Как найти нормаль к шару

Вычисление векторов

Описанная в предыдущей главе модель отражения света никак не связана с видом проецирования (параллельным или перспективным). Она является общей, т. е. может применяться как к плоским, так и к криволинейным поверхностям, причем расстояние между поверхностью и наблюдателем не учитывается. Большая часть вычислений в процессе закрашивания изображений пространственной сцены приходится на определение компонентов векторов, используемых в модели Фонга, и их скалярных произведений. В процессе выполнения этих вычислений часто используются разнообразные упрощения, учитывающие специфику конкретной ситуации. Например, если анализируемая поверхность — плоский многоугольник, то для всех ее точек вектор нормали будет одним и тем же. Если источник света достаточно далеко удален от поверхности, то для всех точек этой поверхности вектор, характеризующий направление падения лучей от этого источника, будет одним и тем же.

В этой главе рассматриваются методы вычисления компонентов векторов для общего случая.

Вектор нормали к поверхности

Вектор нормали на гладкой поверхности существует в каждой ее точке и определяет локальную ориентацию участка поверхности в окрестности этой точки. Метод вычисления компонентов вектора нормали зависит от способа математического описания поверхности. Продемонстрируем, как вычислить нормаль для плоскости и сферы.

Плоскость описывается уравнением

Уравнение плоскости можно записать в виде произведения вектора нормали п в точке Р₀ и любого вектора, принадлежащего этой плоскости,

где Р — любая точка (х, у, z) на рассматриваемой плоскости.

Плоскость может быть однозначно задана совокупностью трех точек плоскости не лежащих на одной прямой (неколлинеарных). Для определения нормали можно использовать их векторное произведение

Для любой поверхности в системе компьютерной графики различают внешнюю и внутреннюю стороны. От порядка сомножителей в векторном произведении зависит направление вектора нормали, а следовательно, определение внешней стороны поверхности. Некоторые графические системы автоматически вычисляют вектор нормали, используя первые три вершины в определении многоугольника, полагая его плоским. В библиотеки OpenGL этого не предусмотрено, но существует возможность самостоятельно организовать в программе определение нормали, что позволяет прикладному программисту гибко управлять свойствами модели освещения.

Способ вычисления компонентов вектора нормали к криволинейной поверхности существенно зависит от принятого способа описания поверхности. Покажем несколько способов определения нормали к сферической поверхности единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат. Обычно такая сфера описывается уравнением в неявной форме

или в векторной форме

Нормаль определяется вектором градиента (gradient vector), который представляется в виде матрицы-столбца

Сфера может быть описана и уравнением в параметрической форме. При этом координаты х, у и z любой точки на сферической поверхности представляют собой независимые уравнения от двух параметров и и v

В системах компьютерной графики предпочтение следует отдать параметрической форме, особенно при описании кривых и поверхностей. Один из вариантов описания сферы имеет вид

Изменяя и и v в диапазоне -я/2 дР дР

ститочки/*. Прямые, параллельные векторам — и —, проходятче-

рез точку Р и лежат в касательной плоскости. Векторы — и —

определяются следующим образом:

Вектор нормали формируется как векторное произведение

Подставляя в это уравнение параметрические функции сферической поверхности, получим

Поскольку нас интересует только направление вектора нормали, то для сферы единичного радиуса получим n = Р.

В графической системе основным типом примитива, с которым выполняются все вычисления, являются вершины. Таким образом, и вектор нормали следует формировать достаточно близко к той точке, нормаль в которой нас интересует. В рамках конвейерной архитектуры графических систем организовать такое вычисление довольно сложно, поскольку по «конвейеру» точки следуют одна за другой. Поэтому в большинстве графических систем программисту приходится самостоятельно организовывать вычисление векторов нормалей в прикладной программе.

Вектор нормали: расчет и пример

Содержание:

В нормальный вектор Он определяет направление, перпендикулярное рассматриваемому геометрическому объекту, который может быть, например, кривой, плоскостью или поверхностью.

Это очень полезная концепция для позиционирования движущейся частицы или какой-либо поверхности в пространстве. На следующем графике можно увидеть, как вектор нормали к произвольной кривой C:

Рассмотрим точку P на кривой C. Точка может представлять движущуюся частицу, которая движется по траектории C. Касательная линия к кривой в точке P нарисована красным.

Обратите внимание, что вектор Т касается C в каждой точке, а вектор N перпендикулярно Т y указывает на центр воображаемого круга, дуга которого является сегментом C. Векторы выделены жирным шрифтом в печатном тексте, чтобы отличать их от других не векторных величин.

Вектор Т он всегда указывает, куда движется частица, следовательно, указывает ее скорость. Вместо вектора N всегда указывает в том направлении, в котором вращается частица, отмечая, таким образом, вогнутость кривой C.

Как получить вектор нормали к плоскости?

Вектор нормали не обязательно является единичным вектором, то есть вектором с модулем 1, но если это так, он называется нормальный единичный вектор.

Во многих приложениях необходимо знать вектор нормали к плоскости вместо кривой. Этот вектор показывает ориентацию указанной плоскости в пространстве. Например, рассмотрим самолет п (желтый) рисунка:

К этой плоскости есть два нормальных вектора: п₁ Y п₂. Использование того или другого будет зависеть от контекста, в котором находится упомянутый самолет. Получить вектор нормали к плоскости очень просто, если вы знаете его уравнение:

ах + по + cz + d = 0, с участием к, б, c Y d вещественные числа.

Ну, нормальный вектор к указанной плоскости задается следующим образом:

N = а я + b j + c k

Здесь вектор N Он выражается через единичные векторы и перпендикулярно друг другу. я, j Y k, направленных по трем направлениям, определяющим пространство X и Zсм. рисунок 2 справа.

Вектор нормали из векторного произведения

Очень простая процедура нахождения вектора нормали использует свойства векторного произведения между двумя векторами.

Как известно, три разные точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость Р. Теперь можно получить два вектора или Y v которые принадлежат упомянутой плоскости, имеющей эти три точки.

Когда у вас есть векторы, векторный продуктили Икс v — операция, результатом которой, в свою очередь, является вектор, который имеет свойство быть перпендикулярным плоскости, определяемой или Y v.

Известный этот вектор, он обозначается как N, и из него можно будет определить уравнение плоскости благодаря уравнению, указанному в предыдущем разделе:

N = или Икс v

На следующем рисунке показана описанная процедура:

пример

Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).

Решение

Это упражнение иллюстрирует описанную выше процедуру. Имея 3 точки, одна из них выбирается как общее начало двух векторов, которые принадлежат плоскости, определенной этими точками. Например, точка A устанавливается в качестве начала координат и строятся векторы AB Y AC.

Вектор AB — вектор, начало которого — точка A, а конец — точка B. Координаты вектора AB определяются соответственно вычитанием координат B из координат A:

AB = (0-2) я + (1-1) j + (1-3) k = -2я + 0j -2 k

Таким же образом поступаем и находим вектор AC:

AC = (4-2) я + (2-1) j + (1-3) k = 2я + j -2 k

Расчет векторного произведения AB x AC

Существует несколько процедур для нахождения векторного произведения между двумя векторами. В этом примере используется мнемоническая процедура, которая использует следующий рисунок для поиска векторных произведений между единичными векторами. я, j Y k:

Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:

я Икс я = 0; j Икс j = 0; k Икс k = 0

А поскольку векторное произведение — это еще один вектор, перпендикулярный участвующим векторам, двигаясь в направлении красной стрелки, мы имеем:

я Икс j = k ; j Икс k = я; k Икс я = j

Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):

j Икс я = – k; k Икс j = –я; я Икс k = –j

Всего можно составить 9 векторных произведений с единичными векторами. я, j Y k, из которых 3 будут нулевыми.

AB Икс AC = (-2я + 0j -2 k) х (2я + j -2 k)= -4(я Икс я) -2(я Икс j)+4 (я Икс k)+0 (j Икс я) + 0 (j Икс j) – 0 (j Икс k) – 4 (k Икс я)-2 (k Икс j) + 4 (k Икс k) = -2k-4j-4j+2я = 2я -8j-2k

Уравнение плоскости

Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:

N = 2я -8j-2k

Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:

ах + по + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

Значение d. Это легко сделать, если значения любой из имеющихся точек A, B или C подставить в уравнение плоскости. Выбор C, например:

2,4 — 8,2 — 2,1 + d = 0

Вкратце, искомая карта:

Пытливый читатель может задаться вопросом, был бы такой же результат, если бы вместо выполнения AB Икс AC они бы предпочли произвести AC Икс AB. Ответ: да, плоскость, определяемая этими тремя точками, уникальна и имеет два вектора нормали, как показано на рисунке 2.

Что касается точки, выбранной в качестве исходной точки векторов, нет проблем с выбором любого из двух других.

Ссылки

1. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB). 31-62.
2. Нахождение нормали к плоскости. Получено с: web.ma.utexas.edu.
3. Ларсон, Р. (1986). Исчисление и аналитическая геометрия. Мак Гроу Хилл. 616-647.
4. Линии и плоскости в R 3. Получено с: math.harvard.edu.
5. Нормальный вектор. Получено с сайта mathworld.wolfram.com.

Конструктивная апраксия: симптомы, причины и лечение

Страх перед женщинами: виды, причины и способы его преодоления

Урок
10. Касательная плоскость к сфере.

Цель
урока: рассмотреть теоремы о касательной
плоскости к сфере, научить решать задачи
по данной теме.

Ход
урока

Актуализация
опорных знаний.

Повторение
сведений из планиметрии.

Определение
касательной.

Свойство
радиуса, проведенного к точке касательной.

Если
из одной точки, лежащей вне окружности,
провести к ней две касательные, то:

а)
длины отрезков от данной точки до точек
касания равны:

б)
углы между каждой касательной и секущей,
проходящей через центр круга, равны.

Если
из одной точки, лежащей вне окружности,
провести к ней касательную и секущую,
то квадрат касательной равен произведению
секущей на ее внешнюю часть.

Если
две хорды пересекаются в одной точке,
то произведение отрезков одной хорды
равно произведению отрезков другой.

Взаимное
расположение сферы и плоскости.

Объяснение
новой темы. (Слайд
26 – 32)

Итак,
сфера с плоскостью могут пересекаться
по окружности, не пересекаться и иметь
одну общую точку.

Рассмотрим
последний случай подробнее.

Плоскость,
имеющая со сферой только одну общую
точку, называется касательной плоскостью
к сфере, а их общая точка называется
точкой касания.

К
асательная
плоскость обладает свойством, аналогичным
свойству касательной к окружности.

Дано:
сфера с центром О

и радиусом R
,
α

— касательная к сфере в точке А

плоскость.

Доказать:
OA

а
.

Доказательство:
Пусть OA

не перпендикулярна плоскости а
,
тогда OA

является наклонной к плоскости, значит,
расстояние от центра до плоскости d

R
.
Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью
по окружности, но это не удовлетворяет
условию теоремы. Значит, OA

а
.

Докажем
обратную теорему.

Дано:
сфера с центром О

и радиусом OA
,
а, OA

а
.

Доказать:
а

– касательная плоскость.

Доказательство:
Т.к. OA

а
,
то расстояние от центра сферы до плоскости
равно радиусу. Значит, сфера и плоскость
имеют одну общую точку. По определению,
плоскость является касательной к сфере.

Формирование
умений и навыков учащихся.

Как
далеко может обозревать землю человек,
стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции
света).

Решение:
CN
2
=
h
(h

+

2
R
)

(см. выше п. I урока)

Пусть
рост человека (до глаз) 1,6
м
,
R
земли

6400
км.

Позднее
вернемся к этой задаче, чтобы узнать,
какова площадь обозрения.

Работа
по таблице 33.

АК

ОК

(почему?). По теореме Пифагора АК

= =
15

. AM

— ближайшее расстояние от точки А

до сферы (при наличии времени можно дать
учащимся порассуждать над очевидным
вопросом — почему?)

AM

= АО-ОМ=9.

Итог
урока.

Домашнее
задание: п. 61, № 591, 592.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы продолжаем знакомство со сферой и её элементами.

На прошлом занятии вы изучили случаи взаимного расположения плоскости и сферы.

Следует помнить, что если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы данной плоскостью является окружностью.

Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

Рассмотрим подробно случай, когда плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

Касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания.

Рассмотрим касательную плоскость α к сфере с центром в точке О.

Докажем, что радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости α.

1.Проведём доказательство методом от противного, то есть предположим, что радиус ОА не перпендикулярен касательной плоскости α.

2. Следовательно, ОА — наклонная к плоскости α, значит расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса ОА.

3. Таким образом, получили — сфера и плоскость α пересекаются по окружности, что является противоречием условию о том, что плоскость α и сфера имеют одну общую точку.

Следовательно, радиус ОА перпендикулярен к плоскости α.

Итак, мы доказали теорему о свойстве касательной плоскости к сфере: радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы.

Данное свойство аналогично свойству касательной к окружности.

Докажем обратную теорему.

1.Проведём радиус сферы перпендикулярно к плоскости, проходящей через его конец.

2.Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, значит, плоскость и сфера имеют только одну общую точку, следовательно, данная плоскость является касательной к сфере.

Таким образом, мы доказали, что если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.

Применим полученные знания при решении задач.

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

1)Докажем, что точка А принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р.

Выберем произвольную точку N на сфере.

Проведём отрезки NO и NP.

Из неравенства треугольника ONP следует:

ОА+АР=ОР, тогда

ON+NP OA+AP, где ON и OA это радиусы.

Следовательно, R+ NP R+АР или NP АР.

Итак, АР NP, а так как точка N выбрана произвольно, то точка А, принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р.

2.Найдём длину искомого отрезка АР как разность отрезков ОР и ОА, где ОА радиус сферы R.

По известной теореме радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы, имеем, что треугольник ОКР — прямоугольный.

Отрезок ОР является гипотенузой данного треугольника, найдём его по теореме Пифагора:

ОР=√ОК2+КР2=√1122+152=√12544+225=√12769=113 см

Итак, АР=ОР-ОА=113-112=1 см.

Таким образом, расстояние от точки, лежащей на плоскости касательной, к сфере до ближайшей к ней точки сферы равно 1 см.

П. 64 – 67, изучить п, 576, 578

Проверка домашнего задания I ученик: вывод уравнения сферы II ученик: 581 III ученик: 586(б) IV ученик: Что называется сферой? 2. Что называют диаметром сферы? 3. Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости. 581, 586(б), 587

О Свойство касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, — касательная плоскость, А – точка касания Доказать: ОА. А Доказательство. Предположим противное: пусть ОА, следовательно, ОА – наклонная к плоскости, значит, расстояние от центра сферы до плоскости меньше ОА, т. е. меньше радиуса R: d

О Признак касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, ОА, А. Доказать: — касательная плоскость. А Доказательство. ОА, значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы: d = R, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. данная плоскость является касательной. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Симметрия шара

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Доказательство: Пусть — диаметральная плоскость и Х — произвольная точка шара. Построим точку Х», симметричную точке Х относительно плоскости. Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ» и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ» следует, что ОХ» =ОХ.

Так как ОХ?R, то и ОХ»?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь Х»» — точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ»» = ОХ?R, т.е. точка Х»» принадлежит шару. Теорема доказана полностью.

Касательная плоскость к шару

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Доказательство: Пусть б — плоскость касательная к шару, и А — точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА — перпендикуляр, а ОХ — наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Поверхность определяется как множество точек , координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:

F
(x
,
y
,
z)
=
0
(1)
{displaystyle F(x,,y,,z)=0qquad (1)}

Если функция
F
(x
,
y
,
z)
{displaystyle F(x,,y,,z)}
непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью
.

Помимо указанного выше неявного способа задания
, поверхность может быть определена явно
, если одну из переменных, например, z, можно выразить через остальные:

z
=
f
(x
,
y)
(1
′)
{displaystyle z=f(x,y)qquad (1″)}

Более строго, простой поверхностью

называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат , координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u», v») были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x», у», z»).

Примером простой поверхности
является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью
. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.

Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся простой поверхностью
, называется правильной поверхностью

.

Поверхность в дифференциальной геометрии

Геликоид

Катеноид

Метрика не определяет однозначно форму поверхности. Например, метрики геликоида и катеноида , параметризованных соответствующим образом, совпадают, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией
поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус) .

Метрические коэффициенты
E
,
F
,
G
{displaystyle E, F, G}
определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, кривизна и др.). Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.

Нормаль и нормальное сечение

Векторы нормали в точках поверхности

Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль
— единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:

m
=
[
r
u
′
,
r
v
′
]
|
[
r
u
′
,
r
v
′
]
|
{displaystyle mathbf {m} ={frac {[mathbf {r»_{u}} ,mathbf {r»_{v}} ]}{|[mathbf {r»_{u}} ,mathbf {r»_{v}} ]|}}}
.

Знак нормали зависит от выбора координат.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением
поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол
θ
{displaystyle theta }

. Тогда кривизна
k
{displaystyle k}

кривой связана с кривизной
k
n
{displaystyle k_{n}}

нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье :

k
n
=
±
k
cos
θ
{displaystyle k_{n}=pm k,cos ,theta }

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	Координаты нормали в точке поверхности
неявное задание	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 {displaystyle {frac {left({frac {partial F}{partial x}};,{frac {partial F}{partial y}};,{frac {partial F}{partial z}}right)}{sqrt {left({frac {partial F}{partial x}}right)^{2}+left({frac {partial F}{partial y}}right)^{2}+left({frac {partial F}{partial z}}right)^{2}}}}}
явное задание	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 {displaystyle {frac {left(-{frac {partial f}{partial x}};,-{frac {partial f}{partial y}};,1right)}{sqrt {left({frac {partial f}{partial x}}right)^{2}+left({frac {partial f}{partial y}}right)^{2}+1}}}}
параметрическое задание	(D (y , z) D (u , v) ; D (z , x) D (u , v) ; D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 {displaystyle {frac {left({frac {D(y,z)}{D(u,v)}};,{frac {D(z,x)}{D(u,v)}};,{frac {D(x,y)}{D(u,v)}}right)}{sqrt {left({frac {D(y,z)}{D(u,v)}}right)^{2}+left({frac {D(z,x)}{D(u,v)}}right)^{2}+left({frac {D(x,y)}{D(u,v)}}right)^{2}}}}}

Здесь
D
(y
,
z)
D
(u
,
v)
=
|
y
u
′
y
v
′
z
u
′
z
v
′
|
,
D
(z
,
x)
D
(u
,
v)
=
|
z
u
′
z
v
′
x
u
′
x
v
′
|
,
D
(x
,
y)
D
(u
,
v)
=
|
x
u
′
x
v
′
y
u
′
y
v
′
|
{displaystyle {frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={begin{vmatrix}y»_{u}&y»_{v}\z»_{u}&z»_{v}end{vmatrix}},quad {frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={begin{vmatrix}z»_{u}&z»_{v}\x»_{u}&x»_{v}end{vmatrix}},quad {frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={begin{vmatrix}x»_{u}&x»_{v}\y»_{u}&y»_{v}end{vmatrix}}}
.

Все производные берутся в точке
(x
0
,
y
0
,
z
0)
{displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}
.

Кривизна

Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется нормальной кривизной
; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.

Вообще говоря, в каждой точке поверхности существуют два перпендикулярных направления
e
1
{displaystyle e_{1}}

и
e
2
{displaystyle e_{2}}

, в которых нормальная кривизна принимает минимальное и максимальное значения; эти направления называются главными
. Исключение составляет случай, когда нормальная кривизна по всем направлениям одинакова (например, у сферы или на торце эллипсоида вращения), тогда все направления в точке — главные.

Поверхности с отрицательной (слева), нулевой (в центре) и положительной (справа) кривизной.

Нормальные кривизны в главных направлениях называются главными кривизнами
; обозначим их
κ
1
{displaystyle kappa _{1}}
и
κ
2
{displaystyle kappa _{2}}
. Величина:

K
=
κ
1
κ
2
{displaystyle K=kappa _{1}kappa _{2}}

называется гауссовой кривизной , полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны
, который подразумевает результат свёртки тензора кривизны ; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она является объектом внутренней геометрии поверхностей (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна
1
R
2
{displaystyle {frac {1}{R^{2}}}}
. Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны —

Симметрия шара

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Доказательство: Пусть — диаметральная плоскость и Х — произвольная точка шара. Построим точку Х», симметричную точке Х относительно плоскости. Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ» и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ» следует, что ОХ» =ОХ.

Так как ОХ?R, то и ОХ»?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь Х»» — точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ»» = ОХ?R, т.е. точка Х»» принадлежит шару. Теорема доказана полностью.

Касательная плоскость к шару

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Доказательство: Пусть б — плоскость касательная к шару, и А — точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА — перпендикуляр, а ОХ — наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Касательной
плоскостью

к поверхности
в точке
называется плоскость, содержащая в себе
все касательные к кривым, проведенным
на поверхности через эту точку.Нормалью

называется прямая, перпендикулярная к
касательной плоскости и проходящая
через точку касания.

Покажем, что

направлен по нормали к поверхности
в точке
­.

Рассмотрим кривую
,
лежащую на поверхности и проходящую
через точку
(рис. 15). Пусть она задана параметрическими
уравнениями

.

Если

– радиус-вектор точки
,
движущейся при изменениивдоль,
то,
а
– радиус-вектор точки
.

Так как
лежит на поверхности, то.
Продифференцируем это тождество по:

.
(6.6)

По определению

,
а.
Поэтому (6.6) означает, что скалярное
произведение
во всех точках кривой.

Равенство нулю
скалярного произведения векторов –
необходимое и достаточное условие их
перпендикулярности. Значит, в точке


.
Но вектор
– вектор скорости – направлен по
касательной к траектории точки

,
то есть по касательной к кривой(рис. 15). Так каквыбрана произвольно, то
перпендикулярен всевозможным касательным,
проведенным к линиям, лежащим на
и проходящим через точку
.
А это по определению означает, что
перпендикулярен касательной плоскости,
то есть является ее нормалью.

Отсюда уравнение
касательной плоскости к данной
поверхности имеет вид (см. гл. 3):

Уравнение нормали
(см. гл. 3):

.
(6.8)

В частности, если
поверхность задана явным уравнением

,
получим:– уравнение касательной

плоскости, и

– уравнение нормали.

ПРИМЕР
.
Написать уравнения касательной плоскости
и нормали к сфере

в точке
.

Очевидно

Уравнение касательной
плоскости (6.7):

Уравнения нормали
(6.8):

.

Заметим, что эта
прямая проходит через начало координат,
то есть центр сферы.

ПРИМЕР
.
Написать уравнение касательной плоскости
к эллиптическому параболоиду

в точке
.

Эта поверхность
задана явным уравнением и

.

Поэтому уравнение
касательной плоскости в данной точке
имеет вид:
или.

Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция

определена во всех точках некоторой
области
.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Точка

называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует её окрестность
,
всюду в пределах которой.

Из определения
следует, что если

– точка максимума, то

;
если

– точка минимума, то

ТЕОРЕМА

(необходимое условие экстремума
дифференцируемой функции двух
переменных). Пусть функция

имеет в точке
экстремум. Если в этой точке существуют
производные первого порядка, то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
.
Зафиксируем значение

.
Тогда
– функция одной переменной.
Она имеет экстремум при
и по необходимому условию экстремума
дифференцируемой функции одной переменной
(см. гл. 5)
.

Аналогично,
зафиксировав значение

,
получим, что
.

Что и требовалось
доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Стационарной
точкой

функции

называется точка
,
в которой обе частные производные
первого порядка равны нулю:

.

ЗАМЕЧАНИЕ 1
.
Сформулированное необходимое условие
не является достаточным условием
экстремума.

Пусть

.
Значит,
– стационарная точка этой функции.
Рассмотрим произвольную—
окрестность начала координат.

В пределах этой
окрестности
имеет, очевидно, разные знаки (рис. 16).
А это означает, что точка
точкой экстремума по определению не
является.

Таким образом, не
всякая стационарная точка – точка
экстремума
.

ЗАМЕЧАНИЕ 2
.
Непрерывная функция может иметь
экстремум, но не иметь стационарной
точки.

Рассмотрим функцию

.
Её графиком является верхняя
половина конуса, и, очевидно,
– точка минимума (рис. 17).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Точки, в которых частные производные
первого порядка функции

равны нулю или не существуют, называются
еекритическими

точками.

ТЕОРЕМА

(достаточное
условие экстремума функции

).
Пусть функция

имеет частные производные второго
порядка в некоторой окрестностистационарной

точки

.
Пусть, кроме того,

.

Тогда, если

1)

,
то
– точка экстремума, именно: точка
максимума, если
,
или точка минимума, если
;

2)

,
то экстремума в точке
нет;

3)
,
то требуются дополнительные исследования
для выяснения характера точки
.

(Без доказательства).

ПРИМЕР
.
Исследовать на экстремум функцию

.

Найдем стационарные
точки:

.
Стационарных точек нет, значит, функция
не имеет экстремума.

ПРИМЕР
.
Исследовать на экстремум функцию
.

Чтобы найти
стационарные точки, надо решить систему
уравнений:

То есть данная функция имеет четыре
стационарные точки.

Проверим достаточное
условие экстремума для каждой из них:

.

Так как

,
то в точках
экстремума нет.

и

,
значит,
– точка минимума и
;
и
,
значит,
– точка максимума и
.

Дата: 02.02.2016

Тема: Касательная к сфере (шару) плоскости.

Цель урока: Сформировывать знания и умения, учащихся по теме, рассмотреть теоремы

о , научить решать задачи по данной теме.
Воспитывать внимательность, добросовестное отношение к учебе, аккуратность

Развивать память, мышление, пространственное воображение, речь

Структура урока

Организационный момент

Постановка цели урока

Проверка домашнего задания

Защита презентаций учащимися

Индивидуальная самостоятельная работа

Решение задач в паре

Решение задач в группе

Игра на развитие внимательности

Выдача домашнего задания

Итог урока
Ход урока

В начале урока проводится устная работа. Повторение основных понятий связанных с шаром и сферой.

Домашние задания №26 (стр 61), № 34

Дежурные на доске (на перемене) выполняют чертежи к домашним заданиям. На уроке учитель к доске вызывает двух учеников для проверки домашнего задания. После ответа у доски ученики ставят себе оценки на оценочных листах.

Защита презентаций:

І группа: История возникновения шара

ІІ группа: Взаимное расположение сферы и плоскости

ІІІ группа: Шар и сфера в живой природе

Самостоятельная работа

1.

Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

1 вариант

(х-2)
2
+(у+3)
2
+
z

2
= 25

2 вариант

(х+3)
2
+ у
2
+ (z

-1)
2
= 16

2.

Напишите уравнение сферы радиуса
R

с центром окружности в точке А, если:

1 вариант

А (2; 0; -1),
R

= 7

2 вариант

A

(-2; 1; 0) ,
R

= 6

3.

Проверти, лежит ли точка А на сфере, заданной уравнением:

1 вариант

(х + 2)
2
+ (у – 1)
2
+ (z

– 3)
2
= 1, если А (-2; 1; 4)

2 вариант

(х — 3)
2
+ (у + 1)
2
+ (z

— 4)
2
= 4, если А (5; — 1; 4)

4.

Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы:

1 вариант

х
2
+у
2
+
z

2
+ 2
z

— 2у= 2

Работа в паре

2 вариант

х
2
+ у
2
+
z

2
– 2х + 2
z

= 7

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Работа в группе

Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см

Игра на внимательность

На цветных бумагах записаны основные формулы площадей поверхностей многогранников и тел вращения. Эти карточки прикреплены на магнитную доску. Учитель просит внимательно посмотреть на формулы и запомнить их. Естественно ученики начинают запоминать сами формулы. Закрыв доску, учитель задает вопросы следующего содержания: «Какого цвета карточка, на которой записана формула площади боковой поверхности пирамиды?» и т.д. Естественно ученики не ожидали такого вопроса. Учитель дает еще одну возможность, но на этот раз ученики стараются запомнить и цвет карточки.

Итог урока.

Шкала оценок

«5» за 8-9 баллов

«4» — за 6-7 баллов

«3» — за 4-5 баллов

Домашнее задание: № 28 (стр 61), № 29 (стр 62)

П. 64 – 67, изучить п, 576, 578

Проверка домашнего задания I ученик: вывод уравнения сферы II ученик: 581 III ученик: 586(б) IV ученик: Что называется сферой? 2. Что называют диаметром сферы? 3. Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости. 581, 586(б), 587

О Свойство касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, — касательная плоскость, А – точка касания Доказать: ОА. А Доказательство. Предположим противное: пусть ОА, следовательно, ОА – наклонная к плоскости, значит, расстояние от центра сферы до плоскости меньше ОА, т. е. меньше радиуса R: d

О Признак касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, ОА, А. Доказать: — касательная плоскость. А Доказательство. ОА, значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы: d = R, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. данная плоскость является касательной. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.