Как найти нетабличный синус

В статье мы расскажем, как находить значения:

(cos300^°),       (sin⁡(-540^°)),     (cos 510^°),     (sin⁡(-135^°))

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin⁡30^° =frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5);    (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707);     (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

• Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

• Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;

• Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°),  а четверти (90^°);

• Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:

    

• Одна точка может соответствовать разным углам;
• Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:

Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение:   (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)

Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение:    (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)

    

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример.  Вычислите (sin⁡300^°) и (cos⁡300^°) .
Решение:   (⁡300^°=360^°-60^°)

(cos⁡ 300^°=frac{1}{2}),     (sin⁡{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример . Вычислите (sin⁡(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение.    (-540^°=-360^°-180^°).

(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos⁡(-540^°)=-1), а (sin⁡(-540^° )=0).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin⁡(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)

Получается (-18sqrt{2} sin⁡(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).

Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos⁡(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)

(54sqrt{3}cos⁡(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).

Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

— это формула перевода угла в градусах в радианы, к решению твоей проблеммы отношения не имеет.
В математике есть такая операция как нахождение arc-синуса косинуса и т.д.,т.е значение угла в радианах составит

alpha = arcsin(0,5416) , если в градусах тогда arcsin(0,5416)*180/pi (ну и не забывай о том что синус периодическая функция, поэтому не забудь к значению угла дописать +- 2pi*N или же +-360*N градусов N = +- 0,1,2,3….)

В MathCAD достаточно сделать запись
asin(0.546) — получим в радианах
asin(0.546)/deg — в градусах

Добавлено через 5 минут
В заключение предлагаю мой метод «научного тыка». Возьми две полоски с = 10 см и b = 5,46 см. Как ты догаался с — гипотенуза b — противолежащий углу катет. Теперь положи линейку, перпендикулярно ей поставь полоску b, а теперь к вершине b приложи полоску с и соедини с линейкой, теперь транспортиром замеряй угол между линейкой и с — это и будет твой угол альфа.

В заключение ещё об углах — в тетрадях в клетку угол соединяющий начало двух клеток снизу с крайней вершиной последней — соответсвует 30 градусам, угол идущий посередине клеток — 45, для 60 градусов — тоже что и для 30 градусов только с точностью до наоборот, успехов тебе в изучении тригонометрии!

Определение значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Тригонометрические функции, является очень важной составляющей не только математики, но других технических наук.

Применяя основные формулы и законы тригонометрии при вычислении задач. Огромное значение имеют таблицы значений данных функций. Они существенно упрощают решение задач различной сложности.  

Процесс работы и расчета функций данного вида, очень непростой. Решение задач и уравнение, очень часто вызывают сложности. Поэтому, со временем, были созданы и разработаны несколько видов решений, чтобы облегчить жизнь математика и всем представителям технических наук. Преобразовывая тригонометрические формулы, необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Нельзя продумывать весь процесс решения от начала до самого конца сразу. Нужно определиться с основными задачами и данными.
2. Весь пример, подвергать упрощению или преобразования постепенно;
3. Разрешается применять все преобразования и действия, связанные с алгеброй, а именно: вынести значение за пределы скобок. сократить значение и многое другое:

[ sin x=frac{a}{c} ; cos x=frac{b}{c} ; operatorname{tg} x=frac{sin x}{cos x} ; operatorname{ctg}=frac{1}{operatorname{tg} x}=frac{sin x}{cos x} ]

Зная основные определения тригонометрических функций, можно определить их угловые значения. Для углов от нуля до трехсот шестидесяти градусов, вычислим данные и запишем их в виде таблицы.

Значения вышеупомянутых математических функций, в частности в разделе геометрия, вычисляются как соотношения длин прямоугольного треугольника.

Углы геометрической фигуры имеют соответствующие значения в градусах. Используя основные определения математики, а именно тригонометрии можно определить нужные нам данные.

Определим основные значения

1.синуса (sin):

2. косинуса (cos):

3. тангенса(tg):

[ operatorname{tg} 90^{circ}, 270^{circ} ]

Данные выше угловые значения, не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.

4. котангенса (ctg)

[ operatorname{ctg} 0^{circ}, 180^{circ}, 360^{circ} ]

Для перечисленных выше угловых значений по законам математики и всех технических наук в целом, значения не определяются

Мы произвели основные расчеты. Определили результаты угловых значений.

Мы определились с основными угловыми значениями функций. Следующим шагом будет их сведение в таблицу.

Таблица1.  Основные значения функций косинус, синус, тангенс и котангенс, для угловых значений и радиан

Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для более лучшего восприятия. Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу.

Таблица 2. Нестандартные углы функций косинус, синус, тангенс и котангенс в тригонометрии

В данной таблице приведены значения углов, которые считаются нестандартными, также таблица необходима, чтобы облегчить жизнь, в первую очередь, школьной программе.

Например:

Значение заданной функции берется из таблицы. Оно равняется данному, которое попадает на пересечение столбца и строки.

Пример №1.  Необходимо определить чему равен [operatorname{tg} 300]

Берем левый столбец с наименованием функции, находим в верхней строке нужный градус, и на пересечении определяем нужный ответ.

Следовательно:[operatorname{tg} 300^{circ}=-sqrt{3}].

Пример №2. Необходимо определить чему равен [cos frac{5 pi}{3}].

Берем левый столбец с наименованием функции, находим в нижней строке значение радиан, поднимается на верх таблицы и определяем градусы.

[text { Следовательно: } operatorname{tg} 300^{circ}=frac{1}{2} .]

Пример №3. Необходимо определить чему равен [cos frac{11 pi}{6}].

Проводим аналогичные действия, как в предыдущих двух примерах и определяем угловое значение.

[text { Следовательно } cos =frac{sqrt{3}}{2}=330^{circ}.]

Таблица Брадиса для решения основных задач по тригонометрии

Первое упоминание о таблице, датируется 20-ми годами прошлого века. Основоположником, является советский ученый математик, и талантливый педагог Владимир Брадис. Созданная Брадисом таблица, позволяет определить значения тригонометрических функций, с большой точностью, а именно до четырех знаков. На практике решений, обычно требуется точность в три-четыре знака, после запятой, но не более. Для расчета, с такой точностью, значение синуса, в формуле достаточно трех известных слагаемых, а иногда и двух.  Произвести простых четыре перемножения.  Дважды разделить, умножить и отнять.

Если производить действия инженерным калькулятором, становится понятно, что все вышеперечисленные действия, уже запрограммированы в его микросхеме.  В таблице представлены следующие данные:

• число в квадратной и кубической степени;
• числа квадратных корней;
• логарифмические функции и значение;
• функции тригонометрии, представленный в градусах и радианах;
• обратные функции.

Можно определить точность углового значения до минуты. Существуют также таблицы, где есть семизначные значения.

Для того чтобы составить таблицы следует пользовался методом разложения функций (либо метод разложения на степень в ряд)

Примеры решения задач

Пример 1:

Необходимо определить синус угла 18 ° 44 ‘.

По таблице значений определяем данные синуса 18 ° 42 ‘. Далее используем поправку, равную две минуты. Плюсуем ее и заданные минуты: 18 ° 44 ‘ − 18 ° 42 ‘ = 2 ‘   

Нужное значение равняется —  0,0006.

Узнав все необходимые значения, находим окончательное решение:

 sin   18 ° 44 ‘ = 0. 3208 + 0. 0006 = 0. 3214

Пример 2:

Условие задачи, заключается в необходимости вычислить угол функции синус 76 ° 12. В таблице находим столбец с название угол и ищем 76 градусов и строку со значением 12. Далее, исходя из найденных ячеек, находим значение угла — 0,2284.

Ответ: синус 76 ° 12 =0,2284.

Пример 3:

Нужно найти значение синус 16 градусов 32 минут.  Для того чтобы посчитать значение 16 ° 32 минуты. В таблице находим значение нужного угла, которое ближе всего по значению подходит к заданному. Это sin16 30 =0.2840. Так как 16 32=16 30+2, то в столбце, выбираем нужную поправку, которая находится на пересечении со строкой, со значением 16 градусов стоит 0,0006, то есть

 sin   16 ° 32 ‘ = 0. 3208 + 0. 0006 = 0. 3214

Пример 4:

Нужно найти значение синус 22 градусов 10 минут. Чтобы посчитать значение  22 ° 12,  в таблице найдем значение необходимого угла, наиболее подходящее заданному. Это sin16 30 =0.3778. Так как  22 ° 10= 22 ° 12+2, то тогда выбираем поправку равную двум  и видим, что нужный нам градус равный  22 ° имеет значение 0,0005. Далее записываем:

 sin   22 ° 10 ‘ = (22 12-2) =0. 3778 + 0. 0005 = 0. 3773

Пример 5:

Нужно найти значение косинус 50 градусов 33 минут.  Для того, чтобы посчитать значение 53 31 в таблице найдем значение нужного угла, наиболее близкого к искомому со знаком минус. Это косинус 50 33 =0.6361 Так как 50 33=50 30+3, то в нужном столбце выбираем значение 3. Далее находим значение 0,0007, и записываем следующее уравнение:

 косинус 50 ° 33 ‘ = (50 30-3) =0. 6361 +(- 0. 0007) = 0. 6454

Пример 6:

Нужно найти tg 35 градусов 6 минут.  В таблице значений функции, в столбце найдем значение 35 градусов, а в строке 6 минут. Определяем нужное значение по таблице равное 0,7028.

Пример 7:

Нужно найти значение котангенс 13 градусов 42 минут.  Снова применим таблицу значения функций и найдем значение 13 градусов, а в строке 40 минут и поправку равную 2.  Находим искомое значение 4,102.

Пример 8:

Нужно найти значение косинус для 49° 33 минут.  

Для того чтобы вычислить  значение 49° 31.  В таблице найдем значение угла, наиболее близкого по значению к заданному, но только с отрицательным знаком минус. Это косинус 49° 31/ =0.6361 Так как 49° 31/=50 30+3, из этого следует, что поправка  равняется  трем. Значение  49 градусов равно 0,0007, поэтому: косинус 49° 33 ‘ = ( 49° 31-3) =0 . 6361 +(- 0 . 0007) = 0,6454

Основные способы, которые помогут заполнить таблицу функций

1 Действие: Необходимо изобразить простую таблицу, где будет несколько столбцов и строк, необходимых для заполнения данных. Следующая задача, состоит в том, что нужно пустые графы заполнить. Записываем в первом столбике значение математических функций, ранее нами изученных.

В начальной строке, должны отображаться самые часто используемые значения углов: от нуля до девяноста градусов и так далее.

Оставшиеся ячейки нужно оставить незаполненными, для следующих действий. Чтобы понять тригонометрию, нужно изучать не только основные функции. Стоит уделить внимание и таким функциях как: косеканс (cosec) и секанс (sec).

2. Действие: Заполняем пустые ячейки со значение синус. Берем выражение [frac{sqrt{x}}{2}] и подставляем числовые значения, то есть величины углов. они записаны в первом столбике. Далее применяя   [frac{sqrt{x}}{2}] можно вычислить данные для углов, которые нам необходимы. Вычисленные значения, записываются в таблицу.

Для наглядности все прописанные действия, можно разобрать на конкретном примере.

Например, мы заполняем ячейку sin 0 градусов. На месте неизвестного значения в выражении [frac{sqrt{x}}{2}] записываем значение угла.

Получаем следующую запись: [frac{sqrt{x}}{2}=frac{0}{2}=0]. Затем, проводим те же операции для заполнения оставшихся пустых строк.

[ frac{sqrt{1}}{2}=frac{1}{2} ; frac{sqrt{2}}{2}=frac{(sqrt{2 cdot 2})}{(2 cdot sqrt{2})}=frac{2}{2 cdot sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}} ; frac{sqrt{3}}{2} frac{sqrt{4}}{2}=frac{2}{2}=1 ]

Необходимо первым делом заполнять неизвестные ячейки, для функции синус. Это значительно в будущем облегчит заполнение всей таблицы. Так как именно за данной функции и ее данных и завязана вся работы таблицы.

3. Действие: Продолжаем считать таблицу. для этого значения синуса, которые подсчитаны были ранее, переписываем для функции косинус. Только делаем это в порядке обратном значению синусу. Данная теория действительна, потому что sin x° = cos (90-x). Если в самой крайней ячейке синус, имеется  1(sin90°=1). То в первую строку значения косинус, перепишется это числовое значение, cos 0° = 1. Таким образом заканчиваем заполнение до конца.

4. Действие: Для определения тангенса. Необходимо произвести деление данных синуса на косинус. Так как тангенс равен данной функции. [operatorname{tg}=frac{sin }{cos }]. Выходим что искомое значение равно данному выражению.  Если [operatorname{tg} 45^{circ}=frac{sin }{cos }=frac{sqrt{1}}{2} / frac{sqrt{3}}{2}=frac{1}{sqrt{3}} .]

Аналогично поступаем и далее.

5. Действие: Для заполнения граф косеканс и секанс нужно 1/sin и 1/cos.

[text { Так как, } operatorname{cosec}=frac{1}{sin } . text { Например, } sin 40^{circ}=frac{1}{2}, text { поэтому } operatorname{cosec} 40^{circ}=frac{1}{frac{1}{2}}=2]

Действие 6: Оставшиеся функции тангенс и котангенс. также записываются обратно значениям. Если tg90 равняется ctg0, значение tg60 будет соответственно равен значению ctg 30 градусов.

[text { Таким же методом заполняются оставшиеся строки таблицы. Так } text { как } operatorname{ctg}=frac{1}{t g}, text { в свою очередь } operatorname{ctg}=frac{cos }{sin }]

Вычисление данных при помощи фигуры — прямоугольный треугольник

Для этого строится нужный треугольник заданным углом, который необходимо определить. Строится угол, точка и луч, которые выходят из данной точки под определенным углом. Соединяем лучи, прямой линией перпендикулярной, одному из лучей. В конечном итоге получаем фигуру, угол которой равняется заданному в задаче углу. В процессе вычисления, также задаются длины сторон. Поэтому трудней с построением не должно возникнуть.  

Вычисление при помощи длин сторон треугольника происходит следующим образом:

• обозначается катет;
• сторона возле угла;
• сторона напротив угла с прямым значением.

Функции могут выражаться по-разному в отношении сторон. Например, нам нужно определим значение sin 45°. Поделим имеющуюся длину значения противолежащего катета на значение длины гипотенузы. Если заданные значения длины равны 4 и 6 соответственно. Тогда, составим следующее выражение и получим sin[45^{circ}=frac{4}{6}=0,67]

Для определения значений основных функций в математике, необходимо заучить наизусть определение основных понятий, связанный с данной темой.  

В процессе решения задачи, это придется применять постоянно.

Значения косеканса и секанса определяются в обратном порядке. Для этого необходимо знать какие стороны нужно делить для определения вышеперечисленных функций.

Косеканс находится [operatorname{cosec}=frac{1}{sin }] следовательно, нужно разделить гипотенузу на противолежащий катет. Секанс, наоборот к прилежащему катету [mathrm{sec}=frac{1}{cos }].

Например, для определения cosec 40°, если катет равен 5, а гипотенуза соответственно равна 8.  Нужно разделить 5/8 и получим ответ cosec 40° = 0,63.

При вычислениях всегда рекомендуется исключать значение под корнем в знаменателе, это наиболее облегчает процесс расчета.

Рассмотренная тема преобразования и расчета функций, является довольно громоздкой, на первый взгляд. Применяя для решения огромные формулы и функции можно растеряться и не сразу сообразить, как производить их расчет. Однако досконально рассмотрев и изучив каждый раздел, становится понятно, что все достаточно просто и громоздкие таблицы освоить можно быстро и легко.

Вычисление значений углов по окружности

Самый простой и понятный способ для вычисления углов и радиан.

Для этого вычерчиваем окружность с радиусом R. Он в свою очередь, равен единичному значению. Центр окружности равен центру системы координат. От положительной оси считаем углы, по часовой стрелке, выполняющей движении против хода. Точка, имеющая координаты 1;0 равняется угловому значению ноль. если координаты -1;0, тогда угол равен 90 градусов. Точка, находящаяся на окружности, соответствует углу от нуля до 360 градусов. Так как окружность является единичной, значения углов для синуса и косинуса находятся в пределах от -1 до 1:

Определяются знаки функций, также по окружности. если угловое значение более 360 градусов, делается два оборота по часовой стрелке и плюсуется еще дополнительно 12 минут.

[ cos (alpha+360 cdot n)=sin alpha ;] [ sin (alpha+360 cdot n)=sin alpha / ]

Значения тангенсов и котангенсов, можно вычислить аналогично, по окружности. Однако легче посчитать по формулам, уже известных данных.

[ operatorname{tg} alpha=frac{sin alpha}{cos alpha} ; operatorname{ctg} alpha=frac{cos alpha}{sin alpha} ]