Как найти нормаль скорости

Содержание:

Основы кинематики сплошной среды:

Сплошной средой считают деформируемые тела, различные жидкости, не очень разреженные газы. Понятия скорости и ускорения точки сплошной среды такие же, как и в кинематике одной точки. В кинематике сплошной среды роль точки отводится малой частице этой среды. Рассмотрим задания движения сплошной среды и получим формулы, по которым вычисляются скорости и ускорения точек сплошной среды.

Движение сплошной среды может быть изучено двумя методами, один из которых — метод Лагранжа — является обобщением метода, применявшегося в кинематике одной точки. Движение в методе Лагранжа задается в переменных Лагранжа. Другой метод — метод Эйлера — широко использует концепцию теории поля. При этом движение задается и изучается в переменных Эйлера. При рассмотрении движения сплошной среды преимущественно используется полевой подход, базирующийся на методе Эйлера и соответственно использующий переменные Эйлера.

Переменные Лагранжа

В выделенном объеме сплошной среды каждая его точка (малая частица) в фиксированный момент времени, например

допускающими вторые производные по всем переменным. Параметры так же как и дают возможность отличать одну точку сплошной среды от другой. В разные моменты времени различные точки сплошной среды характеризуются четырьмя независимыми переменными  которые называются переменными Лагранжа.

Для задания движения сплошной среды в переменных Лагранжа, как и в случае одной точки, достаточно задать декартовы координаты всех точек сплошной среды или их радиусы-векторы , но уже как функции четырех переменных Лагранжа:

или

В кинематике одной точки, которая рассматривалась ранее, использовались переменные Лагранжа для этой точки. Параметры не применялись, так как не было других точек, от которых следовало отличать рассматриваемую точку. Оставалась зависимость координат точки или ее радиуса-вектора только от времени. Для сплошной среды задание параметров позволяет выделить конкретную точку. Разным значениям этих параметров соответствуют различные точки сплошной среды.

Если движение сплошной среды задано в переменных Лагранжа, то скорости и ускорения в этих переменных определяются по обычным формулам кинематики точки:

или

или

Производные по времени частные, так как вычисляются при фиксированных значениях переменных . Величины или можно также дифференцировать по каждому из переменных .

В методе Лагранжа объектом изучения являются сами точки движущейся сплошной среды.

Переменные Эйлера

В механике сплошной среды, особенно для жидкостей и газов, а также в теории поля преимущественно используются метод Эйлера и соответственно переменные Эйлера. В методе Эйлера рассматриваются не фиксированные точки сплошной среды, а точки пространства, занятые движущейся сплошной средой. За независимые переменные принимают время и декартовы координаты точки пространства или другие параметры, характеризующие различные точки пространства. Четыре независимые переменные величины называют переменными Эйлера.

Различные векторные и скалярные величины, характеризующие сплошную среду, такие, как, например, скорость, ускорение, плотность и т. п., рассматривают как функции этих переменных. В случае сплошной среды изучаются поля скалярных и векторных величин, характеризующих движущуюся сплошную среду и ее свойства. Изучаются распределение этих величин по точкам пространства, занятого сплошной средой, и их изменение с течением времени.

По известному векторному полю скоростей сплошной среды, заданному в переменных Эйлера , можно определить векторное поле ускорений в этих переменных. Получим соответствующую формулу. Движение сплошной среды в переменных Эйлера считается известным, если задано поле скоростей в этих переменных. Согласно определению ускорения точки сплошной среды, находящейся в какой-либо точке пространства в момент времени , следует рассмотреть положение этой точки сплошной среды в момент времени . Она в этот момент вследствие движения сплошной среды окажется в другой точке пространства с координатами и будет иметь скорость , зависящую от координат этой новой точки пространства и времени . Изменение координат рассматриваемой точки сплошной среды на произошло вследствие изменения времени на , поэтому

Разложим скорость в ряд по степеням величин :

Индексы и  у производных указывают на то, что они берутся в точке пространства в момент времени  . Согласно определению ускорения точки сплошной среды, находящейся в точке пространства в момент времени , имеем

Остальные слагаемые ряда в пределе обращаются в ноль. Подставляя (1) в (2) и опуская для краткости индексы и  у производных, получаем

В проекциях на координатные оси имеем

По векторной формуле (3) вычисляют поле ускорений в переменных Эйлера, если известно поле скоростей. В эту формулу входят — локальная производная от вектора скорости — и группа слагаемых , представляющая собой конвективную производную от этого вектора. Полное изменение вектора скорости с течением времени, т. е. ускорение, обозначим .

Локальная производная характеризует изменение вектора скорости v в точке пространства вследствие изменения только одного времени при неизменных . Полная производная равна локальной производной в тех точках пространства, в которых скорость в рассматриваемый момент времени равна нулю.

Группа слагаемых, представляющая конвективную производную, учитывает изменение вектора скорости, вызванное переносом рассматриваемой точки сплошной среды самой движущейся средой.

Рассмотрим частные случаи

1.    Если , т. е. поле скоростей стационарно, то и .

2.    При и .

3.    Если , то ,  и .

По формуле (3) вычисляют полные, или субстанциальные, производные по времени в переменных Эйлера от любых векторных или скалярных величин, характеризующих сплошную среду. Пусть, например, известно скалярное поле плотностей сплошной среды. Рассуждения, аналогичные приведенным при выводе формулы для ускорения, приведут к полной производной от по времени

Если сплошная среда неподвижна, т. е. , то полная производная по времени от любой векторной или скалярной функции, характеризующей сплошную среду, согласно (3), равна локальной производной.

Преобразованием конвективной производной из (3) можно получить другое выражение для ускорения (формула Лэмба — Громеко):

где — вихрь вектора скорости, а — символический оператор Гамильтона:

— единичные векторы, направленные по осям декартовой системы осей координат. Вихрь вектора скорости определяется выражением

В дальнейшем используется также вектор , определяемый как половина вихря вектора скорости:

В проекциях на оси координат

Для выяснения физического смысла рассмотрим несколько примеров вычисления его по заданному полю скоростей.

Пример 1.

Сплошная среда совершает плоское движение, параллельное оси , с постоянной скоростью (рис. 104). Имеем .

По формуле (5) для вектора вихря имеем:

Рис. 104

Рис. 105

Рис. 106

Рис. 107

Следовательно, во всех точках пространства, занятого движущейся сплошной средой.

Пример 2.

Сплошная среда совершает плоское движение, параллельное оси , со скоростью, распределенной по линейному закону (рис. 105). Траектории точек сплошной среды являются прямыми линиями, параллельными оси . В этом случае

где . Имеем:

Таким образом, во всех точках потока сплошной среды

где — единичный вектор, направленный по оси .

Пример 3.

Точки сплошной среды движутся по круговым траекториям с центрами на оси и скоростями, обратно пропорциональными радиусам окружностей (рис. 106), т.е. , где . Имеем:

так как

где — координаты точки. По формуле (5) имеем

так как .

Следовательно, во всех точках потока, кроме точки , для которой вычисления непригодны, так как в этой точке скорость обращается в бесконечность.

Пример 4.

Сплошная среда вращается как твердое тело вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Скорости точек сплошной среды в этом случае распределены по линейному закону (рис. 107), т. е. . В этом случае

По формулам для вихря скорости имеем

Следовательно, 

де — единичный вектор, направленный по оси . Во всех точках потока имеет постоянную величину и постоянное направление, параллельное оси , в том числе и в точке , где и .

Угловая скорость

т. е. равна половине вихря вектора скорости. Таким образом, половина вихря вектора скорости является вектором угловой скорости вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Распределение скоростей в малой окрестности точки пространства

Пусть известны скорость в точке в момент и производные от нее по координатам в этот же момент времени (рис. 108). Получим формулу для вычисления скорости в этот же момент времени в любой другой точке из малой окрестности точки . Так как скорости в точках и рассматриваются в один и тот же момент времени, то удобно выбрать начало осей координат, относительно которых изучается движение сплошной среды, в точке .

Точки  пространства из малой окрестности точки отличаются друг от друга только координатами или радиусом-вектором . Скорость в какой-либо точке для фиксированного момента времени является функцией координат этой точки . Разложим в степенной ряд по координатам х, у, z, ограничиваясь слагаемыми первой степени по этим переменным и пренебрегая слагаемыми второй и более высоких степеней, предполагая, что ими можно пренебречь по сравнению с сохраняемыми слагаемыми для достаточно малых . Получим

где — скорость в точке . Индекс у производных служит указанием на то, что они вычисляются в точке пространства. В дальнейшем его будем опускать. В проекциях на координатные оси из (7) имеем

Рис. 108

Введем компоненты тензора скоростей деформации в точке выражениями

Тензор скоростей деформаций удобно представить в форме таблицы или матрицы:

Компоненты тензора скоростей деформаций, характеризующие движение сплошной среды, зависят от точки пространства и направления осей координат. Тензор  является симметричным тензором, так как согласно формулам, определяющим его компоненты,

Для таких симметричных тензоров в линейной алгебре доказывается, что в каждой точке существуют такие прямоугольные оси координат, называемые главными осями, для которых тензор принимает диагональную форму:

где — компоненты тензора скоростей деформаций для главных осей. Известно также, что сумма диагональных компонентов является инвариантом. Она не изменяется при повороте осей координат в рассматриваемой точке, т. е.

Скалярная величина

называется дивергенцией (расхождением) вектора скорости и обозначается . Таким образом, по определению,

Величины определяются из уравнения собственных значений тензора как его корни, т. е. как корни кубического уравнения для :

Известно, что числу соответствует геометрический образ, которым является точка на числовой оси. Вектору соответствует прямолинейный отрезок. Тензору , компоненты которого имеют два индекса, можно поставить в соответствие поверхность второго порядка, которую называют эллипсоидом скоростей деформаций. Такие тензорные поверхности дальше будут рассмотрены для тензоров инерции и напряжений поверхностных сил.

Применим для производных по координатам от проекций вектора скорости на оси координат тождественные преобразования Коши, прибавляя и вычитая одинаковые величины и используя (6′) и (8). Имеем

Из (7′) с учетом этих преобразований получаем

В векторной форме (11) примет вид

где называется скоростью деформации. Проекции скорости деформации на оси координат определяют по формулам

По формуле (11′) вычисляется скорость в момент времени в любой точке пространства из малой окрестности точки , если в этот же момент известны скорость, вихрь скорости и тензор скоростей деформаций в точке . Формула (11′) является обобщением на случай сплошной среды формулы (21) (см. § 8 гл. 4) для скорости точки свободного твердого тела в общем случае его движения. Для твердого тела . Кроме того, для сплошной среды роль угловой скорости выполняет половина вихря вектора скорости в точке .

Рассмотрим скорость деформации . Для простоты пусть мы выбрали такую точку , в которой в рассматриваемый момент времени и . Тогда для скорости в какой-либо точке из малой окрестности этой точки, согласно (11′), имеем

или в проекциях на оси координат

Если в точке , а все остальные    компоненты тензора скоростей деформаций равны нулю, то из (13′) получаем:

Из (14) следует, что точки сплошной среды из малой окрестности точки , находящейся в плоскости , имеют скорости, равные нулю, так как для них . Точки, расположенные в плоскости, параллельной этой координатной плоскости на расстоянии в положительном направлении оси , имеют одинаковые скорости, пропорциональные и направленные параллельно , если , и в обратную сторону, если . Для точек плоскости, параллельной , но отстоящей от нее на , скорости имеют противоположное направление. Таким образом, в малой окрестности точки характеризует скорость расширения или сжатия  частицы сплошной среды, приходящуюся на единицу расстояния в направлении, параллельном оси (рис. 109). Аналогично, и характеризуют относительные скорости растяжения или сжатия, приходящиеся на единицу расстояния в малой окрестности точки , в направлениях, параллельных осям координат и .

Допустим, что , а все остальные компоненты тензора скоростей деформации равны нулю. Тогда из (13′) следует:

Рис. 109

Рис. 110

Это показывает, что точки сплошной среды из малой окрестности точки , расположенные в плоскости , в частности на оси , для которых , имеют скорости, параллельные оси . Эти скорости распределены по линейному закону (рис. 110) и направлены в положительном направлении этой оси, если , и в обратную сторону, если . Аналогично, точки, находящиеся в плоскости , в частности на оси , имеют скорости, распределенные по линейному закону и параллельные оси . Если , то точки части сплошной среды из малой окрестности точки , находящиеся в момент времени  на осях координат и  и образующих прямой угол, в следующий момент времени расположатся на прямых линиях, образующих острый угол. Если , то прямой угол превратится в тупой. Таким образом, величина характеризует относительную скорость скоса углов в плоскости . Соответственно  и характеризуют относительные скорости скоса углов в плоскостях и , приходящиеся на единицу длины.

В общем случае, если все компоненты тензора скоростей деформации отличны от нуля, рассмотренные эффекты в окрестности точки наложатся друг на друга. Так как точка является произвольной точкой пространства, в котором движется сплошная среда, то все изложенное применимо для малой окрестности любой точки.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Линии и трубки тока

При рассмотрении движения сплошной среды и применении переменных Эйлера используется понятие линий тока, т. е. линий, в каждой точке которых в рассматриваемый момент времени векторы скоростей параллельны касательным этих линий. Если вектор в какой-либо точке линии тока направлен по касательной к этой линии, то, по определению линии тока, он должен быть параллельным вектору скорости в этой точке. Два параллельных вектора отличаются друг от друга только скалярным множителем (положительным или отрицательным). Следовательно,

Рис. 111

Если проекции вектора  на оси координат есть , то в проекциях на эти оси выражение (15) примет форму

Отбрасывая произвольный множитель , эти уравнения можно представить в следующем виде:

Два уравнения (15′) относительно координат для фиксированного момента времени являются дифференциальными уравнениями семейства линий тока. После интегрирования этих уравнений появятся произвольные постоянные, различным значениям которых соответствуют разные линии тока. На фиксированной линии тока в рассматриваемый момент времени находятся разные точки сплошной среды в отличие от траекторий. Для стационарного движения, при котором вектор скорости не зависит от времени, семейство линий тока совпадает с семейством траекторий. Для нестационарного движения это разные семейства линий.

Линии тока являются векторными линиями для векторного поля скоростей точек сплошной среды. Аналогичные векторные линии можно получить для любого другого векторного поля, например векторного поля вихря вектора скорости и т. п.

Если выбрать в пространстве, в котором движется сплошная среда, какой-либо замкнутый контур (рис. 111) и через каждую его точку провести свою линию тока, то получим трубку тока. Сплошная среда не может выходить из трубки тока через боковую ее поверхность, так как в ее точках, состоящих из линий тока, скорости точек сплошной среды направлены по касательным к поверхности трубки тока. Сплошная среда может входить и выходить из трубки тока только через ее торцовые сечения. Трубки тока используются для формулировки некоторых интегральных форм теорем о движении сплошной среды.

Поток и циркуляция вектора скорости

Поток вектора скорости: Выберем в пространстве, в котором движется сплошная среда, неподвижную поверхность относительно рассматриваемой системы отсчета. Разобьем ее на малые элементарные площадки с площадью (рис. 112). Потоком вектора скорости через элементарную площадку , определяемую внешней нормалью , называется скалярная величина , где — проекция скорости на внешнюю нормаль к площадке.

Рис. 112

Для замкнутой поверхности внешней нормалью в каждой ее точке называют нормаль, которая направлена во внешнюю часть объема, ограниченного поверхностью. Для незамкнутых поверхностей дополнительно уславливаются, какое направление нормали считать внешним.

Потоком вектора скорости через поверхность называют скалярную величину

Для вычисления потока можно получить другие выражения, если учесть, что

где — единичный вектор, направленный по внешней нормали; — его проекции на оси координат. Для них имеем:

Кроме того,

После этого для потока получаем

Наиболее часто используемое выражение для потока получают применением формулы Гаусса—Остроградского для преобразования интеграла по замкнутой поверхности  в интеграл по объему , ограниченному этой поверхностью:

где — любые функции переменных Эйлера, имеющие частные производные. Замкнутая поверхность должна быть при этом достаточно гладкой.

Если принять , то, применяя (17) для потока через замкнутую поверхность, имеем

Ho

поэтому

Для вектора вихря скорости поток через замкнутую поверхность равен нулю, так как с учетом формул для проекций вектора вихря на координатные оси имеем

Из (18) для потока через элементарную замкнутую поверхность, ограничивающую объем , приближенно имеем

Отсюда получаем для дивергенции вектора скорости

т. е. дивергенцию вектора скорости в какой-либо точке можно рассматривать как предел потока вектора скорости через замкнутую поверхность, приходящуюся на единицу объема, ограниченного поверхностью, при стягивании объема в эту точку.

Рис. 113

Циркуляция вектора скорости: Для введения понятия циркуляции вектора скорости по какому-либо контуру следует выбрать контур , разбить его на элементарные участки длиной . Тогда циркуляцией вектора скорости по элементарному контуру называют величину , где — проекция вектора скорости на положительное направление касательной к контуру в рассматриваемой точке (рис. 113). За положительное направление касательной к контуру, если контур замкнутый, выбирают то направление, при обходе контура в котором ограниченная им поверхность остается слева. Для незамкнутого контура о положительном направлении касательной уславливаются дополнительно.

Циркуляция вектора скорости по всему контуру

Для вычисления циркуляции можно получить другие формулы, если учесть, что

где — единичный вектор в положительном направлении касательной к контуру; — его проекции на декартовы оси координат. Учитывая, что

получим

Ho

где — радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку контура. Поэтому имеем

Таким образом,

Для замкнутого контура можно применить формулу Стокса, преобразующую интеграл по контуру в интеграл по поверхности, натянутой на этот контур:

Если принять , то, применяя (20) для замкнутого контура, имеем

Учитывая, что

являются проекциями вихря скорости, для циркуляции по замкнутому контуру получим

Если , т.е. движение сплошной среды является потенциальным, то циркуляция при таком движении по замкнутому контуру равна нулю, если контур не охватывает точек, в которых вихрь скорости отличен от нуля.

Для вектора силы  циркуляция по какому-либо контуру является работой силы на этом контуре.

Поток вектора скорости

Поток вектора скорости

• В пространстве, где движется сплошная среда, выберите поверхность, которая зафиксирована относительно рассматриваемой системы отсчета. Разделите на основные регионы с небольшой площадью dS (рис. 112). Течение вектора скорости r через базовый узел dS, определяемое внешней нормалью Mn, называется скаляром. Кажущееся значение равно v „dS, где« n = t> cos (t5, l) — проекция скорости на внешнюю нормаль сайта.

Поскольку цилиндрический шарнир имеет две неизвестные величины, например, составляющую силы реакции вдоль координатных осей, то число неизвестных может быть четыре, независимых условий равновесия — три. Людмила Фирмаль

Для замкнутых поверхностей внешняя нормаль в каждой точке называется нормалью и направлена ​​на внешнюю часть объема, окруженную поверхностью. Для открытых поверхностей дополнительно определяется Направление нормали считается внешним. Рисунок 112 Поток Q вектора скорости v через виртуальную поверхность S называется скалярной величиной. e-ff «.ds-jf [» IooS (S. ) + 1-, CoS (e. ) + y, ”s (ii. -)] ds- -ff | r, drd; + r, d: dy + l. Дд-ды). (16) См.

• Применение формулы Гаусса-Остроградского для преобразования интеграла на замкнутой поверхности S в интеграл на объеме K, окруженном этой поверхностью. ff [p cos (u, x) + qco & (n, j) + rcos (n, z)] dS = (S), O ‘) Где p, q и r — функции переменных Эйлера с частичным дифференцированием. Закрытая поверхность должна быть достаточно гладкой.

Осевой момент инерции d, момент инерции для любой оси, перпендикулярной оси симметрии B: равный соответственно инерции шпинделя относительно оси, проведенной через неподвижную точку O. Людмила Фирмаль

Если p = vx, q = vy, r = vz, то применяя (17) к потоку через замкнутую поверхность, Q = WÅгex cos (© — * *) + vycos («> Lu) + t’z cos (u, z z)] dS = -DI), если 2, проходит через основную замкнутую поверхность, окружающую объем DI. Отсюда находим расхождение вектора скорости divw = lim-, доктор-оди То есть расхождение вектора скорости в любой точке можно рассматривать как предел потока вектора скорости через закрытую поверхность на единицу объема, ограниченного поверхностью, когда объем сокращается до этой точки. ,

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Поток векторного поля: теория и примеры

Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла

Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.

Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле

и поверхность σ, в каждой точке M которой определён единичный вектор нормали . Пусть также направляющие косинусы этого вектора — непрерывные функции координат x, y, z точки M.

Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл

.

Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор . Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода

.

.

поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода

.

Направление и интенсивность потока векторного поля

Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.

Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля — это число векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.

Если поток векторного поля — поле скорости частиц текущей жидкости через поверхность σ, то поверхностный интеграл равен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если рассматривать магнетическое поле, которое характеризуется вектором магнетической индукции , то поверхностный интеграл называется магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической индукции, пересекающих поверхность σ. В случае электростатического поля интеграл выражает число линий электрической силы, пересекающих поверхность σ. Этот интеграл называется потоком вектора интенсивности электростатического поля через поверхнсть σ. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность σ. Если k — коэффициент теплопроводности, а u(M) — температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени, определяет интеграл .

Вычисление потока векторного поля: примеры

Пример 1. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

1) Поверхностью σ является треугольник ABC , а её проекцией на ось xOy — треугольник AOB .

Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:

.

Длина вектора нормали:

.

Единичный вектор нормали:

.

Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус . Тогда .

Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:

Выразим переменную «зет»:

Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:

Получили ответ: поток векторного поля равен 64.

2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем

.

Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно. Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник OCB , который ограничивают прямые y = 0 , z = 0 , y + 3z = 6 или y = 6 − 3z и в точках поверхности 2x = 6 − y − 3 , получаем первый интеграл и вычисляем его:

Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник OAC , который ограничен прямыми x = 0 , z = 0 , 2x + 3z = 6 или . По этим данным получаем второй интеграл, который сразу решаем:

Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник OAB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 , 2x + y = 6 . Получаем третий интеграл и решаем его:

Осталось только сложить все три интеграла:

.

Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.

Пример 2. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC , изображённый на рисунке ниже.

1) Коэффициенты при x , y и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах так:

.

Длина этого вектора:

,

единичный вектор нормали (орт):

.

Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:

Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла первого рода

.

Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:

2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:

.

Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности образует с осями Ox и Oy тупой угол.

Вычисляем первый интеграл:

Вычисляем второй интеграл:

Вычисляем третий интеграл:

Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:

.

Пример 3. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону параболоида в первом октанте, отсечённую плоскостью z = 9 .

Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:

Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:

Вычисляем второй интеграл:

В сумме получаем искомый поток векторного поля:

.

Скорость, Вектор скорости и траектория, Сложение скоростей

Скорость

Средняя скорость частицы характеризует быстроту ее движения за конечный промежуток времени. Неограниченно уменьшая этот промежуток, мы придем к физической величине, характеризующей быстроту движения в данный момент времени. Такая величина называется мгновенной скоростью или просто скоростью:

обозначает математическую операцию перехода к пределу. Под этим символом записывается условие, при котором выполняется данный предельный переход; в рассматриваемом случае это стремление к нулю промежутка времени. При вычислении скорости по этому правилу мы убедимся, что уменьшение промежутка времени приводит к тому, что на некотором этапе получаемые очередные значения средней скорости будут все меньше и меньше отличаться друг от друга. Поэтому на практике при нахождении скорости можно остановиться на конечном значении, достаточно малом для получения требуемой точности значения скорости.

Вектор скорости и траектория.

Рассматриваемый предельный переход имеет ясный геометрический смысл. Поскольку вектор перемещения направлен по хорде, соединяющей две точки траектории, то при сближении этих точек, происходящем при, он принимает положение, соответствующее касательной к траектории в данной точке. Это значит, что вектор скорости направлен по касательной к траектории. Так будет в любой точке траектории (рис. 14). При прямолинейной траектории движения вектор скорости направлен вдоль этой прямой.

Скорость прохождения пути.

Аналогичным переходом определяется мгновенная скорость прохождения пути:

Для плавной кривой, каковой является траектория любого непрерывного механического движения, длина дуги тем меньше отличается от длины стягивающей ее хорды, чем короче эта дуга. В пределе эти длины совпадают. Поэтому при можно считать, что . Это означает, что скорость прохождения пути равна модулю мгновенной скорости . Движение, при котором модуль скорости остается неизменным, называется равномерным. В случае прямолинейной траектории при равномерном движении вектор скорости постоянен, а в случае криволинейной траектории изменяется только его направление.

Сложение скоростей.

Если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то его скорость равна векторной сумме скоростей каждого из этих движений. Это непосредственно следует из правила сложения перемещений: так как , то после деления на получаем

Иногда бывает удобно представить некоторое сложное движение как суперпозицию, т. е. наложение двух простых движений. В этом случае равенство (3) можно трактовать как правило разложения вектора скорости на составляющие.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Задачи.

1.

Переправа через реку. Скорость течения в реке с параллельными берегами всюду одинакова и равна. Ширина реки (рис. 15). Катер может плыть со скоростью относительно воды. На какое расстояние s снесет катер вниз по течению реки, если при переправе нос катера направить строго поперек берегов?

Катер участвует одновременно в двух движениях: со скоростью , направленной поперек течения, и вместе с водой со скоростью которая направлена параллельно берегу. В соответствии с правилом сложения скоростей полная скорость катера относительно берегов равна векторной сумме (рис. 16). Очевидно, что движение катера происходит по прямой, направленной вдоль вектора. Искомое расстояние s, на которое снесет катер при переправе, можно найти из подобия треугольника, образованному векторами скоростей:

Эту задачу легко решить и не прибегая к сложению векторов скоростей.

Очевидно, что расстояние s равно произведению скорости течения на время в течение которого катер пересекает реку. Это время можно найти, разделив ширину реки на скорость движения катера поперек реки. Таким образом, находим Рис. 16. Сложение скоростей при переправе через .В этой простой задаче второй способ решения предпочтительнее, так как он проще. Однако уже при небольшом усложнении условия задачи становятся отчетливо видны преимущества первого способа, основанного на сложении векторов скоростей.

2. Переправа поперек реки. Предположим, что теперь нам нужно переправиться на катере через ту же реку точно поперек, т. е. попасть в точку В, лежащую напротив начальной точки А (рис. 17). Как нужно направить нос катера при переправе? Сколько времени займет такая переправа?Решение. В рассматриваемом случае полная скорость v катера относительно берегов, равная векторной сумме скоростей должна быть направлена поперек реки.

Из рис. 17 сразу видно, что вектор, вдоль которого и смотрит нос катера, должен отклоняться на некоторый угол а вверх по течению реки от направления . Синус этого угла равен отношению модулей скоростей течения и катера относительно воды. Переправа поперек реки без сноса возможна только в том случае, когда скорость катера относительно воды больше скорости течения. Это сразу видно либо из треугольника скоростей на рис. 17 (гипотенуза всегда больше катета), либо из формулы (синус угла а должен быть меньше единицы).Время переправы найдем, разделив ширину реки на полную скорость катера по теореме Пифагора.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

3. Снос при быстром течении.

Предположим теперь, что скорость катера относительно воды меньше скорости течения: В таком случае переправа без сноса невозможна. Как следует направить нос катера при переправе, чтобы снос получился минимальным? На какое расстояние этом снесет катер? Решение. Полная скорость относительно берегов во всех рассматриваемых случаях дается формулой. Однако теперь нагляднее выполнить сложение векторов и по правилу треугольника (рис. 18) первым изображаем век гор для которого мы знаем модуль направление, а затем к его концу пристраиваем начало вектора известен только модуль, направление еще предстоит выбрать. Этот выбор нужно сделать так, вектор результирующей скорости как можно меньше отклонялся от направления поперек реки.

Рис. 19. Определение курса (направление вектора) переправы минимальным сносом 18. Сложение скоростей переправе Конец любом направлении должен лежать на окружности радиуса центр которой совпадает концом вектора. Эта окружность показана Так условию задачи то точка соответствующая началу лежит вне этой окружности.

Из рисунка видно, что образует прямой

наименьший угол тогда, когда он направлен касательной Следовательно, перпендикулярен вектору треугольник прямоугольный. Таким образом, направлять вверх течению под углом линии Синус этого угла дастся выражением Траектория направлена вдоль вектора, т.е. она перпендикулярна направлению, в котором смотрит катера. Это значит, своей траектории катер движется боком. другом берегу реки причалит точке, до найти из подобия треугольников. Модуль находится теореме Пифагора. результате получаем

4. Лодка тросе. Лодку подтягивают за привязанный носу трос, наматывая равномерно вращающийся барабан Барабан установлен высоком берегу. какой скоростью лодка тот момент, трос горизонтом? Трос выбирается барабаном скоростью.

Решение.

Точка троса, где он привязан к лодке, движется с той же скоростью, что и лодка. Эта скорость v направлена горизонтально. Чтобы связать ее со скоростью выбирания троса, нужно сообразить, что движение троса сводится к повороту вокруг точки В, где он касается барабана, и скольжению вдоль собственного направления, т. е. прямой . Поэтому естественно разложить скорость точки на две составляющие , направленные вдоль и поперек троса (рис. 21). Скорость , направленная поперек, связана с поворотом троса. Модуль скорости направленной вдоль троса, — это и есть данное в условии задачи значение скорости.

По мере приближения лодки к берегу угол а становится больше. Это значит, что cos а убывает и искомая скорость возрастает. Задача для самостоятельного решения Человек находится в поле на расстоянии от прямолинейного участка шоссе. Слева от себя он замечает движущийся по шоссе автомобиль. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автомобиля и как можно дальше от него? Скорость автомобиля и, скорость человека.

• Объясните, почему вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории.

• В некоторых случаях траектория движения частицы может иметь изломы. Приведите примеры таких движений. Что можно сказать о направлении скорости в точках, где траектория имеет излом?

• В случае непрерывного механического движения вектор скорости не испытывает скачков ни по модулю, ни по направлению. Появление скачков скорости всегда связано с некоторой идеализацией реального процесса. Какие идеализации присутствовали в приведенных вами примерах траекторий с изломами?

• Найдите ошибку в приводимом ниже решении задачи 4. Разложим скорость , точки троса на вертикальную и горизонтальную составляющие (рис. 22). Горизонтальная составляющая это и есть искомая скорость лодки. Поэтому и (неверно!).

Скорость как производная.

Вернемся к выражению (1) для мгновенной скорости. При движении частицы ее радиус-вектор г изменяется, т. е. является некоторой функцией времени:. Перемещение Дг за промежуток времени At представляет собой разность радиусов-векторов в моменты времени. Поэтому формулу (1) можно переписать в виде В математике такую величину называют производной от функции по времени Для нее используют следующие обозначения. Последнее обозначение (точка над буквой) характерно именно для производной по времени. Отметим, что в данном случае производная представляет собой вектор, так как получается в результате дифференцирования векторной функции по скалярному аргументу. Для модуля мгновенной скорости в соответствии справедливо выражение в начале статьи.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Определение скорости при координатном способе

задания
движения

Воспользуемся
уравнением (4)
и возьмем от него производную по времени

.
(8)

В
(8)
при единичных векторах стоят проекции
вектора скорости на координатные оси

.
(9)

Проекции
скорости на координатные оси определяются
как первые производные по времени от
соответствующих координат.

Зная
проекции, можно найти модуль вектора и
его направление

,
(10)

.
(11)

Определение
скорости при естественном способе

задания
движения

Пусть
дана траектория материальной точки и
закон изменения криволинейной координаты.
Предположим, при t₁
точка имела
координатуs₁,
а при t₂
– координату s₂.
За время
координата
получила приращение
,
тогда средняя скорость точки

.

Для
нахождения скорости в заданный момент
времени перейдем к пределу

,

.
(12)

Вектор
скорости точки при естественном способе
задания движения определяется как
первая производная по времени от
криволинейной координаты.

Ускорение точки

Под
ускорением материальной точки понимают
векторную величину, характеризующую
быстроту изменения вектора скорости
точки по величине и направлению с
течением времени.

Ускорение точки при векторном способе
задания движения

Рассмотрим
точку в два момента времени t₁
()
иt₂
(),
тогда— приращение времени,— приращение скорости.

Вектор
всегда
лежит в плоскости движения и направлен
в сторону вогнутости траектории.

Подсредним
ускорением точки
за время t
понимают
величину

.
(13)

Для
нахождения ускорения в заданный момент
времени перейдем к пределу

,

.
(14)

Ускорение
точки в данный момент времени определяется
как вторая производная по времени от
радиус-вектора точки или первая
производная от вектора скорости по
времени.

Вектор
ускорения расположен в соприкасающейся
плоскости и направлен в сторону вогнутости
траектории.

Ускорение точки при координатном способе задания движения

Воспользуемся
уравнением связи векторного и координатного
способов задания движения

.

И возьмем от него
вторую производную

,

.
(15)

В
уравнении (15)
при единичных векторах стоят проекции
вектора ускорения на координатные оси

.
(16)

Проекции
ускорения на координатные оси определяются
как первые производные по времени от
проекций скорости или как вторые
производные от соответствующих координат
по времени.

Модуль и направление
вектора ускорения можно найти по
следующим выражениям

,
(17)

,
,.
(18)

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Пусть
точка движется по криволинейной
траектории. Рассмотрим два ее положения
в моменты времениt
(s,
M,
v)
и t₁
(s₁,
M₁,
v₁).

Ускорение
при этом определяется через его проекции
на оси естественной системы координат,
движущейся вместе с точкой M.
Оси при этом направлены следующим
образом:

M
— касательная, направлена вдоль касательной
к траектории, в сторону положительного
отсчета расстояния,

Mn
– главная нормаль, направлена по нормали,
лежащей в соприкасающейся плоскости,
и направлена в сторону вогнутости
траектории,

Mb
– бинормаль, перпендикулярна плоскости
Mn
и образует с первыми осями правую тройку.

Так
как вектор ускорения лежит в соприкасающейся
плоскости, то a_b=0.
Найдем проекции ускорения на другие
оси.

.
(19)

Спроектируем
(19)
на координатные оси

,

(20)

.
(21)

Проведем
через точку M₁
оси параллельные осям в точке M
и найдем проекции скорости:

M:

,

Mn:
,

(22)

где — так называемый угол смежности.

Подставляем
(22)
в (20)

.

При
t0
0,
cos1,
тогда

.
(23)

Касательное
ускорение точки определяется первой
производной по времени от скорости или
второй производной по времени от
криволинейной координаты.

Касательное
ускорение характеризует изменение
вектора скорости по величине.

Подставим
(22)
в (21)

.

Умножим
числитель и знаменатель на s
чтобы получить известные пределы

,
(24)

где(первый
замечательный предел),

,,

,
где 
— радиус кривизны траектории.

Подставляя
вычисленные пределы в (24),
получим

.

(25)

Нормальное
ускорение точки определяется отношением
квадрата скорости к радиусу кривизны
траектории в данной точке.

Нормальное
ускорение характеризует изменение
вектора скорости по направлению и всегда
направлено в сторону вогнутости
траектории.

Окончательно
получим проекции ускорения материальной
точки на оси естественной системы
координат и модуль вектора

,
(26)

.
(27)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #

  02.04.2015390.66 Кб2316.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #