Как найти неполный квадрат разности

Формулы сокращённого умножения

• Разложение формул сокращенного умножения
• Неполный квадрат суммы
• Неполный квадрат разности

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a² + b² = (a + b)² — 2ab  —  сумма квадратов;

a² — b² = (a + b)(a — b)  —  разность квадратов;

(a + b)² = a² + 2ab + b²  —  квадрат суммы;

(a — b)² = a² — 2ab + b²  —  квадрат разности;

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)  —  сумма кубов;

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)  —  разность кубов;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  —  куб суммы;

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³  —  куб разности.

Обратите внимание, что  a  и  b  в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

a² + b² = (a + b)² — 2ab.

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)² — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a² + ab + ab + b² — 2ab = a² + b².

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

a² — b² = (a + b)(a — b).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a — b) = a² — ab + ab — b² = a² — b².

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(a — b)² = a² — 2ab + b².

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b².

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³.

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b)³ = (a — b)(a — b)² = (a — b)(a² — 2ab + b²) = a³ — 2a²b + ab² — a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Неполный квадрат суммы

Выражение:

a² + 2ab + b²

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a² + ab + b²,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

Выражение:

a² — 2ab + b²

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a² — ab + b²,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Примеры:

• 15² − 2² = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a² − 4b²с² = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  
  
  112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  
  112² = (100 + 12)²
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  
  112² = (100 + 12)² = 100² +
  2 · 100 · 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²

Предостережение!

(a + b)² не
равно (a² + b²)

Квадрат разности

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)² = (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)² =
a² −2ab + b² = b² − 2ab + a² = (b − a)²

Куб суммы

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a³».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты
  3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
  (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле
  идёт понижение
  степени «a» и увеличение степени
  «b». В этом можно убедиться:
  
  (a + b)³ =
  a³b⁰ +
  3a²b¹ + 3a¹b² +
  b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

(a + b)³
не равно a³ + b³

Куб разности

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a³ »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)³ =
+ a³ −
3a²b
+ 3ab² −
b³
=
a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a²− ab + b²)
  
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

• a² + 2a + 1 = (a + 1)²
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a²c² − 16b²

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

План урока:

Разность квадратов

Квадрат суммы

Квадрат разности

Формулы для кубов

Треугольник Паскаля

Разность квадратов

Пусть есть два числа, одно из которых равно a, а другое – b. Их сумма будет равна a + b, а разность составляет a– b. Оба эти выражения являются многочленами.

Теперь перемножим сумму и разность, пользуясь правилами перемножения многочленов (см. урок 6) :

(a + b)(a — b) = a² — ab + ba — b²

Слагаемые – a b и b a являются подобными, их сумма равна нулю:

-ab + ab = -1ab + 1ab = ab(-1 + 1) = ab * 0 = 0

Поэтому в выражении их можно сократить:

(a + b)(a — b) = a² — ab + ba — b² = a² — b²

Получается, что произведение суммы двух чисел на их разность равно разности их квадратов. Естественно, как и любое другое математическое равенство, это можно переписать в обратном порядке:

a² — b²  = (a + b)(a — b)

Данное тождество называют формулой разности квадратов.

Вместо a и b в это тождество можно подставлять любые числа, выражения, одночлены, многочлены. Убедимся в ее справедливости на нескольких примерах. Вычислим значение выражения

7² — 5²

сначала напрямую, а потом с помощью формулы разности квадратов:

7² — 5² = 7*7 — 5*5 = 49 — 25 = 24

7² — 5² = (7 — 5)(7 + 5) = 2*12 = 24

Видно, что ответ не зависит от способа вычисления. Однако в ряде один из них представляется более удобным.

Пример. Вычислите разность двух квадратов: 2516² и 1516².

Решение. Возводить во вторую степень четырехзначные числа без калькулятора тяжело, поэтому используем сокращенное умножение:

2516² — 1516² = (2516 + 1516)(2516 + 1516) = 4032 * 1000 = 4032000

Ответ: 4032000

Пример. Вычислите 499•501.

Решение. Используем две простые замены:

499 = 500 — 1

501 = 500 + 1

С их помощью вычисления существенно упрощаются, так как произведение можно представить как разность квадратов двух чисел:

499 * 501 = (500 — 1)(500 + 1) = 500² — 1² = 250000 — 1 = 249999

Ответ: 249999.

Пример. Докажите, что число 765873² – 765864² делится на 9.

Решение. Разность квадратов равна:

765873² – 765864² = (765873 — 765864)(765873 + 765864) = 9*(765873 + 765864)

Даже не складывая слагаемые во второй скобке, мы можем сказать, что исходное число делится на 9, так как на 9 делится один из множителей, на которые мы разложили разность квадратов.

Теперь рассмотрим случаи, когда в формулу подставляются переменные. Пусть необходимо найти произведение полиномов 8u + 5v и 8u– 5v. С помощью формулы сокращенного умножения получаем:

(8u + 5v)(8u — 5v) = (8u)² — (5v)² = 64u² — 25v²

Конечно, мы могли бы выполнить эту операцию и без использования сокращенного умножения, просто раскрыв скобки методом «фонтанчика». Но тогда мы потратили бы больше времени, усилий и бумаги:

(8u + 5v)(8u — 5v) = (8u)² — 8u*5v + 5v*8u — (5v)² = 64u² — 25v²

Пример. Перемножьте полиномы x²z +2y³ и x²z– 2y³.

Решение.

(x²z +2y³)(x²z +2y³) = (x²z)² — (2y³)² = x⁴z² — 4y⁶

Пример. Упростите выражение

-3.5m² — (1.5n — 2m)(1.5n + 2m)

Решение:

-3.5m² — (1.5n — 2m)(1.5n + 2m) = -3.5m² — ((1.5n)² — (2m)²) = -3.5m² — 2.25n² + 4m² = 0.5m² — 2.25n²

Иногда с помощью сокращенного умножения можно разложить полином на множители. Например, двучлен x²– 25 можно представить как

x² — 25 = x² — 5² = (x — 5)(x + 5)

С помощью разложения разности квадратов на множители можно доказать, что разность вторых степеней двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом. Обозначим за n произвольное натуральное число. Тогда следующим за ним будет число n+1. Разность их квадратов равна

(n + 1)² = n²

Раскроем скобки:

(n + 1)² — n² = (n + 1 — n)(n + 1 + n) = 1*(2n + 1) = 2n + 1 = 1*(2n + 1) = 2n + 1

Число 2n +1 при делении на 2 дает остаток 1, то есть является нечетным.

Стоит отметить, что для суммы квадратов a² + b² аналогичной формулы разложения на множители не существует.

Квадрат суммы

Возведем во вторую степень сумму двух произвольных величин, которые обозначим буквами a и b:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

То есть верно тождество

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Это тождество называют формулой квадрата суммы.

Покажем ее верность на числовом примере. Вычислим значение выражения (5 + 3)² двумя различными способами, с помощью формулы возведения суммы в квадрат и без нее:

(5 + 3)²  = 8² = 64

(5 + 3)² = 5² + 2 * 5 * 3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64

Выражение для квадрата суммы используется также, как и формула разности квадратов. В нее можно подставлять числа, полиномы и мономы, произвольные выражения. Тождество можно перевернуть, и тогда получится равенство:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

которое является верным.

Тождество можно проиллюстрировать и геометрически. Построим квадрат со стороной a + b (отрезки длиной а выделены красным цветом, а длиной b– синим):

Площадь такой фигуры равна второй степени стороны:

S = (a + b)²

С другой стороны, этот квадрат составлен из двух прямоугольников площадью ab и квадратов со сторонами a и b:

S = a² + 2ab + b²

Пример. Вычислите 1010².

Решение. Представим число 1010 как сумму 1000 и 10. Тогда можно записать:

(1010)² = (1000 + 10)² = 1000² + 2 * 1000 * 10 + 10² = 1000000 + 20000 + 100 = 1020100

Пример. Докажите, что число 9060100 является второй степенью натурального числа.

Решение. Представим 9060100 как сумму слагаемых 9000000, 60000 и 100. В свою очередь верны следующие равенства:

3000² = 9000000

10² = 100

2 * 10 * 3000 = 60000

Тогда можно воспользоваться сокращенным умножением:

9060100 = 9000000 + 60000 + 100 = 3000² + 2 * 10 * 3000 + 10² = (3000 + 10)² = 3010²

Получили, что 9060100 – это вторая степень числа 3010. При этом нам не пришлось извлекать квадратный корень.

В тождество квадрата суммы можно подставлять не только числа, но и многочлены. Представим в виде произведения мономов выражение

(5h + ² — (4h + 10)²

Сначала по формуле квадрата суммы раскроем каждую из скобок:

(5h + ² — (4h + 10)² = (25h² + 80h + 64) — (16h² + 80h + 100) = 25h² + 80h + 64 — 16h² — 80h — 100

Далее приведем подобные слагаемые:

25h² + 80h + 64 — 16h² — 80h — 100 = (25h² — 16h²) + (80h — 80h) + (64 — 100) = 9h² — 36

оставшийся полином раскладывается на множители с помощью сокращенного умножения:

9h² — 36 = (3h)² — 6² = (3h — 6)(3h + 6)

Квадрат разности

Своя формула сокращенного умножения существует не только для квадрата суммы, но и для квадрата разности. Выведем её. Для этого возведем во вторую степень выражение a– b:

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ba + b² = a² — 2ab + b²

Итак, мы получили тождество, называемое формулой квадрата разности:

(a — b)² = a² — 2ab + b²

Убедимся в верности тождества на примере. Для этого вычислим значение выражения (9 – 5)² двумя разными способами, с использованием формулы возведения разности в квадрат и без неё:

(9 — 5)² = 4² = 16

(9 — 5)² = 9² — 2 * 9 * 5 + 5² = 81 — 90 + 25 = 16

Заметим, что если поменять местами переменные aи b, то значение квадрата их разности не изменится:

(b — a)² = b² — 2ba + a² = a² — 2ab + b² = (a — b)²

Дело в том, что числа a– b и b – a являются противоположными. В предыдущем уроке «Разложение многочленов на множители» мы узнали, что

a — b = -(b — a)

Вторые же степени (как и вообще любые четные степени) противоположных чисел равны друг другу:

(-a)² = (-a)(-a) = (-1)*(-1)a² = a²

Можно заметить сходство между тождествами для вычисления квадрата разности и суммы. Действительно, они отличаются лишь одним знаком. Поэтому иногда эти два тождества записывают как единое целое:

Если в левой скобке стоит плюс, то и в правой должен быть именно он. Если в левой части тождества стоит минус, то справа также должен стоять минус.

Пример. Вычислите 999999².

Решение. Перемножать два шестизначных числа весьма сложно. Однако заметим, что число 999999 можно представить как разницу миллиона и единицы:

999999 = 1000000 — 1

Используем сокращенное умножение:

999999² = (1000000 — 1)² = 1000000² — 2*1*1000000 + 1 = 1000000000000 — 2000000 + 1

Несложно выполнить оставшиеся вычисления в столбик

1000000000000 — 2000000 + 1 = 999998000001

Ответ: 999998000001.

Пример. Раскройте скобки в выражении (4m– 3)²

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

(4m– 3)² = (4m)² — 2*4m*3 + 3² = 16m² — 24m + 9

Важно понимать, что вместо букв a и b могут стоять не только одночлены, но и полиномы. Пусть нам надо возвести во вторую степень полином

u² — 6u + 5

Если просто выполнить умножение методом «фонтанчика», то после раскрытия скобок получим 3•3 = 9 одночленов (так как исходный многочлен состоит из 3 мономов). Для упрощения представим исходный трехчлен как разность:

u² — 6u + 5 = u² — (6u — 5)

Тогда вторую степень можно найти так:

(u² — 6u + 5)² = (u² — (6u — 5))² = (u²)² — 2*u²(6u — 5) + (6u — 5)² = u⁴ — 12u³ + 10u² + 36u² — 60u + 25 = u⁴ — 12u³ + 36u² — 60u + 25 = u⁴ — 12u³ + 46u² — 60u + 25

Пример. Докажите, что квадратный трехчлен m²– 16m + 66 ни при каких значениях переменной m не принимает отрицательные значения.

Решение.

Известно, что вторая степень любого числа неотрицательна. Выделим в исходном трехчлене квадрат, содержащий переменную m. Для этого разложим число 66 как сумму 2 + 64:

m² — 16m + 65 = m² — 16m + 64 + 2 = m² — 2 * 8 * m + 8² + 2 = (m — ² + 2

При любом значении m выражение (m – ² неотрицательно, а значит, неотрицательно и значение (m – ² + 2. Более того, можно указать, что минимальное значение, которое может принимать исходный трехчлен, равно 2.

Заметим, что использованный в данном методе прием позволяет представить, по сути, любой квадратный трехчлен как разницу или сумму полного квадрата какого-то полинома и числа, что в свою очередь помогает оценить его максимальное или минимальное значение. Например, дан трехчлен 4v² + 12v – 10.Первое его слагаемое можно представить как квадрат какого-то числа:

(4v²) = (2v)²

Подобное действие в отношении трехчлена можно предпринять всегда, правда, иногда придется использовать квадратные корни, которые мы ещё не изучали детально. Далее второе слагаемое можно разложить на три множителя, одним из которых будет двойка, а вторым – тот самый одночлен, дающий при возведении во вторую степень первое слагаемое. Третий же множитель окажется каким-то числом:

12v = 2*2v*3

Теперь чтобы воспользоваться формулой квадрата суммы или квадрата разности, добавим к многочлену квадрат этого третьего множителя, а чтобы значение полинома не изменилось, сразу же его и вычтем. В данном случае третьим множителем оказалась тройка, а потому надо добавить 3² и сразу же отнять 3². Один из этих квадратов войдет в формулу сокращенного умножения, а другой – нет:

4v² + 12v — 10 = (2v)² + 2*2v*3 — 10 + 3² — 3² = ((2v)² + 2*2v*3 + 3²) — 10 — 3² = (2v + 3)² — 19

Так как выражение (2v + 3)² не может быть меньше нуля, то и минимальное значение трехчлена 4v² + 12v– 10 равно(– 19)

Пример. Оцените возможные значения трехчлена – 9с² + 15с + 8

Решение.

Воспользуемся таким же методом, но сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы можно слагаемое 9c² представить как квадрат какого-то монома:

-9c² + 15c + 8 = -(9c² — 15c — = -((3c)² — 2 * 3c * 2.5 — 8 + 2.5² — 2.5²) = -((3c — 2.5)² — 8 — 6.25) = -(3c — 2.5)² + 14.25

Значение выражения – (3с – 2,5)² может быть только меньше или равным нулю. Значит, исходный трехчлен не может принимать значения, большие, чем 14,25.

Формулы для кубов

До этого мы познакомились с тождествами, в которых величины возводились во вторую степень. Их будет достаточно почти для всех школьных заданий, в том числе и на ЕГЭ, поэтому необходимо сосредоточиться именно на их изучении.Однако в алгебре есть и более сложные формулы сокращенного умножения, в которых переменные возводятся в куб.Их использование может пригодиться в задачах повышенной сложности. Выведем их.

Найдем значение куба суммы двух слагаемых. Для этого возведем в куб выражение a + b:

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Получили тождество

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

которое называют формулой куба суммы.

Пример. Вычислите 101³

Решение.

101³ = (100 + 1)³ = 100³ + 3*100²*1 + 3*100*1² + 1 = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301

Ответ: 1030301.

Пример. Представьте в виде многочлена выражение (4p + 3k)³.

Решение. Воспользуемся формулой куба суммы:

(4p + 3k)³ = (4p)³ + 3*(4p)²*3k + 3*4p*(3k)² + (3k)³ = 64p³ + 144p²k + 108pk² + 27k³

Выведем аналогичным образом и формулу куба разности чисел:

(a — b)³ = (a — b)²(a — b) = (a² — 2ab + b²)(a — b) = a³ — a²b — 2a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Итак, мы получили ещё одно тождество

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Пример. Вычислите 498³.

Решение. Представим число 498 как разность 500 – 2. Тогда для вычисления можно воспользоваться выражением для вычисления куба разности:

498³ = (500 — 2)³ = 500³ — 3*500²*2 + 3 * 500 * 2² — 2³ = 125000000 — 1500000 + 6000 — 8 = 123505992

Ответ: 123505992.

Сложнее получить тождества для суммы и разности кубов, ведь напрямую найти разложить на множители выражение a³ + b³ довольно тяжело. К счастью, математикам удалось подобрать новые множители.

Сначала рассмотрим выражение

a² + ab + b²

Оно отличается от квадрата суммы только одним слагаемым. Вместо 2ab стоит ab. Из-за этой схожести его называют неполным квадратом суммы.

Аналогично определяют и такое понятие, как неполный квадрат разности.

Теперь попробуем перемножить неполный квадрат суммы чисел a и b и их разность:

(a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³

В результате нам удалось получить формулу разности кубов:

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)

Теперь попробуем умножить сумму двух величин на неполный квадрат разности:

(a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³

Получили формулу суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

Понятно, что запомнить все эти тождества нелегко, однако их всегда можно посмотреть в любом математическом справочнике.

Пример. Разложите на множители полином 8p³ + 0,001q³.

Решение. Здесь можно воспользоваться тождеством для куба суммы:

8p³ + 0.001q³ = (2p)³ + (0.1q)³ = (2p + 0.1q)((2p)² — 2p*0.1q + (0.1q)²) = (2p + 0.1q)(4p² — 0.2pq +0.01q²)

Применять формулы с кубами для вычислений значительно сложнее, чем со вторыми степенями, однако всё же иногда они могут помочь. Пусть надо вычислить значение выражения 55³ + 45³, не используя калькулятор или компьютер. Разложим его на множители:

53³ + 45³ = (55 + 45)(55² — 55*45 + 45²) = 100(55² — 55*45 + 45²)

Далее для упрощения расчетов добавим к значению в скобке произведение 55•45 и тут же отнимем его. Это позволит сделать «дополнить» неполный квадрат разности и воспользоваться соответствующей формулой сокращенного умножения:

100(55² — 55*45 + 45²) = 100((55² — 55*45 — 55*45 + 45² + 55*45) = 100((55² — 2*55*45 + 45²) + 55*45) = 100((55 — 45)² 55*45) = 100((10)² + 55*45) = 100(100 + 55*45)

В свою очередь произведение 55•45 можно также упростить:

100(100 + 55*45) = 100(100 + (50 + 5)*(50 — 5)) = 100(100 + (50² — 5²)) = 100(100 + 2500 — 25) = 100*2575 = 257500

Полученный результат можно проверить с помощью калькулятора:

55³ + 45³ = 257500

Треугольник Паскаля

До этого мы нашли формулы сокращенного умножения, которые позволяют возводить бином (a + b) во вторую и третью степень. Интересно, что есть быстрый способ составить подобное тождество для возведения выражения (a + b) в любую натуральную степень. Для этого используется так называемый треугольник Паскаля. Справедливости ради сразу отметим, что Блез Паскаль описал его лишь в 1653 году, в то время как упоминание о таком треугольнике содержится в трудах китайца Чжу Шицзе (1303 г.), перса Омара Хайяма (1100 г.) и индийца Халаюдхи (Xвек).

Выглядит треугольник Паскаля так:

На вершине (его условно считают нулевым, а не первым уровнем) стоит число 1. На следующем (первом) уровне стоит уже две единицы. Изучим уровень ниже. Здесь уже три числа. По краям снова единицы, а в центре двойка. Обратите внимание, что двойка равна сумме тех 2 цифр, которые расположены над ней (1 и 1).

На следующем уровне уже 4 числа. Снова по краям единицы, а в других ячейках стоят такие числа, что они равны сумме двух чисел над собой (2 + 1 = 3).

По такому же принципу построен весь треугольник. Количество уровней в нем не ограничено, хотя на рисунке последним показан 10-ый уровень.

Итак, при построении треугольника Паскаля используются следующие правила:

• на вершине стоит одна единица
• на каждом следующем уровне находится на одно число больше, чем на предыдущем;
• по бокам на каждом уровне стоят единицы;
• на всех остальных позициях стоят числа, которые равны сумме двух расположенных над ними чисел.

Какое же отношение треугольник Паскаля имеет к формулам сокращенного умножения? Запишем тождества для возведения в различные степени бинома a + b, а рядом – числа из соответствующего уровня треугольника (их называют биноминальными коэффициентами):

• (a + b)¹ = 1a + 1b, биноминальные коэффициенты 1 и 1;
• (a + b)² = 1a²+ 2ab+ 1b², биноминальные коэффициенты 1, 2, 1;
• (a + b)³ = 1a³ + 3a²b +3ab² + 1b³, коэффициенты равны 1, 3, 3, 1;

Можно заметить, что числа в треугольнике совпадают с теми коэффициентами, которые есть в формуле сокращенного умножения:

И такое соответствие будет верно для любой формулы вида (a + b)ⁿ, где n– натуральное число, хотя доказательство этого факта выходит за рамки 7 класса. Так, формула для возведения в 6-ую степень будет выглядеть так:

(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶

Первым слагаемым идет a⁶, а далее слагаемое с буквенной частью a⁵b. У каждого следующего слагаемого числовой множитель берется из треугольника Паскаля, а в буквенной части у переменной a степень уменьшается, в то время как у b – увеличивается:

a⁶

6a⁵b

15a⁴b²

20a³b³

15a²b⁴

6ab⁵

b²

При этом степень каждого одночлена равна 6.

У треугольника Паскаля есть много других важных свойств, из-за которых он используется в иных разделах математики, в частности, в комбинаторике (она изучает количество способов, которыми можно расставить в определенном порядке предметы)и теории вероятностей. Например, можно заметить, что сумма всех чисел в строке n равна 2ⁿ:

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴

Более подробно использование треугольника Паскаля будет рассмотрено в старших классах.

        Формулы сокращённого умножения необходимы во всех разделах математики. От элементарной до высшей. Они применяются практически везде — в упрощении выражений, решении уравнений и неравенств, сокращении дробей, вычислении пределов, решении интегралов — список можно продолжать ещё долго…

        Следовательно, нужно основательно разобраться с этими формулами. Понять, откуда они берутся, зачем они нужны, как их применять на практике и, самое главное, как их запомнить. А запомнить всё-таки придётся, да…

        Поехали?

Квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов, разность кубов — что за звери?

        Итак, вот они, формулы сокращённого умножения:

        Эти семь формул — полный джентльменский набор. Последние две формулы (сумма и разность кубов) записаны не так как в большинстве учебников, а наоборот — справа налево. Это не просто так.) Любая формула в математике работает в обоих направлениях — как туда, так и обратно. Именно такая запись наиболее наглядно показывает, откуда берутся формулы сокращённого умножения.

        Они берутся из… умножения. Вот ведь удивил, да?) Что ж, смотрите сами. Берём, например, самую первую формулу по списку:

        (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ba+b² = a²+2ab+b²

        Вот и все дела. Самое обычное перемножение скобок и приведение подобных. Именно так и получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение — потому, что в самих формулах нет раскрытия скобок и приведения подобных. Эти промежуточные действия сокращены. Сразу дан готовый результат. Пользуйтесь на здоровье!

        Эти формулы надо знать наизусть. Без знания первых трёх формул, с квадратами, даже не мечтайте о тройке! Без всех остальных (с кубами) — о четвёрке и выше. Нет-нет, бросаться зубрить весь этот список прямо сейчас мы не будем.) Об этом позже. Пока просто знакомимся.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

        Полезная вещь первая — самая очевидная. Это быстрое (т.е. сокращённое) умножение многих алгебраических выражений без промежуточных выкладок. Меньше выкладок — меньше и ошибок. Но это не самая главная полезная вещь! А вот вторая.

        Дело в том, что вся математика строится на преобразованиях выражений. Вся! От школьной до высшей. Сообразил, что, где и как преобразовать и упростить — решил пример. Не сообразил — увы, не решил. Есть, допустим, выражение (a—b)(a+b). Как его можно преобразовать? Да просто тупо перемножить скобки и привести подобные. Не вопрос.) А вот что делать с a²–b²? Чему это равняется? Попробуй, догадайся! Только знания и спасают, да…

        Сравним два равенства:

        (a—b)(a+b) = a²–b²

        и

        a²–b² = (a—b)(a+b)

        Для математики эти два равенства абсолютно одинаковы. А вот для нас с вами — не совсем. Возьмём первую запись, слева направо:

        (a—b)(a+b) = a²–b²

        Это самое обычное умножение скобок, не более того. Никаких принципиально новых возможностей. А теперь возьмём второй вариант того же равенства, справа налево:

        a²–b² = (a—b)(a+b)

        А вот такая запись резко повышает уровень вашей математической культуры! Почему? Потому, что такая запись формулы, справа налево, — это разложение на множители! А разложение на множители — процедура поважнее простого умножения, да…) Сомневаетесь? Не надо. В соответствующей теме подробно расскажу.)

        И такое разложение на множители имеет место быть во всех формулах сокращённого умножения! Почему? Давайте внимательно посмотрим на наш список. В левой части каждой формулы мы увидим перемножение скобок:

        (a+b)² = (a+b)(a+b) =…

        (a-b)² = (a-b)(a-b) = …

        (a-b)(a+b) = …

        (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) =…

        и т.д.

        Стало быть, левая часть каждой формулы разложена на множители, а вот правая часть — нет. Список, что приведён выше, — это, действительно, всего лишь сокращённое умножение. Но! Стоит только поменять местами левую и правую части каждой из формул, как тот же самый список становится формулами разложения на множители!

        Для полного понимания перепишу этот список ещё разок, но справа налево. Вот так:

        Такая обратная запись формул сокращённого умножения идеально подходит для разложения на множители многочленов, для сокращения алгебраических дробей и для решения самых разнообразных примеров. Но есть существенная проблема. Как их запомнить?

Запоминаем формулы сокращённого умножения! Секретные приёмы…

        Начинаем с самого простого — запоминаем названия формул. Это совсем легко. Смотрим в таблицу и видим выражение (a+b)². Или квадрат скобок. А в скобках что? Правильно, сумма! Стало быть, выражение (a+b)² называется квадрат суммы. Аналогично, (a—b)² называется квадрат разности. Элементарно, Ватсон!

        С выражениями (a+b)³ и (a—b)³ всё то же самое — куб суммы и куб разности соответственно.

        А как назвать a²–b²?  «Одно выражение в квадрате минус другое выражение в квадрате?» Точно, но слишком уж длинно. Зато разность квадратов — и точно, и кратко!

        Надеюсь, что названия сумма кубов и разность кубов у вас уже не вызовут недоумения?

        А вот теперь начинается самое сложное — запоминание самих формул, со всеми этими выражениями. К сожалению, здесь тот самый случай, когда без механической памяти не обойтись. Это огорчает.

        Однако здесь у нас с вами тайные знания! Эти знания помогут вам побыстрее сориентироваться во всех этих скобках, плюсах/минусах, квадратах/кубах, сведя механическую зубрёжку к минимуму. Читаем дальше и вникаем.

        Итак, начинаем с квадрата суммы:

        Просто медитировать, сверля формулу взглядом, будет недостаточно. Для лучшего запоминания настоятельно рекомендую выучить (да-да, именно выучить!) словесную формулировку:

        Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения ПЛЮС удвоенное произведение первого выражения на второе ПЛЮС квадрат второго выражения.

        Эта мантра реально облегчает жизнь во многих разделах школьной математики! Да и в институте, при работе со всякими там пределами да интегралами, тоже. Ещё не раз вспомните эту формулировку добрым словом!)

        Если вы запомнили квадрат суммы, то дальше будет проще. Можно включать логику и здравый смысл. Переходим к квадрату разности:

        Сравните с квадратом суммы! Нашли отличие? Да! Перед удвоенным произведением появился минус. Ведь должен же он где-то появиться?! Перед a² и b² он появиться никак не может, ибо любое число в квадрате есть число положительное. Остаётся только серединка.) Для понимания рекомендую просто перемножить скобки сами на себя да привести подобные. И тогда у вас пропадут все вопросы.

        В словесной расшифровке:

        Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения МИНУС удвоенное произведение первого выражения на второе ПЛЮС квадрат второго выражения.

        Разность квадратов:

        Эта формула обычно и так легко запоминается. Единственное, можно случайно влепить в скобки два плюса или два минуса. Но тогда это уже будут квадрат суммы и квадрат разности. А это — совсем другие формулы…

        Итак:

        Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

        Переходим к следующей группе формул — к сумме и разности кубов:

        Приём для запоминания здесь следующий. В первых скобках (маленьких) знак совпадает со знаком в исходном выражении: плюс-плюс, минус-минус. А вот во вторых (больших) скобках — меняется на противоположный. Причём меняется не перед квадратами, а снова посерединке! Квадраты a² и b² — положительные!

        Кстати, посмотрите внимательнее на большие скобки в каждой из формул и сравните с формулами квадрата суммы и квадрата разности!

        Нашли отличия? Да! В кубах не хватает двойки посерёдке. Именно по этой причине выражения в больших скобках

        a²+ab+b²

        и

        a²—ab+b²

        часто называют неполным квадратом суммы/разности.

        А теперь можно и шаблонные словесные формулировки из учебников привести:

        Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

        Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

        Вот так. Слово «неполный» хорошо помогает не запутаться. Допустим, в тревожной боевой обстановке на контрольной или экзамене нахлынули сомнения — писать двойку в сумме/разности кубов или нет?  Вот тут самое время вспомнить, что в кубах стоят неполные квадраты. А для полных квадратов есть свои формулы. Которые к кубам не имеют никакого отношения.

        Остаётся последняя парочка — куб суммы и куб разности:

        Эти две формулы встречаются в заданиях пореже предыдущих пяти, но знать их тоже не помешает, да. Претендуете на пятёрку? Тогда читаем дальше!

        Итак, как запомнить куб суммы? Во-первых, все знаки в формуле — плюсы! Оно и естественно. Ведь мы же перемножаем только положительные выражения, так с какого перепугу минусам-то взяться? Первое и последнее слагаемые — чистые кубы первого и второго выражений. А вот по центру — утроенные произведения.

        Обратите внимание, как в формуле идут переменные a и b! Переменная a идёт по убыванию степени — сначала a³, потом a², потом просто a (т.е. a¹), а в последнем слагаемом буква a и вовсе исчезает, превращаясь в единичку или a⁰. Для полной ясности ситуации последнее слагаемое b³ я перепишу вот так:

        b³ = 1∙b³ = a⁰∙b³

        А вот переменная b — наоборот, идёт по возрастанию степени. От нуля и до тройки включительно: в первом слагаемом переменной b нет (т.е. она сидит в виде единички, или b⁰), во втором b¹, в третьем b², в четвёртом b³.

        Но и это ещё не всё! Смотрите-ка, какая интересная штука: сумма степеней a и b в каждом из слагаемых всегда равна трём! Например:

        a³ = a³·b⁰          (3+0=3)

        3a²b = 3a²b¹     (2+1=3)

        и так далее…

        Такой порядок хорошо помогает не запутаться.)

        Если вы уловили принцип запоминания куба суммы, то куб разности запомнится без проблем. Всё то же самое, только минусы надо правильно расставить. А это очень легко сообразить! Какая переменная у нас с минусом? Правильно, переменная b! Следовательно, в слагаемых, где b стоит в первой степени и в кубе — будет минус. Ибо любой минус в нечётной степени всегда даёт минус. А вот минус в квадрате (b²) даст плюс. И все дела.)

        Разумеется, изложенные выше советы — это не жёсткие правила математики. Это просто практические приёмы, помогающие более быстрому и комфортному запоминанию. Чисто для себя. Куда уж лучше, чем механическая зубрёжка, правда?)

        Но, как ни крути, самый надёжный способ запомнить эти формулы — решать побольше примеров. Тогда весь этот перечень запомнится очень быстро. Сам собой, можно сказать.

        Ну что, потренируемся?)

Примеры на формулы сокращённого умножения.

        Начнём с самого простого — с прямого применения формул. Для разминки.)

        Преобразовать в многочлен:

        (5x+4y)²

        Сразу видим квадрат скобок. А в скобках — сумму. Значит, работаем по самой первой формуле, вот этой:

        Вспоминаем словесную формулировку: «Квадрат первого выражения…». За первое выражение у нас идёт 5x. Квадрат будет 25х². Вот и пишем:

        (5x+4y)² = 25х²….

        Идём дальше: «Плюс удвоенное произведение первого выражения на второе…». Удвоенное — это умножение на двойку. Первое выражение — это 5x, второе — это 4y. Продолжаем:

        (5x+4y)² = 25х²+2∙5x∙4y….

        «Плюс квадрат второго выражения.» В роли второго выражения у нас 4y. Квадрат — это 16y². Получим:

        (5x+4y)² = 25х²+2∙5x∙4y+16y²

        Практически всё. Осталось «причесать» удвоенное произведение (перемножить 2∙5∙4) и получим окончательный ответ:

        (5x+4y)² = 25х²+40xy+16y²

        Это было разминочное задание. А теперь примерчик посерьёзнее.

        Разложить на множители:

        4x²–20x+25

        Что, внушает? Опять смотрим на наш список. Но не на тот, что в начале урока (для умножения), а на второй, для разложения на множители. Вот на этот:

        Тут, разумеется, нашего выражения нет. Ну и что? Здесь важно понимать, что под буквами a и b может скрываться всё что угодно — и числа, и другие буквы, и более сложные выражения. Поэтому смотрим на список и ищем похожую формулу. И зацепкой будут степени переменной.

        В нашем выражении есть x² и просто x. Ясное дело, отбрасываем все формулы с кубами — у нас их явно нет. Далее выкидываем из рассмотрения формулу разности квадратов: там нет переменных в первой степени, только квадраты. А у нас — есть.

        Остаются первые две формулы — квадрат суммы или квадрат разности. Уже проще, не так ли? Осталось сообразить, что в формуле квадрата суммы — только плюсы. А в нашем выражении в серединке стоит минус. Стало быть, похожая формула — это квадрат разности.

        Но не факт, что квадрат разности сработает, совсем не факт… Наша задача — убедиться, что предложенное выражение 4x²–20x+25 точно соответствует квадрату разности. Только тогда у нас появится возможность записать и правую часть равенства (т.е. разложение на множители).

        Для удобства я перепишу формулу и исходное выражение прямо одно под другим:

        a²—2ab+b² = (a—b)²

        4x²–20x+25 = ….

        Надо выяснить, что скрывается под буквами a и b в нашем выражении. Начинаем по порядочку — с самого первого слагаемого. Допустим, a² — это 4x². Тогда чему равно само а? Какое выражение в квадрате даёт 4x²? Очевидно, что 2х. Тогда a=2x. Есть! Первое выражение нашли.

        А что может скрываться под b². Ну, точно не 20х! Во-первых, икс уже в букве a сидит, а во-вторых, b² должно быть с плюсом. А 20х у нас с минусом. Значит, под b² скрывается число 25! Стало быть, b — это пятёрка!

        Итого: a=2x,  b=5

        Всё? Можно записывать разложение? Пока нет.

        Нужна последняя, контрольная проверка по выражению 20х. Надо убедиться, что наши 20х точно соответствуют удвоенному произведению 2ab.

        Итак, затаив дыхание составляем удвоенное произведение первого и второго выражений:

        2ab = 2∙2x∙5 = 20x

        Ура! Совпало! Значит, наше выражение — это действительно квадрат разности 2х и 5. Вот теперь можно со спокойной душой записывать ответ:

        4x²–20x+25 = (2х-5)²

        Идея ясна? Сначала ищем в списке похожую формулу, а затем сверяем с ней выражение, предложенное в задании, на полное соответствие. Если повезло и всё совпало, то записываем ответ. Если не повезло, то, значит, раскладывать надо как-то иначе.

        Это были самые простые примеры, для младшеньких. А теперь переместимся в старшие классы, с их синусами да логарифмами. Да-да, старшеньким формулы сокращённого умножения тоже бывают нужны!

        Например, такое задание:

        Упростить:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x

        Вся мощь тригонометрии слабо помогает в этом примере. Только алгебра седьмого класса и спасает, да…

        Конечно, это выражение сильно смахивает на квадрат разности. Вот и пробуем применить эту формулу к нашему выражению! Что будет скрываться под буквами a и b? Конечно же, cos²x и sin²x. Удвоенное произведение, ясен перец, будет 2cos²x∙sin²x, как, собственно, в нашем выражении и записано. Смело сворачиваем нашего монстра в квадрат разности по формуле:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x = (cos²x — sin²x)²

        А вот теперь и тригонометрия в игру вступает! Что у нас в скобочках? У нас в скобочках косинус двойного угла!

        cos²x — sin²x = cos2x

        Вот вам и ответ:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x = cos²2x

        Или такое задание:

        Вычислить:

        

        Пример не подарок, прямо скажем… Логарифмические формулы явно не катят, да и сами логарифмы ровно не считаются… Проверим на алгебру? Числитель явно намекает на применение формулы разности квадратов.

        Вот этой: a²–b² = (a-b)(a+b)

        В роли a и b у нас логарифмы. Ну и что? Это формулу никак не портит, ибо законы алгебры работают во всей математике. Смело заменяем числитель дроби на произведение скобок и пишем:

        

        А вот теперь и логарифмические формулы заработали! В первых скобках (разность) получается lg4, который и сокращается благополучно со знаменателем. А во вторых скобках (сумма) будет lg100. Что по свойствам логарифмов есть 2.

        Конечно, подобные примеры в этом уроке легко решаются. Но на практике, когда ученик глубоко погружён в синусы/косинусы да логарифмы, разложение на множители просто не приходит в голову…

        Посему практический совет:

        Проверяем замороченные примеры на алгебру седьмого класса! В частности, на формулы сокращённого умножения.

        И напоследок…

        О типичном ляпе, который сразу же показывает блистательное отсутствие хоть какого-то понимания. Ляп настолько часто встречается, что хочется заявить громко:

        

        И запомните это крепко-накрепко!

        Формулы — штука жёсткая! Раз требуют удвоенного произведения 2ab, помимо чистых квадратов, значит спорить бессмысленно. Напишете такое на контрольной — будьте готовы получить заслуженную двойку! Такого не прощают. Вот так.

        Наглядный пример на добрую память с квадратом суммы. Всё-таки картинки иногда проливают свет на очень многие волнующие вопросы. Нарисуем в тетрадке квадрат со стороной a+b. Можно по клеточкам. Допустим, для конкретики, a — это 4 клетки, a b — это 2 клетки.

        Вот так:

        Очевидно, площадь всего квадрата будет равна квадрату его стороны, т.е. как раз (a+b)². В числах, безо всяких формул, это будет (4+2)² = 6² = 36.

        А теперь, глядя на картинку, соображаем: из чего складывается эта площадь? Правильно! Из большого (зелёного) квадрата площадью a², маленького (жёлтого) квадратика площадью b² и двух прямоугольников по ab площадью каждый.

        Вот и получается: (a+b)² = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

        Или, в числах, для a=4 и b=2:

        (a+b)² = a²+2ab+b²= 4²+2∙4∙2+2² = 16+16+4 = 36

        Вот и все дела.)

        Упражнение для интересующихся: аналогичным образом доказать геометрически (т.е. через квадраты и прямоугольники) две другие формулы сокращённого умножения с квадратами — квадрат разности и разность квадратов. Попробуйте! Интересно.)

        Ну что, порешаем?)

        1. Преобразовать в многочлен стандартного вида:

        (5a+1)²=

        (3y-4)²=

        (a-y³)²=

        (a²+b²)²=

        (3b-1)(3b+1)=

        (x+7)(7-x)=

        (3x+2)³=

        Ответы (в беспорядке):

        9b² — 1

        9y²-24y+16

        27x³+18x²+36x+8

        a⁴+2a²b²+b⁴

        25a²+10a+1

        49-x²

        a²-2ay³+y⁶

        Ну как, размялись? Получилось? Тогда продолжаем:

        Разложить на множители:

        16x²+8x+1 =

        36x²y⁴-60xy²+25=

        y²-100=

        81a²-64x²y⁶=

        27m³+8=

        64x³-y⁶=

        Ответы (в беспорядке):

        (y-10)(y+10)

        (4x-y²)(16x²+4xy²+y⁴)

        (4x+1)²

        (9a-8xy³)(9a+8xy³)

        (6xy²-5)²

        (3m+2)(9m²-6m+4)

        И это получилось? Блеск! Значит, формулы сокращённого умножения на самом минимально необходимом уровне вы освоили. Можно браться за задания посерьёзнее.

        Что-то не срослось? Бывает… Возможно, проблема не в самих формулах, а в банальной арифметике — знаках, действиях со степенями. Повторите степени! Без отточенного навыка работы со степенями дальше идти нельзя. К сожалению…

        А вообще, рецепт здесь простой — решать побольше заданий! Да-да! Задания этого урока — капля в море. Помогут, но не сильно. Маловато их… Берите любой учебник 7-го класса и решайте, решайте! До автоматизма. А сайт — ваш надёжный помощник! Тогда формулы сами собой и запомнятся. А труды окупятся. Проверено!)