Как найти нормальное ускорение в момент времени - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Тангенциальное ускорение — определение, формула и измерение

Общие сведения

Первая лекция для студентов, изучающих кинематику, начинается с рассмотрения тангенциального ускорения, характеризуемого произвольным движением. По сути, рассматривается неравномерное прямолинейное движение общего вида. Кинематика входит в механику и изучает перемещение объектов без учёта сил, вызвавших их движение. Под перемещением понимают изменение положения в пространстве по отношению к другому физическому телу, которое и считается точкой отсчёта. Если изменение положения связать с координатами и временем, то образуется система отсчёта. С её помощью можно определить положение объекта в любой момент.

В кинематике любые процессы принято рассматривать, приняв тело за материальную точку. То есть его размерами и формой пренебрегают. При изменении за какой-то промежуток времени точка проходит путь, описывающийся линией — траекторией. Она является скалярной величиной, а само перемещение — векторной. Движение материальной точки может происходить с разной скоростью и ускорением. Быстроту движения разделяют на среднюю и мгновенную. Вторая определяется как предел, к которому стремится скорость на бесконечно малом временном интервале: v = Δs / Δt (Δt → 0).

Перемещение может происходить с ускорением. Это физическая величина, определяющая изменение быстроты перемещения. Иными словами, показывает изменение положения за единицу времени. Измеряется она в метрах на секунду в квадрате. В кинематике существует три вида ускорения:

Тангенциальное — направленное вдоль касательного пути точки в определённый момент. Из-за происхождения слова его часто называют касательным.
Нормальное — совпадающее с нормалью траектории изменения положения.
Полное — определяющееся суммой тангенциального и нормального ускорений.

Но также используется понятие «вектор среднего ускорения тела». Определяется он как приращение вектора скорости за промежуток времени: aср = Δv / Δt. При этом он будет совпадать по направлению с вектором скорости, то есть направлен в сторону вогнутости траектории.

Угловое ускорение

Если имеется какая-то точка, находящаяся на вращающемся теле, то скорость её направлена по касательной. Когда движение равномерное, то линейная скорость связана с угловой равенством: v = w * r. А вот ускорение тела будет направлено по радиусу к центру окружности, причём модуль вычисляется как a = v / r либо если это точка на вращающемся теле: a = w2 * r.

В момент, когда тело поворачивается за небольшой промежуток времени на угол дельта фи, угловую скорость можно связать с условием поворота через формулу: w = Δ φ / Δ t. Если тело вращается равномерно, то промежуток времени может быть любым. В ином случае эта величина будет равна мгновенной угловой скорости.

Можно представить, что материальная точка движется неравномерно, то есть изменяется угловая скорость тела. Линейная скорость не будет представлять собой постоянную величину, в отличие от равномерного перемещения. Угол поворота равняется: w = v / r. Так как скорость не может быть константой, то отсюда следует, что и угловая скорость не будет постоянной величиной. Её изменение обозначают Δw. Она равняется разности конечной угловой скорости и начальной: Δw = wк — wн.

Изменение угловой скорости можно разделить на промежуток времени, за который оно поменяло значение: (wк — wн) / Δt. По сути, получается ускорение. Обозначается характеристика буквой эпсилон E и называется угловым ускорением. Измеряется характеристика в радианах на секунду в квадрате. Её смысл заключается в описании физической величины через отношение изменения угловой скорости тела за небольшой промежуток времени к длительности этого промежутка.

Пусть есть дуга окружности с центром. В начальный момент времени у тела есть скорость, направленная по касательной к траектории v0. Через некоторое время точка переместится по окружности на небольшое расстояние. Так как движение неравномерное, модуль скорости изменится v ≠ v0. Для того чтобы найти ускорение тела, нужно воспользоваться следующей формулой: a = Δv / Δt, при этом Δv = v — v0.

Чтобы найти эту разность, нужно воспользоваться правилом треугольника. Для этого следует перенести вектор V0 к V и соединить их линией. Радиус от центра к материальной точке можно обозначить R. Дельта V можно представить, как сумму взаимно перпендикулярных векторов. Один из них будет направленных тангенциально к радиусу, в физике обозначают его Δ Vτ, а другой радиально Δ Vr. В итоге: ΔV = Δ Vτ + Δ Vr.

Вывод формулы

Для доказательства формулы необходимо рассмотреть плоскую систему координат, в которой материальная точка изменяет своё положение по криволинейной траектории. В начальный момент её скорость будет равняться V0. Через некоторое время она изменится и станет V. На графике в плоском измерении это можно представить в виде синусоиды. В определённый момент времени скорость превышает начальную: V > V0. На схеме вектор нулевой скорости направлен из точки t0 вверх по касательной, а вектор V с нижней точки синусоиды параллельно оси ординаты.

Исходя из графика, можно сделать два вывода:

Через промежуток времени Δt скорость изменяется как по направлению, так и по модулю: Δt = t — t0.
Вектор изменения скорости, определяемый по правилу треугольника, будет равняться разности существующей скорости на данный момент и начальной: Δv = v — v0.

Для того чтобы построить вектор изменения Δv, нужно из конечной точки отрезка V0 провести линию к рассматриваемой точки, характеризующейся во времени скоростью V. Вершины полученного треугольника можно обозначить буквами ABD. Из верхнего угла B на сторону AD можно опустить медиану. Точка пересечения со стороной пусть будет C. Получается, что вектор Δv можно разложить на две составляющие — отрезки BC и СD. Причём медиана равняется Δvn, а изменение по оси ординаты Δvt.

Для разложения необходимо использовать вектор АС, длина которого совпадает с Vo по модулю: |AC| = |AB| = V0. Так как Δvn — результирующий вектор, то его можно вычислить через сумму: Δv = Δvn + Δvt. Причём первый член в равенстве характеризует изменение быстроты за промежуток времени по направлению, а второй — по модулю. Исходя из того, что t не равняется нулю, на него можно разделить левую и правую часть равенства: Δv / Δt = Δvn / Δt + Δvt / Δt. Если дельта-времени стремится к нулю, то формулу можно переписать в виде: lim Δv / Δt = lim Δvn / Δt + lim Δvt / Δt.

Учитывая связь между ускорениями и то, что полное значение состоит из суммы изменения быстроты движения по модулю и направлению, можно утверждать о верности формулы: a = at + an. Так как направление векторов ускорения и скорости всегда совпадают, то последний можно представить, как параметр, состоящий из двух взаимно перпендикулярных компонент:

at — тангенциальной составляющей, совпадающей с отрезком V;
an — перпендикулярным по отношению расположения V вектором.

Используя теорему Пифагора, можно сказать, что модуль полного ускорения равняется корню квадратному из суммы квадратов тангенциального и нормального ускорения: a = √at 2 + an 2 .

Решение простых примеров

В школьном курсе на уроках физики учащимся для закрепления материала предлагается решить определённый тип задач, используя определение тангенциального ускорения. Это типовые примеры, объясняющие суть характеристики и её применение в реальной практике. Вот некоторые из них.

Вычислить все ускорения точки, лежащей на окружности, через десять секунд после воздействия на диск вращателя. При этом учесть, что радиус окружности составит 20 см, а угол между валом и радиус вектором тела соответствует закону: j =3-t+0.2t 3 . Для решения примера необходимо использовать формулы для нахождения угловой скорости и ускорения. Подставив заданные значения, можно получить: w = d φ / dt = -1 + 0,2 * 3t 2 и e = dw / dt = 0,6 * 2t. Применив формулу связи, легко найти ускорение: at = R * E * (0,6 * 2t) = 1,2 * Rt = 24 м 2 /с. Подставив в формулу нормального ускорения значения, можно вычислить и его an = V 2 / R = R * (0,6 * 10 2 — 1) 2 / 0,2 = 696 м/с 2 . Отсюда полное ускорение будет равняться: a = √ 24 2 + 696 2 = 697 м/с 2 .
Материальное тело перемещается по окружности, имеющей радиус 20 см. При этом тангенциальное ускорение равняется 5 см на секунду в квадрате. Определить, сколько понадобится времени, чтобы ускорения сравнялись и нормальное стало больше тангенциального в два раза. Исходя из условия, можно утверждать, что движение является равноускоренным. Поэтому можно применить формулы: an = V2 / t; at = V / t. Отсюда: t = V / at, а V = √an * R. Подставив второе выражение в первое, получится: t = (√an * R) / at. При равенстве ускорений an = at, будет верной запись: t = √R / at = √20 / 5 = 2 с. Для второго случая an = 2at, поэтому: t = (√2 * 20) / 5 = 2,8 c.

Но не всегда решаемые задания можно решить, обойдясь одной формулой. При этом значения тех или иных величин могут быть довольно сложными для проведения вычислений. В таких случаях есть резон использовать так называемые онлайн-калькуляторы. Это специализированные сайты, выполняющие подсчёт в автоматическом режиме. Из таких сервисов можно выделить: сalc, widgety, webmath. Указанные интернет-решители работают на русском языке, так что вопросов, как с их помощью выполнять расчёты, возникнуть не должно.

Сложная задача

Пусть имеется физическое тело, которое движется, замедляясь по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени её тангенциальное и нормальное убыстрение равны друг другу по модулю. Необходимо найти зависимость скорости и полного ускорения от времени и пройденного пути. В начальный момент скорость равняется V0.

Согласно условию, тангенциальное ускорение будет отрицательным, так как точка движется, замедляясь. Для понимания задачи можно изобразить схему движения. Для этого необходимо нарисовать окружность и указать на ней вектор начальной скорости, тангенциального и нормального ускорения. Изобразить вектор полного ускорения как сумму векторов.

Нормальное ускорение можно выразить через скорость и радиус: an = V 2 / R. Затем необходимо записать формулу для тангенциального ускорения: at = dV / dt. Так как они равны, то справедливым будет равенство: V 2 / R = dV / dt. Анализируя уравнение, можно сделать вывод, что так как скорость и радиус положительный, то слева будет стоять величина со знаком плюс. Но, с другой стороны, со временем скорость убывает, поэтому с правой стороны нужно поставить знак минус: V 2 / R = — dV / dt.

Полученное уравнение является дифференциальным и показывает зависимость скорости от времени. Равенство можно преобразовать, умножив на отношение dt / V 2 . В итоге должно получиться выражение: dV / V 2 = — dt / R. Это уравнение можно проинтегрировать. При этом пределами интеграла с левой стороны будет V0 и V, а с правой — 0 и t. Получился обыкновенный степенной интеграл, который будет равняться: 1 / V = dt / R.

Подставив пределы, можно получить равенство: (1 / V) — (1 / V0) = t / R. Из полученной формулы следует выразить скорость: V = (V0 * R) / (R + V0 * t). Поделив числитель и знаменатель на радиус, ответ примет вид: V (t) = V0 / (1 + (V0 * t / R)).

Теперь можно найти тангенциальное убыстрение, так как оно представляет производную от скорости. После взятия производной получится: at = dV / dt = — V02 / R (1 + V0 * t / R)2 = — V2 / R. Отсюда можно написать, что модуль полного ускорения будет равняться: a = √2 *|ar| = (√2 * V2) / R. Осталось найти путь. Он совпадает с длиной дуг и равняется интегралу модуля скорости от времени. После решения должно получиться равенство: S (t) = R * ln (1 + V0 * t / R). Задача решена.

Лекция №2. Элементы кинематики

1.4. Нормальное и тангенциальное ускорения при криволинейном движении

В общем случае при движении тела его скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения скорости движения вводится понятие ускорения.

Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор υ задает скорость точки А , в момент времени t . За время Δt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от υ как по модулю, так и направлению и равную υ₁ = υ +Δ υ . Перенесем вектор υ₁ в точку А и найдем Δ υ (рис.). Средним ускорением a_ср неравномерного движения в интервале времени от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δ υ к интервалу времени Δt :

Ускорение в данный момент времени (мгновенное ускорение) представляет собой предел, к которому стремится выражение (1.4.1) при Δt 0 , т. е.

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Δ υ на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 1.4.1) по направлению скорости υ отложим вектор AD , по модулю равный υ₁ . Очевидно, что вектор CD , равный Δ υ_τ , определяет изменение скорости по модулю за время Δt : Δυ_τ=υ₁−υ . Вторая же составляющая Δυ_n вектора Δ υ характеризует изменение скорости за время Δt no направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка B близка к точке A , поэтому Δs можно считать дугой окружности некоторого радиуса r , мало отличающейся от хорды AB . Тогда из подобия треугольников AOB и EAD следует Δυ_n/AB=υ₁/r , но так как AB=υΔt , то Δυ_n/t=υυ₁/r . В пределе Δt 0 , получим υ₁ υ .

Поскольку υ₁ υ , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол АDE между υ и Δ υ_n стремится к прямому. Следовательно, при Δt 0 векторы υ и Δ υ_n оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Δ υ_n , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны. Поэтому эту составляющую ускорения называют также центростремительным ускорением.

Таким образом, полное ускорение тела a есть геометрическая сумма тангенциальной a_τ и нормальной a_n составляющих

Тангенциальное ускорение равно первой производной по времени от модуля скорости и определяет быстроту изменения скорости по модулю, и направлено по касательной к траектории.

Нормальное ускорение определяет быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру кривизны траектории.

Векторы a_τ и a_n взаимно перпендикулярны поэтому модуль полного ускорения равен

1.5. Классификация движений материальной точки

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) a_τ=0,a_n=0 — прямолинейное равномерное движение.

2) a_τ=const,a_n=0 — прямолинейное равнопеременное движение.

Так как $$vec <υ>= over dt>$$ , то, проинтегрировав полученное выражение в пределах от нуля до произвольного момента времени можно найти перемещение точки: или

3) a_τ= ƒ(t), a_n=0 − прямолинейное движение с переменным ускорением.

4) a_τ=0, a_n=const — При таком движении скорость точки не изменяется по модулю, так как тангенциальная составляющая равна нулю, а изменяется только по направлению.

5) a_τ=const, a_n≠const − равнопеременное движение по окружности.

6) a_τ=0, a_n≠0 − равномерное криволинейное движение.

7) a_τ=const, a_n≠0 − криволинейное равнопеременное движение.

1.6. Кинематика абсолютно твердого тела

Вращательное движение − это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. При вращательном движении скорости и ускорения различных точек тела неодинаковы. Поэтому в качестве общих кинематических характеристик движения тела при вращении вводятся угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела. При вращении тела угол поворота изменяется со временем по некоторому закону ϕ = ϕ(t) , который называется уравнением вращательного движения тела.

Угловой скоростью тела называется вектор, численно равный первой производной по времени от угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, причем так, чтобы вращение, рассматриваемое с конца вектора угловой скорости, происходило против хода часовой стрелки (рис 1.6.1). Единицей угловой скорости является рад/с.

Скорость произвольной точки вращающегося тела называется линейной скоростью этой точки.

При равномерном вращении угловая скорость не изменяется со временем, то есть является постоянной величиной (ω = const) . Тогда

Равномерное вращение характеризуется периодом вращения и частотой вращения.

Период вращения − это время, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол ϕ = 2π и на основании выражения (1.6.1) $$ = <2<π>over ω>$$

Частота вращения − это число полных оборотов, которое делает точка при равномерном вращении, за единицу времени: $$ = <1over T>= <ωover 2π>$$ , откуда ϕ = 2πn .

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения .

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При ускоренном вращении вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, а при замедленном − противоположен ему.

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε = const) угловая скорость определяется по формуле

Или в скалярном виде

Проинтегрировав выражение (1.6.1) можно получить формулу для угла поворота тела

Исключив из последнего уравнения t , получим

где φ = 2πN , N − число полное число оборотов, совершенных телом.

В случае ε = ε(t) , угловая скорость и закон вращательного движения определяются следующими формулами

1.7. Связь между линейными и угловыми характеристиками тела при его вращении

За время dt точка проходит по дуге окружности радиуса R путь dS = Rdφ . Поэтому $$ <υ>= = = <ωR>$$ .

Если угол поворота вращающегося тела представить в виде dφ = ω(t)dt и проинтегрировать в пределах от начального момента времени t₁ до конечного момента времени t₂ , то получится угол, на который совершила поворот тело за время:

Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяются формулами:

Полученные соотношения (1.7.1) можно записать в векторном виде. Для этого на оси вращения ОО* (рис. 1.6.1) тела выберем любую точку A и проведем из нее радиус-вектор r в точку M . Векторное произведение ω × r по модулю и направлению совпадает с вектором скорости υ точки M :

Следовательно, можно записать, что вектор скорости υ = ω × r , а вектор ускорения точки

Понятия о скорости, тангенциальном и нормальном ускорениях. Формулы

Чтобы уметь решать различные задачи на движение тел по физике, необходимо знать определения физических величин, а также формулы, с помощью которых они связаны. В этой статье будут рассмотрены вопросы, что такое тангенциальная скорость, что такое полное ускорение и какие компоненты его составляют.

Понятие о скорости

Двумя основными величинами кинематики перемещения тел в пространстве являются скорость и ускорение. Скорость описывает быстроту перемещения, поэтому математическая форма записи для нее имеет следующий вид:

Вам будет интересно: Что такое туча? Определение

Здесь l¯ — является вектором перемещения. Иными словами, скорость — это производная по времени от пройденного пути.

Как известно, всякое тело движется по воображаемой линии, которая называется траекторией. Вектор скорости всегда направлен по касательной к этой траектории, в какой бы точке не находилось движущееся тело.

Существует несколько названий величины v¯, если рассматривать ее совместно с траекторией. Так, поскольку направлена она по касательной, то ее называют тангенциальной скоростью. Также о ней могут говорить, как о линейной физической величине в противоположность угловой скорости.

Вычисляется скорость в метрах в секунду в СИ, однако на практике часто пользуются километрами в час.

Понятие об ускорении

В отличие от скорости, которая характеризует быстроту прохождения телом траектории, ускорение — это величина, описывающая быстроту изменения скорости, что математически записывается так:

Как и скорость, ускорение — это векторная характеристика. Однако его направление не связано с вектором скорости. Оно определяется изменением направления v¯. Если в процессе движения скорость не изменяет своего вектора, тогда ускорение a¯ будет направлено вдоль той же линии, что и скорость. Такое ускорение называют тангенциальным. Если же скорость будет менять направление, сохраняя при этом абсолютное значение, то ускорение будет направлено к центру кривизны траектории. Оно называется нормальным.

Измеряется ускорение в м/с2. Например, известное всем ускорение свободного падения является тангенциальным при вертикальном подъеме или падении объекта. Его величина вблизи поверхности нашей планеты составляет 9,81 м/с2, то есть за каждую секунду падения скорость тела увеличивается на 9,81 м/с.

Причиной появления ускорения является не скорость, а сила. Если сила F оказывает действие на тело массой m, то она неминуемо создаст ускорение a, которое можно вычислить так:

Эта формула является прямым следствием из второго закона Ньютона.

Полное, нормальное и тангенциальное ускорения

Скорость и ускорение как физические величины были рассмотрены в предыдущих пунктах. Теперь мы подробнее изучим, какие компоненты составляют полное ускорение a¯.

Предположим, что тело движется со скоростью v¯ по криволинейной траектории. Тогда будет справедливо равенство:

Вектор u¯ имеет единичную длину и направлен вдоль касательной линии к траектории. Воспользовавшись таким представлением скорости v¯, получим равенство для полного ускорения:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt.

Полученное в правом равенстве первое слагаемое называется тангенциальным ускорением. Скорость связана с ним тем фактом, что она количественно определяет изменение абсолютного значения величины v¯, не принимая во внимание ее направление.

Второе слагаемое — это нормальное ускорение. Оно количественно описывает изменение вектора скорости, не принимая во внимание изменение ее модуля.

Если обозначить как at и an тангенциальную и нормальную составляющие полного ускорения a, тогда модуль последнего можно вычислить по формуле:

Связь тангенциального ускорения и скорости

Соответствующую связь описывают кинематические выражения. Например, в случае движения по прямой с постоянным ускорением, которое является тангенциальным (нормальная составляющая равна нулю), справедливы выражения:

В случае движения по окружности с постоянным ускорением эти формулы так же справедливы.

Таким образом, какой бы ни была траектория перемещения тела, тангенциальное ускорение через тангенциальную скорость рассчитывается, как производная по времени от ее модуля, то есть:

Например, если скорость изменяется по закону v = 3*t3 + 4*t, тогда at будет равно:

at = dv/dt = 9*t2 + 4.

Скорость и нормальное ускорение

Запишем в явном виде формулу для нормальной компоненты an, имеем:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Где re¯ — единичной длины вектор, который к центру кривизны траектории направлен. Это выражение устанавливает связь тангенциальной скорости и нормального ускорения. Видим, что последнее зависит от модуля v в данный момент времени и от радиуса кривизны r.

Нормальное ускорение появляется всегда, когда изменяется вектор скорости, однако оно равно нулю, если этот вектор сохраняет направление. Говорить о величине an¯ имеет смысл только тогда, когда кривизна траектории является конечной величиной.

Выше мы отмечали, что при движении по прямой линии нормальное ускорение отсутствует. Однако в природе существует тип траектории, при движении по которой an имеет конечную величину, а at = 0 при |v¯| = const. Этой траекторией является окружность. Например, вращение с постоянной частотой металлического вала, карусели или планеты вокруг собственной оси происходит с постоянным нормальным ускорением an и нулевым тангенциальным ускорением at.

источники:

http://physics.belstu.by/mechanics_lk/mechanics_lk2.html

http://1ku.ru/obrazovanie/52399-ponjatija-o-skorosti-tangencialnom-i-normalnom-uskorenijah-formuly/

Источник

Скорость тела в инерциальной системе отсчета может изменяться под действием внешних воздействий на тело. Ускорение является характеристикой этого изменения.

Определение и физический смысл

Ускорение для скорости является тем же самым, что скорость для радиус-вектора: производной по времени.

Мгновенным ускорением называется первая производная по времени от мгновенной скорости:

a→=dv→dtoverrightarrow{a}=frac{doverrightarrow{v}}{dt}

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости материальной точки, которая состоялась за время Δt,Δt, к величине времени ΔtΔt:

aср→=Δv→Δtoverrightarrow{{{a}_{ср}}}=frac{Delta overrightarrow{v}}{Delta t}

Единицей измерения ускорения в системе СИ является метр, разделенный на секунду в квадрате – м /с².

Физический смысл ускорения заключается в том, что ускорение — это физическая величина, которая показывает, как со временем меняется скорость тела.

Пример 1

Вычисление ускорения
Координаты материальной точки, движущейся в плоскости xy, определяются формулами:

x=At4+Bt2,x = At^4 + Bt^2, y=Ct3−t,y = Ct^3- t, где A=0,25м/с4A = 0,25 м/с^4; $B = 0,5 м / с²; C=1/3м/с3;C = 1/3 м / с^3; D=1м/с.D = 1 м / с.

Найти вектор ускорения и его модуль.

Решение

Продифференцируем выражения для проекций скорости по времени и получим проекции координаты вектора ускорения в нужный момент времени:

ax=ddt(t3+ t)=3⋅t2+1=3⋅12+1=4ax = frac{d}{dt}({{t}^{3}}+text{ }t)=3cdot {{t}^{2}}+1=3cdot {{1}^{2}}+1=4 м/с²;

ay=ddt(t2+1)=2⋅t=2⋅1=2ay = frac{d}{dt}({{t}^{2}}+1)=2cdot t=2cdot 1=2 м/с².

Вектор скорости:

a⃗=2⋅(2⋅i⃗+j⃗)vec{a}=2cdot (2cdot vec{i}+vec{j}) м/с².

Его модуль:

a=ax2+ay2=42+22=25≈4,5a=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=sqrt{4_{{}}^{2}+2_{{}}^{2}}=2sqrt{5}approx 4,5 м/с

Нормальное и тангенциальное ускорения

Рассматривая движение материальной точки по криволинейной траектории, удобно вектор полного ускорения разложить на две взаимно перпендикулярных компоненты: aτa_τ –тангенциальное и ana_n –нормальное ускорение:

Вектор тангенциального ускорения имеет направление вдоль касательной, а нормальное ускорение — вдоль нормали к траектории. Модуль тангенциального ускорения является первой производной по времени от модуля скорости:

Модуль нормального ускорения зависит от радиуса кривизны траектории в данной точке траектории и модуля скорости:

∣a⃗τ∣=aτ=v˙|{vec{a}}_{tau}|={a}_{tau}={dot{v}}

Вектор полного ускорения является векторной суммой тангенциального и нормального ускорений:

a⃗=a⃗τ+a⃗nvec{a}={{vec{a}}_{tau }}+{{vec{a}}_{n}}

Модуль полного ускорения находят по теореме Пифагора:

a=∣a⃗∣=aτ2+an2=v˙2+v4R2a=|{vec{a}}|=sqrt{a_{tau }^{2}+a_{n}^{2}}=sqrt{{{{dot{v}}}^{2}}+frac{{{v}}^{4}}{{{R}^{2}}}}

Движение точки называется ускоренным, если численное значение ее скорости увеличивается со временем, то есть а>0а > 0 движение точки называется замедленным, если численное значение ее скорости уменьшается со временем, то есть а<0а < 0. Если aτ=0a_τ = 0, то материальная точка совершает равномерное движение, а если an=0a_n = 0 – движение по прямой (прямолинейное движение). Величины aτa_τ и ana_n характиризуют скорость изменения в соответствии с численным значением и направлением скорости движущейся материальной точки.

Пример 2

Тело подбросили под углом α к горизонту. Для момента времени, когда вектор скорости будет составлять угол ϕ=30∘phi=30^{circ} с горизонтальной линией. Найти: 1) нормальное, 2) тангенциальное, 3) полное ускорение.

Решение

Полное ускорение– это ускорение свободного падения a=ga=g. Из рисунка получим^

an=gcos⁡ϕ=9,8cos⁡30∘≈8,49 /2{{a}_{n}}=gcos phi =9,8cos {{30}^{circ }}approx 8,49text{ }/{{}^{2}},

aτ=gsin⁡ϕ=9,8sin⁡30∘≈4,90 /2{{a}_{tau }}=gsin phi =9,8sin {{30}^{circ }}approx 4,90text{ }/{{}^{2}},

a=an2+aτ2=a=sqrt{a_{n}^{2}+a_{tau }^{2}}=

=8,492+4,902≈9,8 /2.=sqrt{{{8,49}^{2}}+{{4,90}^{2}}}approx 9,8text{ }/{{}^{2}}.

Ответ: an≈8,49 /2{{a}_{n}}approx 8,49text{ }/{{}^{2}}, aτ≈4,90 /2{{a}_{tau }}approx 4,90text{ }/{{}^{2}}, a≈9,8 /2.aapprox 9,8text{ }/{{}^{2}}.

Тест по теме «Ускорение тела»

Источник

В
различные моменты времени точка движется
по прямо- и криволинейным участкам
траектории. На прямолинейных участках
полное ускорение точки равно ее
касательному ускорению, а на криволинейных
точка имеет еще и нормальное ускорение.
Его величина определяется по формуле:

где V
– скорость точки в интересующий момент
времени (находится по рис. 6, б или 6, г);

 – радиус кривизны
траектории в том месте, где находится
в этот момент движущаяся точка (см. п. 1
и таблицу изменение дуговых координат
и пройденные пути).

Например, при t₁
= 1 с: точка проходит положение М₁
на криволинейном участке траектории
радиусом 
= R₂
= 20/
= 6,37 м со скоростью V₁
= 5 м/с. Поэтому

м/с².

Это ускорение
направлено к центру кривизны данного
участка траектории, т. е. к точке О₂ (рис. 6, в).

Полное ускорение
точки в этот момент равно:

м/с².

Непосредственно
перед моментом времени t₂
= 2 с точка еще находится на том же
криволинейном участке траектории и
поэтому в этот момент она имеет касательное
ускорение (рис. 6, в), равное 10 м/с²
и нормальное ускорение а_n = 20²/6,37
= 62,8 м/с².
А полное ускорение

м/с².

Сразу после момента
времени t₂
= 2 c
исчезает и касательное, и нормальное
ускорение точки.

Подобный анализ
можно провести и для других моментов
времени.

Методические
указания к решению задач К-3 и К-4

Данные задачи –
на исследование и преобразование
простейших движений твердого тела
(поступательных и вращательных вокруг
неподвижных осей). Для их решения
необходимо знание следующих вопросов:

угловая
скорость тела и его изображение на
рисунках в виде вектора;
линейные скорости
точек тела, движущегося поступательно,
и тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси; их свойства, картины распределения;
механические
передачи: назначение; классификация –
простые, сложные; виды – ременные,
зубчатые, цепные и т. п.; физические и
кинематические условия нормальной
работы любой механической передачи;
понятие о
передаточном отношении и его вычислении
в случае простых и сложных передач.

Приступая к решению
задач необходимо проанализировать
какие простые передачи входят в состав
заданной сложной, установить как они
связаны между собой – последовательно
или параллельно (т. е. как происходит
передача движений: то ли от одного вала
к другому, от него к третьему и т. д., или
от одного вала – сразу и ко второму, и
к третьему); выделить точки, через которые
осуществляется передача движений от
одного тела к другому. Лишь после такого
последовательного анализа можно
приступать к формальным вычислениям,
чтобы последовательно ответить на
поставленные вопросы.

В задаче К-3
предварительно, независимо от исходных
данных таблицы, необходимо по схеме
установить картину движения механизма
в положительном направлении, т. е. в
каком направлении должны вращаться
колеса, шкивы, звездочки вокруг своих
неподвижных осей, в каком направлении
(влево, вправо, вверх, вниз) при этом
должна двигаться зубчатая рейка или
груз, и показать эти направления на
рисунке кинематической схемы. Исходным
условием является заданное на рисунке
кинематической схемы направление
движения точки М
в положительную сторону.

Если при последующих
вычислениях окажется, что угловая
скорость указанного тела или линейная
скорость заданной точки окажутся
отрицательными, то это будет означать,
что движение всего механизма происходит
в обратном направлении. Чтобы в дальнейших
вычислениях не иметь дело с отрицательными
числами, следует тотчас приступать к
выполнению рисунка с истинной картиной
его движения, а во всех последующих
вычислениях игнорировать отрицательные
знаки угловых и линейных скоростей и
ускорений.

Пример
5

Вычислить
модули и указать направление кинематических
параметров, характеризующих движение
тел и точек системы в момент времени t₁
= 2 c,
если дано
уравнение вращения тела 2.

₂=40
e^—^t
– t²
(рад).

При вычислениях
принять:

количество зубьев
колес зубчатой передачи z₂
= 20, z₃
= 40;
диаметры шкивов
ременной передачи d₃
= 20 см, D₄
= 60 см;
диаметр барабана
d₄
= 20 см;
удаление точки К
от оси вращения тела 4 h_k
= 20 см.

Рис. П.7

Решение

Выполняем
черновой рисунок (здесь он не приводится),
показывающий картину движения механизма.
Картину движения механизма в положительном
направлений т. е. колесо 2 вращается
против хода часовой стрелки (в сторону
увеличения угла ₂,
показанного на одном рисунке). И
последовательно переходит от тела 2 к
телу 3, а от него к телу 4 получаем, что
колесо 4 вращается тоже против хода
часовой стрелки и груз 5 опускается
вниз. Это – картина движения механизма
в положительном направлении.

По заданному
уравнению вращения тела 2 находим его
дуговую координату ₂(t₁),
угловую скорость ₂(t₁)
и угловое ускорение ₂(t₁)
в момент времени t₁:

рад/с;

рад/с².

При t₁
= 2 c:
₂(t₁)
= 1,41 рад; ₂(t₁)
= – 9,41 рад/с; ₂(t₁)
= 3,41 рад/с².

Выполняем новый
рисунок (рис. схемы механической
передачи, показав на нем истинные
направления ₂
= 9,41 рад/с (по часовой стрелки), ₂
= 3,41 рад/с²
(против часовой стрелки) и координату
₂ = 1,41 рад

а_₂
= а_₃

Рис. П.8

Для нормальной
работы механических передач необходимо,
чтобы не происходило проскальзывание
тел, входящих в контакт друг с другом,
а продольные деформации ремня (цепи)
были пренебрежимо малы. Эти требования
приводят к кинематическим условиям:
линейные скорости точек тел, через
которые осуществляется их контакт,
должны быть равны по величине и одинаковы
по направлению, и, кроме этого, все точки
ремня (цепи) должны иметь одинаковые по
величине линейные скорости.

С учетом этих
условий определяем угловые скорости
тел системы в момент времени t₁
= 2 с, выражая линейные скорости точек
контакта через геометрические параметры
и угловые скорости соответствующих
тел.

V_А3
= V_А₂,
т. е. ₃R₃
= ₂R₂
.

Следовательно,

Здесь
отношение радиусов заменено отношением
чисел зубьев, количество которых на
каждом колесе пропорционально его
радиусу (диаметру).

Из равенства
линейных скоростей точек А₂
и А₃
(А₂

2, А₃

3) следует равенство касательных ускорений
этих точек, поскольку а^
= dV/dt.

А т. к. 
= d/dt,
то

рад/с².

Аналогично находим
V_В
= V_М
= V_С,
т. е. ₃r₃
= ₄R₄.
Откуда

рад/с;

рад/с².

Истинные направления
₄
и ₄,
вектора V_В,
V_М,
V_С
показываем на рисунке (рис. П.8).

Далее, V₅
= V_D,
а₅=
а_D^.
Следовательно,

см/с;

см/с².

Определяем скорость
и ускорение точки К
в момент времени t₁
= 2 с:

см/с;

,
где

см/с²,
направлено к оси вращения тела 4.

см/с²;

см/с².

Показываем на
рисунке направления скорости и ускорений
точки К.

Так как вращение
колеса 2 в данный момент времени происходит
замедленно (₂(t₁)
и ₂(t₁)
имеют разные знаки и направления), то
весь механизм движется замедленно.
Линейные скорости и касательные ускорения
всех точек механизма направлены
противоположно друг другу.

Пример
6

Дано:
z₁
= 25; z₂
= 40; z₂
= 20; z₃
= 50; z₃
= 40; z₄
= 180. Скорость

набегания троса на
барабан

.

Рис. П.9

Решение

_{1. Определяем

передаточное отношение привода. Так

как его элементы соединены последовательно,

то}

где _дв
₄
– угловые скорости двигателя и барабана;

– передаточное
отношение конической зубчатой передачи;

– передаточное
отношение цепной передачи;

– передаточное
отношение открытой зубчатой передачи
3^
– 4.

Следовательно,
U_пр
= 1,62,54,5
= 18,0.

2. Произведем подбор
диаметра барабана D_б
и частоты вращения вала двигателя n_дв.

Трос набегает на
барабан со скоростью V.
Учитывая, что при отсутствии проскальзывания
троса относительно барабана эта скорость
равна

а также что _б
= _дв/U_пр,
получаем, что требуемая скорость будет
обеспечена, если

n_двD_б
=

В рассматриваемом
примере:

n_двD_б
=

(моб/мин).

(n_дв
– в об/мин, D_б – в м).

Дальнейшие расчеты
удобно свести в таблицу.

№ п/п	n, об/мин	Диаметр барабана D, мм	Расхождение V, %
Требуемый	Принимаемый
1	2850	150,78	150	0,517
2	1425	301,56	300	0,517
3	950	452,33	500	10,6
4	720	596,59	600	0,517
5	580	740,89	800	7,98

Из таблицы видно,
что варианты 1, 2 и 4 обеспечивают наибольшую
точность. Но от варианта с n_дв
= 2850 об/мин и D_б
= 150 мм следует отказаться: при маленьком
диаметре потребуется слишком большая
длина барабана, чтобы обеспечить
необходимый объем для приема троса. А
многослойная навивка троса неизбежно
приведет к увеличению скорости набегания
троса на барабан и, в конечном счете, –
к перегрузке привода. Слишком большой
диаметр барабана и низкоскоростной
привод (вариант 4) приведут к неоправданному
увеличению нагрузок.

Принимаем n_дв
= 1425 об/мин и D_б
= 300 мм

3. Определяем
угловые скорости валов привода:

(муфта
не изменяет скорость вращения соединяемых
валов).

Это – угловая
скорость барабана. Скорость навивки
троса:

4. Направление
угловых скоростей показываем на рисунке
в виде векторов (рис. П.10).

Рис.
П.10

Методические
указания к решению задач К-5 и К-6

Задачи
К-5 и К-6 относятся к теме «Кинематика
плоскопараллельного движения твердого
тела». Для их решения необходимо изучить
вопросы:

мгновенный
центр скоростей тела (МЦС);
способы
нахождения положения МЦС тела в
зависимости от имеющейся информации
о движении тела и его точек;
способы
определения скоростей точек тела и его
угловой скорости с использованием МЦС.

Особое внимание
следует обратить на зависимость скоростей
точек тела от взаимного положения этих
точек и МЦС тела. Для упрощения вычислений
может оказаться полезным известное
свойство пропорций.

Если

,
то

Кратность полиспаста
может быть вычислена кинематическим
способом, как отношение скорости
свободного конца троса к скорости
подъема груза. При этом считается
(дополнительно к условию задачи), что
трос не проскальзывает относительно
блоков и является идеально гибким и
нерастяжим. С учетом этих оговорок надо
последовательно рассмотреть движение
каждого блока в отдельности.

Для решения задачи
К6 необходимо выполнить в масштабе две
проекции механизма – заданную схему и
вид вдоль геометрической оси центральных
колес. На этом втором виде следует
показать (в масштабе) векторы скоростей
характерных точек (оси сателлита, точек
зацепления колес) и угловые скорости
всех тел.

Пример
7

Дано:
скорость подъема груза V_гр
= 0,5 м/с, радиусы всех блоков одинаковы
и равны 5 см.

Произвести
кинематический расчёт полиспаста.


Рис. П.11	П.12

Решение

В данной системе
блоки 2 и 4 вращаются вокруг неподвижных
осей.
По принятой
терминологии они называются неподвижными.
Блоки 1 и 3 – подвижные. Подвижная траверса
5 движется поступательно со скоростью
V_гр.
Рассмотрим последовательно движение
каждого блока.

Рис.
П.13

Блок 1 (рис. П.14, а)
совершает плоскопараллельное движение.
Точка Р₁
является его МЦС. Точка А
имеет скорость V_А
= V_гр
= 0,5 м/с. Угловая скорость блока 1:

Отсюда:

С такой скоростью
движутся все точки участка ВС
троса (рис. 13).

Блок 2 (рис. 14, б)
вращается вокруг неподвижной оси О₂
с угловой скоростью

Рис. П.14

Скорость точки D
(рис.П.13 и
П.14, б): V_D = V_C
= 0,25 м/с.

Эта скорость
передается точке Е
блока 3 (рис. П.13 и П.14, в).

Блок 3 совершает
плоскопараллельное движение и при этом

V_Е
= V_D
= 0,25 м/с; V_F = V_гр
= 0, 5 м/с.

Построением находим
МЦС блока 3 – точку Р₃.
Определяем направление угловой скорости

и затем вычисляем ее величину и расстояние
Р₃F
,уточняющее положение МЦС блока 3:

рад/с;

м.

Тогда (рис. П.14, в):

м.

и скорость точки
G:

м/с.

Блок 4 (рис. П.13)
вращается вокруг неподвижной оси О₄.
Его точке К
передается скорость точки G:

м/с.

С такой же скоростью
движется точка М
блока и свободный конец троса:

м/с, а угловая скорость блока 4

рад/с.

Кратность полиспаста

Показываем на
рисунке в картину движения системы, т.
е. направления угловых скоростей блоков,
положения МЦС «подвижных» блоков,
скорости характерных точек – центров
блоков, точек схода троса с блоков и
набегания его на них.

Пример
8

Дано: r₁=
7см; r₂=
10 см;

см; ₁
= 20 рад/с; ₁
= – 3 рад/с.

Произвести
кинематический расчет механизма (рис.
П.15, а).

Рис. П.15, а

Рис.
П.15, б

Определить угловые
скорости всех звеньев механизма и
показать их направления.

Решение

Данный механизм
является дифференциальным, т. к. у него
нет неподвижного центрального колеса.
Выполняем в масштабе с учетом заданных
линейных размеров два вида кинематической
схемы механизма – исходную и вид вдоль
оси вращения центральных колес (рис.
П.15 а, б). На обоих видах отмечаем
характерные точки, показываем в виде
векторов и круговых стрелок направления
заданных угловых скоростей тел ₁
и ₃
(центральное колесо 1 и водило 3 вращаются
в разные стороны). В дальнейшем знаки
угловых скоростей игнорируем и по мере
вычисления величин показываем на
дополнительном рисунке (вид вдоль осей
вращения) истинные направления вращения
колес и векторы скоростей точек.

Имеем:
точка А₁
принадлежит центральному колесу 1,
вращающемуся с угловой скоростью ₁
вокруг неподвижной оси. Поэтому:

см/с.

На рисунках точка
А₁
совпадает с точкой А.

Точка С₃
(на оси сателлита) принадлежит водилу
3 вращающемуся вокруг неподвижной оси,
совпадающей с осью центральных колес.
Поэтому

,
где

(рис. П.15, а).

Получаем:

см;

см/с.

С
точками А₁
и С₃
совпадают точки А₂
и С₂
сателлита (блока колес 2 – 2).
Их скорости
векторно равны скоростям точек А₁
и С₃
соответственно:

;

.

Зная величины и
направления скоростей двух точек
сателлита (блока колес 2 – 2),
можно найти положение МЦС этого тела
(рис. П.16).

Угловая скорость
блока 2 – 2:

Рис. П.16

или

рад/с;

м.

Следовательно,

см;

см/с.

Точка В
является точкой зацепления колес 2
и 4. Так как колеса не проскальзывают
относительно друг друга, а колесо 4
вращается вокруг неподвижной оси, то

рад/с (по часовой стрелке).

Радиус колеса 4 по
рис. П.15, а:

см.

Итак, кинематический
расчет дифференциального механизма
выполнен, угловая скорость и направления
вращения всех звеньев механизма найдены.
Результаты расчетов (картина движения)
показаны на рис. П.15, б.

Методические
указания к решению задач К-7, К-8, К-13

Эти
задачи посвящены изучению кинематики
плоских рычажных механизмов. Звенья
таких механизмов совершают либо
простейшие движения (поступательное,
вращательное вокруг неподвижной оси),
либо – плоскопараллельное. Считается,
что механизм расположен в плоскости
рисунка и все его звенья и точки движутся
в этой же плоскости.

Приступая
к решению задачи, необходимо уточнить,
какое именно движение совершает каждое
звено механизма. При выполнении такого
анализа легко установить, что каждая
подвижная точка механизма, выделенная
на рисунке кинематической схемы,
принадлежит одновременно двум звеньям
и одно из них совершает плоскопараллельное
движение. Через эти точки, общие для
двух звеньев, передаётся движение от
одного из них к другому.

Каждую
из задач можно рассматривать, как
состоящую из двух частей: 1 – определение
скоростей и 2 – определение ускорений.
В решении этих частей есть много общего,
хотя они существенно различаются по
сложности и применяемым способам. Общим
здесь является то, что как при определении
скоростей, так и при определении
ускорений, приходится последовательно
переходить от рассмотрения движения
одного тела к изучению движения другого,
а от него – к следующему и т. д. Такие
переходы можно осуществить зная скорость
(или соответственно ускорение) той
точки, которая является общей для
рассматриваемой пары тел. Эта
последовательность решения задач вполне
естественна, поскольку в самих механизмах
передача движений от одного звена к
другому осуществляется именно аналогичным
путём.

Общим
в решении задач по определению скоростей
и ускорений является то, что скорости
(ускорения) любых двух точек А
и В
одного и того же тела не могут быть
произвольными и связаны при его
плоскопараллельном движении векторными
зависимостями

(а)

(б)

эти
выражения соответствуют представлению
плоскопараллельного движения тела в
виде суммы двух одновременно происходящих
простейших движений: поступательного
со скоростью

(или
ускорением

)
точки А,
принимаемой за полюс, и вращательного
движения тела вокруг этого полюса.

Обычно
в качестве полюса принимается такая
точка тела, скорость (или соответственно
ускорение) которой уже известна из
предыдущего решения.

Различия
же в определении скоростей и ускорений
происходят из-за того, что направления
векторов ускорений в отличие от
направлений векторов скоростей
предсказать заранее практически
невозможно. Если учесть, что при вращении
тела вокруг полюса А
ускорение

складывается из нормальной и касательной
составляющих, а полное ускорение точки
В,
движущейся по криволинейной траектории,
состоит из аналогичных частей, то
исходная формула (б) принимает вид:

, (в)

а формула для
скорости остаётся неизменной:

(а)

Направление
и (или) величина каждого из векторов,
входящих в (а) или (в), могут быть заранее
известны либо неизвестны. При большом
количестве (более двух) таких неизвестных
в одном векторном уравнении оно не может
быть решено никакими приёмами.

Подобная
ситуация чаще возникает при определении
ускорений, но чтобы убедиться в возможности
решить векторное уравнение для определения
скоростей (или ускорений), необходимо
производить предварительный анализ
каждого уравнения. Такие анализы
приведены в примерах решения задач.

Лишь
после того, как будет выяснено, что
записанное векторное уравнение может
быть решено, приступают непосредственно
к его решению.

Для
определения ускорений с помощью формул
типа (в) можно рекомендовать аналитический
метод: метод проецирования решаемого
векторного уравнения на произвольно
принимаемые оси координат. Существуют
и другие способы (например, графический
способ – путём построения плана
ускорений).

Решение векторных
уравнений типа (а) с небольшим количеством
векторов, входящих в него, можно
осуществить и аналитически, и графически,
и графоаналитическим способом.

Проецированием
уравнения (а) на прямую АВ
получается выражение:

, (г),

называемое
теоремой о проекциях скоростей двух
точек твёрдого тела на прямую, соединяющую
их, или основной теоремой кинематики
твёрдого тела.

Оно
выполняется при любом движении любого
твёрдого тела (т. к. для такого тела
всегда

).

Существует
и наглядная интерпретация плоскопараллельного
движения тела: в каждый момент времени
это движение можно рассматривать как
вращение тела вокруг МЦС (только с точки
зрения распределения скоростей точек
тела). Поэтому скорости точек тела могут
быть успешно и с большой наглядностью
определены с помощью МЦС.

Методические
указания к решению задач К-9, К-10, К-11,
К-12.

При
решении задач на тему «Сложное движение
точки» необходимо предварительно чётко
установить, какое движение точки является
относительным, абсолютным и переносным,
как они происходят (в чём они заключаются),
затем определить положение тела и точки
на нём в заданный момент времени t₁
и выполнить соответствующий рисунок
схемы.

При
определении скоростей точки в любом из
движений (в переносном, относительном,
абсолютном) применяется теорема о
сложении скоростей:

,
а при определении ускорений – теорема
Кориолиса о сложении ускорений:

.

В
случае поступательного переносного
движения Кориолисово ускорение
отсутствует и ускорение точки определяется
по формуле:

Рекомендуется
решать подобные векторные уравнения
аналитически, путём проецирования их
на принятые оси координат. В тех случаях,
когда слагаемые векторы расположены в
одной плоскости (например, в плоскости
рисунка) при их решении могут быть
использованы другие способы (графические,
графоаналитические). Следует иметь в
виду, что векторные уравнения данного
типа (когда векторы расположены в одной
плоскости, например, в плоскости рисунка)
могут быть решены только в том случае,
если количество неизвестных не превышает
двух. При этом к неизвестным следует
относить и модуль и направление любого
из векторов.

Пример
9

Механизм
состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В,
соединённых друг с другом и с неподвижными
опорами О₁
и О₄
шарнирами.

Дано:

= 60,

= 150,

= 90,

= 30,
AD
= DB,
l₁
= 0,4 м;
l₂
= 1,2 м,
l₃
= 1,4 м,
l₄
= 0,6 м.
₁
= 2с^{– 1},
₁
= 7с^{– 2}(направления
₁и ₁против хода
часовой стрелки).

Определить:
V_B,
V_E,
₂,

,
₂.

Рис.
П.17

Решение

Выполняем
рисунок схемы механизма в заданном
положении в соответствии с исходными
данными (рис. П.18)

Рис.
П.18

Определение
скоростей

Скорость
точки А.
Эта точка принадлежит телу 1, вращающемуся
с угловой скоростью ₁
вокруг О₁,
поэтому

Вектор

и направлен в сторону вращения.

Точка
А
одновременно принадлежит и телу 3,
которое совершает плоскопараллельное
движение. Так как известна траектория
точки В
тела 3, то можно определить скорость
этой точки. Для этого воспользуемся
понятием МЦС. Чтобы найти положение МЦС
тела 3, восстановим перпендикуляры к
направлениям скоростей точек А
и В
этого тела. На их пересечении получим
точку Р₃
– МЦС тела 3. Вокруг неё в данный момент
времени происходит поворот тела 3 с
угловой скоростью ₃.
Направление ₃
находим, пользуясь известным направлением

:
звено 3 вращается против хода часовой
стрелки. Следовательно,

и направлен в сторону вращения тела 3
(вверх по направляющей).

Вычисляем
величины ₃
и V_В.

Из
полученного

(он прямоугольный) находим:

м;

м.

Так
как по свойству скоростей точек тела,
совершающего плоскопараллельное
движение

то

;

;

из

– он равносторонний из построения.

Показываем
на рисунке найденные скорости. Для
нахождения скорости точки Е учтём, что
она одновременно принадлежит и телу 2,
и телу 4, причём, т.к. тело 4 вращается
вокруг неподвижной оси О₄,
то скорость

Найдём
МЦС тела 2 – точку Р₂
(на пересечении перпендикуляров к
скоростям точек D
и Е).
По известной величине и направлению

находим угловую скорость ₂:

(по
ходу часовой стрелки)

Р₂D
из 
DP₂E
равно

Тогда

Из

P₂ED
P₂E
= P₂D
т. к. 
P₂DE
равнобедренный. V_E
= 0,46 м/с

Полученные
результаты расчёта показываем на рисунке

Определим
₄:

₄
направлено против хода часовой стрелки
в соответствии с направлением V_E.

Определение
ускорений

По
заданному движению тела 1 находим
ускорение точки А.
Так как тело 1 вращается вокруг неподвижной
оси О₁,
то

где

(О₁А
– влево);

(вдоль А₁О
к точке О₁)

Показываем
эти векторы на рис. П.20.

Для
определения ускорения

воспользуемся тем, что точка В
принадлежит телу 3, совершающему
плоскопараллельное движение. Этому
телу принадлежит и точка А,
ускорение которой уже найдено. Поэтому
её (точку А)
можно принять за полюс и записать для

или
учитывая, что

,
получаем:

величина

вектора

неизв.

-неизв.

направление

вектора

направлен
вдоль направляющих

изв.

по
АВ от точки
В
к полюсу А

АВ
влево

Здесь
векторная формула дополнена таблицей
анализа величины и направления каждого
из векторов, входящих в формулу.

Направление
вектора

показываем по перпендикуляру к АВ
предположительно (рис. П.19), после решения
уравнения уточним это направление.

Проводим
оси координат и проецируем векторное
уравнение на оси X
и Y.

Проецируя
уравнение на ось X,
получаем

откуда
находим:

Так
как

,
то вектор

направлен так, как показано на рисунке.

Проецируя
уравнение на ось
Y,
получаем:

Подставляя
числовые значения, вычисляем

.

Знак
(–) показывает, что вектор

имеет направление, противоположное
показанному на рис. П.19.

Находим
₃

Показываем
истинное направление ₃на рисунке
с учётом полученного знака у вектора

(рис. П.20).


Рис. П.19	Рис. П.20

Пример
10

Шток
2, движущийся в прямолинейных направляющих
своим концом К
скользит по поверхности круглого
эксцентрика (диска) и толкая его приводит
последний во вращательное движение
вокруг неподвижной оси. Шток 2 и эксцентрик
1 расположены и движутся в плоскости
рисунка, а ось вращения эксцентрика
перпендикулярна этой плоскости.

Дано:

Определить:
₁,
₁
в этот момент времени

Рис.
П.21

Решение

По
условию задачи задано движение штока
2. С этой скоростью и ускорением движется
и острие К
штока относительно неподвижной системы
отсчёта. Но перемещение штока приводит
к повороту эксцентрика 1 вокруг оси О₁.
При этом острие К
штока скользит по криволинейной
поверхности эксцентрика, т. е. совершает
движение относительно движущегося
тела. В соответствии с определениями
понятий «сложное, абсолютное, относительное
и переносное движение точки» можно
говорить о сложном движении острия К:
вращающийся эксцентрик – подвижная
система отсчёта, а его движение –
переносное движение для острия.

По
теореме о сложении скоростей точки,
совершающей сложное движение, можно
записать для точки К
штока:

Рис.
П.22

Проведём анализ
векторного равенства


величина	известна		?
направление	известно	, изв.	По касательной к поверхности эксцентрика

Выбирая
оси X
и Y,
проектируем на них это векторное
уравнение.

на
ось X:

;
на
ось Y:

.

Учитывая,
что в данном положении системы (при 

)
угол 

,
решаем полученную систему уравнений и
находим

Следовательно,

Направление

показано на рис. П.22. Оно определяется
направлением вектора

,
которое получается при разложении
вектора

на составляющие.

Для
определения ускорений воспользуемся
теоремой Кориолиса, предварительно
определив величину и направление вектора
Кориолисова ускорения острия штока.
Поскольку оба составных движения этой
точки происходят в плоскости рисунка,
то направление

находим по правилу Н.
Е.
Жуковского,
повернув вектор

на 90
в сторону переносного вращения. Величина
ускорения Кориолиса в этом случае
находится по формуле:

По
теореме Кориолиса для точки К
имеем:

Но
так как переносное движение – вращательное,
а относительное происходит по криволинейной
траектории, то ускорение точки К
в каждом из этих движений складывается
из касательной и нормальной составляющих:

Рис.
П.23

Проведём
анализ векторного равенства

,
и его результат оформим в виде таблицы:


величина	известна			?		извес.
направление	известно	О₁К	к точке О₁		к точке О	ивест.

Проекции
этого уравнения на оси X
и Y
приводят к системе:

Решение её даёт:

;

Знаки
«–» указывают на то, что принятые ранее
направления векторов

оказались неверными и в действительности
эти векторы направлены противоположно
показанным на рисунке.

Угловое ускорение
эксцентрика:

,
т. е.

и
направлено против хода часовой стрелки.
Вращение эксцентрика в данный момент
времени происходит замедленно, т.
к. направления
₁
и ₁
противоположны.

Пример
11

Точка
М
движется по поверхности тела D
по закону

Определить
абсолютную скорость и абсолютное
ускорение точки М
при

,
если тело D
приводится в движение вращением кривошипа
О₁А
по закону

рад. На
рисунке показано положение точки М,
соответствующее

.

Рис.
П.24

Дано:

см,

см.

Решение

Точка
М
совершает сложное движение, т. к. она
перемещается по поверхности движущегося
тела D.
Движение тела D
является для точки М
переносным. Особенности механизма и
его размеры таковы, что тело D
движется поступательно и каждая его
точка описывает окружность одного и
того же радиуса

,
но центры их для каждой точки тела
D-свои,
не совпадающие, ни с точкой O₁
ни с точкой O₂.
Движение точки М
по поверхности тела D
– относительное.
Оно происходит по заданному закону
вдоль криволинейной траектории радиуса
R
с центром в точке О.

Уточним
положения тела D
и точки М
в заданный момент времени. Положение
тела D
относительно неподвижной прямой O₁O₂
определяется углом .
При t₁
=
1
c

рад.

Положение
точки М
на полуокружности ACB
определяется дугой.

см.

Это соответствует
центральному углу

Выполняем
рисунок, соответствующий этим положениям
точки М
и тела D
(рис. П.25).

Рис.
П.25

Определяем
абсолютную скорость точки М
по формуле:

Относительная
скорость точки:

при t₁
=
1
c
V_отн
=
7,58
см/с.
Положительный знак V_отн
показывает, что относительное движение
точки происходит в положительном
направлении. Вектор

направлен
по касательной к траектории относительного
движения, т. е. по касательной к дуге
окружности радиуса R
в положении М₁.

Переносная
скорость той точки тела D,
с которой совпадает в момент времени
t₁
c
точкой M₁,
но, т.
к. тело D
движется поступательно, то все его точки
в каждый момент времени имеют одинаковые
скорости и ускорения:
они соответственно равны скорости и
ускорению точки А.

Итак:

,
где 
– модуль угловой скорости звена О₁А.

Находим
:

рад/с, при t₁
=
1
c,

=

рад/c.
Показываем направление 
на рисунке с учётом полученного знака
(+), показывающего, что вращение звена
О₁А
происходит в направлении возрастания
угла .

Модуль
переносной скорости

.

Вектор

направлен

в сторону вращения звена

.

Модуль
абсолютной скорости точки М
можно найти аналитически, т. е. способом
проекций. Показываем на рисунке
направление осей координат.

Абсолютную
скорость точки М
можно найти и по теореме косинусов, т.
е. графоаналитическим.

Определяем
ускорение точки М.
Так
как
движение
тела Д
поступательное, то абсолютное ускорение
точки М
находится по формуле:

Относительное
движение точки –
криволинейное, поэтому

Переносное
ускорение точки М
в данный момент времени – ускорение
точки тела D
движущегося поступательно. Ускорения
всех его точек одинаковы и равны,
например, ускорению точки A.

Величина и
направление

одинаковы с ускорением точки А

Расчетная
формула принимает вид:
.

Вычислим
модули всех векторов и покажем их
направление на рисунке

при
t₁
=
1
c

Знаки

при t₁
=
1
c
разные, т. е. относительное движение
замедленное (векторы

направлены противоположно друг другу)

;

при
t₁
=
1
c;

Рис.
П.26

Вектор

направлен перпендикулярно

к центру кривизны траектории относительного
движения, т. е. к точке С.

При
поступательном переносном движении
переносное ускорение точки М
совпадает с ускорением любой точки тела
Д,
например, точки А.

Поэтому

;

при
t₁
= 1 c

Вектор

направлен вертикально вниз (
)

;

Так
как знаки 
и 
одинаковы, то вращение звена О₁А
– ускоренное.

20=62,8
см/с².

Вектор

направлен перпендикулярно О₁А,
т. е. влево. Показываем векторы ускорений
на рис. П.26.

Модуль
абсолютного ускорения находим способом
проекций, проецируя выражения

на принятые оси координат X
и Y:

;

при
t₁
= 1 c

;

;

Пример
12

Треугольная
пластина ADE
вращается вокруг оси Z
с угловой скоростью

(положительное направление 
показано на рисунке дуговой стрелкой).
По гипотенузе AD
движется точка В
по закону

(положительное направление отсчёта S
от А
к D).
Определить абсолютную скорость

и абсолютное ускорение

точки B
в момент времени t₁
= 2 c.

Рис.
П.27

Решение

Движение
точки В
сложное, её движение по прямой АD
является относительным, а вращение
пластины – переносным. Абсолютную
скорость точки В
определим по формуле:

Вычислим
скорости, входящие в это равенство, и
уточним их направления. Относительное
движение прямолинейное, происходящее
по закону

,
поэтому

в момент времени t₁
= 2 c

.

Знак
(+) показывает, что вектор

направлен в сторону отсчёта положительных
расстояний S,
то есть к точке D
(рис. П.28).

Переносное
движение – это вращение пластины с
угловой скоростью .

Найдём
угловую скорость и угловое ускорение
переносного вращения.

;

.

При
t₁
= 2 c;

= –1 c^–1;

= 1,2с^–2
знаки показывают что в момент времени
t₁
= 2 c
направление 
противоположно показанному на рис. П.28
и вращение в этот момент замедленное.

Определим
положение точки В
в момент времени t₁
= 2 c:

S₁
= AB₁
= 20 см.

Находим
по рис. П.28 расстояние h₁
точки В₁
от оси вращения:

h₁
= AB₁sin30
= 10 см.

Находим
V_пер

Вектор

направлен перпендикулярно h₁
в сторону переносного вращения, т. е. по
оси X
неподвижных
осей координат, проведенных через точку
О.

Для
определения вектора

необходимо сложить векторы

,
которые взаимно перпендикулярны,
поэтому

в момент времени t₁
= 2 c V_абс
= 10,4 см/c.

Абсолютное
ускорение точки В
определим на основании теоремы о
сложении ускорений:

Так
как переносное движение вращательное,
то

Относительное
движение прямолинейное, поэтому

,

.

Рис.
П.28

Расчётная
формула для определения

принимает вид:

Вычислим
и величины и уточним направление всех
векторов , входящие в эту формулу.

Находим

:

Направление
вектора

к точке А.

Находим
векторы

Вектор

в плоскости рисунка перпендикулярен
оси вращения к точке О₁.

Рис.
П.29

Вектор

перпендикулярен О₁В₁.

Вектор
угловой скорости

переносного вращения и вектор

образуют угол 
= 30,
поэтому модуль Кориолисова ускорения
определится как

Направление

можно найти по правилу векторного
произведения:

или
правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор

спроецируем в плоскость, перпендикулярную
оси вращения и затем эту проекцию
повернём на 90
в сторону ,
т. е. по ходу часовой стрелки. Таким
образом, получим направление

.
Он направлен перпендикулярно плоскости
пластины, т. е. в направлении оси X.

Для
определения

воспользуемся осями, проведёнными через
точку О.

Проектируя
равенство

на оси X,
Y,
Z
находим проекции

на эти оси:

;

Находим
значение

Пример
13

Тело
произвольной формы вращается вокруг
оси, проходящей через точку О
перпендикулярно плоскости пластины с
угловой скоростью

(положительное
направление отсчёта 
показано на рис. П.30).
По дуге окружности радиуса R
= 0,5 м движется точка В
по закону

,
t
– сек. (положительные отсчёты от А
к В).

Определить абсолютную скорость и
абсолютное ускорение точки в момент
времени t₁
= 2 c.

Решение

Рассмотрим
сложное движение точки В.
Вращение пластины с угловой скоростью

= 2t
– 1,5t²
является переносным движением точки.
Угловая скорость переносного движения
определится при t₁
= 2 c

₁^пер
= 4 – 1,54
= – 2 с^–2.

Знак
(–) показывает, что направление ₁
противоположно показанному на рис. П.30

Рис.
П.30

Угловое
ускорение переносного движения
определится

при
t₁
= 2 c

Показываем
направление _пер
и _пер
на рисунке с учётом полученных знаков.

Абсолютная
скорость точки

находится по формуле:

Определяем величины,
входящие в это равенство.

Относительное
движение точки происходит по закону

Устанавливаем,
где будет находиться точка В
на дуге окружности в момент времени t₁.

R(м)

Тогда

(рад)

Знак
(–) свидетельствует о том, что точка В
в момент времени t₁
= 2 с находится справа от точки А.
Показываем её положение на рис. П.31
(точка В₁).

Рис.
П.31

Находим
числовые значения

;

,

где

в момент времени t₁
= 2 c.

Показываем
направление векторов

с учётом полученных знаков на рис. П.31.
Вектор

направлен 
расстоянию ОВ₁
в сторону переносного вращения, вектор

направлен по касательной к траектории
относительного движения в сторону,
противоположную положительному отсчёту
дуговой координаты S,
т. к. в расчёте получен знак (–).

Проведём
координатные оси О₁XY
и спроектируем обе части равенства,
определяющего

на оси.

На
ось Х:

На
ось Y:

Находим

Абсолютное
ускорение точки В₁
определим по формуле:

Переносное
движение – это вращение пластины вокруг
точки О,
поэтому

Относительное
движение точки В₁
– криволинейное движение по окружности
радиуса R
пластины, поэтому

Расчётная
формула для определения

принимает вид:

Определим
модуль и направление всех векторов,
входящих в это равенство (рис. П.32).

Рис.
П.32

Вектор

направлен
по прямой В₁О
к центру вращения О.

Вектор

направлен перпендикулярно ОВ₁
в сторону

.

при
t₁
= 2 c,

,

,

где _отн
– радиус кривизны траектории точки в
относительном движении.

_отн
= R.

Вектор

направлен
перпендикулярно

в сторону вогнутости траектории.

Вектор

направлен противоположно вектору

,
т. к. знаки

противоположны.

Находим
Кориолисово ускорение

.

Модуль
Кориолисова ускорения определяем по
формуле:

где 
– угол между векторами

и

.

Вектор

направлен вдоль оси вращения пластины
перпендикулярно к плоскости чертежа,
т. е. перпендикулярен вектору

,
лежащему в плоскости пластины, значит,

= 90.

Вычисляем

при t₁
= 2 c.

Направление

найдём по правилу Н. Е. Жуковского,
поворотом вектора

на 90
в сторону _пер.

Таким
образом, значения всех входящих в правые
части равенства

векторов и их направления найдены. Для
сложения этих векторов проводим оси
координат и спроектируем обе части
равенства, определяющего

,
на эти оси.

На
ось Х:

.

На
ось Y:

.

Подставляя
числовые значения для момента времени
t₁
= 2 c
находим:

а_абс_X
=
– 9,74 м/с²,

Пример
14

Простейший
рычажный механизм с двумя степенями
свободы представляет собой два шарнирно
соединённых стержня, свободные концы
которых скользят по общей горизонтальной
направляющей. Механизм расположен в
плоскости рисунка (рис. П.33). Определить

,
если

;

,
их
направления показаны на рисунке. При
вычислениях принять: АС
= 0,8 м, ВС
= 0,6 м и в рассматриваемый момент cos
= 0,8, cos
= 0,6.

Рис.
П.33

Решение

Для
определения

воспользуемся
теоремой о проекциях скоростей и применим
её отдельно к телу 1 и телу 2.

Рис.
П.34

Предположив,
что

,
можем записать:

1) для
тела 1:
,
или

(1)

2) для
тела 2 аналогично:

(2)

В
заданном конкретном положении механизма
выражения (1) и (2) приобретают вид
(рис.П.34):

или

(3)

Решая
полученную систему (3), находим:

;

Истинную
картину движения механизма покажем на
рис.
П.35.

Рис.
П.35

ЛИТЕРАТУРА

А.
А., Яблонский, В. М., Никифорова. Курс
теоретической механики. –
Ч. 1. – М.: Высш. шк., 1984 и последующие
издания.
М.
И., Бать, Г. Ю., Джанелидзе, А. С., Кельзон.
Теоретическая механика в примерах и
задачах. – Ч. 1. – М.: Высш. шк., 1984.
Н.
Н., Никитин и др. Курс теоретической
механики. – М.: Высш. шк., 1983.
С.
М., Тарг. Краткий курс теоретической
механики. – М.: Высш. шк.,
1986 г. и последующие издания.
Сборник
заданий для курсовых работ по теоретической
механике /
под. общ. ред. А. А. Яблонского. – М.: Высш.
шк., 1985.

Учебное издание

Источник

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с², то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

v₂ > v₁

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

v₂ < v₁

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Источник

Пример решения задачи по определению в заданный момент времени скорости, полного, касательного, нормального ускорений, радиуса кривизны и вида траектории точки по известным уравнениям её движения в координатной форме.

Задача

Даны уравнения движения точки M:

Требуется определить вид траектории и в момент времени t=1 c найти скорость точки, полное, касательное, нормальное ускорения и радиус кривизны траектории в данной точке.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Координатный способ задания движения – это траектория движения точки в параметрической форме.

Исключим параметр t: