Как найти непрерывность функции на промежутке

Непрерывность функции и точки разрыва

Содержание:

1. Точки непрерывности и точки разрыва функции
2. Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций
3. Непрерывность и разрывы функций
4. Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций
5. Разрывы функций и их классификация
6. Непрерывность функции на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях

Точки непрерывности и точки разрыва функции

Важнейшим понятием математического анализа является непрерывность функции.

Определение 1. Функция , определенная в некоторой окрестности точки называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке существует и равен значению в этой точке: .

Рис. 1. Иллюстрация непрерывности функции в точке

Определение 1 содержит четыре условия непрерывности:

1) функция должна быть определена в некоторой окрестности точки ;

2) должны существовать конечные односторонние пределы и ;

3) эти пределы должны быть одинаковы;

4) эти пределы должны быть равны .

Определение 2. Если в точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, что эта точка есть точка разрыва функции Причем, если выполняется условие 2) и не выполняется хотя бы одно из оставшихся, то это точка разрыва первого рода. Если же условие 2) не выполняется, то это точка разрыва второго рода.

Например, функция (Рис- а) терпит разрыв первого рода в точке = 0, т.к. односторонние пределы существуют, но они не равны:

.

Заметим, что разность между конечными значениями правостороннего и левостороннего пределов называют скачком функции в точке. В данном случае величина скачка равна 2.

Функция (рис. 2, б) имеет разрыв второго рода в точке = 1, т.к. в этой точке не существуют конечные односторонние пределы:

Рис. 2. Иллюстрация точек разрыва а) первого рода и б) второго рода  

Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций

Элементарные функции: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные им, а также их сумма, произведение, частное непрерывны при всяком , при котором они имеют определенное значение.

Обратим внимание на свойства непрерывных функций.

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то функции , а если, кроме того , то и , являются непрерывными в точке .

Теорема 2. Непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией.

Определение 3. Функция, определенная на некотором отрезке и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на отрезке.

Теорема 3. (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена.

Теорема 4. (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.

Теорема 5. (Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое промежуточное.

Следствие из теоремы Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует точка, в которой функция обращается в ноль.

Заметим, что последний факт полезен при нахождении корней уравнений точно или приближенно.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Непрерывность и разрывы функций

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций

Понятие непрерывности функции тесно связано с ее пределом. Оно является характеристикой многих процессов, происходящих непрерывно: непрерывность времени, непрерывность изменения температуры, непрерывность роста дохода и др.

Пусть функция , с областью определения , определенная в точке , которой соответствует значение функции , и — произвольная точка из некоторой окрестности точки (рис. 14.1).

Рис. 14.1

Величина, на которую изменилось значение аргумента при переходе от точки в , называется приростом аргумента в точке :

а соответствующее изменение значения функции называют приростом функции в точке :

или

Приросты могут быть как положительными, так и отрицательными; например, на рис. 14.1 , при этом .

Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке она определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малый прирост функции, а именно 

Заметим, что при определении непрерывности, в отличие от границы, функция в точке обязательно должна быть определена.

Покажем, что функция  непрерывна в каждой точке  области определения . Действительно, предоставим значению аргумента , прирост , тогда .

Найдем границу прироста функции при :

Поскольку — произвольная точка из , то функция непрерывная

Аналогично можно доказать непрерывность любой из основных элементарных функций

Теорема 14.1 (о непрерывности основных элементарных функций). Основные элементарные функции непрерывные в каждой точке своей области определения.

Доказательство осуществляется для каждой функции отдельно.

Теорема 14.2 (критерий непрерывности «языком границы»). Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда граница функции в этой точке равна значению функции в ней:

Доказательство. Справедливость (14.4) следует из определения непрерывности и свойств предела.

Необходимость. Исходя из (14.3), имеем:

Если обозначить , то при имеем, что .

Отсюда

Следовательно,

Достаточность. Пусть функция определена в точке и непрерывна в ней.
Тогда в соответствии с определением (14.4)

Таким образом, имеем два определения непрерывности функции в точке, Соответствующие формулам (14.3) и (14 .4):

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Замечания. Если функция непрерывна в точке , то для вычисления предела функции в этой точке достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента его пороговое значение, то есть осуществить предельный переход, в результате которого получим определенное число (а не неопределенность!). Формально это означает, что символ границы и символ функции можно переставлять, а именно:

Например, вычислим границу  в точке 

Теорема 14.3 (критерий непрерывности «языком односторонних границ»). Функция   непрерывна в точке тогда и только тогда, когда односторонние пределы в этой точке равны между собой и равны значению функции в ней:

Доказательство. Действительно, соотношение (14.7) базируется непосредственно на теореме существования конечного предела «языком односторонних границ» и определении непрерывности функции в точке (14.4):

Проверить в точке непрерывность функции:

Вычислим односторонние пределы этой функции:

то есть предел слева не равен пределу справа, следовательно, функция в точке является разрывной.

Рассмотрим далее две функции: и , который является непрерывными в точке .

Теорема 14.4 (о арифметические свойства непрерывных функций). Если функции   непрерывные в точке , то их сумма (разница), произведение, часть (если знаменатель в данной точке не равен нулю) является непрерывной функцией в точке .

Доказательство теоремы осуществляется на основе арифметических свойств предела. Покажем ее справедливость для доли функций.
Согласно (14.4)

Обозначим долю функций через , тогда по свойству предела доли

Предлагаем другие выводы теоремы доказать самостоятельно.

Относительно функций, образованных из основных элементарных функций с помощью суперпозиции, возникает вопрос, какой с точки зрения «непрерывности» будет составлена функция, если ее составляющие являются непрерывными функциями.

Теорема 14.5 (о непрерывности сложной функции). Если функция непрерывна при , а является непрерывной в точке , то составленная функция  непрерывна в точке .

Доказательство. Обозначим закон связи переменной с аргументом через , то есть . Учитывая непрерывность функции , а именно: , найдем границу , когда :

На основании арифметических свойств непрерывных функций, непрерывности сложной функции и теоремы 14.1 (о непрерывности основных элементарных функций) делаем вывод: все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области существования.

Теорема 14.6 (о непрерывности обратной функции). Если функция является определенной, возрастающей (или убывающей) и непрерывной на сегменте , то и обратная к ней функция или , является определенной, возрастающей ( или убывающей) и непрерывной на отрезке (или на отрезке , если функция убывающая) (рис. 14.2):

Рис. 14.2

Разрывы функций и их классификация

Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что в этой точке она имеет разрыв, а точка  называется точкой разрыва. Точки разрыва и сами разрывы классифицируются в зависимости от того, как нарушается критерий непрерывности (14.7):

Различают следующие случаи:
1. Существуют односторонние пределы (конечные), которые равны между собой но или не существует, тогда говорят, что является точкой устранимого разрыва .

Название разрыва «устранимый» связана с тем, что достаточно в той точке, где исследуется непрерывность функции, задать значение функции, которое бы равнялось значению односторонних границ, или изменить значение функции на значение предела в этой точке, то есть положить

Например, классический устранимый разрыв дает функция в точке (рис. 14.3). Поскольку , а

то есть

то для того чтобы функция была непрерывной, достаточно до определить функцию в точке следующим образом:

Рис. 14.3

2. Существуют конечные односторонние пределы, но , тогда называют точкой разрыва I рода.

3. Не существует хотя бы одного из односторонних пределов, или по крайней мере один из них бесконечен, тогда точка является точкой разрыва II рода.

Примером функции, имеющей разрыв второго рода, есть функция , поскольку она не имеет границы в нуле ни слева, ни справа.

Под исследованием на непрерывность функции в некоторой точке понимают установления факта непрерывности (если, конечно, имеет место), или типы разрыва в противном случае.

Если функция элементарная, то исследованию подлежат только точки, в которых функция не определена. При задании функции различными аналитическими выражениями на разных промежутках области существования исследование подлежат точки, которые являются пределами соответствующих промежутков.

Исследовать на непрерывность функцию

Областью определения функции является вся числовая ось, кроме (знаменатель равен нулю). Следовательно, на непрерывность функцию исследуем в точках и 

1) односторонние границы при :

Следовательно, точка — является точкой разрыва II-го рода;

2) односторонние границы при

В точке функция не существует, то есть 

Таким образом точка является точкой устранимого разрыва (рис. 14.4 а).

Исследуем на непрерывность функцию:

Имеем неэлементарную функцию, которую задано тремя формулами. На каждом из указанных промежутков функция непрерывна, как элементарная на области своего существования, следовательно, область определения этой функции . Необходимо рассмотреть точки стыковки элементарных функций различного вида, то есть точки и .

1. Односторонние границы при :

Таким образом, функция в точке  непрерывна.

2. Односторонние границы при :

Поскольку f, то функция в этой точке имеет разрыв І рода (рис. 14.4 б).

Рис. 14.4 б

Исследовать на непрерывность функцию

Область определения функции . В точке односторонние границы:

Рис. 14.4 в

Непрерывность функции на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях

В теоретических исследованиях и на практике применяются теоремы, которые отражают свойства непрерывных функций не в отдельно взятой точке, а на множестве точек, то есть на промежутке.

Функцию  называют непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала. Функцию называют непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале и, кроме этого, непрерывная дело в точке и — слева в точке .

Сформулированные ниже теоремы примем без доказательства. Для лучшего понимания их содержания подадим в каждой теореме соответствующую геометрическую иллюстрацию, которая поможет, надеемся, осознать справедливость теорем на интуитивном уровне.

Сначала приведены определения. Если функция определена на множестве и существует такое значение , что для всех выполняется условие  , то число f называется наибольшим — , (наименьшим — ) значением функции на множестве .

Теорема 14.7 (о наименьшем и наибольшем значении непрерывной функции). Если функция  непрерывна на отрезке , то среди ее значений на этом отрезке существуют наименьшее и наибольшее (рис. 14.5). То есть для любых выполняется условие:

Если функция задан на интервале или , то она такие свойства может и не иметь.

Рис.14.5

Например, функция ни малейшего, ни наибольшего значений не имеет.

Для функции  на отрезке ; наименьшим является значение , а наибольшим — значение , которое она принимает на концах отрезка.

Функция на отрезке , достигает наименьшего значения , в точке , но не имеет большого значения, так как в точке она не определена.

Функция на отрезке достигает наименьшего значения в точке и наибольшего значения в точке .

Теорема 14.8 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (рис. 14.5), то есть существуют такие числа и , выполняется неравенство:

Теорема 14.9 (о нуле непрерывной функции). Если непрерывна на отрезке и ее значения на концах данного отрезка имеют разные знаки, то между и существует хотя бы одна точка , где , то есть которая является нулем функции (рис. 14.6).

Рис. 14.6

Теорема 14.10 (о промежуточных значениях функции). Если функция непрерывна на отрезке  и ее наименьшим и наибольшим значениями являются, соответственно, и , а число , тогда на отрезке найдется хотя бы одна точка такая, что

Заметим, что все рассмотренные вопросы непрерывности функции являются по сути применением понятия границ к исследованию функций и построения их графиков.

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

• — она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
• — существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

• Заказать решение задач по высшей математике

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #