Пример решения задачи на расчет нормальных напряжений в сечениях прямого ступенчатого стержня при продольном нагружении.
Задача
Рассчитать величину напряжений в стержне заданной формы, нагруженном продольными силами и построить их эпюру.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Поперечное сечение стержня — квадрат со сторонами a=22мм.
Допустимые напряжения [σ]=160МПа
Пример решения
Предыдущие пункты решения задачи:
- Расчет опорной реакции стержня,
- Построение эпюры внутренних продольных сил,
- Подбор размеров квадратного сечения стержня по условию прочности.
Как известно, расчет нормальных напряжений при растяжении-сжатии производится по формуле:
т.е. напряжения определяются отношением соответствующей величины внутренней силы к площади поперечного сечения на рассматриваемом участке стержня.
Площади поперечного сечения стержня:
В пределах участка стержня, где внутренняя сила и площадь постоянны, напряжения тоже будут одинаковы, при этом положительные (растягивающие) внутренние силы в сечениях вызывают действие положительных напряжений, и наоборот.
Величину и знаки внутренних сил примем с построенной эпюры N.
Расчет напряжений
Напряжения на I силовом участке (KM)
На II участке (CK)
На III участке (BC)
По этим данным строим эпюру нормальных напряжений σ.
По эпюре видно, что все напряжения лежат в пределах допустимых значений, следовательно, поперечные размеры стержня были рассчитаны правильно и необходимая прочность обеспечена.
Другие примеры решения задач >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату
Привет! В этом уроке начнём знакомиться с таким видом деформации, как растяжение (сжатие). Обычно, с этой темы и начинают изучать сопротивление материалов — объясняются основные понятия, которые дальше используются на протяжении всего обучения.
Задание, которое будем рассматривать в этой статье, как правило, дается студентам в первую очередь в качестве домашней работы. После изучения материалов этого урока ты научишься строить следующие эпюры: продольных сил, нормальных напряжений, а также осевых перемещений поперечных сечений. Не пугайся мудрёных названий, на самом деле, все эти эпюры строятся очень просто!
Что же давай приступим к изучению!
Построение эпюры продольных сил
В качестве примера возьмём простенькую расчётную схему стержня (также часто ступенчатый стержень, который работает на растяжение или сжатие, называют брусом). Загрузим наш стержень сосредоточенными силами, вот так:
Теперь наша первостепенная задача – построить эпюру продольных сил. И давай сразу будем разбираться в терминологии.
Что такое эпюра?
Эпюра – это график, который принято строить для визуализации распределения какой-либо величины. В нашем случае, продольной силы.
Построив такой график, мы можем увидеть, где определённая величина достигает максимальных или минимальных значений, что может быть полезно при проведении прочностных расчётов и других. Кроме того, эпюры могут служить вспомогательными инструментами для построения других эпюр, о чём мы будем говорить далее.
Что такое продольная сила?
Продольная сила – это внутренняя сила, которая возникает в сечениях стержня, работающего на растяжение или сжатие под действием внешней нагрузки.
Расчёт эпюры продольных сил
Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить брус на несколько участков, где эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для этого стержня, границами участков служат те точки, где прикладываются сосредоточенные силы.
То есть для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:
Важно! Эпюра продольных сил, никак не зависит от формы бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать.
Правило знаков для продольных сил
Правило знаков для продольных сил следующее:
- если внешняя сила (F) растягивает брус, то продольная сила (N) в сечениях будет положительная;
- если внешняя сила (F) сжимает брус, то продольная сила (N) в сечениях будет отрицательная.
Расчёт продольных сил на участках
На первом участке сила F1 растягивает брус на величину 5 кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:
Откладываем это значение на графике — эпюре. Эпюры, принято заштриховывать перпендикулярно к нулевой линии, а также указывать знак продольной силы:
На втором же участке, помимо силы F1, также действует сила F2, которая сжимает брус, поэтому в уравнении ее нужно учесть со знаком «минус»:
Откладываем полученное значение на эпюре:
Расчёт реакции в жёсткой заделке
Прежде всего, следует разобраться с тем, что вообще такое реакция. Всё дело в том, что помимо внутренних усилий, возникающих внутри нагруженного элемента конструкции, в том месте, где закреплён этот элемент, также возникают некоторые силы (сила), которые являются реакцией на внешнюю нагрузку и удерживающие эту конструкцию в состоянии статического равновесия.
Например, стул на котором ты сейчас сидишь и давишь на него своим весом, сопротивляется, чтобы удерживать тебя в состоянии равновесия. Если переводить на язык сопромата, твой вес в этом случае это внешняя сила, а сила с которой стул реагирует на твой вес – это реакция опоры, равная по модулю этой силе, но противоположно направленная.
Так и в нашей конструкции, в жёсткой заделке, также возникает реакция! Осталось только научиться — определять эту силу. Так как она должна компенсировать всю нагрузку, которая приложена к стержню, условие равновесия для нашей схемы можно записать так:
То есть, так как система находится в состоянии равновесия, то сумма всех сил, действующих на конструкцию, будет равна нулю.
Из этого условия равновесия и найдём искомую реакцию. Приложим некоторую силу R в месте, где закреплён наш стержень, при этом направить её можно в любую сторону, хоть влево, хоть вправо, главное, чтобы она была направлена горизонтально, так как у нас вся нагрузка, направлена так, то и реакция в заделке будет возникать исключительно — горизонтальная:
Чтобы составить уравнение равновесия, введём продольную ось – x, относительно неё будем составлять это уравнение, при этом силы, которые будут совпадать с положительным направлением оси x, в уравнении будем учитывать с «плюсом», а противоположно направленные с «минусом»:
Находим из этого уравнения реакцию в заделке:
А теперь, давай обсудим, что можем делать с этим теперь. В нашей конкретной задаче реакция может помочь проверить эпюру продольных сил. Если в первом уроке, считали стержень, строго справа налево, то теперь, зная численное значение реакции, можно рассчитать стержень и слева направо. Или как минимум увидеть, что левый участок эпюры, был построен верно.
Да, можно было вполне обойтись, без расчёта этой реакции конкретно в этом случае. Но, чаще всего, решение задач по сопромату начинается как раз с определения реакций, потому что без этого в большинстве случаев, невозможно определить внутренние усилия, а тем самым произвести какие-либо дальнейшие расчёты. Но с этим мы ещё многократно будем сталкиваться в следующих уроках, особенно в задачах на изгиб.
Построение эпюры нормальных напряжений
В отличие от продольных сил, нормальные напряжения уже зависят от формы бруса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений.
Формула для определения нормальных напряжений выглядит так:
Таким образом, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на площадь сечения.
Нормальные напряжения, как и продольные силы, изменяются по одному закону в пределах участков. Однако, так как форма бруса сказывается на распределении нормальных напряжений, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашей расчетной схемы, нужно рассмотреть три участка и вычислить напряжения, соответственно, 3 раза:
Будем считать, что по условию задачи нам известны все параметры бруса, включая площади поперечных сечений: на первом участке площадь поперечного сечения A1=2 см2, а на втором и третьем A2 = A3 = 4 см2.
Вычисляем напряжения на каждом участке:
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:
По полученной эпюре нормальных напряжений, можно определить те поперечные сечения, в которых напряжения будут максимальными (все сечения на участке 1), что полезно при проведении прочностного расчёта.
Построение эпюры осевых перемещений поперечных сечений
Под действием внешней нагрузки поперечные сечения бруса перемещаются вдоль продольной оси. Под нагрузкой брус может как удлиниться, так и укоротиться. И в этом разделе будем учиться определять эти перемещения.
Для начала подготовимся к расчету и расставим точки в характерных сечениях. Чтобы потом к ним привязываться по ходу решения:
Если для первых двух эпюр, расчет начинался справа налево, от свободного конца. То здесь нам нужно начать считать с закрепленного конца, с жесткой заделки и так как сечение A, закреплено жестко, то никакие перемещения этого сечения невозможны, поэтому сразу можем записать:
Эпюра перемещений так же, как и остальные эпюры, меняется по одному закону, в пределах участков. Поэтому, чтобы построить эпюру, достаточно определить эти перемещения в характерных точках.
Перемещение точки B будет складываться из перемещения предыдущего расчетного сечения:
А также удлинения (или укорочения) участка между расчетными сечениями:
В свою очередь, удлинение (или укорочение) любого участка, можно определить по следующей формуле:
Поэтому формулу, для нахождения перемещения сечения B, можно записать и в другом виде:
Подставив все численные значения, найдем искомое перемещение:
Откладываем полученное значение на эпюре:
Также важно отметить, что при вычислении удлинения или укорочения участка (Δl), фактически площадь эпюры продольных сил (ω) делится на жесткость при растяжении или сжатии (EA).
Это свойство нам еще пригодится, когда будем рассматривать более сложную задачу.
Для точек C и D перемещения находятся аналогичным способом, так же как и для точки B, поэтому подробно комментировать не буду, приведу решение.
Точка C
Точка D
Откладываем полученные значения на эпюре:
По полученной эпюре, можно увидеть — в какую сторону и насколько переместится любое поперечное сечение стержня. Наиболее интересной характеристикой здесь является перемещение сечения D, то есть перемещение свободного конца бруса или фактическое удлинение. Как видим, сечение D переместится вправо на величину WD (т. к. значение WD — положительное). То есть, под действием всей нагрузки брус удлинится на 0.575 мм.
Учёт распределённой нагрузки
А теперь предлагаю рассмотреть немного измененную задачу. Приложим к нашему брусу дополнительно распределенную нагрузку q с интенсивностью равной 2 кН/м. После чего рассчитаем и построим все те же эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.
Чтобы учесть распределенную нагрузку, необходимо интенсивность нагрузки (q) умножить на длину участка, на котором действует нагрузка. В чистом виде, только от распределенной нагрузки, эпюра продольных сил будет треугольная.
Расчет продольных сил
На первом участке, сила по-прежнему растягивает стержень, записываем ее в уравнение с «плюсом», а распределенная нагрузка сжимает, соответственно, ее учитываем с «минусом»:
Найдем значения продольной силы на границах первого участка:
Откладываем рассчитанные значения:
На втором участке, распределенная нагрузка будет действовать точно так же, как и сосредоточенная сила:
Рассчитываем продольную силу на третьем участке:
Строим окончательную эпюру продольных сил:
Расчет нормальных напряжений
Нормальные напряжения рассчитываются точно так же, как и для первой задачи, единственное отличие только в том, что на первом участке необходимо рассчитать напряжения два раза — на границах участка:
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:
Расчет перемещений
Для точек A, B и С перемещения рассчитываются аналогично, как в первой задаче:
Строим эпюру перемещений на втором и третьем участке:
Чтобы рассчитать удлинение на первом участке, нужно вычислить площадь эпюры продольных сил на этом участке и разделить на жесткость (EA):
Так как на этом участке, эпюра состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников, но по разные стороны от нулевой линии, с учетом знаков, ожидаемо, получим, что перемещение точки D, будет равно перемещению точки C.
Однако, необходимо учесть еще одну особенность. На участках, где действуют распределенные нагрузки, эпюры перемещений изменяются не по линейному закону, а по квадратичному.
То есть на участке с распределенной нагрузкой, эпюра перемещений всегда будет иметь либо выпуклость, либо вогнутость:
Чтобы понять, как же будет выглядеть эпюра перемещений, на участке с распределённой нагрузкой, нужно проанализировать эпюру продольных сил.
Как видим, начиная от точки C и до пересечения нулевой линии, эпюра продольных сил – отрицательна, а это значит, что эпюра перемещений, на этом отрезке, также должна убывать, как показано зелёной пунктирной линией. Поэтому изображаем эпюру перемещений следующим образом:
Но чтобы окончательно убедиться в верности наших рассуждений, можно также определить экстремум на эпюре перемещений (там, где эпюра достигает своего максимального значения). Или в той точке, где эпюра продольных сил пересекает нулевую линию:
Отмечаем найденное значение на эпюре перемещений:
iSopromat.ru
Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.
Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки
Расчет напряжений
Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент Mx 
представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения. 
Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой: 
где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
Ix — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.
Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.
По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.
Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.
Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y1=y2=h/2: 
Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку. 
Для несимметричного сечения 
напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2: 
где: 
WX — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
WX(1) и WX(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.
Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.
Условия прочности при изгибе
Прочность по нормальным напряжениям
Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке. 
В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения. 
Здесь:
Mmax — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре Mx;
[ σ], [ σ]р, [ σ]с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).
Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [ σ]с>[ σ]р.
В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.
При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:
- Проверка прочности
- Подбор сечений
- Определение максимально допустимой нагрузки
Прочность по касательным напряжениям
В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.
Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского 
где
Sx отс — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
by — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.
Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Qmax: 
где [ τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.
Полная проверка прочности
Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:
- По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
- По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
- По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда Mmax и Qmax действуют в одном и том же сечении балки).
При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид: 
так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.
Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений: 
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Источник
iSopromat.ru
Пример решения задачи на расчет нормальных напряжений в сечениях прямого ступенчатого стержня при продольном нагружении.
Задача
Рассчитать величину напряжений в стержне заданной формы, нагруженном продольными силами и построить их эпюру.
Пример решения
Предыдущие пункты решения задачи:
т.е. напряжения определяются отношением соответствующей величины внутренней силы к площади поперечного сечения на рассматриваемом участке стержня.
Площади поперечного сечения стержня:
В пределах участка стержня, где внутренняя сила и площадь постоянны, напряжения тоже будут одинаковы, при этом положительные (растягивающие) внутренние силы в сечениях вызывают действие положительных напряжений, и наоборот.
Величину и знаки внутренних сил примем с построенной эпюры N.
Расчет напряжений
По этим данным строим эпюру нормальных напряжений σ .
По эпюре видно, что все напряжения лежат в пределах допустимых значений, следовательно, поперечные размеры стержня были рассчитаны правильно и необходимая прочность обеспечена.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Источник
Как определить нормальное напряжение?
Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 02.02.2016 · Обновлено 28.11.2017
Сегодня будем говорить о том, как определить нормальное напряжение при растяжении (сжатии). Долго говорить не придется, так как определяется оно элементарно.
Формула для нахождения нормального напряжения следующая:
То есть это отношение продольной силы (N) к площади поперечного сечения (A), на которой действует эта сила.
Пример определение нормальных напряжений
Посмотрим, как на практике пользоваться этой формулой. Например, возьмем брус с постоянным поперечным сечением, на который действует кучка внешних сил. Вас просят найти максимальное нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях бруса.
Ваша тактика будет такой: Сначала нужно определить продольные силы и по-хорошему построить эпюру, чтобы видеть наиболее опасное сечение, то есть сечение, в котором внутренняя сила максимальная.
В нашем случае продольную силу берем равной трем килоньютонам и делим на площадь поперечного сечения:
Итого получили максимальное напряжение равное 15 мегапаскалям, что для стального бруса совсем пустяк.
Источник
iSopromat.ru
В поперечных сечениях при растяжении-сжатии имеют место только нормальные напряжения σ , которые определяются отношением внутренней силы N к площади A соответствующего поперечного сечения стержня.
Опытным путем показано, что при растяжении-сжатии, на достаточном удалении от точки приложения сил, вследствие равномерного распределения внутренних сил по сечению стержня в каждой его точке возникают напряжения одинаковой величины ( σ=const ).
Для обеспечения необходимой прочности элементов и конструкций напряжения не должны превышать допустимых значений.
Напряжения в наклонных сечениях
В наклонных сечения бруса одновременно с изменением величины нормальных напряжений появляются касательные.
при этом 
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Источник
Построение эпюр при растяжении и сжатии: продольных сил и нормальных напряжений для ступенчатого стержня (бруса)
Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 23.11.2017 · Обновлено 14.03.2021
Приветствую, друзья! Сегодня дебютирует наш курс – «сопромат для чайников», Вы находитесь на сайте проекта SoproMats, который связан с сопроматом и не только. На этой страничке будет выложен первый урок из заявленного экспресс курса, который связан с таким простейшим видом деформации как растяжение (сжатие). В частности, будем учиться строить эпюры для бруса (стержня), который загружен растягивающей и сжимающей силой. Как правило, такое домашнее задание, одним из первых, дают всем студентам, которые начинают знакомиться с сопроматом. После изучения материалов данного урока вы научитесь строить следующие эпюры: продольных сил и нормальных напряжений. Не пугайтесь мудреных названий, на самом деле все эти эпюры строятся очень просто. Что же давайте приступим к изучению!
Построение эпюры продольных сил
Так как это курс для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику. Если вы хотите более детально изучить рассматриваемые здесь вопросы, то могу предложить Вам другие материалы нашего сайта. Например, что касается данного блока статьи, то у нас есть материалы про продольную силу, где представлено полное досье на данный внутренний силовой фактор: что эта за сила, зачем нужна и т.д. Но если Вам некогда залазить в эти дебри, и хотите по-быстрому освоить продольную силу, то оставайтесь здесь, сейчас покажу как строится первая эпюра!
Кстати, вот объект нашего сегодняшнего исследования:
Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить наш брус на несколько участков, на которых эта эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для продольной эпюры, границами участков служат те точки, где прикладываются силы. То бишь, для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:
Важно! На эпюру продольных сил, никак не влияет форма бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать и строить.
На первом участке сила F1 растягивает брус на величину 5кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:
Откладываем это значение на графике. Эпюры в сопромате, принято штриховать перпендикулярно нулевой линии, а также для продольных сил, на эпюрах проставляются знаки:
На втором же участке, сила F2 сжимает брус, тем самым в уравнение продольных сил, она пойдет с минусом:
Откладываем полученное значение на эпюре:
Вот так, достаточно просто, строится эта эпюра!
Построение эпюры нормальных напряжений
Переходим к эпюре нормальных напряжений. В отличие от продольных сил, нормальные напряжения зависят от формы бурса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений и вычисляются они, по следующей формуле:
То бишь, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на его площадь.
Для того чтобы построить эпюру нормальных напряжений, нужно рассчитать ее для любого сечения, каждого участка. В отличие, от продольной силы, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашего подопытного бруса, нужно наметить три участка и вычислить напряжение, соответственно, 3 раза:
Зададим брусу на первом участке (I) площадь поперечного сечения A1=2 см 2 , а вторая ступень бруса, допустим, будет иметь площадь A2=4 см 2 (II, III участки). В вашей домашней задаче, эти величины будут даны по условию. Также в задачах, часто, просят определить эти площади из условия прочности, с учетом допустимого напряжения, обязательно сделаю статью про это.
Вычисляем напряжения на каждом участке:
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:
Вот так, достаточно просто можно построить эпюры для бруса, работающего на растяжение (сжатие). В рамках статьи, была рассмотрена достаточно простая расчетная схема, если Вы хотите развить свои навыки по построению эпюр, то приглашаю Вас на страничку про различные эпюры, где можно найти примеры расчета более сложных брусьев с распределенными нагрузками, где о каждой эпюре подготовлена отдельная статья.
Если Вам понравилась статья, расскажите о ней своим друзьям, подписывайтесь на наши социальные сети, где публикуется информация о новых статьях проекта. Также, там можно задать любой интересующий Вас вопрос о сопромате и не только.
Источник
Напряжение в
поперечных сечениях стержня
Нормальная сила
N
приложена в центре тяжести сечения,
является равнодействующей внутренних
сил в сечении и, в соответствии с
этим, определяется следующим образом:
Но из этой формулы
нельзя найти закон распределения
нормальных
напряжений в поперечных сечениях
стержня. Для этого обратимся к анализу
характера его деформирования.
Если на боковую
поверхность этого стержня нанести
прямоугольную сетку (рис. 2.2, б),
то после нагружения поперечные линии
аа,
bb
и т.д. переместятся параллельно самим
себе, откуда следует, что все поверхностные
продольные волокна удлинятся одинаково.
Если предположить также, что и внутренние
волокна работают таким же образом, то
можно сделать вывод о том, что поперечные
сечения в центрально растянутом стержне
смещаются параллельно начальным
положениям, что соответствует
гипотезе
плоских сечений
(гипотезе
Бернулли).
Значит, все
продольные волокна стержня находятся
в одинаковых условиях, а следовательно,
нормальные напряжения во всех точках
поперечного сечения должны быть также
одинаковы и равны
где A площадь
поперечного сечения стержня.
В сечениях, близких
к месту приложения внешних сил, гипотеза
Бернулли нарушается: сечения искривляются,
и напряжения в них распределяются
неравномерно. По мере удаления от
сечений, в которых приложены силы,
напряжения выравниваются, и в сечениях,
удаленных от места приложения сил на
расстояние, равное наибольшему из
размеров поперечного сечения, напряжения
можно считать распределенными по сечению
равномерно. Это положение, называемое
принципом
Сен-Венана,
позволяет при определении напряжений
в сечениях, достаточно удаленных от
мест приложения внешних сил, не учитывать
способ их приложения, заменять систему
внешних сил статически эквивалентной
системой. Например, экспериментально
установлено, что во всех трех случаях
нагружения стержня (рис. 2.7, а)
значения напряжений в сечениях, удаленных
от крайних сечений на расстояние не
менее высоты сечения h,
одинаковы:
(рис. 2.7, б),
а в сечениях, близких к местам приложения
внешних сил, распределения напряжений
по сечению существенно
различны (рис.
2.7, в).
Рис.2.7
Высказанное
предположение о равномерном распределении
нормальных напряжений в поперечном
сечении справедливо для участков,
достаточно удаленных от мест: резкого
изменения площади поперечного сечения
(рис. 2.2, в);
скачкообразного изменения внешних
нагрузок; скачкообразного изменения
физико-механических характеристик
конструкций.
Нормальные
напряжения при сжатии определяют также,
как и при растяжении, но считают
отрицательными.
Следует помнить,
что длинные (тонкие) стержни, нагруженные
сжимающими силами, могут потерять
устойчивость. Расчет стержней на
устойчивость рассмотрен в разделе
«Устойчивость».
В инженерных
сооружениях встречаются растянутые
или сжатые элементы, имеющие отверстия.
В сечениях с отверстием определяют
осредненные нормальные напряжения по
формуле
где
площадь
поперечного сечения нетто; A
— площадь поперечного сечения брутто;
— площадь его ослабления.
Распределение и формула нормальных напряжений
Из гипотезы плоских сечений следует: все продольные волокна стержня деформируются одинаково. Поэтому можно считать, что при растяжении (сжатии) напряжения во всех точках поперечного сечения стержня одинаковы и направлены по нормали к сечению. Такие напряжения, как уже отмечалось, называются нормальными напряжениями.
Из вышеизложенного вытекает формула нормальных напряжений при растяжении (сжатии):
где N – продольное усилие, возникающее в данном поперечном сечении стержня, а F – площадь этого поперечного сечения.
Правило знаков для нормального напряжения (
), как и для продольной силы (N): при растяжении нормальное напряжение считается положительным, а при сжатии – отрицательным.