Математика | НОК и НОД
Делимость натуральных чисел. КАК НАЙТИ НОК, НОД.
Наименьшее общее кратное. 5 класс.
Главная > Математика 5 класс > Наименьшее общее кратное — НОК
Наименьшее общее кратное — НОК — видеоурок
На этом видео уроке по математике для 5 класса объясняется как находить наибольший общий делитель НОД нескольких чисел раскладывая их на простые множители, решаются примеры на нахождение наибольшего общего делителя трех чисел из учебников Виленкин и Мерзляк.
Содержание:
- § 1 Что называют наименьшим общим кратным?
- § 2 Как найти наименьшее общее кратное натуральных чисел?
§ 1 Что называют наименьшим общим кратным?
Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.
Что же такое, наименьшее общее кратное натуральных чисел?
Возьмем два натуральных числа 30 и 45 . Выпишем кратные этих чисел, т.е. натуральные числа, которые без остатка делятся на 30 и 45.
На 30 без остатка делятся следующие числа: 30, 60, 90, 120, 150, 180 …
На 45 без остатка делятся следующие числа: 45, 90, 135, 180 …
Видим, что и на 30, и на 45 делятся 90, 180…, но наименьшим является натуральное число 90. Именно его называют наименьшим общим кратным чисел 30 и 45.
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и в называют наименьшее натуральное число, которое без остатка делится и на а, и на в или, другими словами, наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и в.
§ 2 Как найти наименьшее общее кратное натуральных чисел?
Для определения наименьшего общего кратного натуральных чисел, необязательно выписывать все кратные данных чисел. Возьмем натуральные числа 10, 15 и 45. Разложим эти числа на простые множители.
10 = 2 ∙ 5
15 = 3 ∙ 5
45 = 3 ∙ 3 ∙ 5
Выпишем множители первого числа и добавим к ним недостающие множители из разложения двух других чисел и перемножим их, получаем:
2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 3 = 90
Натуральное число 90 является наименьшим общим кратным чисел 10, 15 и 45.
Чтобы найти наименьшее общее кратное натуральных чисел достаточно:
1) разложить данные натуральные числа на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей и записать результат.
Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные, то именно это число и будет являться наименьшим общим кратным данных чисел.
Например: у чисел 4, 8, 16 и 32 наименьшим общим кратным является число 32.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 2013. -288 с.
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. — 2014.
- Математика. 6 класс (И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович). 2009.
Мы
продолжаем работу с понятием «кратное».
Напомним,
если натуральное числа а делится на натуральное число b,
то
число а называют кратным числа b.
Другими
словами, число а кратно числу b
– значит а делится на b.
Например
Вообще
говоря, ряд чисел, кратных 10, бесконечен.
Наименьшим
общим кратным натуральных чисел a и b
называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a,
и b.
Задача
Ирина
мама решила положить дочке конфет в сумочку, причем так, чтобы Ира смогла
поделиться с друзьями. Всего вместе с Ирой детей будет трое или четверо.
Какое
наименьшее количество конфет может положить мама Ире, чтобы, всем досталось
одинаковое количество целых конфет?
На
математическом языке 12 – это наименьшее
общее кратное 3 и 4.
В
этой задаче мы нашли НОК перебором: выписывали в строчку кратные для
каждого из чисел, пока не нашли кратное, одинаковое для обоих чисел.
Этот
способ удобен только для маленьких чисел.
Есть
и другой способ. Он используется в случаях, когда числа очень большие или их
несколько.
Например
Найдём
НОК чисел 410 и 861.
Для
начала разложим эти числа на простые множители. На первый взгляд это может
показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь быстро
раскладывать на простые множители. Главное – помнить признаки делимости и иметь
под рукой таблицу простых чисел.
Этот
способ используют и чтобы найти НОК трёх чисел.
Например
Найдём
наименьшее общее кратное чисел 6, 15, 42.
Есть
и особые случаи нахождения наименьшего общего кратного.
Если
одно из чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел
равно этому числу.
Например
Взаимно
простые числа не имеют общих простых делителей,
значит, их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
Например
Итоги
Наименьшим
общим кратным натуральных чисел a и b
называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b.
Существует
несколько способов нахождения наименьшего общего кратного. Можно найти НОК
перебором: выписать в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдём
кратное, одинаковое для обоих чисел.
Можно
найти НОК, используя разложение чисел на простые множители.
Есть
и особые случаи нахождения наименьшего общего кратного, например, для взаимно
простых чисел.
Наименьшее о́бщее кратное (HOK) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба без остатка, то есть кратно им обоим. К примеру, для чисел 6 и 4, наименьшим общим кратным будет 12.
Как найти НОК?
Способов найти НОК несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:
- разложить оба числа на простые множители;
- выбрать одну группу множителей;
- добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
- найти их произведение.
Примеры нахождения наименьшего общего кратного
Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:
Пример 1: найти НОК 4 и 6
1. Раскладываем 6 и 4 на простые множители:
2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 3.
3. Смотрим вторую группу (2 · 2) и видим, что из двух двоек, одна присутствует в первом разложении. Таким образом, берем только одну двойку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2
4. Вычисляем произведение: 2 · 3 · 2 = 12.
Ответ: НОК (6; 4) = 12
Пример 2: найти НОК 32 и 20
1. Раскладываем 32 и 20 на простые множители:
2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
3. Смотрим вторую группу (2 · 2 · 5) и видим, что из двух двоек и пятерки, обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2
4. Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.
Ответ: НОК (32; 20) = 160