Как найти нок методом разложения множителей

Для того, чтобы находить общий знаменатель
при
сложении
и
вычитании дробей с разными
знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу «a» — это число, которое
само делится на число «a» без остатка.

Числа кратные 8
(то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка):
это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей
этого же числа. Делителей —
конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое
   для обоих чисел.
2. Кратное числа «a»
   обозначаем большой буквой «К».

   К (a) = {…, …}

Пример. Найти НОК 6 и 8.

К (6) = {12, 18, 24, 30, …}

К (8) = {8, 16, 24, 32, …}

НОК (6, = 24

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

1. Разложить данные числа на простые множители.
   Подробнее правила разложения на
   простые множители вы можете прочитать в теме
   как найти наибольший общий делитель (НОД).
   
2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение
   самого большого из чисел, а под ним —
   разложение остальных чисел.

   Запомните!
   

   Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

   60 = 2 · 2 · 3 · 5

   24 = 2 · 2 · 2 · 3

3. Подчеркнуть в разложении
   меньшего числа (меньших чисел) множители,
   которые не вошли в разложение бóльшего числа
   (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
   
   НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
4. Полученное произведение записать в ответ.
   
   Ответ: НОК (24, 60) = 120

Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).

24 = 2 · 2 · 2 · 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в
разложение 24
(самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из
разложения числа 16.

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

Особые случаи нахождения НОК

1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

   Например, НОК (60, 15) = 60

2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее
   кратное равно произведению этих чисел.

   Пример.

   НОК (8, 9) = 72

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

НОК чисел онлайн

Похожие калькуляторы

Наименьшее о́бщее кратное (HOK) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба без остатка, то есть кратно им обоим. К примеру, для чисел 6 и 4, наименьшим общим кратным будет 12.

Как найти НОК?

Способов найти НОК несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

1. разложить оба числа на простые множители;
2. выбрать одну группу множителей;
3. добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
4. найти их произведение.

Примеры нахождения наименьшего общего кратного

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОК 4 и 6

2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 3.

3. Смотрим вторую группу (2 · 2) и видим, что из двух двоек, одна присутствует в первом разложении. Таким образом, берем только одну двойку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2

4. Вычисляем произведение: 2 · 3 · 2 = 12.

Ответ: НОК (6; 4) = 12

Пример 2: найти НОК 32 и 20

2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.

3. Смотрим вторую группу (2 · 2 · 5) и видим, что из двух двоек и пятерки, обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2

4. Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.

Ответ: НОК (32; 20) = 160

Поиск наименьшего общего кратного — задача, с которой все мы сталкиваемся при необходимости найти общий знаменатель для дроби. Ниже для удобства обозначения мы будем использовать не только термин «наименьшее общее кратное», но и его сокращение — НОК.

Давайте рассмотрим подробнее, что значит НОК.

Нахождение НОК

Существует несколько различных приёмов для определения НОК:

• Через связь наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя;
• Через разложение чисел, для которых ищется НОК, на простые множители.

Как искать НОК через наибольший общий делитель

Для начала вспомним, что такое наибольший общий делитель.

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо следующее тождество:

$НОД(a, b) cdot НОК(a, b)=a cdot b$.

Способы нахождения НОД для определения НОК:

1. Бинарный метод.
2. Алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида для поиска НОК рассмотрен подробнее в другой статье на нашем сайте.

Также НОД можно вычислить через каноническое разложение чисел на простые множители. Для этого числа, для которых ищется НОД, сначала раскладывают на простые множители.

После этого отдельной строкой выписывают все простые множители, входящие в каждое разложение хотя бы один раз.

После к простым множителям подписывают их наименьшую степень и перемножают. Полученное произведение будет являться наибольшим общим делителем данных чисел.

Если же НОД уже известен, то для определения НОК через этот метод можно воспользоваться следующей формулой:

$НОК(a,b)=frac{|a cdot b|}{НОД(a, b)}$

Здесь $НОД$ — наибольший общий делитель для чисел $a$ и $b$.

Как найти НОК через разложение чисел

Из этого определения можно сделать следующий вывод: любое натуральное число кроме единицы либо является простым, либо его можно разложить до простых множителей, причём единственным способом. Числа, которые можно разложить на простые множители, называются составными.

Для осуществления разложения числа на множители используют признаки делимости чисел.

Существуют пары чисел, наибольший общий делитель которых равен единице. Такие числа называются взаимно простыми.

При поиске НОК для взаимно простых чисел их разложения не содержат одних и тех же простых множителей.

Существует ещё одна закономерность для взаимно простых чисел: если число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.

Наиболее частым является каноническое разложение, при его использовании числа раскладываются на множители в порядке возрастания.

Теперь, узнав основные используемые понятия, можно перейти к алгоритму определения НОК данным методом.

Алгоритм определения НОК

1. Разложить числа, для которых нужно найти наименьшее общее кратное на простые множители.
2. В отдельную строчку выписать все простые числа, которые входят в каждое из разложений.
3. Для каждого из простых чисел выписать максимальную степень, с которой оно встречается в разложении.
4. Записать произведение всех выписанных простых чисел в максимальных встреченных степенях.

Как найти НОК трех чисел и более

Для того чтобы найти НОК более чем для двух чисел, сначала необходимо выбрать 2 любых числа из необходимых и найти НОК для них, после этого нужно взять следующее число и найти НОК для него и уже посчитанного ранее наименьшего общего кратного.

Эту процедуру необходимо выполнять до тех пор, пока не закончатся числа, для которых необходимо найти наименьшее общее кратное.

Другим способом найти НОК сразу для нескольких чисел является выписывание в строку всех простых множителей, содержащихся в разложениях, с их наибольшей степенью и затем их последующее перемножение.