Как найти неравенство через дискриминант

Проще говоря, такие неравенства выглядят как квадратные уравнения, но со знаком сравнения вместо знака равно.
Примеры:

(x^2+2x-3>0)
(3x^2-x≥0)
((2x+5)(x-1)≤5)

Как решать квадратные неравенства?

Квадратные неравенства обычно решают методом интервалов. Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

1. Приведите неравенство к виду (ax^2+bx+c⋁0).
   Примеры:

   (x^2-6x-16<0)                                                         (-9x^2+x+8≤0)

2. Разложите выражение слева на множители. Для этого приравняйте его к нулю и решите получившееся уравнение, найдя корни  (x_1) и  (x_2). Затем запишите исходное выражение в виде (a(x-x_1 ) (x-x_2 )) Подробнее об этом можно почитать здесь.

   (x^2-6x-16=0)                                                         (-9x^2+x+8=0)
   (D=36-4 cdot 1 cdot (-16)=100=10^2)                               (D=1-4 cdot (-9) cdot 8=289)       
                                (x_1=frac{6-10}{2}=-2)                                                     (x_1=frac{-1+17}{-18}=frac{16}{-18}=-frac{8}{9})                          (x_2=frac{6+10}{2}=8)                                                         (x_2=frac{-1-17}{-18}=frac{-18}{-18}=1)
      ((x-8)(x+2)<0)                                                     (-9(x+frac{8}{9})(x-1)≤0)

3. Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком (<) или (>)) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком (≤) или (≥)), то точки должны быть закрашены.

                           

4. Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
   В первом справа интервале поставьте:
      (-) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
      (-) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
   В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.

                             

5. Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки:
      (-) со знаком «(+)», если в неравенстве стояло «(>0)» или «(≥0)»
      (-) со знаком «(-)», если в неравенстве стояло «(<0)» или «(≤0)»

                               

6. Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
   Внимание! При строгих знаках неравенства ((<) или (>)) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде ((x_1;x_2)) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства ((≤) или (≥)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде ([x_1;x_2]), с квадратными скобками на точках.

   Ответ: ((-2;8))                                                             Ответ: ((-∞;frac{8}{9}]∪[1;∞))

Пример.  Решите квадратное неравенство (frac{x^2}{5}+frac{2x}{3})(≥) (frac{8}{15})
Решение:

(frac{x^2}{5}+frac{2x}{3})(≥) (frac{8}{15})		Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенство на (15).
(3x^2+10x≥8)		Перенесем (8) влево.
(3x^2+10x-8≥0)		Вот мы и привели неравенство к виду (ax^2+bx+c⋁0). Запишем квадратное уравнение вида (ax^2+bx+c=0).
(3x^2+10x-8=0)		Решим полученное квадратное уравнение.
(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2) (x_1=frac{-10-14}{6}=-4)          (x_2=frac{-10+14}{6}=frac{2}{3})		Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.
(3(x+4)(x-frac{2}{3})≥0)		Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.
		Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства (≥), то нам нужны интервалы со знаком (+), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).

Ответ: (x∈(-∞;-4]∪[ frac{2}{3};∞))

Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом

Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет (2) корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких:

(1) x^2+2x+9>0)	(2) x^2+6x+9≤0)	(3)-x^2-4x-4>0)	(4) -x^2-64<0)
(D=4-36=-32<0)	(D=36-36=0)	(D=16-16=0)	(D=-4 cdot 64<0)

То есть, выражение:
(x^2+2x+9) – положительно при любых (x), т.к. (a=1>0)
(-x^2-64) — отрицательно при любых (x), т.к. (a=-1<0)

То есть, выражение:
(x^2+6x+9) — равно нулю при (x=-3) и положительно при всех остальных иксах, т.к. (a=1>0)
(-x^2-4x-4) — равно нулю при (x=-2) и отрицательно при всех остальных, т.к. (a=-1<0).

Как найти икс, при котором квадратный трехчлен равен нулю? Нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

С учетом этой информации давайте решим квадратные неравенства:

1) (x^2+2x+9>0) (D=4-36=-32<0)		Неравенство, можно сказать, задает нам вопрос: «при каких (x) выражение слева больше нуля?». Выше мы уже выяснили, что при любых. В ответе можно так и написать: «при любых (x)», но лучше туже самую мысль, выразить на языке математики.
Ответ: (x∈(-∞;∞))
2) (x^2+6x+9≤0) (D=36-36=0)		Вопрос от неравенства: «при каких (x) выражение слева меньше или равно нулю?» Меньше нуля оно быть не может, а вот равно нулю – вполне. И чтобы выяснить при каком иске это произойдет, решим соответствующие квадратное уравнение.
(x^2+6x+9=0)		Давайте соберем наше выражение по формуле (a^2+2ab+b^2=(a+b)^2).
((x+3)^2=0)		Сейчас нам мешает только квадрат. Давайте вместе подумаем — какое число в квадрате равно нулю? Ноль! Значит, квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю.
(x+3=0) (x=-3)		Это число и будет ответом.
Ответ: (-3)
3)(-x^2-4x-4>0) (D=16-16=0)		Когда выражение слева больше нуля? Как выше уже было сказано выражение слева либо отрицательно, либо равно нулю, положительным оно быть не может. Значит ответ – никогда. Запишем «никогда» на языке математике, с помощью символа «пустое множество» — (∅).
Ответ: (x∈∅)
4) (-x^2-64<0) (D=-4 cdot 64<0)		Когда выражение слева меньше нуля? Всегда. Значит неравенство выполняется при любых (x).
Ответ: (x∈(-∞;∞))

Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства

Как решать квадратные неравенства через дискриминант?

Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

1. Приведите неравенство к виду ax2+bx+c⋁0 a x 2 + b x + c ⋁ 0 . …
2. Разложите выражение слева на множители. …
3. Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. …
4. Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.

Как решать квадратные системы неравенств?

Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:

1. перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль;
2. сделать так, чтобы при неизвестном «x ² » стоял положительный коэффициент;
3. приравнять левую часть неравенства к нулю и решить полученное квадратное уравнение;

Как решать через дискриминант?

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

1. как найти дискрининант: D = b ² − 4ac;
2. если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
3. если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b ² /2a;

Что делать если в квадратном неравенстве дискриминант меньше нуля?

Решение неравенства графическим методом

1. D = 0. Если дискриминант равен нулю , тогда у квадратного уравнения есть один корень;
2. D > 0. Если дискриминант больше нуля , тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
3. D 0. Если дискриминант меньше нуля , тогда у квадратного уравнения нет корней.

Как решать Решение квадратных неравенств?

Как решить квадратное неравенство

1. перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль;
2. сделать так, чтобы при неизвестном «x ² » стоял положительный коэффициент;
3. приравнять левую часть неравенства к нулю и решить полученное квадратное уравнение;

Как решать квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции?

Алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика : определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции ; найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения или установить, что их нет; изобразить эскиз графика квадратичной функции , используя точки пересечения .

Какие неравенства являются квадратными?

Определение. Квадратное неравенство – это неравенство вида a·x ² +b·x+c <0> может быть любой другой знак неравенства ≤, >, ≥), где a, b и c – некоторые числа, причем a≠0, а x – переменная (переменная может быть обозначена и любой другой буквой).

Когда квадратный трехчлен больше нуля?

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен больше нуля , то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси Ox. Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен меньше нуля , то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси Ox.

Как определить знаки в интервале?

Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала . Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется.

Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство,
давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным.

Потренируемся определять тип неравенства на примерах.

Неравенство	Тип
x − 7 < 0	линейное
x2 + 5x ≥ 0	квадратное
2x − 7 > 5	линейное
x2 + x − 12 ≤ 0	квадратное

Как решить квадратное неравенство

В предыдущих уроках мы разбирали, как решать
линейные неравенства.
Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.

Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов.

Что такое метод интервалов

Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать
этот метод и почему он получил такое название.

Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения
квадратного неравенства по алгоритму выше.

Требуется решить квадратное неравенство.

x² + x − 12 < 0

Итак, согласно п.1 мы должны перенести
все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль.
В заданном неравенстве
«x² + x − 12 < 0» ничего дополнительно делать не требуется,
так как в правой части и так уже стоит ноль.

Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед «x²»
стоял положительный коэффициент. В неравенстве
«x² + x − 12 < 0»
при «x²» стоит положительный коэффициент «1»,
значит, снова нам ничего делать не требуется.

Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси

разным образом.

Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

Проставим знаки внутри интервалов.
Справа налево чередуя, начиная с «+», отметим знаки.

Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ.
Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве
«x² + x − 12 < 0»,
значит, нам требуются отрицательные интервалы.
Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами
«−4» и «3», поэтому
запишем его в ответ в виде двойного неравенства
−4 < x < 3.

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Ответ: −4 < x < 3

Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами,
метод интервалов и получил свое название.

После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа −4 < x < 3
и подставим его вместо «x» в исходное неравенство.
Если мы получим верное неравенство,
значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

Возьмем, например, из интервала число «0». Подставим его в исходное неравенство
«x² + x − 12 < 0».

x² + x − 12 < 0

0² + 0 − 12 < 0

−12 < 0

(верно)

Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

Краткая запись решения методом интервалов

Сокращенно запись решения квадратного неравенства
«x² + x − 12 < 0»
методом интервалов будет выглядеть так:

x² + x − 12 < 0

x² + x − 12 = 0

x_1;2 =

−1 ± √12 − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x1 =	x2 =
x1 =	x2 =
x1 = −4	x2 = 3

Ответ: −4 < x < 3

Другие примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:

2x² − x ≥ 0

В правой части неравенство уже стоит ноль. При «x²»
стоит «2» (положительный коэффициент), значит можно сразу переходить
к поиску корней.

2x² − x ≥ 0

2x² − x = 0

x_1;2 =

−(−1) ± √(−12) − 4 · 2 · 0

2 · 2

x_1;2 =

x_1;2 =

x1 =	x2 =
x1 =	x2 =
x1 =	x2 = 0

Ответ: x ≤ 0;    x ≥

---

Рассмотрим пример, где перед «x²» в квадратном неравенстве стоит
отрицательный коэффициент.

−x² − 3x + 4 ≥ 0

По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы
перед «x²» стоял положительный
коэффициент. Для этого умножим все неравенство на «−1».

            −x² − 3x + 4 ≥ 0 | ·(−1)
x² + 3x − 4 ≤ 0

Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.
Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».

x² + 3x − 4 ≤ 0

x² + 3x − 4 = 0

x_1;2 =

−3 ± √32 − 4 · 1 · (−4)

2 · 1

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x2 =	x1 =
x2 =	x1 =
x2 = −4	x1 = 1

В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это
«x² + 3x − 4 ≤ 0».

Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком «−».

Ответ: −4 ≤ x ≤ 1

---

К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше.
Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке
«Квадратные неравенства
с одним корнем или без корней».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения.

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1. Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .

1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A ) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x .

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим квадратное неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим квадратное неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим квадратное неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.

Решение:

Приводим квадратное неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство x 2 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Квадратные неравенства, примеры, решения

В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

Что представляет собой квадратное неравенство

Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a · x 2 + b · x + c 0 , где a , b и c – некоторые числа, причем a не равно нулю. x – это переменная, а на месте знака может стоять любой другой знак неравенства.

Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными являются функции, которые задаются уравнениями вида y = a · x 2 + b · x + c .

Приведем пример квадратного неравенства:

Возьмем 5 · x 2 − 3 · x + 1 > 0 . В этом случае a = 5 , b = − 3 и c = 1 .

Или вот такое неравенство:

− 2 , 2 · z 2 − 0 , 5 · z − 11 ≤ 0 , где a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 и c = − 11 .

Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

Здесь коэффициенты этого квадратного неравенства есть ; 1 2 3 · x 2 — x + 5 7 0 , в этом случае a = 1 2 3 , b = — 1 , c = 5 7 .

Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x 2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b · x + c > 0 , так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

Пример такого неравенства x 2 − 5 ≥ 0 .

Способы решения квадратных неравенств

Основным метода три:

• графический;
• метод интервалов;
• через выделение квадрата двучлена в левой части.

Графический метод

Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c для квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c 0 ( ≤ , > , ≥ ) . Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Метод интервалов

Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a · x 2 + b · x + c при их наличии.

Для неравенства a · x 2 + b · x + c 0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 , промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида ( x − p ) 2 q ( ≤ , > , ≥ ) , где p и q – некоторые числа.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 5 ≤ 2 · x − 3 · x 2 . Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3 · x 2 − 2 · x + 5 ≤ 0 .

Необходимо найти множество решений неравенства 3 · ( x − 1 ) · ( x + 1 ) ( x − 2 ) 2 + x 2 + 5 .

Решение

Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3 · ( x − 1 ) · ( x + 1 ) − ( x − 2 ) 2 − x 2 − 5 0 , 3 · ( x 2 − 1 ) − ( x 2 − 4 · x + 4 ) − x 2 − 5 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 0 , x 2 + 4 · x − 12 0 .

Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.

D ’ = 2 2 − 1 · ( − 12 ) = 16 , x 1 = − 6 , x 2 = 2

Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал ( − 6 , 2 ) .

Ответ: ( − 6 , 2 ) .

Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2 · x 2 + 5 x 2 + 6 · x + 14

равносильно квадратному неравенству x 2 − 6 · x − 9 0 , а логарифмическое неравенство log 3 ( x 2 + x + 7 ) ≥ 2 – неравенству x 2 + x − 2 ≥ 0 .

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №3. Квадратные уравнения, неравенства и их системы.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;
• установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;
• способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

Глоссарий по теме:

Параметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. — М.: Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.

На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.

Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.

Дискриминант – это число, которое находим по формуле

Если D 0 два корня.

Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то

Рассмотрите пример. Решить уравнение

Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c.

Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.

Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:

1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.

3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.

4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.

Рассмотрите другие формулы:

, где второй коэффициент b=2k – четное число.

Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.

Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.

Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.

Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.

Рассмотрим несколько примеров:

Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.

Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.

Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).

Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.

Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:

Решение смотри в примере 1.

Часть 2. Квадратные неравенства.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений, переходим к решению квадратных неравенств
ax^2+ bx + c больше или меньше нуля.

Шаг 1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».

Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.

Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.

Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:

если а>0 + — +, если а 0 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство не имеет решений.

Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств.

1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений и неравенств переходим к решению самых сложных заданий с параметрами. Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Первый шаг в решении — найти особое значение параметра.

Второй шаг – определить допустимые значения.

Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета.

Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант.

Рассмотрите примеры решения неравенства с параметром.

Графический метод решения обладает несомненным преимуществом – можно представить решение наглядно.

Для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней.

Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше 0, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше 0, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и т.д.

Мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств. Более подробно с методами решения квадратных уравнений, неравенств, их систем вы можете, поработав с интерактивными моделями.

Задания тренировочного модуля с разбором.

При каких значениях параметра, а квадратное уравнение

имеет только один корень?

Находим дискриминант D=25-4∙2∙5a=25-40a. Уравнение имеет один корень, если D=0, т.е. 25-40a=0, а=5/8.

Определите, на каком интервале значения квадратного трехчлена отрицательны?

Решаем неравенство: . Находим дискриминант квадратного трехчлена D= 1-4∙2∙ (-1) =1+8=9. Находим корни . Расставляем точки на числовой прямой.