Как найти нод несколько натуральных чисел - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти НОД

Нахождение путём разложения на множители
Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Решение: Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Решение: Раскладываем 15 и 28 на простые множители:

Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа — 48:

48 : 4 = 12

48 делится на 4 без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.

Источник

Онлайн калькулятор НОД и НОК двух чисел

Наибольший общий делитель (НОД)

Определение НОД

НОД двух или более целых чисел — это наибольшее целое число, которое является делителем каждого из этих чисел.

Если натуральное число a делится на натуральное число bb, то bb называют делителем числа aa, а число aa называют кратным числа bb. aa и bb являются натуральными числами. Число gg называют общим делителем и для aa и для bb. Множество общих делителей чисел aa и bb конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем aa. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел aa и bb и для его обозначения используют записи: НОД (a;b)(a;b) или D(a;b)(a;b)

Пример
Наибольший общий делитель (НОД) чисел 1818 и 2424 — это 66.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Существует несколько способов нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух или более целых чисел:

Алгоритм Евклида: НОД(a,b)=(a, b) = НОД (b,a(b, a mod b)b), где «mod» — это операция взятия остатка от деления большего числа на меньшее. Этот алгоритм можно продолжать до тех пор, пока одно из чисел не станет равно нулю. В этом случае НОД равен ненулевому числу.

Пример
НОД(18,24)=НОД(24,18)=НОД(18,6)=НОД(6,0)=6НОД(18, 24) = НОД(24, 18) = НОД(18, 6) = НОД(6, 0) = 6

Разложение на простые множители: Найти все простые множители каждого из чисел и их степени. НОД будет равен произведению всех общих простых множителей в минимальной степени.

Пример
НОД(60,84)=22⋅31=12(60, 84) = 2^{2} cdot 3^{1} = 12, так как общие простые множители −2- 2 и 33, их минимальные степени −2- 2 и 11 соответственно.

Таблица делителей: Составить таблицы всех делителей каждого числа и найти наибольшее общее число, которое является делителем обоих чисел. Этот метод не рекомендуется для больших чисел, так как он требует много времени и усилий.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение НОК

НОК двух или более целых чисел — это наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка. Например для чисел 2525 и 5050 общими кратными будут числа 50,100,150,20050,100,150,200 и т.д Наименьшее из общих кратных будет называться НОК и обозначается НОК(a;b)(a;b) или K(a;b).(a;b).

Пример
Наименьшее общее кратное чисел 88 и 1212 – это 2424. Т.е. НОК (8,12)=24(8, 12) = 24.

Как найти наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

Разложить числа на простые множители;
Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;
Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным.

Пример
Рассмотрим два числа: 88 и 1212. Найдем их НОКНОК:

Разложим 88 и 1212 на простые множители: 8=23,12=22⋅38 = 2^3, 12 = 2^2 cdot 3.

Выпишем все простые множители: 23⋅32^3 cdot 3.

Для каждого простого множителя выберем наибольшую кратность: 232^3 и 33.

Умножим выбранные простые множители между собой: 23⋅3=242^3 cdot 3 = 24.

Таким образом, НОК чисел 88 и 1212 равен 2424.

Свойства НОД и НОК

Любое общее кратное чисел aa и bb делится на K(a;b)(a;b);

Если a⋮bavdots b , то К(a;b)=a(a;b)=a;

Если К(a;b)=k(a;b)=k и mm-натуральное число, то К(am;bm)=km(am;bm)=km. Если dd-общий делитель для aa и bb,то К(ad;bdfrac{a}{d};frac{b}{d})= kd frac{k}{d}

Если a⋮cavdots c и b⋮cbvdots c ,то abcfrac{ab}{c} — общее кратное чисел aa и bb;

Для любых натуральных чисел aa и bb выполняется равенство D(a;b)⋅К(a;b)=abD(a;b)cdot К(a;b)=ab;

Любой общий делитель чисел aa и bb является делителем числа D(a;b)D(a;b).

Источник

В данной статье мы рассмотрим определение наибольшего общего делителя, научимся его находить для двух или нескольких чисел, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.

Определение наибольшего общего делителя
Нахождение НОД
- Для двух (или небольших) чисел
- Для нескольких (или больших) чисел

Определение наибольшего общего делителя

Делитель натурального числа a – это такое натуральное число b, которое делит a нацело (без остатка). Обозначается буквой Д. Например Д(6) означает “делитель числа 6”.

Если у числа больше двух делителей, его называют составным.

Примеры делителей:

Число 12 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 4, 6.
Число 15 имеет следующие делители: 1, 3, 5.

В отличие от кратных, количество делителей числа ограничено.

Общий делитель двух натуральных чисел – это такое число, на которое оба этих числа делятся без остатка.

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел – наибольшее число из общих делителей данных чисел. Обозначается как НОД.

Например, НОД (12, 24) – это наибольший общий делитель чисел 12 и 24.

Нахождение НОД

Чтобы найти наибольший общий делитель, можно применить один из способов ниже.

Для двух (или небольших) чисел

Записываем в ряд все делители для каждого числа (по возрастанию).
Находим наибольшее значение, встречающееся в обоих рядах. Это и есть НОД.

Пример
Найдем наибольший делитель чисел 18 и 30.

Решение
Д(18): 1, 2, 3, 6, 9.
Д(30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15.

Таким образом, НОД (18, 30) = 6.

Для нескольких (или больших) чисел

Этот метод обычно применяется, если приходится иметь дело с большим числами, или нужно найти НОД для нескольких чисел.

Для начала раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число без остатка.
Отмечаем одинаковые простые множители, встречающиеся в обоих раскладках.
Произведение найденных простых множителей и есть НОД.

Пример
Найдем НОД (16, 24, 40).

Решение
Разложим эти числа на простые множители.

Для всех трех чисел одинаковыми являются три множителя – это три двойки.

Следовательно, НОД (16, 24, 40) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Обыкновенные дроби
Наибольший общий делитель

Число 36 имеет такие делители: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Число 126 имеет такие делители: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.

Синим цветом мы выделили числа 1, 2, 6, 9, 18, которые являются общими делителями чисел 36 и 126. Наибольшим из данных множителей является 18.

Наибольший общий делитель чисел и обозначают так: НОД(; ), то есть мы можем записать НОД(36; 126) = 18.

Предварительно разложив числа на простые множители, мы упростим нахождение наибольшего общего делителя многозначных чисел.

Найдем НОД(240; 165).

240 = 222235 165 = 3511.

Синим мы выделили все общие простые делители рассматриваемых чисел, это 3 и 5. Значит, оба данных числа делятся и на произведение данных чисел, то есть на 35 = 15, оно и будет являться наибольшим общим делителем чисел 240 и 165, то есть НОД(240; 165) = 35 = 15.

Найдем НОД(2520; 4620).

2 520 = 2223357 4 620 = 2235711.

Рассмотрев разложения данных чисел, мы можем заметить, что некоторые простые множители повторяются, например, число 2 в разложении числа 2520 повторяется трижды, а в разложении числа 4620 — дважды. Заметим, что число 4 = 22 является делителем и числа 2520, и числа 4620, а число 8 = 222, является делителем только числа 2520. Так же число 3 является множителем рассматриваемых чисел, а число 9 = 33 является только делителем числа 2520. Кроме чисел 4 и 3, общими делителями данных чисел являются числа 5 и 7.

Мы получили, что числа 2520 и 4620 делятся без остатка на каждое из чисел 4, 3, 5, 7, на их произведение 4357 рассматриваемые числа тоже делятся без остатка, то есть мы получили, что НОД(2520; 4620) = 4357 = 420.

Таким образом, можно найти НОД, разложив числа на простые множители и выписав те, что входят в разложение обоих чисел (или можно просто зачеркнуть те множители, которые есть только в разложении одного числа, например, в разложении числа 2520 нам надо вычеркнуть одну 2 и одну 3, а в разложении числа 4620 число 11).

Таким же образом можно найти НОД трех и более чисел.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

разложить их на простые множители;
из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
найти произведение оставшихся множителей.

Заметим, что если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является НОД данных чисел.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Нам известно, что разложение на простые множители, мы можем записать в виде произведения степеней, то есть в последнем примере мы можем записать, что:

2 520 = 2³3²5¹7¹

4 620 = 2²3¹5¹7¹11¹.

Тогда НОД мы можем найти по следующему правилу:

Определить степени, основания которых являются общими простыми делителями данных чисел.
Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с меньшим показателем.
Перемножить выбранные степени. Полученное произведение является искомым наибольшим общим делителем.

Найдем НОД(2520; 4620):

Выписываем общие основания: 2, 3, 5, 7.
Выбираем наименьшие показатели данных степеней: 2², 3¹, 5¹, 7¹.
Находим произведение данных степеней, то есть искомый наибольший общий делитель: НОД(2520; 4620) = 2²3¹5¹7¹ = 420.

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 147,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 171,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 242,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 150,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 153,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 231,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 240,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 351,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник

Правило
нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных
чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел,
вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произведение оставшихся множителей.

Пример. Найдем
НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те,
которые не входят в разложение числа 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Остаются множители 2, 2 и 3.

3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и
является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Правило
нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее
кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые
множители;

2) выписать множители, входящие в
разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие
множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся
множителей.

Пример. Найдем
НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Выпишем множители, входящие в
разложение числа 75: 3, 5, 5.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 ·
…

3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа
60, т.е. 2, 2.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Найдем произведение получившихся множителей

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
= 300.

Правило
нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных
чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

3) найти произведение оставшихся множителей.

Пример. Найдем
НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те,
которые не входят в разложение числа 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Остаются множители 2, 2 и 3.

3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и
является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Правило нахождения наименьшего
общего кратного (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее
кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые
множители;

2) выписать множители, входящие в разложение
одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие
множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся
множителей.

Пример. Найдем
НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Выпишем множители, входящие в
разложение числа 75: 3, 5, 5.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 ·
…

3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа
60, т.е. 2, 2.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Найдем произведение получившихся множителей

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
= 300.

Источник