Как найти номер числа фибоначчи формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Последовательность Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Числовые последовательности часто встречаются в природе и искусстве в виде спиралей и «золотого сечения». Самый простой способ вычислить последовательность Фибоначчи – это создать таблицу, но такой метод не применим к большим последовательностям. Например, если нужно определить 100-й член последовательности, лучше воспользоваться формулой Бине.

1
Нарисуйте таблицу с двумя столбцами. Количество строк таблицы зависит от количества чисел последовательности Фибоначчи, которые нужно найти.
- Например, если нужно найти пятое число последовательности, нарисуйте таблицу с пятью строками.
- Используя таблицу, нельзя найти некоторое случайное число без вычисления всех предыдущих чисел. Например, если нужно найти 100-е число последовательности, нужно вычислить все числа: от первого до 99-ого. Поэтому таблица применима только для нахождения первых чисел последовательности.
2
В левом столбце напишите порядковые номера членов последовательности. То есть напишите цифры по порядку, начиная с единицы.
- Такие цифры определяют порядковые номера членов (чисел) последовательности Фибоначчи.
- Например, если нужно найти пятое число последовательности, в левой колонке напишите следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5. То есть нужно найти с первого по пятое число последовательности.
3
В первой строке правой колонки напишите 1. Это первое число (член) последовательности Фибоначчи.
- Имейте в виду, что последовательность Фибоначчи всегда начинается с 1. Если последовательность начинается с другого числа, вы неправильно вычислили все числа вплоть до первого.
4
К первому члену (1) прибавьте 0. Получится второе число последовательности.
- Запомните: чтобы найти любое число последовательности Фибоначчи, просто сложите два предыдущих числа.
- Чтобы создать последовательность, не забудьте о 0, который стоит перед 1 (первым членом), поэтому 1 + 0 = 1.
5
Сложите первый (1) и второй (1) члены. Получится третье число последовательности.
- 1 + 1 = 2. Третий член равен 2.
6
Сложите второй (1) и третий (2) члены, чтобы получить четвертое число последовательности.
- 1 + 2 = 3. Четвертый член равен 3.
7
Сложите третий (2) и четвертый (3) члены. Получится пятое число последовательности.
- 2 + 3 = 5. Пятый член равен 5.
8

Сложите два предыдущих числа, чтобы найти любое число последовательности Фибоначчи. Этот метод основан на формуле: $F_{{n}}=F_{{n-1}}+F_{{n-2}}$ .^[1] Эта формула не является замкнутой, поэтому при помощи этой формулы нельзя найти любой член последовательности без вычисления всех предыдущих чисел.

Реклама

1
2

В формулу подставьте порядковый номер числа (вместо ). – это порядковый номер любого искомого члена последовательности.
3

В формулу подставьте золотое сечение. Золотое сечение приблизительно равно 1,618034; подставьте в формулу это число.^[5]
4

Вычислите выражение в скобках. Не забывайте про правильный порядок выполнения математических операций, в котором выражение в скобках вычисляется в первую очередь:.
5

Возведите числа в степени. Возведите в соответствующие степени два числа, которые находятся в числителе.
6

Вычтите два числа. Перед тем как приступить к делению, вычтите числа, которые находятся в числителе.
7
Полученный результат разделите на квадратный корень из 5. Квадратный корень из 5 приблизительно равен 2,236067.
- В нашем примере: ${frac {11,180339}{2,236067}}=5,000002$ .
8
Полученный результат округлите до ближайшего целого числа. Последний результат будет десятичной дробью, которая близка к целому числу. Такое целое число представляет собой число последовательности Фибоначчи.
- Если в вычислениях использовать неокругленные числа, вы получите целое число. Работать с округленными числами намного легче, но в этом случае вы получите десятичную дробь.^[6]
- В нашем примере вы получили десятичную дробь 5,000002. Округлите ее до ближайшего целого числа и получите пятое число последовательности Фибоначчи, которое равно 5.
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 27 790 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Fibonacci sequence is one of the most known formulas in number theory. In the Fibonacci sequence, each number in the series is calculated by adding the two numbers before it. Generally, the first two terms of the Fibonacci series are 0 and 1. Fibonacci sequence was known in India hundreds of years before Leonardo Pisano Bigollo know about it. November 23rd is celebrated as Fibonacci Day, as it has the digits “1, 1, 2, 3” which is part of the sequence.

The Fibonacci sequence is as follows:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,….

Fibonacci’s sequence is useful for its operations in advanced mathematics and statistics, computer science, economics, and nature.

Fibonacci Series

Formula of Fibonacci Number

F_n = F_n-1 + F_n-2

F_n is term number “n”

F_n−1 is the previous term (n−1)

F_n−2 is the term before that (n−2)

Calculation of Fibonacci numbers

To calculate the 5th Fibonacci number, add the 4th and 3rd Fibonacci numbers.

Golden Ratio

On choosing any two consecutive (one after the other) Fibonacci numbers, their ratio is near to 1.618034 and it is called Golden Ratio. It is denoted by “φ”. The golden ratio is generally can be seen in nature, and when applied in a design, it fosters natural-seeming works that are pleasing to the eye. There are numerous operations of the golden ratio in the field of architecture. For illustration, the Great Pyramid of Egypt and the Great Mosque of Kairouan is many of the architectural miracles in which the notion of the golden ratio has been applied.

For example:

X	Y	Y/X
2	3	1.5
3	5	1.6666
5	8	1.6
8	13	1.625
13	21	1.6154
21	34	1.6190
34	55	1.6176
55	89	1.6181
89	144	1.6179

Note: Golden Ratio can be calculated from Any Fibonacci sequence, it does not necessarily have to start with 2 and 3.

Calculation of Fibonacci number using Golden Ratio

Any Fibonacci number can be calculated by using this formula,

x_n = (φⁿ − (1−φ)ⁿ)/√5

x_ndenotes Fibonacci number to be calculated

φ is Golden ratio that is 1.618034

For example: If you want to calculate the 7th term:

x₇= ((1.618034)⁷-(1-1.618034)⁷)/√5

x₇= 13.0000007

x₇= 13(rounded off)

The next Fibonacci number can also be calculated using Golden Ratio. Multiplying a Fibonacci number with a golden ratio will give the next Fibonacci number of the sequence. But that only works for numbers greater than 1.

Example: 13*1.618034 = 21.034442 = 21(rounded off)

Some Problems based on Golden Ratio

Question 1: Calculate the 9th Fibonacci number if given golden ratio is 1.618034.

Solution:

We can calculate the 9th Fibonacci number by using the formula:

x_n = (φⁿ − (1−φ)ⁿ)/√5

x₉ = ((1.618034)⁹-(1-1.618034)⁹)/√5

x₉= (76.0131604-(-0.0131556197))/√5 = 34.0000021

x₉= 34

Question 2: Find the next Fibonacci number of answers calculated in the above question.

Solution:

Next Fibonacci number of 34 can be easily found by multiplying it by the Golden ratio that is 1.618034.

x₁₀ = 34×1.61803 = 55.01302

x₁₀ = 55(rounded off)

Some Problems based on Fibonacci Numbers

Question 1: If the 5th and 6th terms of a Fibonacci sequence are 3 and 5 respectively, find the 7th term of the sequence.

Solution:

With the use of the Fibonacci Sequence formula, we can easily calculate the 7th term of the Fibonacci sequence which is the sum of the 5th and 6th terms.

seventh term = 5th term + 6th term

= 3+5

= 8

The 7th term of the Fibonacci sequence is 8.

Question 2: The first 4 numbers in the Fibonacci sequence are given as 1,1,2,3.

(a) What is the eighth term of the Fibonacci sequence?

(b) What is the eleventh term of the Fibonacci sequence?

Solution:

By the use of the Fibonacci number formula, we can calculate the rest of the Fibonacci numbers like 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

(a) Therefore, the 8th term will be 21.

(b) 11th term will be 89.

Question 3: Find the next 3 terms for each of the following Fibonacci-style sequences.

(a) x, 4x, 5x, 9x,…

(b) 3a, 3a+b, 6a+b, 9a+2b….

Solution:

With the use of the Fibonacci Sequence formula, we can easily calculate the rest of the terms

(a) Fifth term = 5x+9x = 14x,

Sixth term = 9x+14x = 23x,

Seventh term = 14x+23x = 37x

(b) Fifth term = 6a+b+9a+2b = 15a+3b,

Sixth term = 9a+2b+15a+3b = 24a+5b,

Seventh term = 15a+3b+24a+5b = 39a+8b

Question 4: John wants to generate a Fibonacci series with the first term as 3 and the second term as 4.

(a) Find the 3rd and 4th terms.

(b) He thinks that the sum of the first ten terms is equal to eleven times the seventh term of his sequence. Check if he is correct.

Solution:

Using the 3 and 4 as first and second terms, we can calculate the rest of the terms by simply adding the last two terms.

(a) First term = 3,

Second term = 4,

Third Term = 3+4=7,

Forth term = 4+7 = 11

(b) On calculating the first ten terms of the series: 3,4,7,11,18,29,47,76,123,199.

Sum of first ten terms = 3+4+7+11+18+29+47+76+123+199 = 517

7th term = 47

Eleven times the 7th term = 11*47 = 517

As we can see that the sum of the first ten terms is equal to eleven times the seventh term of his sequence. Therefore, John was correct.

Question 5: What is the first three-digit square number that appears on the list of Fibonacci numbers, if the first 4 terms are 0,1,1,2.

Solution:

With the use of the Fibonacci Sequence formula, we can easily calculate the rest of the terms:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…

As we can see the first three-digit number which is a square that appears on the list of Fibonacci numbers is 144(square of 12).

Источник

Числа Фибоначчи — это числа такой последовательности, в которой первые два элемента — 0 и 1, а каждый последующий элемент равен сумме двух предшествующих. Выглядит это так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …

Примечание Иногда 0 опускается, и в этом случае ряд начинается с 1, но мы будем использовать последовательность с 0 на первой позиции.

Формула записывается следующим образом:

Вычисление ряда Фибоначчи — стандартная задача, которую задают на собеседованиях, чтобы проверить кандидата на понимание алгоритмов. Не так популярна, как сортировка, но всё же.

Давайте вычислим ряд и его отдельные элементы, использовав для этого язык Java.

Цикл
Рекурсия
Stream
Тест

Вычислить ряд Фибоначчи циклом

Предположим, что нам нужно вывести на экран первые десять чисел последовательности Фибоначчи. Мы помним, что:

первый элемент ряда — 0, второй — 1;
каждый последующий — сумма двух предыдущих.

Тогда наша последовательность будет иметь такой вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

Но нам нужно вывести результат с использованием программы. Держите код с объяснениями в комментариях:

public class Main{
	public static void main(String[] args) {
	    
	        //Объявляем переменные при известных первых двух:
		int num0 = 0;
		int num1 = 1;
		int num2;
		
		//Первые две переменные выводим вне цикла:
		System.out.print(num0 + " " + num1 + " ");
		for(int i = 3; i <= 10; i++){
			num2 = num0 + num1;
			
			//Каждый следующий элемент выводим в цикле:
			System.out.print(num2 + " ");
			
			//Предыдущим двум переменным присваиваем новые значения:
			num0 = num1;
			num1 = num2;
		}
	}
}

Выполнение завершится на десятом элементе. Количество элементов при этом можно менять, изменив значение в условиях цикла.

Найти число Фибоначчи через рекурсию

Рекурсивная функция — это такая функция, которая вызывает саму себя. Она также неплохо отрабатывает в алгоритмических задачах вроде чисел Фибоначчи, но ей требуется больше времени.

Почему так происходит? Всё дело в том, что рекурсивная функция приводит к многоразовому вызову одних и тех же операций. Именно из-за этого её не рекомендуется использовать, но если уж на собеседовании прозвучит такая задача, вы будете готовы.

Рассмотрим пример, в котором нам нужно получить n-ое число в ряде Фибоначчи:

public int fibonacciValue(num) {
  if (num <= 1) {
     return 0;
  } else if (num == 2) {
     return 1;
  } else {
     return fibonacciValue(num - 1) + fibonacciValue(num - 2);
  }
}

Если в качестве num задать большое значение, программа зависнет.

Тип int в Java может хранить значения до 2147483647, так что вычислить получится лишь первые 46 чисел Фибоначчи. Тип long хранит до 9223372036854775807, а это 91 число Фибоначчи. Класс BigInteger призван работать с действительно большими значениями, вот только само выполнение программы это никак не ускорит.

Использовать для вычисления Stream

Stream в Java — это компонент для самостоятельной внутренней итерации своих же элементов. Подробнее о нём вы можете почитать в нашей статье о Java Stream API.

И, разумеется, Stream подходит для вычисления элементов последовательности Фибоначчи:

Stream.iterate(new int[]{0, 1}, arr -> new int[]{arr[1], arr[0]+ arr[1]})
    
   //Задаём лимит значений:
   .limit(num)
   
   //Отбираем по первому элементу каждого массива:
   .map(y -> y[0])
   
   //Выводим в консоль:
   .forEach(x -> System.out.println(x));

В данном примере метод iterate() будет возвращать упорядоченный поток, ограниченный лимитом в num значений и созданный с применением функции к начальному массиву arr. В консоль будет выведено следующее:

{0,1}
{1,1}
{1, 2}
{2, 3}
{3, 5}
{5, 8}
{8, 13}
{13, 21}
…

А так мы получим сумму чисел последовательности по элемент num включительно:

int fibonacciValuesSum = Stream.iterate(new int[]{0, 1}, arr -> new int[]{arr[1], arr[0]+ arr[1]})
     .limit(num)
     .map(y -> y[0])
     .mapToInt(Integer::intValue)
     .sum();
System.out.println(fibonacciValuesSum);

Математический тест

Любите математику? Попробуйте решить наш математический тест:

Источник

Числа Фибоначчи – это последовательность чисел, которая начинается с цифр 0 и 1, а каждое последующее значение является суммой двух предыдущих.

Формула последовательности Фибоначчи
Золотое сечение
Таблица последовательности Фибоначчи
C-код (Си-код) функции

Формула последовательности Фибоначчи

Например:

F₀ = 0
F₁ = 1
F₂ = F₁+F₀ = 1+0 = 1
F₃ = F₂+F₁ = 1+1 = 2
F₄ = F₃+F₂ = 2+1 = 3
F₅ = F₄+F₃ = 3+2 = 5

Золотое сечение

Соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению:

где φ – это золотое сечение = (1 + √5) / 2 ≈ 1,61803399

Чаще всего, это значение округляют до 1,618 (или 1,62). А в округленных процентах пропорция выглядит так: 62% и 38 %.

Таблица последовательности Фибоначчи


n	F_n
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144
13	233
14	377
15	610
16	987
17	1597
18	2584
19	4181
20	6765

microexcel.ru

C-код (Си-код) функции

double Fibonacci(unsigned int n)
{
    double f_n =n;
    double f_n1=0.0;
    double f_n2=1.0;
 
    if( n > 1 ) {
        for(int k=2; k<=n; k++) {
            f_n  = f_n1 + f_n2;
            f_n2 = f_n1;
            f_n1 = f_n;
        }
    }
    return f_n;
}

Источник

Занимаясь изучением обработки данных, расчётами, а также другими компьютерными и математическими операциями, мы сталкиваемся со многими алгоритмами. Несмотря на то, что иногда мы недолюбливаем математику, мы зачастую даже не подозреваем, что окружены великим множеством вещей, идеально сбалансированных по ее принципам самой природой.

Одним из таких принципов, который весьма интересен для изучения, является последовательность Фибоначчи. Мы можем обнаружить ее во многих проявлениях природы: в числе лепестков цветка, количестве спиралей у подсолнуха и т.д.

В процессе работы с кодом мы сталкиваемся со многими алгоритмами: рекурсивные, типа “разделяй и властвуй”, рандомизированные, методы подбора и пр. Однако одними из наиболее полезных являются именно рекурсивные алгоритмы.

Что же такое алгоритм?

Слово, используемое программистами в случаях, когда они не хотят объяснять то, что они сделали.

В первую очередь, алгоритм является набором задач, которым необходимо следовать для решения проблемы. Время его выполнения определяется числом шагов, необходимых для завершения всех этих задач (в некоторых случаях термин runtime может обозначать нотацию О большое в CS, которая описывает качество алгоритма).

Так что же такое рекурсия и как работает рекурсивная функция?

Рекурсия — это процесс, при котором некий элемент вызывает сам себя или описывает себя в виде ссылки на самого себя до выполнения некоего условия (true), затем этот процесс останавливается.

Рекурсивная функция — это функция, вызывающая саму себя в процессе выполнения, что также именуется как прямая рекурсия. В обратном смысле это выглядит как две функции, вызывающие друг друга, и называется непрямой рекурсией.

Как мы вычисляем последовательность Фибоначчи и почему важно ее знать?

Для тех, кто только начал осваивать программирование будет очень полезным знать, как и когда стоит применять рекурсию или итеративные функции.

Математикам же последовательность Фибоначчи помогает мыслить более критически и развивать логику, работая с дифференциальными уравнениями.

Математическая формула Фибоначчи

Принцип построения последовательности Фибоначчи заключается в том, что каждое последующее ее число соответствует сумме двух ему предшествующих.

При n=0 мы получаем F0=0, а при n=1 получится F1=1. Нам всегда известны эти два начальных значения последовательности. Задача в том, чтобы выяснить, как формируются дальнейшие ее значения и каково будет значение для числа n, которое мы захотим проверить. Поэтому мы всегда начинаем с числа n>1.

Последовательность Фибоначчи рассчитывается по формуле, приведенной ниже:

F0=0, F1=1

Fn=Fn-1+Fn-2 для n>1

Каждое число является суммой двух ему предшествующих

Шаги вычисления значения Фибоначчи для n=6:

n=0 => F0=0
n=1 => F1=1
n = 2 поскольку n>1 =>F2 = F2–1 + F2–2 =F1 + F0 = 1+0=1
n= 3 =>F3= F3–1 + F3–2 =F2 + F1=1+1 = 2
n=4 =>F4=F4–1 + F4–2=F3+F2=2+1=3
n=5 =>F5=F4+F3=3+2=5
n=6 => F6=F5+F4=5+3=8 и так далее для n>1

А что получится, если мы возведем эти числа в квадрат?

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441, …
1 + 1 + 4 =6 = 2 x 3
1 + 1 + 4 + 9 =15 = 3 x 5
1 + 1 +4 + 9 + 25 =40 = 5 x 8
1 + 1 +4 + 9 + 25 + 64 =104 = 8 x 13 …

В результате мы получим уже не числа Фибоначчи. Тем не менее они раскрываются внутри значений, получаемых при сложении этих чисел. Из этого можно сделать вывод, что почти каждая сумма является частью последовательности Фибоначчи. Давайте посмотрим, как работают числа Фибоначчи на примере золотого прямоугольника:

Нам всем известно, что:

Площадь прямоугольника S = b x h => b ширина, h высота.

Что же получится, если мы сложим квадраты чисел, как указано выше?

Площадь прямоугольника S = 1*1+ 1*1 + 2*2 +3*3 +5*5 + 8*8+13*13 = 273 = 13x21

И снова мы получаем числа Фибоначчи.

Если же поделить большее число последовательности на меньшее, то получатся, например, такие результаты:

13/8=1.625, 21/13=1.615, 34/21=1.619, 55/34=1.6176, 89/55=1.61818 …

Здесь мы видим значение, приближенное к значению золотого сечения, и чем большее число мы делим, тем больше их соответствие.

Ниже приведен JavaScript код, вычисляющий последовательность Фибоначчи. Временная сложность в нем линейна, т.к. цикл осуществляется от 2 до n. Время выполнения составляет О(n).

function fibonacci(n) {
 var fibonacciNumbers = [],
  firstNumber = 0,
  secondNumber = 1;
 if (n <= 0) {
  return fibonacciNumbers;
 }
 if (n === 1) {
  return fibonacciNumbers.push(firstNumber);
 }
 fibonacciNumbers[0] = firstNumber;
 fibonacciNumbers[1] = secondNumber;
 for (var i = 2; i <= n; i++) {
  fibonacciNumbers[i] = fibonacciNumbers[(i— 1)] + fibonacciNumbers[(i— 2)];
 }
 return fibonacciNumbers;
}
var result = fibonacci(3);
if (result) {
 for (var i = 0; i < result.length; i++) {
  console.log(result[i]);
 }
}