Как найти нод дроби 5 класс

Наибольший общий делитель (сокращённо НОД) необходим для того, чтобы работать с обыкновенными дробями. Также он тесно связан с другим математическим понятием — наименьшим общим кратным. На этом уроке мы разберём способы нахождения НОД и рассмотрим признаки деления на разные числа.

Знакомство с наибольшим общим делителем

Наибольший общий делитель заданных чисел (НОД) – это наибольшее число, на которое все заданные числа делятся без остатка

При вычислениях нам помогут признаки деления на число. Они есть у многих чисел. Нам понадобятся вот эти четыре, если их запомнить, они станут нашими помощниками.

Признаки деления по последнему числу:

Число делится на $2$, если оно чётное, т.е. заканчивается на чётную цифру: $0, 2, 4, 6, 8$

Число делится на $5$, если его последняя цифра равна $0$ или $5$

Кроме того, существуют признаки деления и для других чисел, некоторые из них очень интересны:

Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.
Например, $21 (2+1=3)$ и $69 (6+9=15)$

Число делится на $ 7 $, если утроенное число десятков плюс число единиц делится на $7$.
Например, число $154 (15cdot 3 + 4 = 49) $

Также нам нужно, чтобы число делилось без остатка. Если в итоге деления получается остаток, то такое число не является множителем данного числа.

Первый способ нахождения НОД

Существует три способа нахождения НОД. Эти способы имеют очень много общего между собой, но мы разберём их все.

Первый способ заключается в нахождении всех возможных делителей для числа.

Проще рассматривать сразу на примерах. Например, нам нужно сократить дробь $frac{12}{40}$.

Делители числа $12$: $2, 3, 4, 6, 12$

Мы не берём $1$, так как единица для нас бесполезна в качестве делителя, потому что даёт в результате то же число. Также мы отбросили $5, 7, 8, 9, 10, 11$ ( потому что число $12$ нельзя поделить на эти числа без остатка).

Делители числа $40$: $2, 4, 5, 8, 10, 20$

Теперь запишем все наши делители. Вот что получилось:

Теперь нам сразу видно, какие числа общие. Это $2$ и $4$. Так как $4$ больше, оно и является наибольшим общим делителем.

Второй способ нахождения НОД

Второй и третий способы базируются на том, что мы раскладываем числа не на делители, а на простые множители.

Для нахождения НОД нескольких чисел данные числа нужно разложить на множители и определить общие для обоих чисел. Если такой множитель один, он и будет являться наибольшим общим делителем. Если общих множителей несколько, то наибольшим общим делителем будет являться произведение этих множителей

Простой множитель — это простое число.

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на два натуральных числа — единицу и само себя.

И так как для нахождения НОД нам нужны только простые множители, нашими делителями чаще всего будут только $ 2, 3, 5, 7 $.

Мы не будем делить на $4$ , потому что $4$ – это $2 cdot 2$, на $6$, потому что это $3cdot 2$. $8$ и $9$ также можно разложить на множители. Значит, выбор вариантов, на которые можно разделить число, невелик.

Сначала пробуем поделить число на $2$, затем на $3$, на $5$ и так далее.

При нахождении НОД этим способом мы будем записывать делители и промежуточные результаты деления в столбик. Так они остаются у нас на виду, и мы не запутаемся. Сначала пишем наше число, потом ставим вертикальную черту и напротив числа пишем первый делитель – то есть число, на которое собираемся разделить наше число.

Итак. Справа у нас $12$, слева – простой делитель, например, $2$.

$$12:2=6$$

Записываем частное под цифрой «12». Почему там? Потому что теперь мы будем делить уже «6», и так, пока будет возможно делить без остатка.

Получается вот такая запись:

Частные, которые получились слева, нам уже не нужны. Нам нужны числа справа, так как именно там у нас записаны делители. Но постойте, нам же были нужны множители?

Это и есть множители. Мы разобрали число на них, как конструктор разбирают на детальки, и из них же можем сложить. Давайте проверим:

$$2 cdot 3 cdot 2=12$$

Теперь таким же образом «разберём» число $40$.

$40$ делится без остатка также на $4, 8, 10$. Почему мы не можем использовать эти множители?

Показать ответ

Скрыть

Теперь самое интересное. Находим среди множителей обоих чисел одинаковые числа и перемножаем их между собой. То, что получится, и будет НОД – наибольший общий делитель для обоих чисел.

Второй способ наиболее распространён, потому что позволяет удобно записывать промежуточные результаты деления и делители. При записи первым способом мы записываем только делители и легко «потерять» какие-то из них, особенно если их много и они повторяются.

Третий способ нахождения НОД

Третий способ похож на второй. Мы также пишем числа в столбик, но затем не выделяем общие, а берём множители одного числа и вычёркиваем из них те, которые не встречаются во втором числе.

Этот способ не сильно отличается от второго (да и от первого тоже): мы точно таким же образом ищем общие множители, только не выделяем общие, а вычёркиваем те, которые общими не являются.

Записывают наибольший общий делитель так:

НОД ($12$ и $40$) $= 4$

Теперь, когда мы знаем НОД, мы можем легко сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД. У нас получится так:

$$frac{12}{40} = frac{12:4}{40:4}=frac{3}{10}$$

Также мы можем использовать НОД для нахождения НОК (наименьшего общего кратного).

Как найти НОД

• Нахождение путём разложения на множители
• Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Обыкновенные дроби
5. Наибольший общий делитель

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 166,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 240,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 241,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 263,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 151,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 484,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1473,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 8,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1

Задание 2,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

7 класс

Номер 351,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Давайте вспомним, что означают эти буквы: аббревиатура «НОД» расшифровывается как «Наибольший Общий Делитель».

Делитель – это число, на которое другое число делится без остатка.

Обычно необходимо найти НОД для двух чисел. Иногда эту задачу усложняют и ищут НОД для трех, четырех и более чисел.

Например:

Два числа: 9 и 12

Три числа: 9, 12 и 24

Дадим определение:

Наибольший Общий Делитель (НОД) – это такое наибольшее число, на которое исследуемые числа делятся без остатка.

Найдем НОД для чисел 9 и 12

Запишем все делители этих чисел:

12 – ( 1, 2, 3, 4, 6, 12)

9 – ( 1, 3, 9)

Сравним оба ряда. В обоих рядах наибольшим одинаковым числом является 3. Это число и будет НОД для этой пары чисел. Оба этих числа делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9 : 3 = 3

Таким образом, НОД (12 и 9) = 3

Зачем нужен НОД?

Например, чтобы упростить большую дробь.

Вот числа 9 и 12. Наибольший Общий Делитель для них будет число 3.

Если у нас будет дробь 9/12, то её можно упростить, разделив числитель и знаменатель на НОД, т.е. на 3, получим:

9/12 = (9 ∶ 3)/(12 ∶ 3) = 3/4

Согласитесь, что с дробью 3/4 гораздо удобнее проводить дальнейшие вычисления, чем с 9/12 .

Чтобы найти НОД двух чисел, существует несколько способов.

Один мы рассмотрели выше, когда нашли НОД для пары чисел 12 и 9.

Рассмотрим теперь другой, самый наглядный способ. Он подходит для нахождения НОД любых чисел (и маленьких, и больших).

Например, найти НОД для чисел 24 и 18.

Решение:

Разложим эти два числа на простые множители:

24 I 2             18 I 2

12 I 2               9 I 3

  6 I 2               3 I 3

  3 I 3               1 I

  1 I

Итак, получаем разложения:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

Теперь ищем в этих разложениях одинаковые пары чисел, подчеркнем эти пары:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

Получили две пары: (2 и 2) и (3 и 3). Остальные числа в рядах не имеют совпадений.

Получаем, что общими множителями чисел 24 и 18 являются числа 2 и 3.

Чтобы получить НОД этих чисел, мы перемножим эти числа и получим:

2 · 3 = 6

Получаем: НОД (24 и 18) = 6

Именно на это число мы можем разделить 24 и 18 без остатка:

24 : 6 = 4

18 : 6 = 3

Это число является их делителем. И именно это число будет их наибольшим делителем, т.е. НОДом.

Теперь возьмем числа побольше.

Например,

Найти НОД для чисел 72 и 128.

Решение:

Разложим эти два числа на простые множители:

128 I 2                 72 I 2

  64 I 2                 36 I 2

  32 I 2                 18 I 2

  16 I 2                   9 I 3

    8 I 2                   3 I 3

    4 I 2                   1 I

    2 I 2

    1 I

Итак, получаем разложения:

128 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

  72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Теперь ищем в этих разложениях одинаковые пары чисел, выделим эти пары подчеркиванием:

128 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

  72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Получили три пары: (2 и 2), (2 и 2) и (2 и 2). Остальные числа в рядах не имеют совпадений.

Получаем, что общими множителями чисел 128 и 72 являются числа 2, 2 и 2.

Чтобы получить НОД этих чисел, мы перемножим эти числа и получим:

2 · 2 · 2 = 8

Получаем: НОД (128 и 72) = 8

Именно на это число делятся исследуемые числа без остатка:

128 : 8 = 16

72 : 8 = 9

И именно это число будет их наибольшим делителем, т.е. НОДом.

Немного усложним задачу и найдем НОД для трех чисел.

Например,

Найти НОД для чисел 36, 24 и 18.

Решение:

Разложим эти три числа на простые множители:

24 I 2             18 I 2            36 I 2

12 I 2               9 I 3            18 I 2

  6 I 2               3 I 3              9 I 3

  3 I 3               1 I                 3 I 3

  1 I                                       1 I

Итак, получаем разложения:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

Теперь ищем в этих разложениях одинаковые тройки чисел, выделим эти тройки подчеркиванием:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

Получили две тройки: (2, 2 и 2) и (3, 3 и 3). Остальные числа в рядах не имеют совпадений.

Получаем, что общими множителями чисел 36, 24 и 18 являются числа 2 и 3.

Чтобы получить НОД этих чисел, мы перемножим эти числа и получим:

2 · 3 = 6

Получаем: НОД (36, 24 и 18) = 6

Именно на это число мы можем разделить 36, 24 и 18 без остатка:

24 : 6 = 4

18 : 6 = 3

36 : 6 = 6

Это число является их делителем. И именно это число будет их наибольшим делителем, т.е. НОДом.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.