Версия для печати и копирования в MS Word
1
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
2
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1)
2)
3)
4)
Источник: Банк заданий ФИПИ
3
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
4
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
5
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
6
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
7
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
1) 
2) 
3) 
4) 
8
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
9
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2)
3) 
4) 
10
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 
2) 
3) 
4) 
11
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −6x<0 |
|
| 2) |
x 2 −6x>0 |
|
| 3) |
x 2 −36<0 |
|
| 4) |
x 2 −36>0 |
12
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −36<0 |
|
| 2) |
x 2 −6x<0 |
|
| 3) |
x 2 −6x>0 |
|
| 4) |
x 2 −36>0 |
13
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −8x<0 |
|
| 2) |
x 2 −64<0 |
|
| 3) |
x 2 −8x>0 |
|
| 4) |
x 2 −64>0 |
14
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −7x<0 |
|
| 2) |
x 2 −49>0 |
|
| 3) |
x 2 −7x>0 |
|
| 4) |
x 2 −49<0 |
15
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
16
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
17
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −x<0 |
|
| 2) |
x 2 −1<0 |
|
| 3) |
x 2 −1>0 |
|
| 4) |
x 2 −x>0 |
18
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
19
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
20
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −x>0 |
|
| 2) |
x 2 −1<0 |
|
| 3) |
x 2 −x<0 |
|
| 4) |
x 2 −1>0 |
21
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −49<0 |
|
| 2) |
x 2 −7x<0 |
|
| 3) |
x 2 −49>0 |
|
| 4) |
x 2 −7x>0 |
22
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −64<0 |
|
| 2) |
x 2 −64>0 |
|
| 3) |
x 2 −8x<0 |
|
| 4) |
x 2 −8x>0 |
23
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
24
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
25
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
26
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
27
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −5x<0 |
|
| 2) |
x 2 −25>0 |
|
| 3) |
x 2 −5x>0 |
|
| 4) |
x 2 −25<0 |
28
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −25>0 |
|
| 2) |
x 2 −5x<0 |
|
| 3) |
x 2 −25<0 |
|
| 4) |
x 2 −5x>0 |
29
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
30
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
31
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
32
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
33
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
34
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
35
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
36
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
37
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
38
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
39
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
40
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
41
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
42
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
43
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
44
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
45
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
46
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
47
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
48
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
49
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
50
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
51
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
52
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1)
2)
3)
4)
Источник: Банк заданий ФИПИ
53
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
54
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
55
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
56
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
57
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −x<0 |
|
| 2) |
x 2 −1<0 |
|
| 3) |
x 2 −1>0 |
|
| 4) |
x 2 −x>0 |
58
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
59
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
60
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −x>0 |
|
| 2) |
x 2 −1<0 |
|
| 3) |
x 2 −x<0 |
|
| 4) |
x 2 −1>0 |
61
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1)
2)
3)
4)
Источник: Банк заданий ФИПИ
62
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1)
2)
3)
4)
Источник: Банк заданий ФИПИ
63
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1)
2)
3)
4)
Источник: Банк заданий ФИПИ
64
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
65
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
66
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
67
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −5x<0 |
|
| 2) |
x 2 −25>0 |
|
| 3) |
x 2 −5x>0 |
|
| 4) |
x 2 −25<0 |
68
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
x 2 −25>0 |
|
| 2) |
x 2 −5x<0 |
|
| 3) |
x 2 −25<0 |
|
| 4) |
x 2 −5x>0 |
69
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
70
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
71
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
72
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
73
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
74
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
75
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
76
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2)
3) 
4)
Источник: Банк заданий ФИПИ
77
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2)
3) 
4)
Источник: Банк заданий ФИПИ
78
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
79
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2)
3)
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
80
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
81
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
82
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
83
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
84
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
85
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
| 1) |
|
|
| 2) |
|
|
| 3) |
|
|
| 4) |
|
86
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
87
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1)
2) 
3)
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
88
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
89
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1)
2)
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
90
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) 
2) 
3) 
4) 
Источник: Банк заданий ФИПИ
В задании №13 проверяется умение решать уравнения, неравенства и их системы. Конечно, под такие слова подходит огромный спектр заданий. Уточнение, пожалуй, одно. Надо применять графическое представление решения и показа результатов этого решения. В демонстрационном варианте ОГЭ предложена система двух линейных неравенств и графические представления вариантов ответов. Полезно понимать, что главным здесь является решение конкретных неравенств и понимание геометрического смысла полученного решения.
Теория к заданию №13
Определение:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a ≤ b), a > b (a ≥ b)
Полезным для нас окажется метод интервалов:
Задание 13OM21R
Укажите решение неравенства 8х – х2≥0
- [0; +∞)
- [8; +∞)
- [0; 8]
- (-∞;0]∪[8;+∞)
8х – х2≥0
Вынесем -х за скобки: -х(-8 + х) ≥0
Теперь разделим на -1, не забывая изменить знак неравенства на противоположный: х(х – 
≤0
Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю: х=0 и х – 8=0, найдем х из второго уравнения: х=8.
Итак, имеем нули функции 0 и 8.
Теперь расставляем их на числовом луче и решаем неравенство методом интервалов.
Теперь находим промежуток чисел, соответствующий неравенству х(х – ≤0, т.е. промежуток отрицательных или равных нулю чисел. Это будет промежуток [0; 8]
В соответствии с его номером, это будет ответ под №3.
Ответ: 3
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1506o
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Тут нужно сразу отметить два важных момента.
- Графическим решением неравенств из вариантов ответа является парабола, которая пересекает координатную ось в точках, соответствующих корням неравенств.
- Так как все неравенства, представленные в вариантах ответов, имеют нестрогий знак, то точки пересечения корней неравенства с координатной осью будут закрашенными, т.е. входящими в искомые промежутки (решения).
Анализируем неравенства.
1) х2–36≤0
х2≤36
Корни этого неравенства равны ±6. Поскольку знак неравенства «меньше», то для ответа следует взять ту часть параболы, которая располагается ниже коорд.оси. Получаем:
Полученный промежуток-решение не соответствует заданному в качестве ответа в условии.
2) х2+36≥0
х2≥–36
Это неравенство не имеет решений, поскольку для получения решения здесь требуется извлечь корень из отрицательные числа (из –36), а это невозможно.
3) х2–36≥0
х2≥36
Корни неравенства – ±6. Т.к. знак неравенства «больше», то для ответа следует взять ту часть параболы, которая располагается выше координатной оси. Получаем:
Здесь мы получили полное совпадение полученного решения с тем, которое представлено в условии задания.
4) х2+36≤0
х2≤–36
Тут ситуация такая же, как и во 2-м неравенства. Решений оно не имеет.Ответ: 3
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1505o
Укажите решение неравенства:
Выполняем тождественные преобразования неравенства и приводим его к простейшему виду. Для этого сначала группируем слагаемые, перенося те, что с «х», в левую сторону, а свободные члены в правую:
4х–6х≥–2–5
Приводим подобные:
–2х≥–7
Находим х. Знак неравенства при этом поменяется на противоположный, поскольку делить будем на –2, т.е. на отрицательное число:
х≤3,5
Далее на коорд.прямой теперь нужно отложить точку со значением 3,5, причем точка будет закрашенная, т.к. знак неравенства нестрогий:
Т.к. знак полученного неравенства «≤», то выделить следует часть прямой слева от точки 3,5:
Это графическое решение соответствует ответу под №2.Ответ: 2
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1504o
Решите систему неравенств:
На каком рисунке изображено множество её решений?
Итак, решим систему неравенств – оставим х в левой части, а остальное перенесём в правую, получим:
х ≤ 0 -2,6
х ≥ 1 – 5
Вычислив, получаем ответ:
х ≤ -2,6
х ≥ -4
Найдем его на координатной прямой – это №2.
Ответ: 2
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1503o
Укажите множество системы неравенств:
⌈ x — 4 ≥ 0
⌊ x — 0,3 ≥ 1
Решение системы линейных неравенств сводится к решению линейного неравенства с дальнейшим анализом промежутков. В начале действуем аналогично первому случаю: переносим числа в правую часть, оставляя x слева:
⌈ x ≥ 4
⌊ x ≥ 1,3
В отличие от первого примера, решение более простое, но в данном случае нужно сравнить промежутки и выбрать общий. Первое неравенство требует, чтобы x был больше 4, а второе – более 1,3, на координатной прямой это будет выглядеть следующим образом:
Промежутки перекрывают друг друга начина с 4, значит ответ выглядит следующим образом (не забываем, что неравенство нестрогое):
[ 4 ; + ∞ ) или
Ответ: [4 ;+∞ )
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1502o
Укажите множество решений неравенства: 7 x — x2 < 0
Существуют несколько способов решения квадратных неравенств, но я приведу самый простой и надежный. В начале выносим x за скобку, так как это неполное квадратное неравенство:
x ( 7 – x ) < 0
Затем находим ноли функции x ( 7 – x ) = 0, приравнивая каждый множитель к нолю:
x = 0
7 – x = 0
Получаем:
x = 0
x = 7
Таким образом, мы получили три интервала:
( -∞ ; 0 )
( 0 ; 7 )
( 7 ; +∞)
Подставим любое значение x из первого интервала и посмотрим на получившийся ответ.
Подставим -1:
x ( 7 – x ) = – 1 ( 7 – (-1) ) = -8
Значение отрицательно, значит в интервале ( -∞ ; 0 ) функция отрицательна, что нам и подходит для ответа, так как в условии:
x ( 7 – x ) < 0
Подставим 1:
x ( 7 – x ) = 1 ( 7 – 1 ) = 6
Значение положительно, и промежуток ( 0 ; 7 ) нам не подходит.
Подставим 8:
x ( 7 – x ) = 8 ( 7 – 8 ) = – 8
Значение отрицательно, и это подходит под условия, следовательно ответ:
( -∞ ; 0 ) и ( 7 ; +∞)
или графически:
Ответ: (-∞;0) и (7;+∞)
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1501o
Укажите решение неравенства: 2 x — 3 ( x — 7) ≤ 3
Для решения линейного неравенства достаточно выполнить действия, аналогичные действию решений линейных уравнений. Однако, в отличие от линейных уравнений следует проявлять внимательность при выполнении операций деления или умножения на отрицательное число – в этих случаях знак неравенства будет меняться на противоположный!
Для решения этого примера вначале раскроем скобки, не забывая, что -3 умножается на -7 и дает + 21:
2 x – 3 x + 21 ≤ 3
Затем приводим подобные, перенося числа в правую сторону:
2 x – 3 x ≤ 3 – 21
– x ≤ -18
Нам необходимо умножить неравенство на -1, чтобы получить диапазон x, не забывая, что при этом меняется знак неравенства:
x ≥ 18
Таким образом, мы получаем, что x должен быть больше либо равен 18.
Ответ: [18;+∞)
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
> больше,
≥ больше или равно,
< меньше,
≤ меньше или равно,
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x < 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x < 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x < c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
- Если знак неравенства строгий > , < , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
- Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
- Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.
Таблица числовых промежутков
| Неравенство | Графическое решение | Форма записи ответа |
|---|---|---|
| x < c |
|
x ∈ ( − ∞ ; c ) |
| x ≤ c |
|
x ∈ ( − ∞ ; c ] |
| x > c |
|
x ∈ ( c ; + ∞ ) |
| x ≥ c |
|
x ∈ [ c ; + ∞ ) |
Алгоритм решения линейного неравенства
- Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:
a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
- Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.
- Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .
- Если a < 0 , то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x ≥ b a .
- Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.
Примеры решения линейных неравенств:
№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 − 3 x > 18
− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )
Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как − 3 < 0 , знак неравенства поменяется на противоположный. x < 12 − 3 ⇒ x < − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )
№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14
6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4
3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет.
x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Ответ: x ∈ [ − 5 ; + ∞ )
Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).
Примеры:
№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 x − 1 ≤ 6 x − 1
6 x − 6 x ≤ − 1 + 1
0 ≤ 0
Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.
Ответ:
- x – любое число
- x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
- x ∈ ℝ
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
x + 6 − 9 x > − 8 x + 48
− 8 x + 8 x > 48 − 6
0 > 42
Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.
Ответ: x ∈ ∅
Квадратные неравенства
Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная.
Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.
Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).
Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
- Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .
- Отметить на числовой прямой корни трехчлена.
Если знак неравенства строгий > , < , точки будут выколотые.
Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).
- Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x.
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
- Выбрать подходящие интервалы (или интервал).
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.
Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.
- Записать ответ.
Примеры решения квадратных неравенств:
№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
x 2 ≥ x + 12
x 2 − x − 12 ≥ 0
x 2 − x − 12 = 0
a = 1, b = − 1, c = − 12
D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49
D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:
x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .
Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
− 3 x − 2 ≥ x 2
− x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
− x 2 − 3 x − 2 = 0
a = − 1, b = − 3, c = − 2
D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1
D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1
x 1 = − 2, x 2 = − 1
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:
− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.
Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]
№3. Решить неравенство 4 < x 2 + 3 x .
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
4 < x 2 + 3 x
− x 2 − 3 x + 4 < 0
− x 2 − 3 x + 4 = 0
a = − 1, b = − 3, c = 4
D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25
D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1
x 1 = − 4, x 2 = 1
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:
− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет -.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервалы со знаком − .
Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№4. Решить неравенство x 2 − 5 x < 6.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
x 2 − 5 x < 6
x 2 − 5 x − 6 < 0
x 2 − 5 x − 6 = 0
a = 1, b = − 5, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49
D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1
x 1 = 6, x 2 = − 1
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:
x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервал со знаком -.
Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )
№5. Решить неравенство x 2 < 4.
Решение:
Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.
x 2 < 4
x 2 − 4 < 0
x 2 − 4 = 0
( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2
x 1 = 2, x 2 = − 2
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:
x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства < , выбираем в ответ интервал со знаком − .
Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )
№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.
Решение:
Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.
x 2 + x ≥ 0
x 2 + x = 0
x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1
x 1 = 0, x 2 = − 1
Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:
x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )
Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.
Дробно рациональные неравенства
Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
- Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):
f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя.
- Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя.
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
- Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.
Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые.
Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.
Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.
- Расставить знаки на интервалах.
- Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
- Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.
- Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.
x − 1 = 0
x = 1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.
- Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.
x + 3 = 0
x = − 3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
- Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
- Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.
3 ( x + 8 ) ≤ 5
3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0
3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0
− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0
- Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.
− 5 x − 37 = 0
− 5 x = 37
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4
x = − 7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.
- Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.
x + 8 = 0
x = − 8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
- Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :
− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 < 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.
В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )
№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
- Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.
- Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.
x 2 − 1 = 0
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1
x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.
- Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.
x = 0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
- Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
- Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :
x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
- Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Системы неравенств
Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.
Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы неравенств:
{ x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2
Алгоритм решения системы неравенств
- Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
- Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
- Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
- Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.
Примеры решений систем неравенств:
№1. Решить систему неравенств { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
- Решаем первое неравенство системы.
2 x − 3 ≤ 5
2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.
x ≤ 4 ;
Графическая интерпретация:
Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
- Решаем второе неравенство системы.
7 − 3 x ≤ 1
− 3 x ≤ 1 − 7
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 < 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.
x ≥ 2
Графическая интерпретация решения:
Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
- Наносим оба решения на ось x.
- Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.
Ответ: x ∈ [ 2 ; 4 ]
№2. Решить систему неравенств { 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
- Решаем первое неравенство системы.
2 x − 1 ≤ 5
2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.
x ≤ 3
Графическая интерпретация:
Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
- Решаем второе неравенство системы.
1 < − 3 x − 2
3 x < − 1 − 2
3 x < − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.
x < − 1
Графическая интерпретация решения:
Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.
- Наносим оба решения на ось x.
- Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 )
№3. Решить систему неравенств { 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 > 5 − x
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
- Решаем первое неравенство системы.
3 x + 1 ≤ 2 x
3 x − 2 x ≤ − 1
x ≤ − 1
Графическая интерпретация решения:
- Решаем второе неравенство системы
x − 7 > 5 − x
x + x > 5 + 7
2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.
x > 6
Графическая интерпретация решения:
- Наносим оба решения на ось x.
- Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.
Ответ: x ∈ ∅
№4. Решить систему неравенств { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
- Решаем первое неравенство системы.
x + 4 > 0
x > − 4
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
- Решаем второе неравенство системы
2 x + 3 ≤ x 2
− x 2 + 2 x + 3 ≤ 0
Решаем методом интервалов.
− x 2 + 2 x + 3 = 0
a = − 1, b = 2, c = 3
D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16
D > 0 — два различных действительных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1
Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.
Графическая интерпретация решения второго неравенства:
- Наносим оба решения на ось x.
- Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ .
Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.
Ответ: x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )
Скачать домашнее задание к уроку 8.
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) x2 – 16 ≤ 0
2) x2 – 4x ≤ 0
3) x2 – 4x ≥ 0
4) x2 – 16 ≥ 0
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Решение:
Методом интервалов изобразим решение каждого неравенства:
Изображение решения из условия совпадает с решением 3 неравенства.
Ответ: 3.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.6 / 5. Количество оценок: 39
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
Задачи для ОГЭ с ответами и решениями
Квадратные неравенства
перейти к содержанию задачника
- На каком из рисунков изображено решение неравенства ?
- Решите неравенство .
1) 2) 3) 4) нет решений - Решите неравенство .
1) 2) 3) 4) нет решений - Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
1) 2) 3) 4) - Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?
1) 2) 3) 4) - На каком из рисунков изображено решение неравенства ?
- На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?
- Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) 2) 3) 4) - Укажите неравенство, решением которого является любое число.
1) 2) 3) 4) - Решите неравенство .
1) 
1) 
перейти к содержанию задачника
Ответы
- 3
- 3
- 2
- 4
- 2
- 1
- 2
- 2
- 4
- [-6;8]
- [-6;3]
- (0,5;5)
- (-3;0,2)
- (-2;3,4)
- (-1; 12)
- [-24;3]
- [-3;-1,4]
![(-infty;3]cup [4;+infty)](http://www.itmathrepetitor.ru/wp-content/plugins/latex/cache/tex_88f747a1db523bdc1e360415b8889dbf.gif)
Смотрите:
- ОГЭ 2015 по математике. Типовой вариант 2 Ященко И.В. с ответами и решениями
- Математика. Задачи для подготовки к ОГЭ
- Задачи для ОГЭ. Вычисление длин
- Задачи для ОГЭ. Системы двух уравнений