Как найти несмещенную оценку генеральной средней - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Задача 55. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема N, заданная вариантами ХI и соответствующими им частотами. Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Варианта ХI	2	5	7	10
Частота Ni	16	12	8	14

Решение. Множество всех объектов, подлежащих изучению, называется Генеральной совокупностью. Множество случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью или Выборкой.

Для оценки неизвестных параметров теоретического распределения служат статистические оценки. Статистическая оценка, определяемая одним числом, называется Точечной оценкой.

Точечная статистическая оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, называется Несмещенной оценкой. Статистическая оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру является Смещенной.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

(1),

Где ХI – варианта выборки (элемент выборки); Ni – частота варианты ХI (число наблюдений варианты ХI); – объем выборки (число элементов совокупности).

Объем данной выборки равен .

Далее по формуле (1) вычисляем несмещенную оценку генеральной средней:

Задача 56. По выборке объема N=41 найдена смещенная оценка генеральной дисперсии . Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Решение. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является «исправленная дисперсия»

или

Таким образом, мы получаем искомую несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности:

Задача 57. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью P=0,95 неизвестного математического ожидания A нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение S=5, выборочная средняя , а объем выборки N=25.

Решение. Интервальной оценкой называется интервал, покрывающий оцениваемый параметр. Доверительным интервалом является интервал, который с данной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности служит доверительный интервал

Где – точность оценки, T – значение аргумента функции Лапласа (приложение, таблица 2).

В данной задаче T находим из условия . По таблице 2 определяем . Таким образом, T=1,96.

Далее получаем

Или

Задача 58. По данным N=9 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение S=6. Оценить истинное значение измеряемой величины при помощи доверительного интервала с надежностью =0,99.

Решение. Оценкой математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х в случае неизвестного среднего квадратического отклонения является доверительный интервал

По таблице 3 приложения, по заданным N и находим =3,36.

Таким образом

Окончательно получаем

Задача 59. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема N. Оценить с надежностью =0,95 математическое ожидание A нормально распределенного признака Х генеральной совокупности по выборочной средней с помощью доверительного интервала.

Значение признака ХI	-2	1	1	3	4	5
Частота Ni	2	1	2	2	2	1

Решение. Объем данной выборки равен

По данным задачи находим выборочную среднюю:

Далее находим исправленное среднее квадратическое отклонение S:

Для оценки математического ожидания A нормально распределенного количественного признака Х в случае неизвестного среднего квадратического отклонения служит доверительный интервал

По таблице 3 приложения по заданным N и находим =2,26.

Таким образом

Окончательно получаем

Задача 60. Построить полигон частот и эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты ХI	-3	0	1	4	6	7
Частоты Ni	3	6	1	2	5	1

Решение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ; ;…;, где ХI – варианты выборки, Ni – соответствующие им частоты.

Полигон частот для данного распределения изображен на рисунке 15.

Рис. 15

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения X относительную частоту события :

Где – число вариант, меньших Х; N – объем выборки.

Из определения следует, что .

Найдем эмпирическую функцию распределения.

Объем данной выборки равен =18.

Если , то =0 (так как -3 – наименьшая варианта). Если , то значение , а именно наблюдалось 3 раза, следовательно, . При значения , а именно и наблюдались 3+6=9 раз, следовательно, .

Аналогично получаем, что при функция распределения ; при функция распределения ; при функция распределения . Далее, если , то (так как 7 – наибольшая варианта).

Таким образом, эмпирическая функция распределения равна:

График полученной эмпирической функции распределения изображен на рисунке 16.

Задача 61. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема N=100:

Варианта ХI	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84
Частота Ni	2	4	6	8	12	30	18	8	7	5

Решение. Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством:

Где — центральный эмпирический момент третьего порядка, вычисляемый по формуле:

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством:

Где — центральный эмпирический момент четвертого порядка, вычисляемый по формуле:

Асимметрия и эксцесс служат для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального. Кроме того, если эксцесс положительный, то распределение будет островершинным; если отрицательный, то распределение будет плосковершинным по сравнению с нормальным распределением.

Для практического расчета асимметрии и эксцесса непосредственно пользоваться вышеуказанными формулами довольно затруднительно, поэтому воспользуемся методом сумм. Составим расчетную таблицу 1, для этого:

1) Запишем варианты в первый столбец.

2) Запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца.

3) В качестве ложного нуля С выберем варианту (68), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетках строки, содержащей ложный нуль, запишем нули; в четвертом столбце над и под уже помещенным нулем запишем еще по одному нулю.

4) В оставшихся незаполненными над нулем клетках третьего столбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты:

2; 2+4=6; 6+6=12; 12+8=20; 20+12=32.

Сложив все накопленные частоты, получим число B1=72, которое поместим в верхнюю клетку третьего столбца. В оставшихся незаполненными под нулем клетках третьего столбца (исключая самую нижнюю) запишем последовательно накопленные частоты:

5; 5+7=12; 12+8=20; 20+18=38.

Сложив все накопленные частоты, получим число A1=75, которое поместим в нижнюю клетку третьего столбца.

5) Аналогично заполняется четвертый столбец, причем суммируют частоты третьего столбца. Сложив все накопленные частоты, расположенные над нулем, получим число B2=70, которое поместим в верхнюю клетку четвертого столбца. Сумма накопленных частот, расположенных под нулем, равна числу A2=59, которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца.

6) Для заполнения столбца 5 запишем нуль в клетке строки, содержащей ложный нуль (68); над этим нулем и под ним поставим еще по два нуля. В клетках над нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 сверху вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты:

2; 2+8=10; 10+20=30.

Сложив накопленные частоты, получим число B3=42, которое поместим в верхнюю клетку пятого столбца. В клетках под нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 снизу вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты:

5; 5+17=22.

Сложив накопленные частоты, получим число A3=27, которое поместим в нижнюю клетку пятого столбца.

7) Аналогично заполняется столбец 6, причем суммируют частоты столбца 5.

В итоге получим расчетную таблицу 1:

Расчетная таблица 1

1	2	3	4	5	6
ХI	Ni	B1=72	B2=70	B3=42	B4=14
48	2	2	2	2	2
52	4	6	8	10	12
56	6	12	20	30	0
60	8	20	40	0	0
64	12	32	0	0	0
68	30	0	0	0	0
72	18	38	0	0	0
76	8	20	37	0	0
80	7	12	17	22	0
84	5	5	5	5	5
	N=100	A1=75	A2=59	A3=27	A4=5

Теперь найдем Di (I=1, 2, 3) и si (I=1, 2, 3, 4):

; ; ;

; ;

; .

Найдем условные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

; ;

;

Найдем далее центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков, учитывая, что шаг (разность между двумя соседними вариантами):

;

Так как дисперсия , то выборочное среднее квадратическое отклонение .

Учитывая определения асимметрии и эксцесса, окончательно получаем:

; .

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Т.к.
X₁,
X₂,…,X_n
— независимые, одинаково распределенные
случайные величины, то все они имеют
один и тот же закон распределения
вероятностей и одинаковые числовые
характеристики.

Среднее
выборочное

удовлетворяет
всем накладываемым к статистическим
оценкам требованиям, т.е. дает несмещенную,
эффективную и состоятельную оценку.
Действительно:

. (3.7)

Это
равенство следует из того, что все
значения x_i
распределены одинаково с математическим
ожиданием
.
Поэтому
является несмещенной оценкой
.

В
то же время эта оценка является
состоятельной:
согласно
закону больших чисел, при увеличении
n,
величина
сходится по вероятности к математическому
ожиданию. Говорят, выборочное среднее
обладает свойством
статистической
устойчивости.

Оценим
по данным выборки неизвестную нам
генеральную дисперсию D_Г.
Поступим аналогично, т.е. в качестве
оценки D_Г
возьмем D_В.
Можно доказать, что математическое
ожидание D_В
равно

Таким
образом, D_В
оказывается смещенной оценкой генеральной
дисперсии, давая заниженное
значение D_Г.
Это значит, что при малых п,
ее использование приведет к систематическим
ошибкам. Для
несмещенной оценки D_Г
достаточно взять величину
,
которую называютисправленной
дисперсией
и обозначают s².
Тогда

Т.о.,
математическое ожидание исправленной
дисперсии действительно равно дисперсии
генеральной совокупности и, значит, s²
– состоятельная оценка генеральной
дисперсии.

На
практике для оценки генеральной дисперсии
применяют исправленную дисперсию при
.
В остальных случаях,
отклонениеD_В
от D_Г
малозаметно. Поэтому при больших
значениях n
ошибкой “смещения” 1/n
можно пренебречь: т.к. при
коэффициент,
т.е.s²
– состоятельная оценка.

Итак, несмещенная
оценка для дисперсии имеет вид

(3.8)

для
выборки, заданной последовательностью
значений или таблицей относительных
частот.

Пусть
некоторая случайная величина X
имеет математическое ожидание MX=m
и дисперсию
DX=.
В ходе эксперимента получена случайная
выборка из n
независимых испытаний случайной величины
X.
Тогда справедливы следующие утверждения.

1)
Среднее выборочное
служит несмещенной и состоятельной
оценкой математического ожиданияMX.

2)
Если случайная величина X
распределена по нормальному закону с
параметрами N(m,),
то среднее выборочное
также распределено нормально и имеет
минимальную дисперсию
:
т.е.
.
Поэтому среднее выборочное– эффективная и состоятельная оценка
математического ожидания.

3)
Выборочная дисперсия
является
смещенной оценкой генеральной дисперсии.
Несмещенной оценкой генеральной
дисперсииявляется
«исправленная» дисперсия,
для получения которой необходимо
умножитьна так называемуюпоправку
Бесселя
.
Тогда

«Исправленная»
выборочная дисперсия
является состоятельной оценкой
генеральной дисперсии.

Если
известно m
– математическое ожидание случайной
величины X,
то выборочная дисперсияявляется несмещенной, состоятельной
и эффективной оценкой генеральной
дисперсии.
Относительная
частота
является
несмещенной и состоятельной оценкой
вероятностиP(X=x_i).
Эмпирическая функция распределения
–
накопленная относительная частота –
является несмещенной и состоятельной
оценкой теоретической функции
распределенияF(x)=P(X<x).

Задача
5. Найти
несмещенные оценки математического
ожидания и дисперсии по таблице выборки:

x_i	2	6	12
n_i	3	10	7

Решение:

Из
таблицы имеем объем выборки n
= 20. Несмещенная оценка математического
ожидания есть среднее выборочное
:

Для
вычисления несмещенной оценки дисперсии
сначала найдем выборочную дисперсию,
а затем несмещенную оценку – s²_:

, .

х_i	2	6	12
	0.15	0.5	0.35

Задача 6.
Найти несмещенные числовые характеристики
выборки, заданной таблицей:

Решение:

Среднее
выборочное
является несмещенной оценкой генерального
среднего, а для вычисления несмещенной
дисперсиипредварительно вычислим смещенную
дисперсию

Легко видеть, что
задачи 5 и 6 задают одну и ту же выборку,
но в задаче 5 она задается таблицей
абсолютных частот, а в задаче 6 – таблицей
относительных частот:

На
практике если значение вариант x_i
– большие числа, то для облегчения
расчетов их представляют в виде суммы
некоторого постоянного числа с
и условной варианты u_i,
как дополнения до
,
т.е..
Это значит, что задан некий новый
вариационный ряд для величиныU,
определенный по выборочным данным u_i.
Поскольку выбор с
произволен, то лучше взять за с
значение, близкое к
.
Тогда,,
а дисперсия не изменится, т.е.,
так как по свойствам дисперсии

,
где C
– const.
Тогда

.
Аналогично
вычисляется несмещенная оценка дисперсии:

. (3.9.)

Если
первоначальные варианты представлены
десятичными дробями, то их умножают на
постоянное число с=10^k,
где k
– количество десятичных знаков. Тогда
условные варианты имеют вид
,
то есть дисперсия увеличилась в
раз, согласно свойству дисперсии. Поэтому,
а.

Аналогично,
. (3.10)

Задача
7. Из генеральной
совокупности извлечена выборка. Найти
несмещенную оценку генеральной средней
и генеральной дисперсии.

x_i	3250	3270	3280
n_i	2	5	3

Решение:
1. Найдем
условную варианту и составим для нее
ряд распределений:

Пусть
с=3270,
тогда
,

u_i	-20	0	10
n_i	2	5	3

2.
Т.к. объем выборки n=10,
то
;.

3.
Найдем выборочную дисперсию для
первоначальной варианты с помощью
условной варианты:
.

4.
Найдем «несмещенную выборочную дисперсию»
– несмещенную оценку генеральной
дисперсии:
.

То,
что выбор постоянной с
не влияет на значение дисперсии, следует
из соответствующего свойства, известного
теории вероятностей. Поэтому выбор
постоянной с
весьма условен и определяется удобством
расчета. Особенно это очевидно при очень
малых значениях V:
например, если среднеквадратичное
отклонение порядка 10^-7,
а выборочное среднее порядка 10⁷,
то затруднительно непосредственно
вычислить дисперсию, т.к. незначительная
разница будет меньше погрешности
округления на микрокалькуляторе. Т.о.,
на практике исходят из критерия удобства
дальнейших расчетов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Статистические оценки параметров генеральной совокупности

Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки: смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные. Интервальные статистические оценки. Точность и надежность оценки; определение доверительного интервала; построение доверительных интервалов для средней при известном и неизвестном среднеквадратическом отклонении.

Определение статистической оценки

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение. Если имеются основания считать, что признак имеет распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр lambda , которым это распределение определяется. Обычно имеются лишь данные выборки, полученные в результате наблюдений: x_1,x_2,ldots,x_n . Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая как значения независимых случайных величин можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения означает найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Точечные статистические оценки

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистическая оценка неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называется точечной. Рассмотрим следующие точечные оценки: смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные.

Для того чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования. Пусть Theta^* есть статистическая оценка неизвестного параметра Theta теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема найдена оценка Theta_1^* . Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку Theta_2^* и т. д. Получим числа Theta_1^*,Theta_2^*,ldots,Theta_k^* , которые будут различаться. Таким образом, оценку Theta^* можно рассматривать как случайную величину, а числа — как возможные ее значения.

Если оценка Theta^* дает приближенное значение Theta с избытком, то найденное по данным выборок число Theta~(k=1,2,ldots,n) будет больше истинного значения Theta . Следовательно, и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Theta^* будет превышать Theta , то есть M(Theta^*)>Theta . Если Theta дает приближенное значение Theta с недостатком, то M(Theta^*)<Theta .

Использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приводит к систематическим ошибкам. Поэтому нужно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки Theta было равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования M(Theta^*)=Theta устраняет систематические ошибки.

Несмещенной называют статистическую оценку Theta^* , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Theta , то есть M(Theta^*)=Theta .

Смещенной называют статистическую оценку Theta^* , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако ошибочно считать, что несмещенная оценка всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения Theta^* могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия величины Theta^* может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например Theta^* , может оказаться удаленной от своего среднего значения $overline{Theta^*}$ , а значит, и от самого оцениваемого параметра Theta . Приняв Theta_1^* в качестве приближенного значения Theta , мы допустили бы ошибку. Если потребовать, чтобы дисперсия величины Theta^* была малой, то возможность допустить ошибку будет исключена. Поэтому к статистической оценке предъявляются требования эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки ) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при ntoinfty стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается также состоятельной.

Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего в смысле несмещённости, эффективности и состоятельности оценивают генеральную среднюю и дисперсию.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака. Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Она вычисляется по формуле

$overline{x}_text{g}=frac{1}{N}sumlimits_{i=1}^{N}x_i$ или $overline{x}_text{g}=frac{1}{N}sumlimits_{i=1}^{k}x_im_i$

где x_i — значения признака генеральной совокупности объема ; m_i — соответствующие частоты, причем

$sumlimits_{i=1}^{k}m_i=N.$

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема со значениями признака x_1,x_2,ldots,x_n . Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности и вычисляется по формуле

$overline{x}_text{v}=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}x_i$ или $overline{x}_text{v}=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{k}x_im_i$

где x_i — значения, признака в выборочной совокупности объема ; m_i — соответствующие частоты, причем

$sumlimits_{i=1}^{k}m_i=n.$

Если генеральная средняя неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки, то в качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю, которая является несмещенной и состоятельной оценкой. Отсюда следует, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних.

Если дисперсии двух совокупностей одинаковы, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объема выборки к объему генеральной совокупности. Она зависит- от объема выборки: чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию. Генеральной дисперсией $D_text{g}$ называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения $overline{x}_text{g}$ , которое вычисляется по формуле

$D_text{g}=frac{1}{N}sumlimits_{i=1}^{N}(x_i-overline{x}_text{g})^2$ или $D_text{g}=frac{1}{N}sumlimits_{i=1}^{k}(x_i-overline{x}_text{g})^2m_i$

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюденных значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения хв, вводят сводную характеристику — выборочную дисперсию. Выборочной дисперсией $D_text{v}$ называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюденных значений признака от их среднего значения $overline{x}_text{v}$ , которое вычисляется по формуле

$D_text{v}=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}(x_i-overline{x}_text{v})^2$ или $D_text{v}=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{k}(x_i-overline{x}_text{v})^2m_i$

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной (выборочной) совокупности вокруг своего среднего значения используют сводную характеристику — среднее квадратическое отклонение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии: $sigma_text{g}=sqrt{D_text{g}}$ . Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: $sigma_text{v}=sqrt{D_text{v}}$ .

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема . Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию $D_text{g}$ . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка приведет к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой $D_text{g}$ . Другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно $M(D_text{v})=frac{n-1}{n}D_text{g}$ .

Легко исправить выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Для этого нужно умножить $D_text{v}$ на дробь $frac{n}{n-1}$ . В результате получим исправленную дисперсию s^2 , которая будет несмещенной оценкой генеральной дисперсии:

$s^2=frac{1}{n-1}sumlimits_{i=1}^{k}(x_i-overline{x}_text{v})^2m_i$

Интервальные оценки

Наряду с точечным оцениванием, статистическая теория оценивания параметров занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри него находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом количестве наблюдений, когда точечная оценка малонадежна.

Доверительным интервалом $Bigl(tilde{Theta}_n^{(1)};tilde{Theta}_n^{(2)}Bigl)$ для параметра Theta называется такой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью p=1-alpha , близкой к единице, можно утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра Theta , то есть $PBigl{tilde{Theta}_{n}^{(1)}<Theta<tilde{Theta}_{n}^{(2)}Bigl}=1-alpha$ . Чем меньше для выбранной вероятности число $vline,tilde{Theta}_n^{(1)}-tilde{Theta}_n^{(2)}vline$ , тем точнее оценка неизвестного параметра Theta . И, наоборот, если это число велико, то оценка, проведенная с помощью данного интервала, малопригодна для практики. Так как концы доверительного интервала зависят от элементов выборки, то значения $tilde{Theta}_n^{(1)}$ и $tilde{Theta}_n^{(2)}$ могут изменяться от выборки к выборке. Вероятность p=1-alpha принято называть доверительной (надежностью). Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, а определяется конкретной решаемой проблемой. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительный интервал для генеральной средней при известном значении среднего квадратического отклонения и при условии, что случайная величина (количественный признак ) распределена нормально, задается выражением

$P!left{overline{x}_text{v}-frac{tsigma}{sqrt{n}}<overline{x}_text{g}<overline{x}_text{v}+frac{tsigma}{sqrt{n}}right}=2Phi(t)=p,$

где — наперед заданное число, близкое к единице, а значения функции Phi(t) приведены в таблице прил. 2.

Смысл этого соотношения заключается в следующем: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал $left(overline{x}_text{v}-frac{tsigma}{sqrt{n}};overline{x}_text{v}+frac{tsigma}{sqrt{n}}right)$ покрывает неизвестный параметр $overline{x}_text{g}$ , точность оценки $delta=frac{tsigma}{sqrt{n}}$ . Число определяется из равенства 2Phi(t)=p , или $Phi=frac{p}{2}$ . По прил. 2 находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное $frac{p}{2}$ .

Пример 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением sigma=3 . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестной генеральной средней по выборочным средним, если объем выборок n=36 и надежность оценки p=0,!95 .

Решение. Найдем . Из соотношения 2Phi(t)=0,!95 получим, что Phi=0,!475 . По прил. 2 находим t=1,!96 . Найдем точность оценки $delta=frac{tsigma}{sqrt{n}}=frac{1,!96cdot3}{sqrt{36}}=0,!98$ . Доверительные интервалы будут таковы: $(overline{x}_text{v}-0,!98;overline{x}_text{v}+0,!98)$ . Например, если $overline{x}_text{v}=4,!1$ , то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы: $overline{x}_text{v}-0,!98=4,!1-0,!98=3,!12;$ $overline{x}_text{v}+0,!98=4,!1+0,!98=5,!08;$ . Таким образом, значения неизвестного параметра $overline{x}_text{g}$ , согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству $3,!12<overline{x}_text{g}<5,!08$ .

Доверительный интервал для генеральной средней нормального распределения признака при неизвестном значении среднего квадратического отклонения задается выражением

$P!left{overline{x}_text{v}-frac{t_ps}{sqrt{n}}<overline{x}_text{g}<overline{x}_text{v}+frac{t_ps}{sqrt{n}}right}=p.$

Отсюда следует, что с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал $left(overline{x}_text{v}-frac{t_ps}{sqrt{n}};overline{x}_text{v}+frac{t_ps}{sqrt{n}}right)$ покрывает неизвестный параметр $overline{x}_text{g}$ .

Существуют таблицы (прил. 4), пользуясь которыми, по заданным и находят вероятность и, наоборот, по заданным и находят .

Пример 2. Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=16 найдены выборочная средняя $overline{x}_text{v}=20,!2$ и исправленное среднеквадратическое отклонение s=0,!8 . Оценить неизвестную генеральную среднюю с помощью доверительного интервала с надежностью p=0,!95 .

Решение. Найдем . Пользуясь прил. 4 по p=0,!95 и n=16 находим tp=2,!13 . Найдем доверительные границы:

$overline{x}_text{v}-frac{t_ps}{sqrt{n}}=20,!2-frac{2,!13cdot0,!8}{sqrt{16}}=20,!2-0,!426=19,!774;$

$overline{x}_text{v}+frac{t_ps}{sqrt{n}}=20,!2+frac{2,!13cdot0,!8}{sqrt{16}}=20,!2+0,!426=20,!626.$

Итак, с надежностью p=0,!95 неизвестный параметр $overline{x}_text{g}$ заключен в доверительном интервале $19,!774<overline{x}_text{g}<20,!626$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Тема
«Точечные оценки параметров распределения»

Примеры
решения задач

Пример 1.
Для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного
признака была извлечена выборка:

	48	49	50	52	54
	2	4	6	2	1

Найти несмещенные оценки
генеральной средней и генеральной дисперсии.

Решение.

Несмещенной оценкой генеральной
средней является выборочная средняя:
.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия:

Ответ: ,
.

Источник

Авторы
Резюме
Файлы
Ключевые слова
Литература

Газарян А.Ш.

1

Мокриков С.С.

1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»

При написании статьи был проведен анализ и применены теоретические аспекты методов математической статистики, а также изучены оценки, которые применяются при анализе явлений, которые обладают свойством статистической устойчивости. Применяются следующие оценки: несмещенные, эффективные и состоятельные. Также рассмотрены величины, которые могут помочь при нахождении зависимости. Это: генеральная средняя и генеральная дисперсия. В качестве точечной оценки такого параметра, как генеральная средняя выступает выборочная средняя, а для параметра генеральная дисперсия точечной оценкой является выборочная дисперсия. Для более эффективного закрепления материала в статье приведены примеры с тщательно разобранным решением, которые помогли наглядно ознакомиться с методами точечной оценки.

математическая статистика

дисперсия

генеральная и выборочная средняя

1. Бондаренко Д.В., Бражнев С.М., Литвин Д.Б., Варнавский А.А. Метод повышения точности измерения векторных величин // Наука Парк. – 2013. – № 6 (16). – С. 66–69.

2. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 8–2. – С. 178–179.

3. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Совершенствование экономических механизмов для решения проблем экологической безопасности. // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: II Международная научно-практическая конференция. – 2013. – С. 68–71.

4. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Жукова В.А., Мамаев И.И. Модель экономического роста с распределенным запаздыванием в инвестиционной сфере // Вестник АПК Ставрополья. – 2017. – № 2 (26). – С. 225–228.

5. Литвин Д.Б., Долгополова А.Ф., Мелешко С.В. Cовершенствование механизма управления риском экологического ущерба // Финансово-экономические проблемы развития региона и учетно-аналитические аспекты функционирования предпринимательских структур: Сборник научных трудов по материалам Ежегодной 77-й научно-практической конференции / ФГБОУ ВПО «Ставропольский государственный аграрный университет» «Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу». 2013. С. 471–474.

6. Литвин Д.Б., Шепеть И.П., Бондарев В.Г., Литвина Е.Д. Применение дифференциального исчисления функций нескольких переменных к разработке алгоритма определения координат объекта. // Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона: Материалы Ежегодной 78-й научно-практической конференции. – 2014. – С. 242–246.

7. Писаренко И.Н., Королькова Л.Н., Литвин Д.Б Необходимость исследования IDS как элемента инфраструктуры безопасности // Инновационные направления развития в образовании, экономике, технике и технологиях: Cборник статей. В 2 частях. / ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», Технологический институт сервиса (филиал). – 2016. – С. 139–142.

8. Litvin D., Ghazwan R.Q. Thinking skills product in mathematics among the students of the university // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона материалы. Международной научно-практической конференции, 2014. – С. 5–9.

9. Litvin D.B. Mathematical self-concept among university students // Аграрная наука, творчество, рост: Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции, 2014. – С. 326–329.

10. Litvin D.B., Popova S.V., Zhukova V.A., Putrenok E.L., Narozhnaya G.A. Monitoring of the parameters of intra-industrial differentiation of the primary industry of the traditionally industrial region of southern Russia // Journal of Advanced Research in Law and Economics. – 2015. – Т. 6; № 3. – С. 606–615.

Методы математической статистики используются при анализе явлений, которые обладают свойством статистической устойчивости. Сущность данного свойства заключается в том, что результат Х определённого опыта не может быть предсказан с большой точностью, где значение функции от результатов наблюдений при увеличении объёма выборки теряет своё свойство случайности и сходится по вероятности с неслучайной величиной θ [9].

В математической статистике применяются следующие оценки [3, 7]:

– несмещённые (значение математического ожидания оценки совпадает со значением оценивающего параметра, то есть );

– смещённые (оценка );

– эффективные (оценка, которая имеет при заданном объёме выборки n наименьшую дисперсию);

– состоятельные (оценка, которая стремится при по вероятности к оцениваемому параметру);

Точечной оценкой называют некоторую функцию результатов наблюдения , значение которой принимается за более приближенное в данных условиях к значению самого параметра θ, то есть оценку, определяющую одним числом [5, 2].

Часто, по результатам наблюдений количественного признака X требуется оценить следующие параметры распределения генеральной совокупности:

– генеральная средняя M(X);

– генеральная дисперсия D(X);

В качестве точечных оценок этих параметров выступают выборочная средняя и выборочная дисперсия и Dв соответственно [1, 4].

Генеральная средняя – среднее арифметическое значений генеральной совокупности :

– с повторениями

Выборочная средняя – среднее арифметическое значение выборки [3, 8].

То есть, имеется выборка объёма n, тогда выборочная средняя равна:

Выборочная средняя по данным одной выборки является определённым числом. Также выборочная средняя является несмещённой оценкой математического ожидания.

При увеличении объёма выборки n вся выборочная система стремится к генеральной средней [6, 9].

Генеральной дисперсией называют среднеарифметическое квадратное отклонение значений генеральной совокупности от их среднего значения.

Кроме дисперсий для характеристики рассеивания значений генеральной совокупности вокруг своего среднего также можно пользоваться средним квадратическим отклонением [10].

Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений, наблюдаемых значений выборки от их среднего значения.

Справедлива также формула:

Для исправления выборочной дисперсии необходимо умножить её на дробь:

Получаем исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.

Также:

– с повторениями.

Для оценки рассеивания выборки служит выборочное среднеквадратическое отклонение.

Теперь рассмотрим, как применяются перечисленные данные при решении задач.

Пример 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n=30;

xi	1	2	4	21
ni	7	30	20	3

Необходимо найти несмещённую оценку генеральной средней и исправленную выборочную дисперсию.

Решение: Чтобы найти несмещённую оценку генеральной средней необходимо применить формулу:

;

Подставим значения из условия:

Зная выборочную среднюю, найдём выборочную дисперсию:

Теперь можем найти исправленную дисперсию:

Ответ: .

Вывод. Таким образом, по выборочной совокупности значений, наблюдаемого количественного признака, можно вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.

Библиографическая ссылка

Газарян А.Ш., Мокриков С.С. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.
;

URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=18203 (дата обращения: 27.05.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

Источник