Как найти непрерывность функции на интервале

Непрерывность функции и точки разрыва

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

• — она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
• — существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

• Заказать решение задач по высшей математике

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на отрезке

30 декабря 2021

Теорема Вейерштрасса — фундаментальная теорема матанализа, которая состоит из двух частей:

1. Теорема об ограниченности;
2. Теорема о достижении максимума и минимума.

Сейчас мы сформулируем и докажем обе эти теоремы. Прежде всего дадим определения, на которые будем опираться:

Определение 1. Функция $fleft( x right)$ непрерывна в точке $x=a$, если $limlimits_{xto a}fleft( x right)=fleft( a right)$.

Определение 2. Функция $fleft( x right)$ непрерывна на интервале $left[ a;b right]$, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. При этом на концах отрезка речь идёт об односторонней непрерывности.

Всё это подробно разобрано в уроке про непрерывность функции в точке. Перейдём к теоремам.

1. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции

Теорема 1. (об ограниченности непрерывной функции) Функция, непрерывная на отрезке $left[ a;b right]$, ограничена на этом отрезке.

Другими словами, найдётся $Min mathbb{R}$ такое, что

[forall left( xin left[ a;b right] right)quad left| fleft( x right) right| lt M]

Приведу два доказательства — выбирайте то, которое больше нравится именно вам (или вашему преподу).

1.1. Доказательство методом Больцано

Предположим противное: пусть $fleft( x right)$ не ограничена на $left[ a;b right]$. Обозначим середину этого отрезка ${{c}_{1}}={left( a+b right)}/{2};$ и рассмотрим два новых отрезка:

[left[ a;{{c}_{1}} right]quad left[ {{c}_{1}};b right]]

Вместе эти отрезки покрывают отрезок $left[ a;b right]$. Следовательно, функция $fleft( x right)$ не ограничена как минимум на одном из них. Иначе если $fleft( x right)$ ограничена на обоих отрезках, то она будет ограничена и на из объединении, что противоречит нашему предположению.

Обозначим тот отрезок, на котором $fleft( x right)$ не ограничена, как ${{I}_{1}}=left[ {{a}_{1}};{{b}_{1}} right]$. Найдём середину этого отрезка ${{c}_{2}}={left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}} right)}/{2};$. Вновь рассмотрим пару отрезков $left[ {{a}_{1}};{{c}_{1}} right]$ и $left[ {{c}_{1}};{{b}_{1}} right]$. Как минимум на одном из них функция $fleft( x right)$ будет не ограничена. Обозначим этот отрезок как ${{I}_{2}}=left[ {{a}_{2}};{{b}_{2}} right]$.

Проделаем эту операцию много раз. Получим последовательность стягивающихся отрезков:

[{{I}_{1}}supset {{I}_{2}}supset ldots supset {{I}_{n}}supset ldots ]

Длина отрезка ${{I}_{n}}$ равна $left| {{I}_{n}} right|=left| b-a right|cdot {{2}^{-n}}$ и стремится к нулю при $nto +infty $. По лемме о стягивающихся отрезках существует точка ${{x}_{0}}in mathbb{R}$ такая, что ${{x}_{0}}in {{I}_{n}}$ для любого $nin mathbb{N}$.

Кроме того, ${{x}_{0}}in left[ a;b right]$, поэтому функция $fleft( x right)$ непрерывна в т.ч. и в точке $x={{x}_{0}}$:

[limlimits_{xto {{x}_{0}}}fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)]

Вспомним определение предела функции в точке:

[begin{align} & limlimits_{xto {{x}_{0}}} fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)Rightarrow\ & forall left( varepsilon gt 0 right)quad exists left( delta =delta left( varepsilon right) gt 0 right): \ & xin {{overset{circ }{mathop{U}},}_{delta }}left( {{x}_{0}} right)Rightarrow left| fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right) right| lt varepsilon\ end{align}]

Возьмём $varepsilon =1$. Следовательно, найдётся $delta =delta left( 1 right) gt 0$ такое, что в проколотой $delta $-окрестности точки ${{x}_{0}}$ выполняется условие $left| fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right) right| lt 1$. Но тогда

[begin{align} left| fleft( x right) right|&=left| fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right) right|le\ & le left| fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right) right|+left| fleft( {{x}_{0}} right) right| lt \ & lt 1+left| fleft( {{x}_{0}} right) right| \ end{align}]

Получается, что внутри $delta $-окрестности функция ограничена числом $M=1+left| fleft( {{x}_{0}} right) right|$. Но поскольку $delta gt 0$ — фиксированное положительное число, а длины отрезков $left| {{I}_{n}} right|=left| b-a right|cdot {{2}^{-n}}$ стремятся к нулю, начиная с какого-то момента эти отрезки будут полностью лежать внутри этой $delta $-окрестности:

Мы даже можем приблизительно вычислить этот момент — достаточно потребовать, чтобы величина $delta $ оказалась больше длины $left| {{I}_{n}} right|$:

[begin{align} delta& gt left| b-a right|cdot {{2}^{-n}} \ {{2}^{n}} & gt {left| b-a right|}/{delta }; \ n& ge left[ {{log }_{2}}{left| b-a right|}/{delta }; right]+1 \ end{align}]

Здесь $left[ l right]$ следует понимать как «целая часть числа $l$» (подробнее об этом — в уроке «Что такое предел последовательности»).

Но тогда для всякого такого отрезка, полностью лежащего в $delta $-окрестности точки ${{x}_{0}}$, одновременно выполняется два условия:

1. Функция $fleft( x right)$ ограничена на этом отрезке, потому что $left| fleft( x right) right| lt left| fleft( {{x}_{0}} right) right|+1$;
2. Функция $fleft( x right)$ не ограничена на этом отрезке, потому что мы так выбрали ${{I}_{n}}$.

Получили противоречие. Следовательно, исходное предположение не верно. Теорема доказана.

1.2. Доказательство по Гейне

Рассмотрим более хитрое доказательство, которое опирается на теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности.

Итак, нужно доказать, что функция, непрерывная на отрезке $left[ a;b right]$, будет ограничена на этом отрезке. Вновь предположим, что это не так: пусть функция $fleft( x right)$ не ограничена, т.е.

[begin{align} & forall left( cin mathbb{R} right)quad exists left( xin left[ a;b right] right): \ & left| fleft( x right) right| gt c \ end{align}]

Рассмотрим натуральные значения $c$.

Пусть $c=1$. Тогда найдётся ${{x}_{1}}in left[ a;b right]$ такое, что $left| fleft( {{x}_{1}} right) right| gt 1$.

Пусть $c=2$. Тогда найдётся ${{x}_{2}}in left[ a;b right]$ такое, что $left| fleft( {{x}_{2}} right) right| gt 2$.

Продолжаем так много раз. Пусть $c=n$. Тогда найдётся ${{x}_{n}}in left[ a;b right]$ такое, что $left| fleft( {{x}_{n}} right) right| gt n$.

Получили последовательность $left{ {{x}_{n}} right}$, которая бесконечна и ограничена: $ale {{x}_{n}}le b$. По теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $left{ {{x}_{{{n}_{k}}}} right}$:

[limlimits_{kto +infty } {{x}_{{{n}_{k}}}}=xi ]

Но поскольку члены последовательности $ale {{x}_{{{n}_{k}}}}le b$, её предел $xi in left[ a;b right]$ (почему это так — смотрите свойства предела последовательности), и функция $fleft( x right)$, непрерывная на $left[ a;b right]$, будет непрерывна и в точке $x=xi $.

Согласно определению непрерывности функции по Гейне имеем

[limlimits_{kto +infty } fleft( {{x}_{{{n}_{k}}}} right)=fleft( xi right)]

С другой стороны, последовательность [left{ {{x}_{{{n}_{k}}}} right}] сконструирована таким образом, что

[left| fleft( {{x}_{{{n}_{k}}}} right) right| gt {{n}_{k}}ge k]

Но тогда предел

[limlimits_{kto +infty } fleft( {{x}_{{{n}_{k}}}} right)=infty ]

Получаем, что один и тот же предел одновременно равен и $fleft( xi right)in mathbb{R}$, и $infty notin mathbb{R}$. Чего не может быть, поскольку если предел существует, то он единственный.

Вновь получили противоречие. Следовательно, исходное предположение не верно. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции доказана.

1.3. Важное замечание

Эту теорему можно обобщить, рассмотрев вместо отрезка произвольный компакт.

С другой стороны, если вместо отрезка рассмотреть интервал (или любое другое открытое множество), то теорема будет не верна!

Пример 1. Функция $y= operatorname{tg}x$, где $xin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right)$.

Тангенс непрерывен в каждой точке указанного интервала, однако неограниченно возрастает при $xto {pi }/{2};$ и неограниченно убывает при $xto -{pi }/{2};$.

Принципиально важно, чтобы функция была определена на концах отрезка $left[ a;b right]$, т.е. принимала бы конкретные значения $fleft( a right)$ и $fleft( b right)$. И следовательно, была бы ограниченна в некоторой $delta $-окрестности этих концов.

2. Теорема Вейерштрасса о достижении максимума и минимума

В матанализе есть понятие локального максимума и минимума (смотрите раздел про производные), поэтому при формулировке теоремы Вейерштрасса лучше говорить о точной верхней грани и точной нижней грани значений функции на отрезке:

[suplimits_{xin left[ a;b right]}fleft( x right)quad inflimits_{xin left[ a;b right]}fleft( x right)]

Теорема 2. (о достижении точной верхней и нижней грани) Функция, непрерывная на отрезке $left[ a;b right]$, достигает своей точной верхней грани и точной нижней грани:

[begin{align} & exists left( {{x}_{1}}in left[ a;b right] right): & fleft( {{x}_{1}} right)=underset{xin left[ a;b right]}{mathop{sup }},fleft( x right) \ & exists left( {{x}_{2}}in left[ a;b right] right): & fleft( {{x}_{2}} right)=underset{xin left[ a;b right]}{mathop{inf }},fleft( x right) \ end{align}]

Докажем эту теорему только для точной верхней грани. Затем достаточно рассмотреть функцию $gleft( x right)=-fleft( x right)$ и заметить, что

[inflimits_{xin left[ a;b right]} fleft( x right)=-suplimits_{xin left[ a;b right]} gleft( x right)]

2.1. Доказательство для точной верхней грани

Пусть функция $fleft( x right)$ непрерывна на $left[ a;b right]$. Тогда по теореме Вейерштрасса об ограниченности, которую мы доказали выше, найдётся такое $Min mathbb{R}$, что

[forall left( xin left[ a;b right] right)quad left| fleft( x right) right| lt M]

Но тогда существует точная верхняя грань

[A=suplimits_{xin left[ a;b right]} fleft( x right)]

Докажем теорему от противного. Пусть $Ane fleft( x right)$ для любого $xin left[ a;b right]$. Тогда очевидно, что $A gt fleft( x right)$ при каждом $xin left[ a;b right]$.

Рассмотрим функцию $gleft( x right)=A-fleft( x right)$. Она непрерывна на отрезке $left[ a;b right]$. Кроме того для всякого $xin left[ a;b right]$

[gleft( x right)=A-fleft( x right) gt 0]

Следовательно, функция

[{{g}_{1}}left( x right)=frac{1}{gleft( x right)}=frac{1}{A-fleft( x right)} gt 0]

тоже непрерывна на отрезке $left[ a;b right]$ и принимает лишь положительные значения. Но тогда ${{g}_{1}}left( x right)$ ограничена на $left[ a;b right]$. Следовательно, найдётся число $B gt 0$ такое, что

[begin{align} left| {{g}_{1}}left( x right) right| & lt B \ 0 lt frac{1}{A-fleft( x right)}& lt B \ end{align}]

Но тогда

[begin{align} A-fleft( x right) & gt frac{1}{B} gt 0 \ fleft( x right) & lt A-frac{1}{B} \ end{align}]

Получается, что мы нашли верхнюю грань $A-{1}/{B};$, которая меньше точной верхней грани $A=suplimits_{xin left[ a;b right]} fleft( x right)$.

Но это противоречит определению точной меньшей грани. Следовательно, исходное предположение неверно. Теорема доказана.

Смотрите также:

1. Теорема о промежуточном значении функции
2. Непрерывность функции в точке
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
5. Как решать биквадратное уравнение
6. Задача B4: экономика

Содержание:

1. Непрерывность функции
2. Непрерывность функции в точке
3. Непрерывность функции в точке
4. Задача пример №57
5. Непрерывность функции на интервале
6. Непрерывность функции на отрезке
7. Задача пример №58
8. Задача пример №59
9. Задача пример №60

Непрерывность функции

Непрерывность функции часто можно легко объяснить следующим образом. Если график какой-либо функции можно построить не отрывая карандаш от бумаги, то эта функция непрерывна. В противном случае, у графика есть точки разрыва (скачка) и данная функция является разрывной функцией. График разрывной функции невозможно изобразить, не отрывая карандаш от листа.

Непрерывность функции в точке

Для того, чтобы функция была непрерывной в точке, ее график не должен прерываться, т.е. график не должен иметь «скачков». График функций на рисунках прерывается или имеет «скачок» в точке . Значит, эти функции в точке имеют разрыв. Рассмотрим данные случаи.

Как видно по графику, функция разрывная в точке в следующих случаях:

1. Функция не определена в точке , однако определена в некоторой окресности этой точки.

2. В точке функция не имеет предела.

3. Предел функции в точке существует, но не равен .

Точка , в которой функция прерывается, называется точкой разрыва.

Если функция не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий, то ее можно назвать непрерывной в точке .

Непрерывность функции в точке

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке должны выполняться три следующих условия:

1. Функция должна быть определена в точке ;

2. Должен существовать предел ;

3. Должно выполняться равенство .

Задача пример №57

Исследуйте непрерывность следующих функций.

Решение:

а) из графика функции видно,что при стремлении значений к 1 функция имеет предел и он равен 2: Однако в точке функция не определена. Значит, в функция разрывна.

Отметим, что во всех точках кроме на всей действительной оси она определена и непрерывна.

b)

Как видно из графика, при стремлении значений к 1 функция имеет предел, равный 1, в тоже время, при значение функции также равно 1.

Предел функции:

Значение функции: При предел функции равен значению функции в точке . Т.е. . Значит, данная функция непрерывна в точке .

Непрерывность функции на интервале

Определение. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Непрерывность функции на отрезке

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она определена на отрезке , непрерывная на интервале и .

Любая функция — многочлен непрерывна на всей числовой оси. Рациональная функция непрерывна во всех точках, кроме тех, которые обращают знаменатель в 0. Функции непрерывны на всей действительной оси, а функции непрерывны на области определения.

Для функции, непрерывной на отрезке, справедлива следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на отрезке, принимает в нем наименьшее и наибольшее значения.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения противоположных знаков, то хотя бы в одной точке из отрезка она принимает значение, равное нулю.

Следствие. Функция, непрерывная на отрезке, принимает все значения от наименьшего до наибольшего.

Применяя эту теорему, можно решить следующий тип задач.

Задача пример №58

Существует ли такое действительное число, куб которого больше самого числа на 1?

Решение:

искомое число равно , т.е. должно удовлетворять уравнению . Для решение задачи исследуем функцию . Из графика функции, построенного с помощью графкалькулятора, видно, что значения функции в точках и имеют разные знаки: . Тогда, по теореме Коши, существует такое число , что . Это число является корнем уравнения .

Если какая-либо функция непрерывна на интервале , это не означает, что она непрерывна на отрезке .

Задача пример №59

Исследуйте непрерывность функции

Решение:

как видно из графика, при стремлении справа к 6 предел функции равен 1, при стремлении слева предел равен -1.

Т.е. в точке предела функции не существует. Данная функция разрывается в точке , но на каждом из интервалов и она непрерывна.

Задача пример №60

Определите точки разрыва функции

Решение: Линейная функция , постоянная функция и функция-многочлен непрерывны для всех значений . Значит, непрерывность может быть нарушена только в точках «перехода» , т.е. в точках и .

Сначала исследуем непрерывность функции в точке .

1. Значение функции. Функция определена в точке и .

2. Существование предела. Для определения предела исследуем левый и правый пределы функции. При приближении к 0 слева значения меньше 0 и в этом случае . При приближении к 0 справа значения больше 0, и в этом случае . Значит,

3. Значение и предел функции в точке. Так как и , то в точке функция непрерывна.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Существование предела

Свойства пределов

Замечательные пределы, содержащие тригонометрические функции

Бесконечные пределы и предел функции на бесконечности. Горизонтальная и вертикальная асимптоты