частям

В связи с особенностями нахождения определенных величин, формулу интегрирования по частям очень часто используют в следующих задачах:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Формула для нахождения математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины включает в себя два сомножителя: функцию полинома от x и плотность распределения f(x).
Разложение в ряд Фурье. При разложении необходимо определять коэффициенты, которые находятся интегрированием от произведения функции f(x) и тригонометрической функции cos(x) или sin(x).

Типовые разложения по частям

Вид интеграла	Разложения на части
`∫P_n(x)cos(ax)dx`, `∫P_n(x)sin(ax)dx`, `∫P_n(x)e^axdx`, где `P_n(x)` — некоторый полином (многочлен) степени `n`	`U(x)=P_n(x)`, `dV(x)=cos(ax)dx`
`∫ln(P(x))dx`	`U=ln(P(x))`; `dV=dx`
`∫arcsin(ax)dx`	`U=arcsin(ax)`; `dV=dx`
	`U=ln(x)`; `dV=dx/x`

При использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать U и dV, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы находился легче. Положим в первом примере U=e^x, dV=xdx. Тогда dU=e^xdx, и Вряд ли интеграл ∫x²e^xdx можно считать проще исходного.

Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например, при вычислении интеграла ∫x²sin(x)dx.

Интегралы ∫e^axcos(bx)dx и ∫e^axsin(bx)dx называются циклическими и вычисляются с использованием формулы интегрирования по частям два раза.

Пример №1. Вычислить ∫xe^xdx.

Положим U=x, dV=e^xdx. Тогда dU=dx, V=e^x. Поэтому ∫xe^xdx=xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+C.

Пример №2. Вычислить ∫xcos(x)dx.

Полагаем U=x, dV=cos(x)dx. Тогда dU=dx, V=sin(x) и ∫xcos(x)dx=xsin(x) - ∫sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Пример №3. ∫(3x+4)cos(x)dx

Решение:

Ответ: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Источник

Пусть
и— непрерывно дифференцируемые функции.
На основании формулы дифференциала
произведения имеем

Отсюда

Интегрируя,
получим:

или окончательно

(4)

Формула (4) называется формулой
интегрирования по частям.

Выведенная формула показывает, что
интеграл
приводится к интегралу,
который может оказаться более простым,
чем исходный, или даже табличным. Сущность
метода интегрирования по частям вполне
соответствует его названию. Дело в том,
что при вычислении интеграла этим
методом подынтегральное выражениепредставляется в виде произведения
множителейuиdv.
При этом dx обязательно входит в
dv. В результате получается, что заданный
интеграл находится по частям: сначала
находим,
а затем.

Пример 1.

В представленном примере, как и в
дальнейших, вертикальными черточками
отделены вспомогательные записи. Отметим
также, что в качестве vможно взять любую функцию видаx+C,гдеС– постоянная. Мы взялиv=x,
т.е.С=0.

Пример
2.
.

Пример
3.

Пример 4.

Иногда для вычисления
интеграла формулу интегрирования по
частям приходится применять несколько
раз.

Пример
5.

Таким образом, интеграл
вычислен двукратным интегрированием
по частям.

Пример 6.

Если бы выражение
u
и dv
мы выбрали иначе, т.е.
,
то получили бы,
откуда,
и пришли бы к интегралу более сложному,
чем исходный, т.к. степень сомножителя
при тригонометрической функции повысилась
на единицу.

Приведенный пример показывает, что при
вычислении интегралов методом
интегрирования по частям главным
является разумное разбиение подынтегрального
выражения на множители uиdv. Общих установок
по этому вопросу не имеется. Однако, для
некоторых типов интегралов сделать это
возможно.

а) В интегралах вида

где
P(х)
– многочлен относительно x,
а –
некоторое число, полагают u=P(x),
а остальные сомножители за
.

Пример 7.
Найти
.


Положим
,,
тогда,.
Следовательно,



б) В интегралах вида

полагают

а
остальные сомножители – заu.

Пример 8.
Найти
.

Следовательно,

Вычислим отдельно последний интеграл:

Итак,
.

Отметим, что на
практике важно научиться применять
формулу (4), не выписывая по возможности
в стороне выражения для функций u
и v.

Так, решение приведенного примера может
быть представлено в виде:



=.

Возвращение к исходному интегралу

Формула интегрирования
по частям применима и для нахождения
интегралов вида
и,
гдеа
и b
– числа. При
нахождении этих интегралов она применяется
последовательно два раза, причем оба
раза за u
выбирается либо показательная функция,
либо тригонометрическая. После
двукратного интегрирования по частям
получается линейное уравнение относительно
искомого интеграла.

Пример 9.
Найти I
=.


Положим
,.
Тогда,.

Следовательно,
I
=.

Для вычисления
интеграла
снова
применим интегрирование по частям.
Положим,.
Тогда,.

Таким образом,

I==.

Так как в правой части стоит искомый
интеграл, то, перенося его в левую часть,
получим:

Отсюда получаем окончательный результат:

=.

Применим изложенный
метод к вычислению еще двух, часто
используемых в приложении, интегралов.

Пример
10. Найти
I
=.


Положим
,.
Тогда,.
Следовательно,

(*)

Так
как
,
то

(см.
лекция 2, п.2б, пример 20).

Подставив
полученное выражение в равенство (*),
будем иметь

Таким
образом,
.

Пример
11. Найти

,(а0)


Положим
,,
откуда,.
Следовательно,

или

Отсюда получаем:
.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема, а другая интегрируема. Работает техника для неопределенных и определенных интегралов.

Формула для неопределенного интеграла:

$$ int udv = uv — int vdu $$

Формула для определенного интеграла:

$$ int limits_{a}^{b} udv = uv bigg |_{a}^{b} — int limits_{a}^{b} vdu $$

Рассмотрим на практике примеры решения интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание ещё раз на то, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.

Пример 1

Найти интеграл $ int xe^xdx $

Решение

Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла используем метод интегрирования по частям. Положим, $ u = x rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx rightarrow v=e^x $

Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем

$$ int xe^x dx = xe^x — int e^x dx = xe^x — e^x + C. $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ int xe^x dx = xe^x — e^x + C $$

Пример 2

Найти интеграл $ int xcos x dx $

Решение

В качестве неизвестных функций $ u $ и $ v $ возьмем следующие: $ u=x rightarrow du=dx $ и $ dv = cos x dx rightarrow v = sin x $.

Подставим функции $ u $ и $ v $ в первую формулу

$$ int x cos x dx = x sin x — int sin x dx = x sin x + cos x + C. $$

Ответ

$$ int x cos x dx = x sin x + cos x + C $$

Пример 3

Вычислить интеграл $ int limits_1 ^e xln x dx $

Решение

В данном задании имеем интеграл с пределами, а поэтому будем применять формулу для определенного интеграла. Введём обозначения

$$ u = ln x rightarrow du = frac{dx}{x}, text{a за } dv = xdx rightarrow v = frac{x^2}{2}. $$

Осталось подставить это в формулу

$$ int limits_1 ^e xln x dx = frac{x^2}{2} ln x bigg |_1 ^e — int limits_1 ^e frac{x^2}{2}frac{dx}{x} = frac{e^2}{2} — 0 — frac{1}{2} int limits_1 ^e xdx = $$

$$ =frac{e^2}{2} — frac{1}{2} frac{x^2}{2}bigg |_1 ^e = frac{e^2}{2} — frac{1}{2}(frac{e^2}{2} — frac{1}{2}) = frac{e^2}{2} — frac{e^2}{4} + frac{1}{4} = frac{e^2+1}{4} .$$

Ответ

$$ int limits_0 ^1 x ln x dx = frac{e^2+1}{4} $$

Пример 4

Вычислить интеграл $ int limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Решение

По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать $ (x+5) $, то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет «на руку». Поэтом поступаем так

$$ u=x+5 rightarrow du=dx, dv=3^x dx rightarrow v=frac{3^x}{ln3} .$$

Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу

$$ int limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) frac{3^x}{ln 3} bigg |_0 ^1 — int limits_0 ^1 frac{3^x dx}{ln 3} = $$

$$ = frac{18}{ln 3} — frac{5}{ln 3} — frac{3^x}{ln^2 3}bigg| _0 ^1 = frac{13}{ln 3} — frac{3}{ln^2 3}+frac{1}{ln^2 3} = frac{13}{ln 3}-frac{4}{ln^2 3}. $$

Ответ

$$ intlimits_0 ^1 (x+5)3^x dx = frac{13}{ln 3}-frac{4}{ln^2 3} $$

Источник