Дискриминант
Квадратичная функция имеет вид: ax2+bx+c=0
Формула дискриминанта: D=b2-4ac
Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения дискриминанта и корней функции для уравнений вида: ax2+bx+c=0.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Инструкция. Введите соответствующие коэффициенты:
Как построить параболу ax2+bx+c=0.
Виды дискриминантов
Формула дискриминанта зависит от степени многочлена anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0.
Свойства дискриминанта
- Дискриминант равен 0, когда многочлен имеет кратные корни (равные корни).
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
Классификация дискриминантов
Пример расчета для дискриминанта больше нуля
2x2+3x+1=0
Находим дискриминант: D=32-4·2·1=1
Корни уравнения: 
; 
Пример расчета для дискриминанта равного нулю
9/4x2+3x+1=0
Находим дискриминант:
D=32-4·9/4·1=0
Корни уравнения: 
Пример расчета для дискриминанта меньше нуля
x2 +4 x + 6 = 0
Находим дискриминант:
D=42 — 4·1·6=-8
Корни уравнения:
, 
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Дискриминант
квадратного уравнения
Поддержать сайт
Мы уже разобрали,
как решать квадратные уравнения.
Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют
дискриминантом квадратного уравнения.
Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.
Запомните!
Выражение «b2 − 4ac», которое находится под корнем,
принято называть дискриминантом и обозначать буквой «D».
По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:
x1;2 = , где «D = b2 − 4ac»
По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».
В зависимости от знака «D» (дискриминанта)
квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.
I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)
2x2 + 5x −7 = 0
D = b2 − 4ac
D = 52 − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
| x1 = |
x2 = |
| x1 = |
x2 = |
| x1 = 1 |
x2 = −3 |
| x1 = 1 |
x2 = −3 |
Ответ: x1 = 1;
x2 = −3
Вывод: когда «D > 0» в квадратном уравнении два корня.
II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)
16x2 − 8x + 1 = 0
D = b2 − 4ac
D = (−8)2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x =
x =
Ответ: x =
Вывод: когда «D = 0» в квадратном уравнении один корень.
III случай
D < 0
(дискриминант меньше нуля)
9x2 − 6x + 2 = 0
D = b2 − 4ac
D = (−6)2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D < 0
x1;2 =
x1;2 =
Ответ: нет действительных корней
Вывод: когда «D < 0» в квадратном уравнении нет корней.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Функция вида y=ax2+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.
Рисунок №1.
Вершина параболы. Формула.
Чтобы найти координаты вершины параболы (х0; у0), надо воспользоваться формулой:
х0=−b2a
для нахождения у0 можно просто подставить значение х0 в формулу данной функции y0=ax2+bx+c вместо х.
Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.
Пример №1
Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х2 – 8х + 5.
Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8
Подставим их в формулу и вычислим значение х0:
х0=−b2a=82∙2=84=2
Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у0=2∙22 – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3
Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).
Ответ: (2; –3).
Нули параболы
Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.
Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.
Пример №2
Найти нули функции у=х2 +4х – 5
Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:
х2 +4х – 5=0
а=1, b=4, с= –5
D=b2 – 4ac=42 – 4∙1∙(−5)=36
x=−b±√D2a
x=−4±√362; х1=–5; х2=1
Значит, нули функции равны –5 и 1
Ответ: –5 и 1
Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика
Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).
Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.
Пример №3
Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.
Теперь можно выполнить соответствие:
Ответ: 231
Пример №4
Рассмотрим еще пример на соответствие
В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х0. 
Итак, найдем х0 для формулы «Б»:
х0=−b2a=−42∙2=−44=−1
Видим, что х0 отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.
Запишем в таблицу
Ответ: 231
Задание 11OM21R
На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) a>0, с >0 Б) а<0; с>0 В) а>0, с<0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
Решение
На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a<0 – ветви вниз; а>0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с<0 – пересечение в отрицательном направлении).
Теперь поработаем с графиками и подпишем на каждом из них соответствующие коэффициенты.
Теперь расставим в соответствии с указанными коэффициентами:
А) a>0, с >0 – это график №1
Б) а<0; с>0 – это график №3
В) а>0, с<0 – это график №2
Ответ: 132
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1105o
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) у=–х2–4х–3 Б) у=–х2+4х–3 В) у=х2+4х+3
Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.
Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.
Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x0 отрицателен, значит, А-1, а Б-2.
Ответ: 123
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1101o
На рисунках изображены графики функций вида
y = ax² + bx + c
Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты:
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики:
Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида
y = ax² + bx + c
Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если a < 0, то ветви направлены вниз.
Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.
У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.
Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.
Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:
если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х
если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x
Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.
Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:
А) 3
Б) 2
В) 1
Ответ: 321
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 10.7k
Парабола, график, вершина, нули.
теория по математике 📈 функции
Функция вида y=ax 2 +bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а ≠ 0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.
Чтобы найти координаты вершины параболы (х0; у0), надо воспользоваться формулой:
для нахождения у0 можно просто подставить значение х0 в формулу данной функции y0=ax 2 +bx+c вместо х.
Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.
Пример №1
Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х 2 – 8х + 5.
Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8
Подставим их в формулу и вычислим значение х0:
х0= − b 2 a . . = 8 2 ∙ 2 . . = 8 4 . . = 2
Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у0=2 ∙ 2 2 – 8 ∙ 2 + 5=8 – 16 + 5= –3
Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).
Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.
Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.
Пример №2
Найти нули функции у=х 2 +4х – 5
Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х 2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:
D=b 2 – 4ac=4 2 – 4 ∙ 1 ∙ ( − 5 ) = 36
Значит, нули функции равны –5 и 1
Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика
Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).
Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.
Пример №3
Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.
Теперь можно выполнить соответствие:
Пример №4
Рассмотрим еще пример на соответствие
В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х0.
Итак, найдем х0 для формулы «Б»:
х0= − b 2 a . . = − 4 2 ∙ 2 . . = − 4 4 . . = − 1
Видим, что х0 отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.
Запишем в таблицу
А) a>0, с >0 Б) а 0 В) а>0, с
На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a 0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с 0, с >0 – это график №1
Б) а 0 – это график №3
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х 2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.
Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На рисунках изображены графики функций вида
Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида
Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если a 0.
Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.
Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:
если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х
Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Квадратичная функция. Построение параболы
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ: наглядно.
- Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.
Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Построение квадратичной функции
Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:
- a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
- b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
- с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.
График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :
Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:
x
y
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:
Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:
x
y
Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:
- Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
- Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.
Рассмотрим три случая:
- Если D 0,то график выглядит так:
- Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
- Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:
Если a > 0, то график выглядит как-то так:
0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>
На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:
Алгоритм построения параболы
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.
Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.
Как строим:
- Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
- Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.
D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAPoAAAAyCAYAAAB1V8bkAAAJyElEQVR4Ae2c16sUwRLGfdRX/wXFB30QFFQUQUyIKCIGBEEQzCCoKIgB01ExZwVz4JpzztljwJxzzjlnrcuvL33unD2zOzO7OzvuThU0u5N6uuvrr7u6unrKiYpqQDVQ8BooV/A11AqqBlQDokTXRqAaiIEGlOgxAFmrqBpQomsbUA3EQANK9BiArFVUDSjRtQ2oBmKgASV6DEDWKqoGlOjaBlQDMdBAQRH9z58/8vv3b5P+/v2bMXy/fv0S8kxMGWesGRgNpIMXz7jhkg28CxmWgiH69+/f5dSpU7JixQpZtmyZXLx4UX7+/JkUOxoGjSaVTJw4UVatWiUbNmwoSYcPH071iF7zqYGgeNlsT58+LZMnTy7BA2y2bNkib9++tbfor4sGCobogD19+nR5/fq1nDx5Upo0aSLHjh2TZD39x48f5ebNmy4q+d8pRo327dtLo0aNTF6NGzeWevXqCeRXyVwDQfHijXTMmzZtMjiAL6lu3brSuXNnuXfvXuaFKuAcCobojOQDBgwwgD948EAg5ubNm42Z54bfjRs3ZMqUKW6XzDk6jP379wsjD/LmzRtZt26dvHr1KukzesG/BoLiRc5gceXKFZM4/vbtmxw6dEguXbokP3788P/yGN5ZMET/8uWLvHv3Tt6/f2/Muh49esj169eTQupF9MQHIfm1a9cST+txmhoIipfba86fPy9Hjx4VrDOV1BooGKJTTYh++fJlGTt2rCxevNgcJ6t+EKIz3587d26yrPR8mhoIglfiK549e2Y6dHBU8dZA3hH9+PHjYhNmnFO+fv1qTOwDBw5Ily5dhF+nQ47ndu/ebdLChQule/fuJcecp9E477d5d+zYUW7fvm0P9TeABixW/AbBCz+LffbChQtl3rh69WpZsmSJjuZlNON+Iu+IDkGZW+N427Ztm6nVp0+f5MiRI6Zh2Dl1hw4dZOjQoaVGdebc1oM+a9Ys48Sxx/y6zfUePnwoVapUcdeenvXUQLp4LV261OA8bdo0g5nzRR8+fJBhw4YJeav400DeEf3Ro0dmZGD+/fLlS1NLzLjhw4fLmDFjhEaA4DHv16+fGeHdVOHXdKczqVy5slsWes6HBtLF6/HjxwZn/CLPnz8v9aZbt25Jt27dlOiltJL6IO+I7lYdTPY1a9bIjBkz5M6dO7Jjxw5hRN++fXtSb6xfos+ZM0cqVark9trQzrEmXFxc7LnOH1oBQs44HbycRTpz5oy0a9funyA6DkGW/NavX19mauIsc+J/OkCmJliRL168ME7FVM7jxOeDHhcE0ak05KD3P3v2rFkWO3HihHz+/DmpPlh3XbRoUdLr9gL5LF++3B6G+nv//n3ZuHGjDBw4UDp16pS0kwq1EDnKPChezmI9efJEtm7dmnJVxXl/WP8PHjxopoxXr141RG3Tpo0JsPLzPqaaLVq0kDp16kjDhg2lb9++JgbEz7Pp3FMwRKfyBLkwX2fpxivqjbm8Nf1TKY77WK/NhVBuGvGoUaNMHID1N+Ti3VG8IwhezvIR5gwm/EYlrBgMGTJE9u3bZxy4YDV69Gjf/py9e/fKypUrjSVKLEDYqwcFRfSoQM/2e2fOnGmivgqd6NnWWy7zI3CqefPmUlRUVOIXgrzly5cXfEZewr2Y/XTuyaI3vfIIcj1tolM4lpyIBZ83b56MGzdO9uzZY0YjwkSfPn0apBx6r0MDYRBd8XIoOAt/sRiZU0N4az2OHz9eKlSo4MvSgOgs6RKIBYdIYUraRMfsYpkL84m5cc+ePY1DYv78+dKnTx/B2eAlmKldu3b1TISy5luII8s/XnWbNGmSMC9PlDCIrniJcXB6YcJ15s9+JHEkrlq1qixYsMDPowLRcRqzSgSHiOkI0xeUNtHpxXBUIQQ3tGrVKnLniC8N58FNYRBd8QoOPES2Php8Agw2dvR25gZRcaaNHDnSeTrlf/JxdhTsuMQacJ5LmUHAi2kT3b6HyrNBoXXr1uYUBXVThr3f+YuCcGp4JZRsFYAV8K8lt1hremqveuE4RAeJEgbR7Tvigpfb1JG6e2HCde5DCJbCM16rVi2T2D9BiLVT6Agwv3GsgSXPumHqfAZ+sLqCNWfbNQ455ve8MwxJm+gsXeF0YFcXPRlRaAiebD/OCO5l/XDQoEGeCTPHhqZWq1ZN/rVElF2iTJ061bNemHkEhiRKGESPG141atRIVKtZevXT3tjz7kcYgIioZDRmtyM6Zk09sf0zbYIndkBgabFt27ZmeZeYAgQzvmLFimWe9VMOP/ekTXTWMXv37m16uF69esmECRNMZdgDzgcgVIJrwLm8Vr9+fSECjM4wG6J4ZUOL/8+DgQdSwwGccIRkk4jITBRGaZZM8V/ZlRRGdIJlwJzBsX///gKPwpK0iY7HkArSgKgwu8XYMnju3LmkgSr0ZNZUCatCfvLFtKIHtj2sn2dycY8NmCGcF6cQIwXx+dmQfMMLfEj/qjA1Yx29ZcuWpRLmfaLcvXtXBg8eLCNGjChxUoM1mBAdt3btWmP9ZatTT3w/x2kTHcKytAB5EeYmyYiDecpWz9mzZyf9EIRb4cI6Rw/KikGcLI98w4vlWkKYC0Uw5xkEMeGt4A/Akc28P+wBMG2i28L6+WV7IruRmjVrVmK6+HkujHuYL+3atcuUhbm/SlkNRI0Xn/iqWbOmaTNlS5d/ZzDzITOhslFJTohO5Rg98WDaOUoUFabXpBExV2JThBI9OQpR4YX1x3SQb/UxOBSCYO2yA48RPCqJFdGZmxN8w/q/Ej11k4uK6ERXMqflw4+FQvTUms7N1VgRnYgndq2RlOipG1gURCf2myhLpldNmzZVoqeGKNDV2BAdj+bOnTuNcpTo3m0k10THrCVohCAiRInujVGQO2JDdJYA8bQTpIJHt3bt2mZtk1FEpawGck10PrRB4BEf4QQjgqIIK2UbqErmGsgJ0fE2AmL16tWFj/oRwpprYcRgVCcR+URsPkELBCyolNZAFHgRVcZyrcWoQYMGwtd97KfBSpdQj4JqICdEZ3kBkwwQIZZXLHDQSvi9H687G/wJgyREkl+7McdvHnG4L0q8WG9mUOCDnASf4DxVyVwDOSF65sXMXg6QnYbMMh+/fjfgZK8EmlMqDYAPzji7WyyqQSFVGfPxWuyIno8gaZlVA5lqQImeqQb1edVAHmhAiZ4HIGkRVQOZakCJnqkGI3m+WIrKlZOi45G8XF+ahxpQouchaKbIx4uU6PmKXQTlVqJHoPTMX/lM/tOuSIozz0hziIkGlOgxAVqrGW8NKNHjjb/WPiYaUKLHBGitZrw1oESPN/5a+5hoQIkeE6C1mvHWwH8BSUfSiO3XWNEAAAAASUVORK5CYII=»>
- Координаты вершины параболы:
- Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
- Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀
Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.
Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.
Как строим:
- Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:
- построить y = x 2 ,
- умножить ординаты всех точек графика на 2,
- сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
- сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.
- Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)
Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).
Как строим:
Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:
(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.
Определим координаты вершины параболы:
Найти точку пересечения с осью OY:
с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.
Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?
Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:
1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;
a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);
4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3 
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2
х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3
Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2
Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4. 
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2
Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x1=2
x2=-2
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kvadratichnaya-funkciya-parabola
http://tutomath.ru/uroki/kak-postroit-parabolu.html
На чтение 7 мин. Просмотров 8k.
Важная характеристика квадратных уравнений — их дискриминант. По значению этой величины определяют, сколько корней у данного уравнения и есть ли они.
В 8 классе по алгебре начинают изучать квадратные уравнения и самый популярный способ их решения — через дискриминант. Формула вычисления дискриминанта известна
![[D=b^2-4ac]](https://mathematics-repetition.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0455ba9c57d26d648d6b2a2e9d6c449f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Дискриминант в математике используется чтобы определить сколько корней в уравнении — 1 корень, 2 корня или действительных корней нет. В этой статье определим, что такое дискриминант и выведем формулу дискриминанта.
Определение
Определим что такое дискриминант и зачем он нужен в математике, а также как его рассчитать.
Дискриминантом называют число, описывающее свойство коэффициентов квадратного многочлена. Хотя есть дискриминанты и кубических многочленов.
По этому числу определяют характер корней уравнения, полученному если многочлен приравнять к нулю. Так, если дискриминант больше нуля, то уравнение будет иметь два корня, равен нулю, то 1 корень, а если будет меньше нуля, то корней не будет.
Дискриминант (определение) помогает определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения, не решая его.
Обозначается дискриминант квадратного уравнения буквой
или знаком Δ. И находится по формуле:
D=b^2-4ac , где
,
и
— коэффициенты уравнения:
ax^2+bx+c=0
Корни через дискриминант определяются по формулам:
displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}
или знаком Δ. И находится по формуле:Пример вычисления дискриминанта:
Вычислим дискриминант в уравнении 6x^2+4x+2=0 .
По формуле находим:
D=b^2-4ac=4^2-4cdot 6 cdot 2=16-48=-32
Мы получили отрицательный дискриминант, значит, данное уравнение не имеет действительных корней. Действительно, так как корни квадратного уравнения находят по формулам:
displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}
Подставим значения для исходного уравнения:
displaystyle x_1=frac{-4-sqrt{-32}}{12} и displaystyle x_2=frac{-4+sqrt{-32}}{12}
Как видим, мы никак не сможем посчитать корни — у нас отрицательное число под знаком радикала. И, действительно, если вы построите график функции f (x)=6x^2+4x+2 — он нигде не пересечет ось 
, то есть ни при каком 
мы не получим ноль.
Геометрический смысл дискриминанта
Что означает дискриминант на графике, каков его геометрический смысл? Графически дискриминант квадратного уравнения характеризует расстояние по оси абсцисс между точкой — вершиной параболы (парабола — график квадратичной функции) и точкой пересечения графика с осью абсцисс. Посмотрите на рисунок. На нем видно:
- Если дискриминант равен нулю (D=0), это значит, что вершина параболы и является точкой пересечения с осью абсцисс — расстояние между точкой пересечения и вершиной параболы равно нулю.
- Когда D>0, то справа и слева от точки абсцисс вершины параболы на одинаковом расстоянии displaystyle frac{sqrt{D}}{2a} будут находиться точки пересечения параболы ax^2+bx+c=y, которые являются корнями уравнения ax^2+bx+c=0.
- Когда D<0 — это означает, что точек действительных отметить на оси абсцисс нельзя, то есть от вершины отложить расстояние до точек пересечения графика с осью абсцисс невозможно, то есть этих точек пересечения нет. График не пересекает ось абсцисс и корней уравнения [katex]ax^2+bx+c=0[/katex] нет.
Корни квадратного уравнения через дискриминант.
Полное квадратное уравнение
Пусть нам дано уравнение вида ax^2+bx+c=0. Вычисляем дискриминант по известной формуле. Затем определяем корни уравнения.
- Если D>0 получаем два вещественных корня displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}.
- Если D=0 корни будут совпадать: displaystyle x_1=x_2=frac{-b}{2a}
- Если D<0, вещественных корней нет, но есть мнимые корни или так называемые комплексные корни (обычно изучаются в курсе математического анализа в ВУЗах, хотя иногда и встречаются в алгебре 9-11 классов).
Неполное квадратное уравнение
Неполным называется такое квадратное уравнение, когда один из коэффициентов такого уравнения равен нулю.
- Пусть коэффициент a=0, тогда уравнение сводится к линейному уравнению вида kx+b=0 и уже не будет считаться неполным.
- Если равны нулю два коэффициента:
и , тогда 
. Решением такого уравнения будет: 
. - Если равен нулю коэффициент b, то имеем D=-4ac и displaystyle x_1= frac{sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2= -frac{sqrt{D}}{2a}.
- При равенстве нулю свободного члена c=0 имеем D=b^2 и displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}.
и 
, тогда 
. Решением такого уравнения будет: 
.Приведенное квадратное уравнение
Приведенным квадратным уравнением называется такое уравнение вида 
, в котором старший коэффициент равен a=1. Оно решается обычно по теореме Виета.
Дискриминант находится по формуле: 
.
Если второй коэффициент кратен 2
Если коэффициент b можно разделить на 2 (с четным вторым коэффициентом), то тогда вычисляется не полный дискриминант, а displaystyle frac{D}{4} по формуле:
displaystyle frac{D}{4}=left ( frac{b}{2} right)^2-ac,
а корни: displaystyle x_1=frac{-frac{b}{2}-sqrt{frac{D}{4}}}{a} и второй корень displaystyle x_2=frac{-frac{b}{2}+sqrt{frac{D}{4}}}{a}.
Примеры нахождения корней уравнения с помощью дискриминанта
Пример 1
Решим уравнение: 4x^2+5x-5=0
Находим дискриминант: D=25-4 cdot 4 cdot (-5)=25+80=105
Корни: displaystyle x_1=frac{-5-sqrt{105}}{2cdot 4}, displaystyle x_2=frac{-5+sqrt{105}}{2cdot 4}
или
displaystyle x_1=frac{-5-sqrt{105}}{8}, displaystyle x_2=frac{-5+sqrt{105}}{8}
Пример 2
Сколько корней в данном уравнении 2x^2-3x+6=0?
Для ответа на этот вопрос необходимо найти дискриминант:
D=3^2-4 cdot 2 cdot 6=9-48=-39
D<0[/katex] — действительных корней нет.</p> <h3>Пример 3</h3> <p>[katex]x^2-6x-72=0 — найти корень.
D=b^2-4ac=(-6)^2-4 cdot (-72)=36+288=324
Так как 
, имеем два корня:
displaystyle x_1=frac{6-sqrt{324}}{2}, x_2=frac{6+sqrt{324}}{2}
displaystyle x_1=frac{6-18}{2}=-6, x_2=frac{6+18}{2}=12
Пример 4
Решить неполное уравнение
x^2-4=0
Способ 1
Разложим левую часть по формуле разность квадратов:
(x-2)(x+2)=0
Тогда корни:
x_1=-2, x_2=2
Способ 2
Решим задачу с помощью дискриминанта: 
, тогда displaystyle x_1=sqrt{D}/2=sqrt{16}/2=4/2=2,
displaystyle x_2=-sqrt{D}/2=-sqrt{16}/2=-4/2=-2
Пример 5
Придумайте такое квадратное уравнение, в котором будет нулевой дискриминант.
Решение:
Так как формула дискриминанта: D=b^2-4ac, то выберем любые коэффициенты 
и 
, а 
найдем, если приравняем D=b^2-4ac к нулю.
Пусть 
, a 
, тогда displaystyle D=4^2-4cdot 7cdot c=0
4^2-4cdot 7cdot c=0
16-28c=0
-28c=-16 Разделим левую и правую части на -4.
7c=4
displaystyle c=frac{4}{7}
И, получаем: displaystyle 7x^2+4x+frac{4}{7}=0
Ответ: displaystyle 7x^2+4x+frac{4}{7}=0
Выводы
Самое важное, что надо запомнить, это формулу:
D=b^2-4ac
и как определяются корни квадратного уравнения:
displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}
Можно забыть, как определяются корни в разных видах квадратных уравнений, неполных, приведенных, но если вы знаете главное — как определяется дискриминант и корни в полном квадратном уравнении, то вы сможете решить любое уравнение второй степени.