Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления интеграла корня
Формула
$$int frac{d x}{sqrt{x}}=2 sqrt{x}+C$$
Интеграл от единицы, деленной на корень, равен двум таким же корням плюс константа интегрирования.
$$int sqrt{x} d x=frac{2}{3} sqrt{x^{3}}+C$$
Заметим, что данные формулы сводятся к
интегралу от степенной функции при помощи следующих свойств:
$sqrt[m]{x^{n}}=x^{frac{n}{m}}$ и $frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$
Примеры вычисления интеграла корня
Пример
Задание. Найти неопределенный интеграл $int frac{d x}{2 sqrt{x}}$
Решение. Согласно
свойствам неопределенного интеграла, константу можно выносить за знак интеграла, то есть получим:
$$int frac{d x}{2 sqrt{x}}=frac{1}{2} int frac{d x}{sqrt{x}}$$
А тогда, согласно формуле, будем иметь:
$$int frac{d x}{2 sqrt{x}}=frac{1}{2} int frac{d x}{sqrt{x}}=frac{1}{2} cdot 2 sqrt{x}+C=sqrt{x}+C$$
Ответ. $int frac{d x}{2 sqrt{x}}=sqrt{x}+C$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание.$int 2 sqrt{x} d x$
Решение. Константу выносим за знак интеграла:
$$int 2 sqrt{x} d x=2 int sqrt{x} d x$$
Далее интеграл находи по формуле:
$$int 2 sqrt{x} d x=2 int sqrt{x} d x=2 cdot frac{2}{3} sqrt{x^{3}}+C=frac{4 sqrt{x^{3}}}{3}+C$$
Ответ. $int 2 sqrt{x} d x=frac{4 sqrt{x^{3}}}{3}+C$
Читать дальше: интеграл обратной функции.
Интеграл от корня
Интеграл от корня в таблице интегрирования записан как: $$ int sqrt{x} dx = frac{2}{3}sqrt{x^3} + C $$
Словами это звучит как интеграл от корня равен две трети от квадратного корня из икс в кубе плюс постоянная. Далее в примере сделаем вывод данной формулы с помощью интегрирования показательной функции.
| Пример 1 |
| Найти интеграл корень из икс: $ int sqrt{x} dx $ |
| Решение |
|
Вспомним, что такое квадратный корень. Это степень $frac{1}{2}$ при $ x $. Записывается следующим образом: $$ sqrt{x} = x^{frac{1}{2}} $$ Подставляем в интеграл эту формулу и интегрируем уже как показательную функцию по правилу: $$ int x^{p} dx = frac{x^{p+1}}{p+1} + C $$ $$ int sqrt{x} dx = int x^{frac{1}{2}} dx = frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{1}{2}+1} + C = $$ $$ = frac{x^{frac{3}{2}}}{frac{3}{2}} + C = frac{2}{3} x^frac{3}{2} + C = frac{2}{3} sqrt{x^3} + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ int sqrt{x} dx = frac{2}{3}sqrt{x^3} + C $$ |
Интеграл от корня
Интеграл от корня равен двум третям корня x в кубе плюс константа интегрирования.
(
int sqrt{x} d x=frac{2}{3} sqrt{x^{3}}+C
)
Эта формула может быть получена путем записи корня в виде показателя степени, а затем нахождения интеграла как степенной функции:
(
int x^{n} d x=frac{x^{n+1}}{n+1}+C
)
(
int sqrt{x} d x=int x^{frac{1}{2}} d x=frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{1}{2}+1}=frac{x^{frac{1}{2}}}{frac{3}{2}}=frac{2}{3} sqrt{x^{3}}+C
)
Примеры решения проблем на тему «Интеграл от корня»
ПРИМЕР 1
Поиски Интеграла
(
int(2 sqrt{x}+1) d x
)
Согласно свойствам интеграла интеграл от суммы равен сумме интегралов, а константу можно взять из знака интеграла. Тогда мы имеем:
(
int(2 sqrt{x}+1) d x=int 2 sqrt{x} d x+int d x=2 int sqrt{x} d x+x=2 cdot frac{2}{3} sqrt{x^{3}}+C=frac{4}{3} sqrt{x^{3}}+C
)
(
int(2 sqrt{x}+1) d x=frac{4}{3} sqrt{x^{3}}+C
)
ПРИМЕР 2
Решить интеграл
(
int frac{x+1}{2 sqrt{x}} d x
)
разделит функцию подынтегральной функции:
(
int frac{x+1}{2 sqrt{x}} d x=int frac{x d x}{2 sqrt{x}}+int frac{d x}{2 sqrt{x}}=frac{1}{2} int sqrt{x} d x+sqrt{x}=frac{1}{2} cdot frac{2}{3} sqrt{x^{3}}+sqrt{x}+C=frac{sqrt{x^{3}}}{3}+sqrt{x}+C
)
Интеграл (
int frac{d x}{2 sqrt{x}}
) является табличным и равен
(
int frac{d x}{2 sqrt{x}}=sqrt{x}+C
)
(
int frac{x+1}{2 sqrt{x}} d x=frac{sqrt{x^{3}}}{3}+sqrt{x}+C
)