Как найти нок если нет общих множителей

Для того, чтобы находить общий знаменатель
при
сложении
и
вычитании дробей с разными
знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу «a» — это число, которое
само делится на число «a» без остатка.

Числа кратные 8
(то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка):
это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей
этого же числа. Делителей —
конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое
   для обоих чисел.
2. Кратное числа «a»
   обозначаем большой буквой «К».

   К (a) = {…, …}

Пример. Найти НОК 6 и 8.

К (6) = {12, 18, 24, 30, …}

К (8) = {8, 16, 24, 32, …}

НОК (6, = 24

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

1. Разложить данные числа на простые множители.
   Подробнее правила разложения на
   простые множители вы можете прочитать в теме
   как найти наибольший общий делитель (НОД).
   
2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение
   самого большого из чисел, а под ним —
   разложение остальных чисел.

   Запомните!
   

   Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

   60 = 2 · 2 · 3 · 5

   24 = 2 · 2 · 2 · 3

3. Подчеркнуть в разложении
   меньшего числа (меньших чисел) множители,
   которые не вошли в разложение бóльшего числа
   (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
   
   НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
4. Полученное произведение записать в ответ.
   
   Ответ: НОК (24, 60) = 120

Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).

24 = 2 · 2 · 2 · 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в
разложение 24
(самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из
разложения числа 16.

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

   Например, НОК (60, 15) = 60

2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее
   кратное равно произведению этих чисел.

   Пример.

   НОК (8, 9) = 72

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Наименьшее общее кратное используется, например, для приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю, что позволит сложить, вычесть или сравнить их.

В данной статье мы разберемся, каким образом выполняется эта операция, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.

Определение наименьшего общего кратного

Число b является кратным числа a, если b нацело (без остатка) делится на a. Произносится как “b кратно a“. Обозначается буквой К.

Примеры кратных:

• кратные числа 3 или К(3): 6, 9, 12,15, 18 и т.д.
• кратные числа 7 или К(7): 14, 21, 28, 35, 42 и т.д.

Кратных чисел может быть бесконечное множество.

Общее кратное двух натуральных чисел – такое число, которое нацело делится на оба этих числа.

Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел – наименьшее число из общих кратных этих чисел. Обозначается как НОК.

Например, НОК (5, 9) – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 9.

Нахождение НОК

Чтобы найти наименьшее общее кратное, можно воспользоваться одним из двух способов ниже:

Для двух/небольших чисел

Когда мы имеем дело с двумя числами (или небольшими), процесс нахождения НОК состоит из следующих действий:

1. Записываем в ряд кратные для каждого числа по возрастанию.
2. Находим первое совпадение в полученных рядах чисел. Это и есть НОК.

Пример
Найдем наименьшее общее кратное чисел 6 и 14.

Решение
Кратные числа 6: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 и т.д.
Кратные числа 14: 28, 42, 56 и т.д.

Таким образом, НОК (6, 14) = 42.

Для нескольких/больших чисел

Данный способ подойдет, если мы имеем дело с большим числами, или когда требуется найти НОК для трех и более чисел.

1. Сперва раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число нацело (их количество для разных чисел, также, может быть разным). Для удобства начинаем с самого маленького значения и заканчиваем самым большим.
2. Среди множителей мЕньшего числа находим тот, который не вошел в состав бОльшего. То же самое проделываем со следующим по возрастанию числом/числами.
3. Умножаем бОльшее число на найденные дополнительные множители и получаем НОК.

Пример
Давайте найдем НОК (12, 28, 32).

Решение
Разложим данные числа на простые множители.

Среди множителей меньшего числа (12) в состав бОльшего (32) не входит цифра 3, среди множителей среднего числа (28) – цифра 7.

Следовательно, НОК (12, 28, 32) = 32 ⋅ 3 ⋅ 7 = 672.

Иные случаи

1. Если одно из чисел, для которых требуется найти наименьшее общее кратное, нацело делится на другие числа, то это число и есть НОК.

Например: НОК (20, 40, 80) = 80.

2. НОК взаимно простых чисел является произведение данных чисел, т.к. они не имеют общих простых множителей.

Например: НОК (3, 5) = 3 ⋅ 5 = 15.

Наименьшее общее кратное чисел – это наименьшее число, которое делится на все заданные числа.

Алгоритм поиска НОК

Вычисление НОК похоже на поиск НОД. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно использовать следующий алгоритм:

1. Разложить все числа на простые множители, используя признаки делимости чисел.
2. Найти совпадающие множители во всех числах и выписать их.
3. Выписать все несовпадающие множители.
4. Перемножить все выписанные множители.

Если среди множителей чисел не были найдены одинаковые, НОК числа находится перемножением этих чисел.

Примеры поиска наименьшего общего кратного

Рассмотрим, как найти НОК с помощью алгоритма на нескольких примерах.

Наименьшее о́бщее кратное (HOK) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба без остатка, то есть кратно им обоим. К примеру, для чисел 6 и 4, наименьшим общим кратным будет 12.

Как найти НОК?

Способов найти НОК несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

1. разложить оба числа на простые множители;
2. выбрать одну группу множителей;
3. добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
4. найти их произведение.

Примеры нахождения наименьшего общего кратного

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОК 4 и 6

2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 3.

3. Смотрим вторую группу (2 · 2) и видим, что из двух двоек, одна присутствует в первом разложении. Таким образом, берем только одну двойку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2

4. Вычисляем произведение: 2 · 3 · 2 = 12.

Ответ: НОК (6; 4) = 12

Пример 2: найти НОК 32 и 20

2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.

3. Смотрим вторую группу (2 · 2 · 5) и видим, что из двух двоек и пятерки, обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2

4. Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.

Ответ: НОК (32; 20) = 160