Как найти нод двух чисел 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 43

Наибольший общий делитель (НОД)

Перечень рассматриваемых вопросов:

– делители числа;

– кратные числа;

– разложение на простые множители;

– НОД.

Тезаурус

Простое число – это натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. ­– 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Начнём наше занятие словами известной поговорки: «Учить – ум точить». Сегодня мы будем оттачивать умение находить общие делители сразу нескольких чисел.

Итак, рассмотрим два числа: 12 и 15. Выпишем все делители этих чисел. 12 – делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.

15 – делители 1, 3, 5, 15.

Найдём общие делители этих чисел – это числа 1 и 3. Введём новое понятие – «наибольший общий делитель», который кратко обозначают НОД.

У этих чисел наибольший общий делитель равен 3.

Записывается – НОД (12; 15) = 3. НОД чисел двенадцать и пятнадцать равен трём.

Правило нахождения НОД:

1. разложим числа на простые множители;
2. подчеркнём одинаковые множители этих чисел;
3. перемножим общие множители одного из чисел, это и будет НОД заданных чисел.

Найдём НОД чисел 15 и 16.

НОД (15; 16) = ?

Разложим числа на простые множители.

Видно, что из всех множителей – общий лишь 1.

Такие числа, которые не имеют общих простых делителей, называются взаимно простыми числами. Любые два простых числа или два соседних натуральных числа будут взаимно простыми.

Найдём НОД (10; 100).

Разложим числа на простые множители.

Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.

Умножим их и получим наибольший общий делитель: НОД (10; 100) = 2 · 5 = 10.

Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10 и НОД тоже равен 10. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОД этих чисел равен меньшему из них.

Найдём наибольший общий делитель трёх чисел.

НОД (42; 70; 98) = ?

Разложим числа на простые множители:

Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 7.

Умножим их и получим наибольший общий делитель: НОД (42; 70; 98) = 2 · 7 = 14

Некоторые задачи можно решить при помощи НОД проще, чем каким-либо другим способом.

Например, решим такую задачу.

Для участия в соревнованиях нужно разделить 35 детей в возрасте 14 лет и 21 ребёнка в возрасте 12 лет на команды так, чтобы они состояли только из одновозрастных спортсменов. Какое наибольшее число участников одного возраста может быть в команде?

Решение: чтобы решить эту задачу нужно найти НОД (21; 35).

Разложим числа на простые множители:

Следовательно, НОД (21; 35) = 7 – это и будет наибольшим числом участников в команде.

Ответ: 7 человек.

Тренировочные задания

№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОД (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОД = 7?

Варианты ответов: 1, 2, 3.

Решение: разложим на множители оба числа, при этом вместо пропуска подставим по порядку все цифры. А далее найдём подходящий НОД этих чисел, равный 7. Получим следующее разложение:

Из всех разложений на множители под НОД (7; 2) = 7 подходит только число 21.

Ответ: искомая цифра – 1.

№ 2. В продуктовых наборах должно быть одинаковое количество груш и апельсинов. Всего приготовили 120 груш и 126 апельсинов. В какое наибольшее количество наборов можно разложить их поровну?

Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОД заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наибольшим количеством наборов при равном разложении фруктов.

НОД (120; 126) = 2 · 3 = 6

Ответ: 6 наборов.

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

1. разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
2. выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
3. найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

Как найти НОД

• Нахождение путём разложения на множители
• Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

НОК и НОД

Рассмотрим выражение:

(45:9)

Можем сказать, что 45 – делимое, а 9 – делитель данного выражения.

Мы знаем, что 45 делится нацело на число 9. В таком случае, если мы захотим описать, чем эти числа являются друг другу, то мы скажем, что

9 – делитель числа 45

45 – кратно числу 9

Иногда при решении задач нужно находить общие кратные или общие делители двух чисел.

Наименьший делитель двух чисел – всегда единица. Такой делитель нет смысла искать, поэтому ищут наибольший общий делитель.

А кратных наоборот – бесконечно много, невозможно искать наибольшее из них, поэтому ищут, наименьшее общее кратное.

НОД:

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел – это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел можно поделить без остатка.

Пример №1:

Рассмотрим числа 30 и 45.

1. Найдем все их существующие делители, т.е. числа, на которые каждое из них поделится нацело:

1. Мы видим, что у этих двух чисел есть несколько общих делителей. Наибольший из них – 15 – является самым большим. Это и есть НОД.

Значит и число 45 и число 30 можно нацело поделить на 15. Записывают это так:

(НОД (30;45) = 15)

Ответ: 15.

Пример №2:

Найдем (НОД (20;36):)

1. Выпишем все делители этих чисел.

Так же делители можно сразу записывать парой. Если 20 нацело делится на 2, то

(20 : 2 = 10)

Значит 10 – тоже делитель числа 20. Запишем делители 2 и 10 парой:

1. Выделим все общие делители и найдем наибольший из них. В данном случае

(НОД(20;35) = 4.)

Ответ: 4.

НОК:

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее число, которое можно поделить на каждое из этих чисел без остатка.

Пример №3:

Найдем (НОК (10;12).)

1. Возьмем наименьшее число. В данном случае – 10.

Будем умножать его на натуральные числа по порядку, пока не получим число, кратное 12, то есть такое, на которое нацело поделится и 10, и 12. Оно и будет НОК этих двух чисел. Такой метод называется методом подбора.

(10 bullet 1 = 10; 10 НЕ кратно 12)

(10 bullet 2 = 20; 20 НЕ кратно 12)

(10 bullet 3 = 30; 30 НЕ кратно 12)

(10 bullet 4 = 40; 40 НЕ кратно 12)

(10 bullet 5 = 50; 50 НЕ кратно 12)

(10 bullet 6 = 60; 60 кратно 12)

1. Первое число, которое будет кратно обоим числам и является их наименьшим общим кратным.

Общих кратный, в отличии от делителей, бесконечно много, поэтому обычно выбирают наименьший их них.

Ответ: 60.

Также можно находить НОК через разложение на множители:

Пример №4:

Найдём (НОК (6;8):)

1. Разложим числа 6 и 8 на простейшие множители, т.е. представим каждое число как произведения простых чисел. Множители большего числа запишем сверху:

8: (1 bullet 2 bullet 2 bullet 2)

6: (1 bullet 2 bullet 3)

1. Видим, что множители 1 и 2 повторяются у обоих чисел, поэтому для меньшего числа их уберем. Останется:

1. Перемножим все оставшиеся числа. Их произведение и будет НОК:

(НОК (6; = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 2 bullet 3 = 24)

Ответ: 24.

Пример №5:

Найдем (НОК (10;12)) разложением на множители:

1. Разложим оба числа на простые множители. Сверху запишем большее число:

12: 1, 2, 2, 3

10: 1, 2, 5

1. Для меньшего числа зачеркнем те множители, которые уже есть у большего числа:

1. Перемножим все оставшиеся числа:

(НОК (10; 12) = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 3 bullet 5 = 60)

Наш ответ совпал с ответом, где мы использовали метод подбора.

Ответ: 60.

ВЗАИМОСВЯЗЬ НОК И НОД:

Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению самих этих чисел:

(НОК(a; b) bullet НОД(a; b) = a bullet b)

Докажем эту формулу на примере.

Пример №6:

Рассмотрим пару чисел 24 и 60.

1. Найдем их НОД:

(НОД (24;60) = 12)

1. Найдем их НОК:

(НОК (24; 60) = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 2 bullet 3 bullet 5 = 120)

1. Рассмотрим поближе НОК. Чтобы его получить, мы переменожили все простые множители чисел 60 и 24 за исключением множителей 1, 2, 2, 3. Найдем отдельно их произведение:

(1 bullet 2 bullet 2 bullet 3 = 12)

Если перемножить все простые множители числе 60 и 24 мы получим просто их произведение, при этом оно будет состоять из НОК и числа 12, которое в свою очередь равно НОД:

ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 377

КИРОВСКОГО
РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

Тема: «НОД и
НОК.»

Памятка
по математике

Для
учеников 5 класса

Автор:
Кудрявцева Лилия Викторовна

НОД и НОК

9

1, 3, 9                                           18, 27, 36, 45 …

НОД	НОК
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b — это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.	Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из этих чисел.
I способ нахождения НОД методом перебора делителей 1. Найти делители каждого числа; 2. Найти общие делители; 3. Выбрать наибольший общий делитель. Найти НОД 10 и 15. Д (10) = {1, 2, 5, 10} Д (15) = {1, 3, 5, 15} Д (10, 15) = {1, 5} НОД (10; 15) = 5	I способ нахождения НОК методом перебора кратных 1. Берем большее из чисел 2. Находим числа кратные выбранному (умножая выбранное число последовательно на 1, 2, 3, 4, 5 , и тд) 3. Каждое полученное кратное проверяем делится ли оно на оставшиеся число; первое такое кратное и есть НОК. Найти НОК 18 и 24 24•1=24  (не делится на 18) 24•2=48   (не делится на 18) 24•3=72  —  делится на 18 НОК (24, 18)=72
II способ нахождения НОД через разложения на простые множители 1. Разложить числа на простые множители; 2. Подчеркнуть одинаковые простые множители в  обоих числах; 3. Найти произведение одинаковых простых множителей и записать ответ. Найти НОД  48 и 36. НОД (48; 36) = 2 • 2 • 3 = 12	II способ нахождения НОК через разложения на простые множители 1. Разложить на простые множители каждое число; 2. Выписать все множители из разложения одного любого числа; 3. Добавить к ним недостающие множители из разложения другого числа; 4. Найти произведение получившихся множителей. Найти НОК  24 и 60. 60 = 2 • 2 • 3 • 5   24 = 2 • 2 • 2 • 3                                                                 60 НОК (24; 60) = 2 • 2 • 3 • 5 • 2 =120
Примечание 1: Если a и b взаимно простые* числа, то НОД(a,b)=1 Например:     НОД(4,9)=1	Примечание 1: Если a и b взаимно простые* числа, то НОК(a,b)=a•b Например:     НОК(4, 9)=4•9=36
Примечание 2:  Если a делится на b, то НОД(a,b)=b Например: НОД(120, 60)=60	Примечание 2:  Если a делится на b, то НОК(a,b)=a Например: НОК(120, 60)=120

*Взаимно
простые числа – это те, у которых нет общих
простых делителей. (Например: 4 и 9)

Примечание 1:  Простые числа (1,2,3,5,7,11,13,17 и т.д.) —
взаимно просты

Примечание 2:  Два соседних
натуральных числа (например:  24 и 25) —  взаимно просты