Как найти нок двух простых чисел

Для того, чтобы находить общий знаменатель
при
сложении
и
вычитании дробей с разными
знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу «a» — это число, которое
само делится на число «a» без остатка.

Числа кратные 8
(то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка):
это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей
этого же числа. Делителей —
конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое
   для обоих чисел.
2. Кратное числа «a»
   обозначаем большой буквой «К».

   К (a) = {…, …}

Пример. Найти НОК 6 и 8.

К (6) = {12, 18, 24, 30, …}

К (8) = {8, 16, 24, 32, …}

НОК (6, = 24

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

1. Разложить данные числа на простые множители.
   Подробнее правила разложения на
   простые множители вы можете прочитать в теме
   как найти наибольший общий делитель (НОД).
   
2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение
   самого большого из чисел, а под ним —
   разложение остальных чисел.

   Запомните!
   

   Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

   60 = 2 · 2 · 3 · 5

   24 = 2 · 2 · 2 · 3

3. Подчеркнуть в разложении
   меньшего числа (меньших чисел) множители,
   которые не вошли в разложение бóльшего числа
   (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
   
   НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
4. Полученное произведение записать в ответ.
   
   Ответ: НОК (24, 60) = 120

Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).

24 = 2 · 2 · 2 · 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в
разложение 24
(самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из
разложения числа 16.

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

   Например, НОК (60, 15) = 60

2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее
   кратное равно произведению этих чисел.

   Пример.

   НОК (8, 9) = 72

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Математика

5 класс

Урок № 44

Наименьшее общее кратное (НОК)

Перечень рассматриваемых вопросов:

– делители числа;

– кратные числа;

– признаки делимости;

– разложение на простые множители;

– НОК.

Тезаурус

Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.

Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа, большие 1.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее мы узнали, что такое кратное, ввели понятие делителя, научились находить наибольший общий делитель, а можно ли каким-либо способом найти общее кратное нескольких чисел? Оказывается, можно, этим сегодня мы и будем заниматься. Но находить не просто общее кратное нескольких чисел, а их наименьшее общее кратное – НОК.

Итак, для начала вспомним, что называется кратным. Это число, делящееся на данное натуральное число без остатка.

Теперь найдём, например, общие кратные чисел 12 и 15. Для этого выпишем все кратные чисел 12 и 15.

12 – его кратные 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …

15 – его кратные 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …

Из представленных чисел общие кратные – это числа 60 и 120. Меньшее из них – 60. Это и есть наименьшее общее кратное чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.

Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел можно использовать несколько способов. Один из них мы рассмотрели на примере нахождения НОК 12 и 15. Этот способ заключается в том, что выписываются все кратные двух чисел и затем находится наименьший общий из них.

Узнаем ещё одно правило нахождения НОК.

Во-первых, разложим числа на простые множители. Далее подчеркнём одинаковые множители этих чисел. Затем перемножим общие множители одного из чисел и добавим произведение всех остальных множителей от каждого числа. Это и будет НОК заданных чисел.

Найдём НОК (15; 16). Разложим числа на простые множители:

Видно, что из всех множителей общий лишь единица, значит, это взаимно простые числа.

НОК взаимно простых чисел – это произведение всех их множителей или произведение этих чисел.

В данном случае НОК равен 240.

Т. е. НОК любых двух простых чисел или двух соседних натуральных чисел будет равен произведению этих чисел.

Найдём НОК (10; 100). Разложим числа на простые множители:

Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.

Умножим их, а результат умножим ещё на оставшиеся простые множители от чисел 100 и 10.

НОК (10; 100) = 2 · 5 · 2 · 5 = 100

Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10, и НОК тоже равен 100. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.

Некоторые задачи можно решить при помощи НОК проще, чем каким-либо другим способом. Например, рассмотрим такую задачу.

Девочка решила купить несколько плиток шоколада по 38 руб. , но у неё только 5-рублёвые монеты, а в магазине нет сдачи. Какое наименьшее количество плиток шоколада она сможет купить?

Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК (5;38).

Разложим числа на множители:

Мы видим, что НОК (5; 38) = 5 · 38 = 190 – это будет сумма покупки за шоколад.

Теперь найдём, сколько девочка купит плиток.

Для этого сумму покупки разделим на стоимость одной плитки шоколада.

190 : 38 руб. = 5 – наименьшее количество плиток шоколада, которые сможет купить девочка.

Ответ: 5 плиток.

Тренировочные задания

№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОК (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОК = 21?

Варианты ответов: 1; 2; 3.

Решение: для решения этой задачи, надо разложить на множители оба числа, при этом вместо пропуска нужно подставить по порядку все цифры. А далее найти подходящий НОК этих чисел, равный 21.

Из всех разложений на множители под НОК (7; 2_) = 21 подходит только число 21.

НОК (7; 21) =21

НОК (7; 22) =154

НОК (7; 23) =161

Ответ: искомая цифра – 1.

№ 2. Какой наименьшей длины должен быть рулон ткани, чтобы от него без остатка можно было отрезать куски по 3 м и 7 м?

Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наименьшей длиной рулона ткани.

НОД (3; 7) = 7 · 3 = 21 м

Ответ: 21 м.

Наименьшее общее кратное

• Общее кратное
• Наименьшее общее кратное
• Как найти НОК
  • С помощью разложения на простые множители
  • Нахождение НОК через НОД
• Калькулятор НОК

Общее кратное

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел  12  и  20  кратными будут числа:  60,  120,  180,  240  и т. д. Все они являются общими кратными для чисел  12  и  20.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел  3,  4  и  9  является число  36,  никакое другое число меньше  36  не делится одновременно на  3,  4  и  9  без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так:

НОК (a, b, …) = x.

Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

1. Находят НОК любых двух из данных чисел.
2. Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
3. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Калькулятор НОК

Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК.

Вообще что такое НОК?

НОК(наименьшее общее кратное) двух целых чисел a и b среди которых есть наименьшее число, которое делится на эти два числа без остатка.

Ну к примеру всегда обозначали так НОК(a,b, …).

Обращаем внимание на , то чем отличаются НОК и НОД(наименьший общий делитель).

Например: возьмем число 10

Рассмотрим ряд чисел(20;30;40;50;100;…), которые без остатка делятся на 10 будут .

А если взять такой ряд(10;5;2;1) — это будут наименьшие делители числа 10.

Если я правильно понял, что НОК>НОД или НОК=НОД.

Примеры: Найти НОК(15;20)=60, так как 60/15=4 и 60/20=3 все делится без остатка.

Найти НОК(1;10)=10, так как 10/1=10 и 10/1=10 все делится без остатка.

НОК используется при сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Наименьшее о́бщее кратное (HOK) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба без остатка, то есть кратно им обоим. К примеру, для чисел 6 и 4, наименьшим общим кратным будет 12.

Как найти НОК?

Способов найти НОК несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

1. разложить оба числа на простые множители;
2. выбрать одну группу множителей;
3. добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
4. найти их произведение.

Примеры нахождения наименьшего общего кратного

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОК 4 и 6

2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 3.

3. Смотрим вторую группу (2 · 2) и видим, что из двух двоек, одна присутствует в первом разложении. Таким образом, берем только одну двойку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2

4. Вычисляем произведение: 2 · 3 · 2 = 12.

Ответ: НОК (6; 4) = 12

Пример 2: найти НОК 32 и 20

2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.

3. Смотрим вторую группу (2 · 2 · 5) и видим, что из двух двоек и пятерки, обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2

4. Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.

Ответ: НОК (32; 20) = 160