Как найти норму линейного оператора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Норма линейного оператора

Определение 1.32 Нормой линейного оператора (где и — евклидовы пространства) называется вещественное число, обозначаемое и равное

Тем самым норма определена как точная верхняя грань (конечная или бесконечная) множества значений нормы вектора, являющегося образом вектора единичной нормы, пробегающего область определения оператора. Заметим, что, вообще говоря, нельзя операцию заменить взятием максимума, так как, во-первых, норма не всегда ограниченна, а во-вторых, может и не принадлежать самому указанному выше множеству значений выражения при .

Утверждение 1.23 Для любого вектора и любого линейного оператора .

Доказательство. Представим вектор следующим образом:

где (единичный вектор, «коллинеарный» ).

Тогда

Рекомендуемые материалы

(здесь мы воспользовались свойством (2) нормы вектора из п. 1.5).

Поскольку по определению нормы линейного оператора (элемент числового множества не превосходит точной верхней грани этого множества!), то

что и требовалось.

Определение 1.33 Линейный оператор называется ограниченным, если существует такая константа , что .

Центральным утверждением этого раздела является

Теорема 1.19 Всякий линейный оператор, действующий из одного конечномерного евклидова пространства в другое, является ограниченным.

Доказательство. Вводя некоторую пару ортонормов , получим (для некоторого вектора единичной нормы):

(1)

В выражении, написанном выше через обозначен вектор из области определения оператора (т.е., пространства ) координаты которого в ортонорме совпадают с одноименными элементами -ой строки матрицы оператора в выбранной паре базисов. То есть, подробнее:

Из (1) следует:

(2)

Используя неравенство Коши-Буняковского, будем иметь:

Следовательно, левая часть в (2) ограничена сверху

В силу произвольности выбора вектора единичной нормы отсюда и вытекает доказываемое:

(3)

Стоящая в правой части неравенства (3) числовая константа, определяемая, очевидно, оператором , и есть искомая константа .

Мы будем использовать доказанный результат в теории дифференцирования функций нескольких переменных.

Теорема 1.20 Для любых линейных операторов имеет место:

Рекомендуем посмотреть лекцию «Криста Вольф».

1) , причем равенство имеет место только для нулевого оператора;

2) ;

Доказательство. Первые два неравенства доказываются легко. Чтобы доказать третье, запишем:

Так как все множество является линейным пространством, то оказывается, что это — нормированное линейное пространство, а именно линейное пространство, любому вектору которого однозначно сопоставляется неотрицательное вещественное число, удовлетворяющее свойствам (1)-(3). Структура нормированного линейного пространства может быть введена через скалярное умножение векторов, что дает нам понятие евклидова пространства. Но в пространстве операторов норма вводится иначе, так как ни о каком скалярном произведении линейных операторов речи нет.

Источник

Определение 1.32 Нормой линейного
оператора

(где
и
—
евклидовы пространства) называется
вещественное число, обозначаемое

и равное

Тем самым норма определена как точная
верхняя грань (конечная или бесконечная)
множества значений нормы вектора,
являющегося образом вектора единичной
нормы, пробегающего область определения
оператора. Заметим, что, вообще говоря,
нельзя операцию

заменить взятием максимума, так
как, во-первых, норма не всегда ограниченна,
а во-вторых, может и не принадлежать
самому указанному выше множеству
значений выражения

при
.

Утверждение 1.23 Для любого вектора

и любого линейного оператора

.

Доказательство. Представим вектор

следующим образом:

где

(единичный вектор, «коллинеарный»
).

Тогда

(здесь мы воспользовались свойством
(2) нормы вектора из п. 1.5).

Поскольку по определению нормы линейного
оператора

(элемент числового множества не
превосходит точной верхней грани этого
множества!), то

что и требовалось.

Определение 1.33 Линейный оператор

называется ограниченным, если
существует такая константа
,
что
.

Центральным утверждением этого раздела
является

Теорема 1.19 Всякий линейный оператор,
действующий из одного конечномерного
евклидова пространства в другое, является
ограниченным.

Доказательство. Вводя некоторую
пару ортонормов
,
получим (для некоторого вектора

единичной нормы):

(1)

В выражении, написанном выше через

обозначен вектор из области определения
оператора
(т.е.,
пространства
)
координаты которого в ортонорме

совпадают с одноименными элементами
-ой
строки матрицы

оператора в выбранной паре базисов. То
есть, подробнее:

Из (1) следует:

(2)

Используя неравенство Коши-Буняковского,
будем иметь:

Следовательно, левая часть в (2) ограничена
сверху

В силу произвольности выбора вектора

единичной нормы отсюда и вытекает
доказываемое:

(3)

Стоящая в правой части неравенства (3)
числовая константа, определяемая,
очевидно, оператором
,
и есть искомая константа
.

Мы будем использовать доказанный
результат в теории дифференцирования
функций нескольких переменных.

Теорема 1.20 Для любых линейных
операторов

имеет место:

,
причем равенство имеет место только
для нулевого оператора;
;

Доказательство. Первые два неравенства
доказываются легко. Чтобы доказать
третье, запишем:

Так как все множество

является линейным пространством, то
оказывается, что это — нормированное
линейное пространство, а именно
линейное пространство, любому вектору
которого однозначно сопоставляется
неотрицательное вещественное число,
удовлетворяющее свойствам (1)-(3). Структура
нормированного линейного пространства
может быть введена через скалярное
умножение векторов, что дает нам понятие
евклидова пространства. Но в пространстве
операторов норма вводится иначе, так
как ни о каком скалярном произведении
линейных операторов речи нет.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

1) Т.к. функция [math](t-1)^2[/math] не превосходит 1 на промежутке [0,2], то

[math]|Ax|=maxlimits_{tin[0,2]}|(t-1)^2x(t)|leqslant|x|[/math]

Поэтому норма оператора не превосходит 1. С другой стороны, взяв в качестве функции x(t) функцию, равную тождественно единице [math]x(t)equiv1[/math], получим

[math]|Ax|=maxlimits_{tin[0,2]}|(t-1)^2|=|x(t)|[/math]

Следовательно, норма оператора равна 1.

2) Отметим неравенство [math]frac{2k+2}{k+2}<2[/math] справедливое для всех натуральных чисел k. Отсюда следует неравенство

[math]|Ax|^2=sumlimits_{k=1}^infty!left(frac{2k+2}{k+2}right)^2|x_k|^2<4|x|^2[/math]

Поэтому норма оператора не превосходит 2. С другой стороны, взяв последовательность элементов [math]x_n in l_2,[/math] у которых на всех местах стоят нули , кроме места с номером n, на котором стоит 1, получим

[math]Ax_n=frac{2n+2}{n+2}x_{n+1}[/math]
Тогда
[math]supfrac{|Ax_n|}{|x_n|}=supfrac{2n+2}{n+2}=2[/math]

Следовательно, норма оператора равна 2. Эта норма недостижима.

Источник

Норма линейного оператора

Норма линейного оператора. Пусть A линейная опера Тор, отображающий евклидово пространство V в то же пространство. Вводя понятие нормы. Определение 3. Стандартный || A || Линейный оператор A называется Количество определяется соотношением 12) || A || = sup || Ax ||. E.53) 11 * 11 = 1

Из определения нормы линейного оператора видно, что Очевидное неравенство: || Ax || <|| A |||| x || E.54) (Для доказательства достаточно использовать соотношение (X A Ax = (A — 1 — 1 || x ||). (Из E.54) V 11X11 / Если || A || = 0, оператор A равен нулю. Норма самосопряженного оператора A также может быть определена другими Метод. Если A является самосопряженным оператором, введенная выше норма ma || A || оператор A равен sup || x || = 1 | (Ax, x) | sup | (Ax, x) | = || A ||. E.55) 11×11 = 1 11)

То есть утверждение верно.

Людмила Фирмаль

Поскольку собственное значение самосопряженного оператора является действительным числом, Затем (xi, Ax2) = A2 (x1 x2) = A2 (x1 x2). 12) Помните, что || Ax || = — ^ / (Ax, Axe). Результаты || Топор || Презентация Является непрерывной функцией x и || x || = 1 для замкнутого множества Финальный максимум достигнут. Доказательство. Неравенства для любого x в V Коши Бняковский (см. Пункт 2 § 3 главы 4) | (Ax, x) | ^ || Ах || || x ||

Отсюда и неравенство E.54) получается следующее неравенство. | (Ax, x) | ^ || A || || x || Поэтому номер 11 = sup | (Ax, x) | E.56) 11 * 11 = 1 Удовлетворить отношения / I ^ || A ||. E.57) / z z Уравнение (Az, z) = (A —-, —— d) llzll2, z / 0 и V llzll llzll / Следующее неравенство определения μ (см. E.56): | (Az, z) | ^ / i || z || E.58) Далее рассмотрим следующую очевидную идентичность:

4 Re (Ax, y) = (A (x + y), x + y) — (A (x-y), x-y) (В этом тождестве символ Re (Ax, y). Часть комплексного числа (Ax, y), сама идентичность просто следует Пожалуйста, обратитесь к подразделу 1 главы 4-3 из свойств скалярного произведения. Поверните налево Модуль по модулю справа, используя свойства модуля Сумма и неравенство E.58), получим следующие соотношения 13):

4 | Re (Ax, y) | ^ /, || x + y || 2 + / * || x-y || 2 = 2M || x || 2 + || Так что || x || = || y || = 1, чтобы получить неравенство | Re (Ax, y) | ^ fi. В этом неравенстве предположим, что y = Ax / || Ax || (очевидно, || y || = 1) и учтем Число (Ax, Ax) = || Ax || 2 — действительное число (отсюда mu Re (Ax, Ax) = (Ax, Ax) = || Ax || 2), || Ax || ^ / i, || x || = 1.

Следовательно, согласно неравенству E.53).
Людмила Фирмаль

|| A || ^ i. 13) В этом случае мы использовали определение нормы комплексного элемента Осталось сравнить полученные для завершения доказательства Неравенство и неравенство E.57) и использовать определения Числовое значение μ (см. E.56)).

Смотрите также:

Решение задач по линейной алгебре

Источник