Суперполезная формула! Позволяет легко и просто (и главное — быстро!) искать любой член арифметической прогрессии! Да-да, любой! Какой хотите.) А заодно и массу других самых разных задач по прогрессии решать. Имеет смысл освоить и разобраться, правда?
Вот поэтому осваиваем и разбираемся. В этом уроке.)
Вывод и смысл формулы n-го члена
Итак, прошу любить и жаловать:
an = a1 + (n-1)·d
Это и есть формула n-го члена арифметической прогрессии, собственной персоной.) Какие-то индексы, буковки непонятные. Ничего страшного! Сейчас всё расшифрую.
В формуле:
a1 — первый член арифметической прогрессии;
d — разность арифметической прогрессии;
n — номер члена;
an — энный (n-й) член арифметической прогрессии.
Как вы видите, большая часть входящих в формулу буковок (первый член, разность прогрессии, номер члена) уже должна быть вам хорошо знакома из прошлого урока. Если не читали, настоятельно рекомендую заглянуть. Там всё просто и доступно. Осталось лишь разобраться, что же такое n-й член.
Мы с вами знаем (надеюсь), что любую арифметическую прогрессию в общем виде всегда можно записать в виде последовательности чисел:
a1, a2, a3, a4, a5, …
Символ a1 означает первый член прогрессии, a2 — второй член, a5 — пятый и так далее. Если нас интересует, скажем, десятый член прогрессии, то работаем с a10. Если сто тридцатый, то, соответственно, с a130. Элементарно, Ватсон!)
А как можно обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии прогрессии с любым номером? Тоже элементарно! Вот так:
an
Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буковкой n здесь скрываются сразу все номера членов: и 1, и 23 и 101 — все без исключения!
И что нам даёт такая запись? Казалось бы, всего лишь вместо цифры буковка появилась — и что из этого? А вот что.
Запись эта представляет собой очень мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Сомневаетесь? Не надо.) Используя обозначение an, мы можем легко и просто искать любой член любой арифметической прогрессии! Как? Читаем дальше.)
Возвращаемся снова к нашей формуле:
an = a1 + (n-1)·d
Со всеми обозначениями мы успешно разобрались, а теперь разбираемся, в чём же её суть.
Эта формула позволяет нам найти любой член арифметической прогрессии по его номеру «n«.
Заманчиво, правда? Знаем номер члена — сразу же можем найти и сам этот член! Естественно, для этого нам надо знать ещё первый член a1 и разность прогрессии d. Ну так без этих двух ключевых параметров конкретную прогрессию и не задашь вовсе.
Формула эта связывает четыре главных параметра любой арифметической прогрессии — аn, a1, d и n. Именно вокруг этих четырёх параметров и крутятся все-все задачки по прогрессии!
Откуда же берётся эта формула и как её запомнить? А то уж больно часто сомнения грызут — то ли n там, то ли n-1, то ли n+1… Особенно на контрольных и экзаменах.
Спокойствие! Сейчас мы с вами эту формулку выведем! Не очень строго, правда, но зато с полным пониманием всего происходящего. Что, как и откуда. И у вас сразу же отпадут все сомнения!
Итак, рисуем числовую ось и последовательно отмечаем на ней члены нашей прогрессии:
А теперь смотрим на рисунок и соображаем. Чему равен второй член прогрессии?
Второй член равен первому члену плюс одно d:
a2 = a1 + 1·d
А третий член чему равен?
Не вопрос! Третий член равен первому члену плюс два d:
a3 = a1 + 2·d
Ну как, улавливаете закономерность? Я же не просто так некоторые слова и цифры выделяю жирным шрифтом! Нет? Что ж, ладно. Ещё один шаг.)
Чему равен четвёртый член?
Четвёртый член равен первому члену плюс три d:
a4 = a1 + 3·d
Пора бы уже догадаться, что количество интервалов (т.е. d) всегда на единичку меньше, чем номер нужного нам члена n. Поэтому до номера n количество интервалов всегда будет n-1.
Стало быть, наша формула, уже безо всяких сомнений, будет вот такой:
an = a1 + (n-1)·d
Вот и весь секрет.)
Совсем строгое доказательство данной формулы проводится так называемым методом математической индукции. Но метод этот — для особых гурманов.) Не каждый с ходу разберётся и поймёт, что к чему. А вот по картинке всё просто и наглядно! Да и вообще, картинка — очень мощный инструмент решения многих математических задач! И не только по прогрессиям. Так что не пренебрегаем ими. Скажем, в сложной боевой обстановке ЕГЭ вы переволновались и подзабыли случайно эту формулу. Ну, вот не помните, с кем не бывает! Ничего страшного. Есть пара-тройка минуток времени — рисуем картинку, отмечаем члены прогрессии и промежутки между членами — и всё сразу становится как на ладони!
Разумеется, всё от конкретной задачи зависит. Бывают и такие задачи, рисовать картинку к которым весьма затруднительно, а то и вовсе невозможно. Тогда — только формула, да…) Ибо формула — это тяжёлая артиллерия, позволяющая подключить к решению задачи весь мощный арсенал математики — уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку ведь в уравнение не вставишь!
Ну что, коли уж мы заговорили о задачках, то пора бы уже и порешать!
Решение задач с помощью формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Прямое применение формулы.
Начнём с прямого применения формулы. В самом конце прошлого урока была вот такая задачка:
В арифметической прогрессии известно, что a1 = 4 и d = 0,4. Найдите a141.
Конечно, эту задачку можно и безо всяких формул решить. Исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять себе по 0,4 да считать. Часок-другой…)
Зато по формуле решение осуществляется в одну строчку и занимает меньше минуты! Можете засекать время.)
Итак, у нас имеются все данные для применения формулы.
Известен первый член: a1 = 4.
Известна также разность прогрессии: d = 0,4.
Остаётся только сообразить, чему равен номер члена n. Не вопрос! Нам надо найти a141. Так прямо и пишем:
a141 =
А вот здесь сосредотачиваемся! Вместо индекса n у нас появилось конкретное число 141. Что вполне естественно. Ибо нас интересует член прогрессии номер сто сорок один. Вот именно это и будет наше n! Именно это значение n = 141 мы и подставим в формулу n-го члена в скобки.
Подставляем все наши данные в формулу и считаем:
a141 = 4 + (141-1)·0,4 = 4+56 = 60
Вот и всё, никаких фокусов. Так же быстро можно найти и четыреста третий член, и тысяча первый — любой! Какой хотим, такой и отыщем. Просто подставляем нужный номер в формулу вместо индекса n и в скобки. И считаем.)
Рассмотрим теперь задачку похитрее.
В арифметической прогрессии с разностью 3 пятнадцатый член равен 50. Найдите первый член этой прогрессии.
Ну и как вам? Знаете, с чего начинать? Если знаете — вперёд и с песнями. Не знаете? Что ж, тогда подскажу.
Пишем формулу n-го члена арифметической прогрессии!
Да-да! Прямо на черновике или в тетрадке.)
an = a1 + (n-1)·d
А теперь глядим внимательно на нашу формулу и соображаем, какие данные у нас уже есть, а чего не хватает.
Во-первых, нам известна разность прогрессии d:
d = 3
Во-вторых, нам известен пятнадцатый член прогрессии. Так и пишем:
a15 = 50
Всё? Не-а! У нас есть ещё номер n! Дело в том, что в условии a15 = 50 скрыты сразу два параметра прогрессии. Это, во-первых, значение самого пятнадцатого члена (50) и, во-вторых, его номер (15). То есть, n=15.
Вот теперь уже можно подставить все известные нам данные в формулу:
50 = a1 + 3·(15-1)
Решаем это простенькое линейное уравнение и получаем ответ:
a1 = 8
Вот и все дела.)
Ещё одна популярная задачка:
Найдите разность арифметической прогрессии (an), если
a1 = 6; a21 = -14.
Первый шаг тот же самый: пишем формулу n-го члена арифметической прогрессии!
an = a1 + (n-1)·d
А теперь снова соображаем, что нам дано по условию задачи:
a1 = 6
a21 = -14
n = 21
Вот и всё. Всю ценную информацию из условия скачали. Подставляем наши известные величины в формулу и считаем банальную арифметику:
-14 = 6 + (21-1)·d
-14 = 6 + 20d
-20 = 20d
d = -1
Всё. Это правильный ответ.)
Так, задачки на поиск an, a1 и d порешали. Осталось научиться ещё номер члена находить.)
Известно, что число 43 является членом арифметической прогрессии (an) c первым членом, равным 3 и разностью 0,4. Найдите номер этого члена.
Вы удивитесь, но первый шаг снова точно такой же.
Пишем формулу!
an = a1 + (n-1)·d
На первый взгляд кажется, что здесь две неизвестные величины — an и n. Но an — это какой-то член арифметической прогрессии под номером n. И этот член нам известен! Это 43. Нам неизвестен номер n этого члена. Так этот самый номер, как раз, и требуется отыскать!
Подставляем член прогрессии 43 в формулу n-го члена вместе с остальными известными нам параметрами:
43 = 3 + (n-1)·0,4
Считаем простецкую арифметику и выражаем номер n:
(n-1)·0,4 = 40
n-1 = 100
n = 101
Готово дело.)
Как вы видите, запись формулы в общем виде и подстановка в неё известных величин — весьма популярный приём в решении очень многих задач на прогрессии! Если вы, конечно, умеете выражать переменную из формулы. Ну так без этого умения математику можно и вовсе не изучать. Как, впрочем, и остальные точные науки тоже, да…
А теперь ещё одна задачка на эту тему, но более творческая.
Определите, будет ли число 74 членом арифметической прогрессии
(an): -5,6; -4; -2,4; …
Снова (да-да!) пишем формулу:
an = a1 + (n-1)·d
Начинаем подставлять известные нам данные. Гм… не подставляется что-то…
Что, не видите никаких данных? Серьёзно? Ну, тогда срочно к окулисту. Без обид.) Что же всё-таки можно увидеть из предложенной нам последовательности? Первый член видим? Видим! Это -5,6. А разность d? Пока не видим, но… её можно посчитать, да.) Если, конечно, вы в курсе, что такое разность арифметической прогрессии:
d = -4 — (-5,6) = 1,6
Ну вот, уже кое-что. Осталось лишь разобраться с неизвестным нам номером n и загадочным числом 74. В предыдущей задачке нам прямым текстом было указано, что дан именно член прогрессии. А здесь про число 74 ничего непонятно — член оно, не член… Что делать?
Что-что… Включим смекалку! Мы предположим, что число 74 — это всё-таки член нашей прогрессии! С неизвестным номером n. И снова попробуем отыскать, найти этот номер! Смело подставляем в формулу все наши числа:
74 = -5,6 + (n-1)·1,6
И выражаем n:
(n-1)·1,6 = 79,6
n — 1 = 49,75
n = 50,75
Во как! Номер получился дробный! А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Уравнению ведь без разницы, с какими числами работать — целыми, дробными, отрицательными. Уравнение со всякими работает.) Вот оно нам честно и ответило: «В этой арифметической прогрессии число 74 имеет номер 50,75!»
И какой же вывод можно сделать из полученного результата? Да! Число 74 не является членом нашей прогрессии! Оно находится где-то между пятидесятым и пятьдесят первым членами. Вот, если бы наш номер получился натуральным, то тогда — да, число 74 было бы членом нашей прогрессии. С найденным номером n.
А так, ответ задачи: нет.
Более сложные задачи.
Рассмотрим теперь более хитрые задачки на применение формулы n-го члена. Например, такую:
Известно, что в арифметической прогрессии a3 = 2,1 и a6 = 6,3. Найдите a4.
Эту задачку мы с вами уже решали в прошлом уроке. Для её успешного решения мы рисовали с вами вот такую незамысловатую картинку:
Из этой картинки мы легко определили разность прогрессии d и затем так же легко, прямо по смыслу арифметической прогрессии, посчитали нужный нам четвёртый член.
Получили ответ: a4 = 3,5.
Вспомнили? Отлично!
То был графический способ. А сейчас мы с вами решим эту же задачку, но другим способом! Аналитическим.) С помощью формулы n-го члена, да. Нам ведь с формулой размяться нужно, правда?) Вот и разминаемся.
Итак, что нам дано в условии задачи? Нам даны два члена некоторой арифметической прогрессии. А именно — третий и шестой её члены.
Вот и расписываем их по формуле n-го члена!
Именно так! Просто берём формулу n-го члена арифметической прогрессии и поочерёдно подставляем в неё известные нам данные для каждого члена.
Для третьего члена a3 = 2,1 получим:
2,1 = a1 + (3-1)·d
2,1 = a1 + 2d
Так, отлично. Одно уравнение составилось.
То же самое проделываем и для шестого члена a6 = 6,3.
Получим:
6,3 = a1 + (6-1)·d
6,3 = a1 + 5d
Итак, мы получили два уравнения. Эти два уравнения относятся к одной и той же прогрессии. Стало быть, они должны выполняться одновременно. И, следовательно, они должны быть записаны в виде системы уравнений.
Вот так:
Всё. Мы перевели задание по арифметической прогрессии в чистую алгебру. И дальше можно уже временно вообще забыть про прогрессию и просто решить эту систему уравнений.
Системка не самая трудная. Решаем самым простым способом — подстановкой. Из первого уравнения выражаем a1 и подставляем во второе:
Приводим подобные во втором уравнении и получаем:
Из второго уравнения легко находится d:
d = 1,4
Подставляем d = 1,4 в первое уравнение и получаем первый член:
a1 = 2,1-2·1,4
a1 = 2,1-2,8
a1 = -0,7
Вот и отлично. Знаем первый член a1, знаем разность d. И теперь мы без проблем можем найти любой интересующий нас член прогрессии. В том числе и четвёртый, да.)
Пишем формулу n-го члена для n = 4:
a4 = a1 + (4-1)·d = a1 + 3d
Подставляем найденные числа и считаем:
a4 = a1 + 3d = -0,7+3·1,4 = -0,7+4,2 = 3,5
Вот и всё. Как и следовало ожидать, ответ получился тем же самым.)
Ну как, хлопотно? Да, я согласен. Но зато аналитическому способу (алгебре) любые задачи по плечу! Если её знать, конечно.) А вот картинка годится лишь для маленьких кусочков прогрессии.
Например, такая задачка:
Известно, что в арифметической прогрессии a81 = 26 и a271 = 83. Найдите a11.
Что, неохота картинку рисовать да безошибочно пальчиком считать промежутки? И правильно! Не надо.) Зато второму способу, алгебре, совершенно безразлично, какие числа стоят в задании! Большие числа или маленькие… Алгебра — это тяжёлая артиллерия. С любыми числами справляется.)
Снова, как и в предыдущей задаче, расписываем каждый член прогрессии по формуле n-го члена:
26 = a1 + 80d
83 = a1 + 270d
Объединяем эти уравнения в систему:
А дальше решаем точно так же, как и в предыдущей задаче. Один в один. Дорешайте, чего уж там!
Должно получиться:
a11 = 5
Рассмотрим ещё более хитрую задачку. С подвохом. Если невнимательно читать задание…
Сумма первого и седьмого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение третьего и шестого членов равно 10. Найдите двадцатый член прогрессии.
Что, внушает? Решение по картинке и «на пальцах» не катит, да… Попробуем перевести всё задание в чистую алгебру? А та — всё сможет.)
Ничего не боимся и используем главное правило всей математики: «Не знаешь, что нужно, делай что можно.»
Вот и прикидываем, что в этой эпичной задачке можно сделать. Можно хотя бы расписать все данные нам члены (1-й, 7-й, 3-й, 6-й) в виде формул n-го члена, подставляя те числа, которые даны в условии.
Вот и расписываем каждый член! Прямо по формуле!
Ну, с первым членом всё и так ясно. Его вообще расписывать не надо.) Идём дальше.
Для седьмого члена мы можем записать:
a7 = a1 + (7-1)·d = a1 + 6d
Третий член:
a3 = a1 + (3-1)·d = a1 + 2d
Шестой член:
a6 = a1 + (6-1)·d = a1 + 5d
А дальше снова читаем задачку и скачиваем всю остальную полезную информацию. А именно — связь между членами.
Сумма первого и седьмого членов равна 14:
a1 + a1 + 6d = 14
2a1 + 6d = 14
Так, одно уравнение готово. Читаем дальше.)
Произведение третьего и шестого членов равно 10:
(a1 + 2d)(a1 + 5d) = 10
Получили два уравнения. Раз они относятся к одной и той же прогрессии, то должны выполняться одновременно. Объединяем наши полученные уравнения в систему:
Вот и всё. Всю ценную информацию по прогрессии мы скачали и записали в виде системы уравнений. А дальше дело за алгеброй. Решение систем — уже её работа. И наша с вами, к сожалению, тоже, да…
Начнём с первого уравнения. Оно попроще будет. Выражаем из него a1. Для этого переносим 6d вправо и делим всё на двойку. Обычные тождественные преобразования, да.)
2a1 = 14 — 6d
a1 = 7 — 3d
Теперь, ясное дело, подставляем это выражение во второе уравнение:
(7 — 3d + 2d)(7 — 3d + 5d) = 10
Приводим подобные в скобках:
(7 — d)(7 + 2d) = 10
Раскрываем скобки, приводим подобные и собираем всё слева:
49 + 14d — 7d — 2d2 — 10 = 0
-2d2 + 7d + 39 = 0
Решаем это квадратное уравнение (помножив обе части на минус 1) и получаем корни:
d1 = -3
d2 = 6,5
А вот и обещанный подводный камень! Что дальше? Получилось два значения разности d! Какое из них выбрать? Тупик?
Вовсе нет! Просто ещё раз внимательно читаем условие задачи в поисках дополнительной информации! Там зачем-то употребляется слово «возрастающей». А составители задач излишним словоблудием обычно не занимаются, да.) Вспоминаем из первого урока, что у возрастающей арифметической прогрессии разность всегда положительна.
Стало быть, из двух вариантов выбираем d = 6,5.
Так, отлично. Разность прогрессии найдена. По первому уравнению системы считаем первый член:
a1 = 7 — 3d = 7 — 3·6,5 = -3,5
Вот, практически, и всё. Что там от нас в задаче требуют? Двадцатый член? Да, пожалуйста!
a20 = a1 + (20 — 1)·d = -3,5 + 19·6,5 = 120
Ответ: 120
А теперь мы рассмотрим с вами ещё несколько коротких и простых задачек. Они, по своей сути, и вправду очень простые, но многих учеников ставят в тупик своей непривычностью и нестандартной подачей условия. Вот и пугается народ. И спотыкается на ровном месте, теряя драгоценные баллы на экзамене…
Работаем с видоизменённой формулой!
Первым делом, давайте с вами вспомним, как мы обычно задаём любую арифметическую прогрессию? Варианта два:
1) Отдельными параметрами прогрессии (скажем, a1 и d или a1 и an и т.п.);
2) В виде последовательности чисел.
Например:
(an): 1, 5, 9, 13, 17, …
К этим двум вариантам задания прогрессии мы уже попривыкли.) Но оказывается, есть ещё и третий вариант задания арифметической прогрессии! А именно — в виде формулы n-го члена. Да-да! Любую арифметическую прогрессию в общем виде можно задать формулой её n-го члена. Для каждой прогрессии — своей.)
Смотрите сами.
Пусть, например, в арифметической прогрессии a1 = 3 и d = 5. Запишем для неё формулу n-го члена:
an = 3 + 5·(n-1)
Раскрываем скобки и упрощаем:
an = -2 + 5n
Это выражение — тоже формула n-го члена! Только не общая, а уже для конкретной прогрессии. Задачки с такой видоизменённой формулой очень часто попадаются на экзамене. И частенько народ, не подумав, тут же радостно ответ пишет и… приехали.) Чем же эта формула так коварна? Здесь есть подводный камень: некоторые, глядя на формулу, сразу думают, что первый член — минус два. Хотя реально первый член — тройка…
Например, такая задачка на основе реального варианта ОГЭ:
Арифметическая прогрессия задана условием an = 5 — 1,5n. Найдите сумму первого и девятого её членов.
Здесь прогрессия задана не совсем привычно. Формула какая-то… Ничего страшного. Бывает.) Эта формула — тоже формула n-го члена арифметической прогрессии. Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру!
Вот и ищем наши члены. Начинаем с первого члена. Тот, кто думает, что первый член — пятёрка, фатально ошибается! Потому что формула в задаче — видоизменённая. И первый член прогрессии в ней спрятан. Не беда, сейчас мы его отыщем.)
Просто берём и подставляем n=1 в формулу:
a1 = 5 — 1,5·1 = 3,5
Вот так! Первый член — три с половиной! А вовсе не пятёрка…
Подставляем теперь n=9 и считаем девятый член:
a9 = 5 — 1,5·9 = -8,5
Ну и считаем требуемую сумму:
a1 + a9 = 3,5 + (-8,5) = -5
Ответ: -5
Вот и все дела. Теперь, надеюсь, видоизменённая формула n-го члена арифметической прогрессии не поставит вас навечно в тупик.)
Работаем с рекуррентной формулой!
Рассмотрим теперь ещё один сюрприз. Частенько в задачах на арифметическую прогрессию встречается ещё одно обозначение — an+1. Это, как вы уже, наверное, догадались, «эн плюс первый» член прогрессии. Всё очень просто. Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. И всё.) Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за an третий член, то an+1 будет четвёртым членом. И тому подобное.
Чаще всего обозначение an+1 встречается в так называемых рекуррентных формулах. Не пугаемся этого страшного слова!) Рекуррентная формула — это всего лишь способ задания любого члена арифметической прогрессии через предыдущий член. И всё.) Это ещё один, четвёртый способ задания арифметической прогрессии. Поработаем и с ним.
Допустим, арифметическая прогрессия нам задана рекуррентной формулой:
an+1 = an+4
a1 = 3
Можно посчитать второй член этой прогрессии? Легко! Если за an принять первый член прогрессии a1, то второй член будет, как раз, a1+1 = a2. Первый член нам уже дан отдельно. Это тройка. Вот и считаем по формуле:
a2 = a1 + 4 = 3+4 = 7
Третий член можно посчитать через второй:
a3 = a2 + 4 = 7+4 = 11
Четвёртый можно посчитать через третий, пятый – через четвёртый, и так далее. Продолжая эту цепочку, можно таким способом добраться до любого интересующего нас члена. А как можно посчитать сразу, скажем, 25-й член a25? К сожалению, никак… Пока предыдущий, 24-й член, не узнаем, 25-й не посчитаем. В этом и состоит принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная формула работает по принципу домино, только через предыдущий член, в то время как формула n-го члена — через первый и позволяет сразу находить любой член прогрессии по его номеру. Не просчитывая всю последовательность по порядочку.)
Кстати, а как вы думаете, почему в рекуррентной формуле
an+1 = an+4
a1 = 3
первый член a1 нам задан отдельно? Ответ прост: для последовательного подсчёта членов рекуррентным способом, нам всегда необходима некая точка отсчёта. А именно — некоторый стартовый член, с которого следует начинать. Это, кстати, не обязательно может быть именно первый член. Можно начать счёт со второго члена, с третьего — с любого! С того члена, который дополнительно указан в условии в качестве стартового.
Подведём итог. Как вы видите, если число последовательно просчитываемых членов не очень большое (скажем, три или пять), то рекуррентные формулы вовсе не так уж и плохи на практике. А вот если считать предстоит много, то уже начинаются неудобства, да…
К счастью, в арифметической прогрессии рекуррентную формулу очень легко превратить в обычную. Как? Просто посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти первый член (если надо), записать формулу n-го члена в привычном виде, да и работать с ней.
В ОГЭ подобные задания частенько встречаются. Например, такая задачка:
Арифметическая прогрессия задана условиями:
an+1 = an+2,8
a2 = 3
Найдите 112-й член этой прогрессии.
Здесь прогрессия задана рекуррентным способом. Ну и ничего страшного. Любой член прогрессии можно посчитать через предыдущий. Второй член нам уже известен. Это тройка. Через него можно посчитать третий член, через третий — четвёртый и так далее вплоть до нужного нам 112-го члена. Мрачноватая перспектива, вообще-то.) А времени на экзамене немного, да…
Но! У нас же есть такой мощный инструмент, как формула n-го члена! Которая сразу выдаст нам любой член с любым номером! Вот и запустим её в дело. Для начала просто запишем в тетрадке:
an = a1 + (n-1)·d
А теперь смотрим на формулу и соображаем, какие данные у нас уже есть, а что нужно дополнительно посчитать.
Пока у нас есть только номер члена n = 112. А вот первого члена a1 и разности d — пока не хватает. Не беда, сейчас отыщем!
Читаем ещё раз задачку и видим, что:
an+1 = an+2,8 и a2 = 3
Можно посчитать третий член по известному второму? Можно!
Считаем:
a3 = a2+2,8 = 3+2,8 = 5,8
Ну вот. Теперь нам стали известны два последовательных члена прогрессии — второй и третий. Считаем разность прогрессии:
d = a3 — a2 = 5,8 — 3 = 2,8
Внимание! Ещё раз напоминаю, что разность прогрессии d — это не просто разница между двумя соседними членами! Это именно разность между членом и предыдущим членом! Стало быть, для определения разности, надо всегда от члена с большим номером отнять член с меньшим номером.
Кстати сказать, а можно ли было сразу найти разность прогрессии, не вычисляя третий член? Можно! Давайте ещё разок посмотрим на нашу рекуррентную формулу:
an+1 = an+2,8
Переводим формулу на человеческий язык: каждый член (an+1) больше предыдущего члена (an) на 2,8. Прямо по смыслу и определению арифметической прогрессии, величина 2,8 и есть разность d! Вот и всё.)
Так, разность прогрессии найдена. Осталось отыскать первый член. Не вопрос! Второй член нам уже дан по условию, а разность мы нашли только что. Вот и отнимаем разность прогрессии от второго члена:
a1 = a2 — d = 3 — 2,8 = 0,2
Вот и финишная прямая. Подставляем все чиселки в формулу n-го члена и считаем 112-й член:
a112 = a1 + (112-1)·d = 0,2 + 111·2,8 = 311
Ответ: 311
Ну как, прониклись? Мощная штука формула n-го члена, правда? Тогда решаем самостоятельно.
Для разминки:
1. Записаны первые три члена арифметической прогрессии:
20; 17; 14; …
Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?
2. В третьем ряду киноконцертного зала 34 места, а в пятнадцатом — 58 мест. Сколько мест в одиннадцатом ряду, если считать число мест в каждом ряду арифметической прогрессией?
Эта чуть покруче будет:
3. Дана арифметическая прогрессия:
32; 31,6; 31,2; …
Найдите номер первого отрицательного члена этой прогрессии.
Картинку рисовать муторно, да. Слишком уж медленно наша прогрессия к отрицательным числам приближается… Но вы же формулу n-го члена знаете! Вперёд! Ну, и элемент творчества небольшой надо проявить, да.)
А вот это уже не разминка:
3. Известно, что в арифметической прогрессии a6 = 6 и a251 = -190. Найдите a101.
4. Третий член арифметической прогрессии в три раза меньше шестого, а сумма второго и пятого членов равна 16. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.
5. Сумма восьмого и четырнадцатого членов убывающей арифметической прогрессии равна нулю, а произведение третьего и двенадцатого членов равно -32. Найдите девятнадцатый член прогрессии.
Задачки попроще, для отдыха:
6. Арифметическая прогрессия задана условием: an = -0,6+8,6n. Найдите произведение первого и шестнадцатого её членов.
7. Арифметическая прогрессия задана условиями:
an+1 = an — 0,3
a1 = 10
Найдите 51-й член прогрессии.
Ответы (в беспорядке): 54; -5; 82; -70; -250; 1096; -16; 50;
Ну вот и второй этап знакомства с арифметической прогрессией успешно пройден! Осталось ещё научиться быстро складывать её члены. Такие задачки тоже часто встречаются! Об этом — в следующем уроке.
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2022 Сообщений: 13 |
|
|
1 |
|
Определить первый отрицательный член последовательности13.06.2022, 13:05. Показов 167. Ответов 5
Определить первый отрицательный член и его номер в последовательности x1, x2, … xn, где x1 = a.
0 |
|
Programming Эксперт 94731 / 64177 / 26122 Регистрация: 12.04.2006 Сообщений: 116,782 |
13.06.2022, 13:05 |
|
Ответы с готовыми решениями:
Определить N ый член рекуррентной последовательности Найти первый член последовательности, меньший eps (циклы while, do.while) Дано число а. Определить первый отрицательный член последовательности 5 |
Определить первый отрицательный член последовательности x(0), x(1),…,x(n)|
2135 / 1414 / 446 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 5,061 Записей в блоге: 2 |
|
|
13.06.2022, 13:16 |
2 |
|
x1 = a а — это первый элемент некоего диапазона до n включительно. Еще не вижу величины приращения, на сколько n увеличивать. Добавлено через 6 минут
0 |
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2022 Сообщений: 13 |
|
|
13.06.2022, 13:26 [ТС] |
3 |
|
Вот это задание полностью «Дано число a. Определите первый отрицательный член и его номер в последовательности x1, x2, … xn, где x1 = a.»
0 |
|
2135 / 1414 / 446 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 5,061 Записей в блоге: 2 |
|
|
13.06.2022, 13:32 |
4 |
|
Всё, больше ничего не дано Допустим, а = 5 (начало последовательности).
0 |
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2022 Сообщений: 13 |
|
|
13.06.2022, 13:40 [ТС] |
5 |
|
Скорее всего до того, как Xn станет отрицательным, уже узнал, опечатка, там Sin(Xn-1), тогда это сделать намного проще, спасибо
0 |
|
wizard41
2135 / 1414 / 446 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 5,061 Записей в блоге: 2 |
||||
|
13.06.2022, 13:43 |
6 |
|||
|
Или, последовательность должна быть сформирована по этой функции Xn = tg(Xn-1) / Sin(Xn). Но опять же, до какого n ? Добавлено через 2 минуты
Код Xn = 1,0414819265951076 Xn = 1,326431900473705 Xn = -6,872850636690371 Xn = -1,097537906304962 Xn = -1,1917935066878957 Xn = 225,95305931402493 Xn = 1,1850391760939851 Xn = 1,1019929988642352 Xn = 7,313297821227071 Xn = -1,3163300127243671 Xn = -1,044212499898521 Xn = -3,6342050764498515 Xn = 1,5144248017882336 Xn = 1,0114244250563398 Xn = 2,4504875209567056 Xn = -1,8257195162269564 Xn = -1,0000391751399944 Xn = -1,8767605644528047 Xn = 2,3574952619131655 Xn = 1,0088752655170414
0 |
|
IT_Exp Эксперт 87844 / 49110 / 22898 Регистрация: 17.06.2006 Сообщений: 92,604 |
13.06.2022, 13:43 |
|
Помогаю со студенческими работами здесь
Найти первый отрицательный член последовательности
Найти первый отрицательный член последовательности Найти первый отрицательный член последовательности Искать еще темы с ответами Или воспользуйтесь поиском по форуму: 6 |
Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой (d).
Например, последовательность (2); (5); (8); (11); (14)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):
В этой прогрессии разность (d) положительна (равна (3)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.
Однако (d) может быть и отрицательным числом. Например, в арифметической прогрессии (16); (10); (4); (-2); (-8)… разность прогрессии (d) равна минус шести.
И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими.
Обозначение арифметической прогрессии
Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.
Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).
Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например, арифметическая прогрессия (a_n = left{ 2; 5; 8; 11; 14…right}) состоит из элементов (a_1=2); (a_2=5); (a_3=8) и так далее.
Иными словами, для прогрессии (a_n = left{2; 5; 8; 11; 14…right})
| порядковый номер элемента | (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
| обозначение элемента | (a_1) | (a_2) | (a_3) | (a_4) | (a_5) |
| значение элемента | (2) | (5) | (8) | (11) | (14) |
Решение задач на арифметическую прогрессию
В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).
Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями (b_1=7; d=4). Найдите (b_5).
Решение:
|
|
В этой задаче нам дано начало цепочки (первый элемент) и шаг (разность). Зная их, мы легко можем восстановить прогрессию до любого нужного нам члена (в нашем случае – пятого). |
|
|
Вот и все. Нужное нам значение найдено. |
Ответ: (b_5=23)
Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: (62; 49; 36…) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:
|
|
Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: (d=49-62=-13). |
|
|
Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента. |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: (-3)
Пример (ОГЭ). Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: (…5; x; 10; 12,5…) Найдите значение элемента, обозначенного буквой (x).
Решение:
|
|
Чтоб найти (x), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: (d=12,5-10=2,5). |
|
|
А сейчас без проблем находим искомое: (x=5+2,5=7,5). |
|
|
Готово. Можно писать ответ. |
Ответ: (7,5).
Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: (a_1=-11); (a_{n+1}=a_n+5) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
|
|
Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам рекуррентное соотношение:
(n=1); (a_{1+1}=a_1+5=-11+5=-6) |
|
(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=) |
Искомая сумма найдена. |
Ответ: (S_6=9).
Пример (ОГЭ).В арифметической прогрессии (a_{12}=23); (a_{16}=51). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:
|
|
Мы знаем (12)-ый и (16)-ый элементы – и больше ничего. Однако этого достаточно для того, чтобы найти разность. Нужно просто посмотреть на схему слева и понять, что мы можем получить (16)-ый элемент из (12)-го, «сделав 4 шага», то есть четыре раза прибавив разность прогрессии. Иными словами: (a_{12}+d+d+d+d=a_{16}). |
|
(a_{12}+4d=a_{16}) |
Подставляем известные величины. |
|
(23+4d=51) |
Теперь решаем линейное уравнение, и без проблем находим (d). Переносим (23), поменяв знак. |
|
(4d=51-23) |
Вычисляем правую часть… |
|
(4d=28) |
…и делим на коэффициент перед неизвестной. |
|
(d=7) |
Готов ответ. |
Ответ: (d=7).
Важные формулы арифметической прогрессии
Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).
Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент (b_5), а триста восемьдесят шестой (b_{386}). Это что же, нам (385) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…
Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы (n) первых членов.
Формула (n)-го члена: (a_n=a_1+(n-1)d), где (a_1) – первый член прогрессии;
(n) – номер искомого элемента;
(d) – разность прогрессии;
(a_n) – член прогрессии с номером (n).
Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.
Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: (b_1=-159); (d=8,2). Найдите (b_{246}).
Решение:
|
(b_1=-159); (d=8,2) |
Больше двухсот раз прибавлять (8,2) к (-159) – перспектива не самая радужная. Лучше воспользуемся формулой, подставив вместо (n) номер искомого элемента. |
|
(n=246); (b_{246}=-159+(246-1)·8,2=) |
Можно писать ответ. |
Ответ: (b_{246}=1850).
Формула суммы n первых членов: (S_n=frac{a_1+a_n}{2} cdot n), где
(S_n) – искомая сумма (n) первых элементов;
(a_1) – первый суммируемый член;
(a_n) – последний суммируемый член;
(n) – количество элементов в сумме.
Пример (ОГЭ).Арифметическая прогрессия задана условиями (a_n=3,4n-0,6). Найдите сумму первых (25) членов этой прогрессии.
Решение:
|
(S_{25}=)(frac{a_1+a_{25}}{2 })(cdot 25) |
Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена. |
|
|
(n=1;) (a_1=3,4·1-0,6=2,8) |
Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо (n) двадцать пять. |
|
|
(n=25;) (a_{25}=3,4·25-0,6=84,4) |
Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму. |
|
|
(S_{25}=)(frac{a_1+a_{25}}{2})(cdot 25=) |
Ответ готов. |
Ответ: (S_{25}=1090).
Для суммы (n) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в (S_{25}=)(frac{a_1+a_{25}}{2})(cdot 25) вместо (a_n) подставить формулу для него (a_n=a_1+(n-1)d). Получим:
Формула суммы n первых членов: (S_n=)(frac{2a_1+(n-1)d}{2})(cdot n), где
(S_n) – искомая сумма (n) первых элементов;
(a_1) – первый суммируемый член;
(d) – разность прогрессии;
(n) – количество элементов в сумме.
Пример .Найдите сумму первых (33)-ех членов арифметической прогрессии: (17); (15,5); (14)…
Решение:
|
(S_{33}=)(frac{2a_1+(33-1)d}{2})(cdot 33) |
Для решения задачи воспользуемся последней формулой. Первый элемент известен, нужно найти только разность прогрессии (d). Вычисляем ее как разность двух соседних элементов. |
|
|
(d=a_2-a_1=15,5-17=-1,5) |
Теперь можно посчитать сумму (33)-ех элементов. |
|
|
(S_{33}=)(frac{2 cdot 17+(33-1)(-1,5)}{2})(cdot 33=) |
Готово. Быстро и просто, почти как Доширак. Но гораздо менее вредно. |
|
|
(=)(frac{34-32·1,5}{2})(cdot 33)(=-231) |
Ответ готов. |
Ответ: (S_{33}=-231).
Более сложные задачи на арифметическую прогрессию
Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)
Пример (ОГЭ).Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: (-19,3); (-19); (-18,7)…
Решение:
|
(S_n=)(frac{2a_1+(n-1)d}{2})(cdot n) |
Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем (d). |
|
|
(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3) |
Теперь бы подставить (d) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем (n). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: (a_n=a_1+(n-1)d) для нашего случая. |
|
|
(a_n=a_1+(n-1)d) |
||
|
(a_n=-19,3+(n-1)·0,3) |
Нам нужно, чтоб (a_n) стал больше нуля. Выясним, при каком (n) это произойдет. |
|
|
(-19,3+(n-1)·0,3>0) |
Решаем полученное неравенство. Переносим (-19,3) через знак сравнения. |
|
|
((n-1)·0,3>19,3) (|:0,3) |
Делим обе части неравенства на (0,3). |
|
|
(n-1>)(frac{19,3}{0,3}) |
Переносим минус единицу, не забывая менять знаки |
|
|
(n>)(frac{19,3}{0,3})(+1) |
Вычисляем… |
|
|
(n>65,333…) |
…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер (66). Соответственно, последний отрицательный имеет (n=65). На всякий случай, проверим это. |
|
|
(n=65;) (a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1) |
Таким образом, нам нужно сложить первые (65) элементов. |
|
|
(S_{65}=)(frac{2 cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2})(cdot 65) |
Ответ готов. |
Ответ: (S_{65}=-630,5).
Пример (ОГЭ).Арифметическая прогрессия задана условиями: (a_1=-33); (a_{n+1}=a_n+4). Найдите сумму от (26)-го до (42) элемента включительно.
Решение:
|
(a_1=-33;) (a_{n+1}=a_n+4) |
В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с (26)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать? |
|
|
Для нашей прогрессии (a_1=-33), а разность (d=4) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых (42)-ух элементов. |
|
(S_{42}=)(frac{2 cdot (-33)+(42-1)4}{2})(cdot 42=) |
Теперь сумму первых (25)-ти элементов. |
|
(S_{25}=)(frac{2 cdot (-33)+(25-1)4}{2})(cdot 25=) |
Ну и наконец, вычисляем ответ. |
|
(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683) |
Ответ: (S=1683).
Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их здесь.
Смотрите также:
Числовая последовательность
Геометрическая прогрессия
Формулировка задачи:
Найти первый отрицательный член последовательности cos(ctg(n)) , n=1, 2, 3. Применить оператор цикла с постусловием.
Код к задаче: «Найти первый отрицательный член последовательности»
textual
Листинг программы
{Найти первый отрицательный член последовательности cos(ctg(n)) , n=1, 2, 3.
Применить оператор цикла с постусловием.}
var
n:integer;
otr,y:real;
begin
n:=1;
repeat
y:=cos(cos(n)/sin(n));
write(y:8:2);
if y<0 then
break;
inc(n);
until n>3;
writeln;
if y>=0 then
writeln('Нет отрицательных членов.')
else
writeln(y:8:2);
readln;
end.
Функция достигает своего наибольшего значения в точке , равное
Ответ:
2011-11(х+20)=10х-2010
2011-11х-220=10х-2010
-11х-10х=-2010-2011+220
-21х=-3801
х=-3801:(-21)
х=181
Ответ:181
85-5=80; мама моложе на 5 лет,802=40; и +5 папе.
Пусть ∛x = a, ∛y = b.
Тогда система примет вид:
Сумма кубов равна:
a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²).
Заменим (a + b) = 5, тогда 5<span>(a² — ab + b²) = 35. Сократим на 5:
</span>a² — ab + b² = 7. Сделаем замену <span>b = 5 — а.
</span>a² — a(5 — а) + (5 — а)² = 7. Раскроем скобки:
a² — 5a + а² + 25 — 10а + а² = 7. Приведём подобные и получаем квадратное уравнение 3а² — 15 а + 18 = 0. Сократим на 3:
а<span>² — 5 а + 6 = 0.
</span>Квадратное уравнение, решаем относительно a: Ищем дискриминант:
D=(-5)^2-4*1*6=25-4*6=25-24=1;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a₁=(√1-(-5))/(2*1)=(1-(-5))/2=(1+5)/2=6/2=3;a₂=(-√1-(-5))/(2*1)=(-1-(-5))/2=(-1+5)/2=4/2=2.
Отсюда получаем: х₁ = а³ = 2³ = 8,
х₂ = 3³ = 27,
у₁ = b³ = (5-2)³ = 27,
y₂ = (5-3)³ = 8.
<span>Разность корней системы уравнений равна: 1) 8-27 = -19,
2) 27-8 = 19.</span>
Уравнение прямой имеет вид y = kx + b.
По условию, центр окружности имеет координаты (1;0). Найдем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, подставив их координаты в уравнение прямой
Искомое уравнение прямой: