Как найти нормаль по общему уравнению

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем — уравнение нормали к графику функции.

В нём k — угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет «холодным душем».

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример — тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг — приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в «формулу-болванку» и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного «причесать»: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали — не заметить, что функция, данная в примере, — сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры — уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция — сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция — сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.

Нормальное уравнение прямой – описание и пример

Рассмотрим выведение нормального уравнения.

Фиксируем на плоскости систему координат О х у , где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n → . Его начало обозначено точкой O . координатами являются cos α и cos β , углы которых расположены между вектором n → и положительными осями О x и O y . Это запишется так: n → = ( cos α , cos β ) . Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p , где p ≥ 0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n → . Если р = 0 , тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что O A = p . Получаем уравнение, при помощи которого задается прямая.

Имеем, что точка с координатами M ( x , y ) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора O M → по направлению вектора n → равняется p , значит при выполнении условия n p n → O M → = p .

O M → является радиус-вектором точки с координатами M ( x , y ) , значит O M → = ( x , y ) .

Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → = p

Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n → , O M → = cos α · x + cos β · y

Отсюда cos α · x + cos β · y = p или cos α · x + cos β · y — p = 0 . Было выведено нормальное уравнение прямой.

Уравнение вида cos α · x + cos β · y — p = 0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.

Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , где A и B имеют значения, при которых длина вектора n → = ( A , B ) равна 1 , а C является неотрицательным числом.

Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α · x + cos β · y — p = 0 задает в системе координат О х у на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n → = ( cos α , cos β ) , которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n → .

Если дано уравнение прямой вида — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 , то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор с координатами — 1 2 , 3 2 . Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.

Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.

Для приведения общего уравнения прямой A x + B x + C = 0 к нормальному необходимо обе части умножить на нормирующий множитель, который имеет значение ± 1 A 2 + B 2 . Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C . При С = 0 знак выбирается произвольно.

Привести уравнение прямой 3 x — 4 y — 16 = 0 к нормальному виду.

Из общего уравнения видно, что А = 3 , В = — 4 , С = — 16 . Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:

1 A 2 + B 2 = 1 3 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5

Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 1 5 · ( 3 x — 4 y — 16 ) = 0 ⇔ 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .

Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.

Ответ: 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

begin vec=vec(t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0). end

Пусть в точке $M$ $ vec(t_0)neqvec<0>$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec(t_0)$.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec$).

Если $vec=$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec-vec(t_0)$ и $vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

begin x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0. end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

begin left| begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \ end right|=0 end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec(t_0)timesvec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec(t_0) timesleft[vec(t_0),vec(t_0)right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)timesvec(t_0)$: begin left(vec-vec(t_0),, vec(t_0),, vec(t_0)timesvec(t_0)right)=0. end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ vec<tau>=frac<vec(t_0)><|vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ vec<beta>=frac<vec(t_0)timesvec(t_0)><|vec(t_0)timesvec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ vec<nu>=frac<vec(t_0) times[vec(t_0),,vec(t_0)]><|vec(t_0) times [vec(t_0),,vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<beta>$ называется репером Френе.

Решение задач

Задача 1

Кривая $gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

begin 1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1. end

begin left| begin X-0 & Y-0 & Z-1 \ 1 & 0 & 1\ 0 & 2 & 1 \ end right|=0 end Раскрываем определитель, получаем уравнение: begin -2X-Y+2Z-2=0 end

begin 1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0. end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vec<tau>timesvec<beta>$ направлен так, что тройка векторов $vec<tau>$, $vec<beta>$, $vec<nu>=vec<tau>timesvec<beta>$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<tilde<beta>>$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,,, y=frac<2>,,, z=frac<3>, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, поэтому записываем определитель begin left| begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \ &&\ 1 & t_0 & t^2_0 \ &&\ 0 & 1 & 2t_0 end right|=0 quad Rightarrow end

begin (X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: begin 9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3. end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $Pleft(-frac45,1,2right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,,, y=1+t,,, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec(t_0)$ и $vec(t_0)timesvec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: begin left| begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \ 2t_0 & 1 & 2\ 0 & 4 & -2 end right|= 0 end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: begin 5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_<01>=2,, t_<02>=-frac25. end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\ & 25X+4Y+8Z=0. end

Как найти нормаль плоскости

Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это любой направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор). Дальнейшие выкладки по определении нормали зависят от способа задания плоскости.

Инструкция

Если задано общее уравнение плоскости — AX+BY+CZ+D=0 или его форма A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, то можно сразу записать ответ — n(А, В, С). Дело в том, что это уравнение было получено, как задача определения уравнения плоскости по нормали и точке.

Для получения общего ответа, вам понадобится векторное произведение векторов из-за того, что последнее всегда перпендикулярно исходным векторам. Итак, векторным произведением векторов, является некоторый вектор, модуль которого равен произведению модуля первого (а) на модуль второго (b) и на синус угла между ними. При этом этот вектор (обозначьте его через n) ортогонален a и b – это главное. Тройка этих векторов правая, то есть из конца n кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки.
[a,b] — одно из общепринятых обозначений векторного произведения. Для вычисления векторного произведения в координатной форме, используется вектор-определитель (см. рис.1)

Для того чтобы не путаться со знаком «-», перепишите результат в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), и в координатах: {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.
Более того, дабы не путаться с численными примерами выпишете все полученные значения по отдельности: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.

Вернитесь к решению поставленной задачи. Плоскость можно задать различными способами. Пусть нормаль к плоскости определяется двумя неколлинеарными векторами, причем сразу численно.
Пусть даны векторы a(2, 4, 5) и b(3, 2, 6). Нормаль к плоскости совпадает с их векторным произведением и, как только что было выяснено будет равна n(nx, ny, nz),
nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. В данном случае ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Таким образом,
nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Нормаль найдена — n(14, -3, -4). При этом она является нормалью к целому семейству плоскостей.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Функция задана в явном виде

Функция задана в неявном виде

Функция задана в параметрическом виде

Рассмотрим
кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение
касательной к данной кривой в точке
имеет вид:

(34)

Нормалью
к кривой в данной точке называется
прямая, проходящая через данную точку,
перпендикулярную к касательной в этой
точке.

Уравнение
нормали к данной кривой в точке
имеет вид:

(35)

_{Длина
отрезка касательной, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
касательной,
проекция этого отрезка на ось абсцисс
называется подкасательной.}

_{Длина
отрезка нормали, заключенного между
точкой касания и осью абсцисс называется
длиной
нормали,проекция
этого отрезка на ось абсцисс называется
поднормалью.}

Пример
17

Написать
уравнения касательной и нормали к кривой
в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем
значение функции в точке
:

Найдем
производную заданной функции в точке

Уравнение
касательной найдем по формуле (34):

Уравнение
нормали найдем по формуле (35):

Ответ:
Уравнение
касательной :

Уравнение
нормали :.

Пример
18

Написать
уравнения касательной и нормали, длины
касательной и подкасательной, длины
нормали и поднормали для эллипса

в
точке
,
для которой.

Решение:

Найдем
как производную функции, заданной
параметрически по формуле (10):

Найдем
координаты точки касания
:
и значение производной в точке касания
:

Уравнение
касательной найдем по формуле (34):

Найдем
координаты
точкипересечения
касательной с осью:

Длина
касательной равна длине отрезка
:

Согласно
определению, подкасательная
равна

Где
угол
– угол между касательной и осью. Поэтому,— угловой коэффициент касательной,
равный

Таким
образом, подкасательная
равна

Уравнение
нормали найдем по формуле (35):

Найдем
координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина
нормали равна длине отрезка
:

Согласно
определению, поднормаль
равна

Где
угол
– угол между нормалью и осью. Поэтому,— угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому,
поднормаль
равна:

Ответ:
Уравнение
касательной :

Уравнение
нормали :

Длина
касательной
;
подкасательная;

Длина
нормали
; поднормаль

Задания
7. Написать
уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

.

2.
К окружности
в точках пересечения её с осью абсцисс

.

3.
К циклоиде
в точке, для которой

.

4.
В каких точках кривой
касательная параллельна:

а)
оси Оx; б) прямой

.

10.
Промежутки монотонности функции.
Экстремумы функции.

Условие
монотонности функции:

Для
того, чтобы дифференцируемая на
функцияне возрастала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна .

(36)

Для
того, чтобы дифференцируемая на
функцияне убывала, необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

(37)

Промежутки,
на которых производная функции сохраняет
определенный знак, называются промежутками
монотонности
функции

Пример
19

Найти
промежутки монотонности функции
.

Решение:

Найдем
производную функции
.

Найдем
промежутки знакопостоянства полученной
производной. Для этого

разложим полученный
квадратный трехчлен на множители:

.

Исследуем
знак полученного выражения, используя
метод интервалов.

Таким
образом, получаем согласно (36), (37),что
заданная функция возрастает на
и убывает на.

Ответ:
Заданная
функция
возрастает наи убывает на.

_{Определение}
Функция
имеет в точкелокальный
максимум (минимум),
если существует такая окрестность
точки
,
что для всехвыполняется условие

().

Локальный
минимум или максимум функции
называетсялокальным
экстремумом.

Необходимое
условие существования экстремума.

Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки.
Если функцияимеет
в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка
называетсякритической
точкой
функции
,
если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные
условия наличия экстремума в критической
точке
.

Пусть
точка
является критической.

Первое
достаточное условие экстремума:

Пусть
функция
непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка
является локальным максимумом, если
при переходе через

производная
функции меняет знак с плюса на минус.

Точка
является локальным минимумом, если при
переходе через

производная
функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример
20

Найти
экстремумы функции
.

Решение:

Найдем
производную заданной функции

Приравнивая
в полученной производной к нулю числитель
и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем
знак производной, используя метод
интервалов.

Из
рисунка видно, что при переходе через
точку
производная меняет знак с плюса на
минус. Следовательно, в точке—
локальный максимум.

При
переходе через точку
производная меняет знак с минуса на
плюс.

Следовательно,
в точке
—
локальный минимум.

При
переходе через точку
производная не меняет знак. Следовательно,
критическая точкане является экстремумом заданной
функции.

Ответ:
—
локальный максимум,
—
локальный минимум.

Второе
достаточное условие экстремума:

Если
первые
производные функциив точкеравны нулю, а-ная
производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции,
причем,

если

,
(38)

то
-локальный
минимум

если

,
(39)

то
-локальный
максимум.

Пример
21

Найти
экстремумы функции, пользуясь второй
производной
.

Решение:

ОДЗ:
.

Найдем
первую производную заданной функции

Найдем
критические точки функции:

Точку
мы не рассматриваем, так как функция
определена только в левой окрестности.

Найдем
вторую производную

Находим

Таким
образом, на основании (39) делаем вывод
о том, что при
— локальный максимум.

Ответ:
—
локальный максимум.

Задания
8.

Исследовать
на возростание и убывание функции:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Исследовать
на экстремумы функции:

7.
8.
9.
	10.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вывод уравнения нормали к графику функции

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Замечание 1

Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$.

Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:

$k_{норм}=- frac{1}{k_{к}}= -1 frac{1}{f’(x_0)}$.

Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:

$y – y_0 = — frac{1}{f’(x_0)} cdot (x – x_0) left(1right) $, здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$.

Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$:

1. Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
2. Затем нужно определить производную.
3. Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$, найденное значение — коэффициент касательной.
4. Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$.

Напомним также как выглядит само уравнение касательной:

$y – y_0 = f’(x_0) cdot (x – x_0)$.

Пример 1

Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$.

Решение:

Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$, затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$.

Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$: $y’(2) = 2 x = 2 cdot 2= 4$.

Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$:

$y-4=-frac{1}{4} cdot (x – 2)$

Уравнение нормали найдено.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023