Как найти нули функции кубической функции

В математике под кубической функцией понимается полностью рациональная функция 3- й степени, то есть функция от действительных чисел, которая имеет вид

можно писать с помощью и .

Кубические функции как действительные полиномиальные функции от многочленов над, которые предстоит истолковать.

характеристики

Поведение в бесконечности

Как и все полностью рациональные функции нечетной степени, применяется

, ,

если старший коэффициент положительный, и

, ,

если отрицательно.

нулевая точка

Поскольку кубическая функция непрерывна как полиномиальная функция , из поведения на бесконечности и теоремы о промежуточном значении следует, что она всегда имеет по крайней мере один действительный нуль. С другой стороны, полностью рациональная функция степени не может иметь больше нуля. Отсюда следует: кубическая функция имеет не менее одного и не более трех нулей .

Чтобы найти нули кубической функции, см. Кубическое уравнение и Формулы Кардана . Дискриминант общей кубической функции является

и подходит для классификации нулей полинома : в случае есть три разных действительных нуля, в случае только один. Верно, что существует либо одинарный и двойной действительный ноль, либо есть тройной действительный ноль.

Численное нахождение нулей возможно, например, методом Ньютона .

Однообразие и локальные крайности

Как полиномиальную функцию, ее можно дифференцировать сколь угодно часто ; квадратичная функция получается для ее 1-й производной

.

Их дискриминант положительный, т.е. ЧАС. это правда , тогда имеется ровно один локальный максимум и ровно один локальный минимум. В противном случае он строго монотонен , а именно строго монотонно возрастает при и строго монотонно убывает при .

Точка поворота и симметрия

Каждая кубическая функция имеет ровно одну точку поворота . Поворотный момент

является однозначно определенным нулем 2-й производной .

Функция графа из является точкой симметрии относительно ее точки перегиба.

Нормальная форма

Любую кубическую функцию можно преобразовать в форму
путем сдвига и масштабирования

с принести.

Итак, вы получаете ровно три возможных случая этой нормальной формы:

1. : График имеет две крайние точки.
2. : Крайние точки совпадают ровно с одной седловой точкой .
3. : График не имеет ни экстремумов, ни седловых точек, так как производная теперь положительна во всей области.

Поскольку преобразование в нормальную форму не меняет существования экстремумов, эта характеристика также применима к исходной функции . Коэффициент является противоположным знаком дискриминанта производной исходной функции .

Кубическая парабола

В функции графика кубических функций и эти кривые в плоскости , которые следуют из них через вращения называются кубическими параболы . Поскольку сдвиг не имеет значения при рассмотрении кривой геометрически, нужно только исследовать кубические многочлены с помощью аналитики.

Кубический многочлен

Будь любым кольцом . Кубические полиномы над — это выражения вида

с и . Формально это элементы кольца многочленов степени 3, они определяют отображения из в . В данном случае речь идет о кубических функциях в указанном выше смысле.

Если это алгебраически замкнутое поле , каждый кубический многочлен распады как произведение трех линейных множителей.

В более общем смысле кубические многочлены от переменных представляют собой выражения вида

,

при этом не все должно быть нулевым. Эти многочлены определяют отображения из в . Их множество нулей им которые упоминаются в кубических кривых (если кривые не имеют особенностей , как эллиптические кривые ) и как кубические поверхности .

Смотри тоже

• Кубическое уравнение
• Карданные формулы
• Квадратичная функция

Кубическая функция

Кубическая функция — это функция вида y=ax³, где a — число ( a≠0).

График кубической функции называется кубической параболой.

Для начала рассмотрим свойства и график кубической функции y=x³ (при a=1).

Свойства функция y=x³:

1) Область определения — множество действительных чисел:

2) Область значений — все действительные числа:

3) Функция имеет один нуль:

4) Точка O (0;0) делит кубическую параболу на две равные части, каждая из которых называется ветвью кубической параболы. Ветви кубической параболы симметричны относительно точки O — начала координат.

Отсюда следует, что противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y: (- x)³= — x³ .

5) Функция возрастает на всей числовой прямой.

6) Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения при x∈(0;∞) (или y>0 при x>0);

функция принимает отрицательные значения при x∈(-∞;0) (или y

Эти точки отмечаем на координатной плоскости и строим кубическую параболу:

График функции y=ax³ при a≠1 ( a≠0) получают из графика функции y=x³ при помощи геометрических преобразований.

Функция y=x³ — один из частных случаев степенной функции

где α — любое действительное число.

В курсе алгебры из частных случаев степенной функции мы уже встречались с квадратичной функцией y=x² и функцией обратной пропорциональности

Построение графика кубической параболы.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

График функции:Y= МЕТОДИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ пособие Учитель МБОУ СОШ №8 г. Каменск – Шахтинский Болдырева Н.Л.

Построим график зависимости Y= Вычислим координаты нескольких точек, удовлетворяющих условию, и заполним таблицу: x01-12-23-3 y01-18-827-27

Свойства кубической параболы: 1)Область определения x R 2)Множество значений y R 3)a>0,то функция y= возрастает при x R

4)При x=0.y=0-нули функции 5)График симметричен относительно начала координат. 6)График распределен в 1 и 3 координатных четвертях. 7)y>0 (функция принимает положительные значения) при x>0. Y

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 567 241 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.

§ 18. Четные и нечетные функции

Другие материалы

• 28.01.2018
• 2092
• 8

• 28.01.2018
• 318
• 0

• 28.01.2018
• 307
• 0

• 28.01.2018
• 447
• 3

• 28.01.2018
• 368
• 3

• 28.01.2018
• 1598
• 13

• 28.01.2018
• 3459
• 39

• 28.01.2018
• 800
• 16

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 28.01.2018 2370
• PPTX 1.7 мбайт
• 25 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Болдырева Наталья Леонидовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 18219
• Всего материалов: 21

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Кубическая парабола

Вы будете перенаправлены на Автор24

Кубическая парабола – это парабола, задаваемая уравнением вида $y=ax^3$, где $a ≠ 0$. Также в литературе можно встретить и другие формулы для кубической параболы, все они эквивалентны.

Рисунок 1. График кубической параболы

Свойства функции кубической параболы

1. График кубической параболы определён на всём пространстве действительных чисел.
2. Функция, задаваемая графиком кубической параболы, является нечётной, то есть: $f(-x) =(-x)^3= — x^3 = f(x)$.
3. Из этого следует, что обратная функция кубической параболы, заданная уравнением $y = -x^3$ будет располагаться II и IV четвертях графика, тогда как для $y = x^3$ график располагается в I и III четвертях.
4. График кубической параболы центрально-симметричен относительно начала координат или точки перегиба, если он сдвинут относительно начала координат. То есть форма кривой справа до точки перегиба полностью идентична форме кривой слева. График кубической параболы хотя бы 1 раз пересекает ось абсцисс.
5. График кубической параболы возрастает на всей области определения.

Анализ графика функции кубической параболы

1. Найдя производную $f'(x)$ кубической функции первого порядка и приравняв полученное выражение к нулю, вы получите критические точки для кубической параболы, называемые также локальными минимумами и максимумами.
2. Вторая производная $f»(x)$ параболы определяет точку перегиба функции.
3. Области значения и определения кубической параболы — все действительные числа.

Найдите точку перегиба для кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$.

1. Сначала найдём первую производную функции, она равна: $y’ = 6x^2 + 12x – 1$.
2. Теперь найдём вторую производную, $y» = 12x + 12$. Чтобы найти значение по оси абсцисс точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: $12x + 12 = 0$, $x = -1$.
3. Найдём значение по оси ординат, для этого в исходную функцию подставим значение найденного $x$: $y = -2 + 6 + 1 +2 = 7$. Точка перегиба кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$ находится по координатам $(-1; 7)$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 12 2021

Полиномиальная функция степени 3 График кубической функции с 3 действительными корнями (где кривая пересекает горизонтальную ось — где y = 0). Показанный случай имеет две критических точки. Здесь функция f (x) = (x + 3x — 6x — / 4.

В математике кубическая функция является функцией формы

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d { displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

, где коэффициенты a, b, c и d являются действительными числами, а переменная x принимает действительные значения, а a ≠ 0. Другими словами, это одновременно полиномиальная функция степени три и действительная функция. В частности, домен и кодомен представляют собой набор действительных чисел.

Установка f (x) = 0 дает кубическое уравнение в форме

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, { displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0,}

, решения которого называются корнями функции.

Кубическая функция имеет один или три действительных корня; все многочлены нечетной степени имеют хотя бы один действительный корень.

График кубической функции всегда имеет единственную точку перегиба. Он может иметь две критические точки, локальный минимум и локальный максимум. В противном случае кубическая функция монотонна. График кубической функции симметричен относительно точки перегиба; то есть он инвариантен относительно поворота на пол-оборота вокруг этой точки. До аффинного преобразования существует только три возможных графика для кубических функций.

Кубические функции являются фундаментальными для кубической интерполяции.

Содержание

• 1 История
• 2 Критические точки и точки перегиба
• 3 Классификация
• 4 Симметрия
• 5 Коллинеарности
• 6 Кубическая интерполяция
• 7 Ссылка
• 8 Внешние ссылки

История

Критические точки и точки перегиба

корни, стационарные точки, точка перегиба и вогнутость кубического многочлена x — 3x — 144x + 432 (черная линия) и его первая и вторая производные ( красный и синий).

критическими точками кубической функции являются ее стационарные точки, то есть точки, в которых наклон функции равен нулю. Таким образом, критические точки кубической функции f, определенной как

f (x) = ax + bx + cx + d,

, возникают при таких значениях x, что производная

3 ax 2 + 2 bx + c = 0 { displaystyle 3ax ^ {2} + 2bx + c = 0}

кубической функции равно нулю.

Решения этого уравнения являются значениями x критических точек и задаются с использованием квадратной формулы как

x critical = — b ± b 2 — 3 ac 3 а. { displaystyle x _ { text {critical}} = { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -3ac}}} {3a}}.}

Знак выражения внутри квадратный корень определяет количество критических точек. Если он положительный, то есть две критические точки, одна — локальный максимум, а другая — локальный минимум. Если b — 3ac = 0, то есть только одна критическая точка, которая является точкой перегиба . Если b — 3ac <0, то (реальных) критических точек нет. В двух последних случаях, то есть, если b — 3ac неположительно, кубическая функция строго монотонна. На рисунке показан пример случая Δ 0>0.

Точка перегиба функции — это место, где эта функция изменяет вогнутость. Точка перегиба возникает, когда вторая производная f ″ (x) = 6 ax + 2 b, { displaystyle f » (x) = 6ax + 2b,}равна нулю, а третья производная отлична от нуля. Таким образом, кубическая функция всегда имеет единственную точку перегиба, которая встречается при

x перегиб = — b 3 a. { displaystyle x _ { text {inflection}} = — { frac {b} {3a}}.}

Классификация

Кубические функции вида

y = x 3 + p x. { displaystyle y = x ^ {3} + px.}

. График любой кубической функции аналогичен такой кривой.

График кубической функция — это кубическая кривая, хотя многие кубические кривые не являются графиками функций.

Хотя кубические функции зависят от четырех параметров, их график может иметь очень мало форм. Фактически, график кубической функции всегда аналогичен графику функции вида

y = x 3 + p x. { displaystyle y = x ^ {3} + px.}

Это сходство может быть построено как композиция переводов, параллельных осям координат, гомотезия (равномерное масштабирование ), и, возможно, отражение (зеркальное отображение ) относительно оси y. Дополнительное неравномерное масштабирование может преобразовать график в график одной из трех кубических функций

y = x 3 + x y = x 3 y = x 3 — x. { displaystyle { begin {align} y = x ^ {3} + x \ y = x ^ {3} \ y = x ^ {3} -x. end {align}}}

Это означает, что есть только три графика кубических функций от до и аффинное преобразование.

Вышеупомянутые геометрические преобразования могут быть построены следующим образом, если исходить из общего кубическая функция y = ax 3 + bx 2 + cx + d. { displaystyle y = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d.}

Во-первых, если < 0, the изменение переменной x → –x позволяет предположить a>0. После этого изменения переменной новый график является зеркальным отображением предыдущего относительно оси y.

Тогда изменение переменной x = x 1 — b / 3a дает функцию вида

y = a x 1 3 + p x 1 + q. { displaystyle y = ax_ {1} ^ {3} + px_ {1} + q.}

Это соответствует сдвигу, параллельному оси x.

Изменение переменной y = y 1 + q соответствует перемещению относительно оси y и дает функцию вида

y 1 = ax 1 3 + px 1. { displaystyle y_ {1} = ax_ {1} ^ {3} + px_ {1}.}

Изменение переменной x 1 = x 2 a, y 1 = y 2 a { displaystyle стиль текста x_ {1} = { frac {x_ {2}} { sqrt {a}}}, y_ {1} = { frac {y_ {2}} { sqrt {a}}}}соответствует равномерному масштабированию и дает после умножения на a { displaystyle { sqrt {a}},}функцию вида

y 2 = x 2 3 + px 2, { displaystyle y_ {2} = x_ {2} ^ {3} + px_ {2},}

— простейшая форма, которую можно получить по подобию.

Тогда, если p ≠ 0, неравномерное масштабирование x 2 = x 3 | p |, y 2 = y 3 | p | 3 { displaystyle textstyle x_ {2} = x_ {3} { sqrt {| p |}}, quad y_ {2} = y_ {3} { sqrt {| p | ^ {3}}}}после деления на дает | p | 3, { displaystyle textstyle { sqrt {| p | ^ {3}}},}

y 3 = x 3 3 + x 3 знак ⁡ (p), { displaystyle y_ {3} = x_ { 3} ^ {3} + x_ {3} operatorname {sign} (p),}

где sign ⁡ (p) { displaystyle operatorname {sign} (p)}имеет значение 1 или –1, в зависимости от знака p. Если определить знак ⁡ (0) = 0, { displaystyle operatorname {sign} (0) = 0,}, последняя форма функции применяется ко всем случаям (с Икс 2 знак равно Икс 3 { Displaystyle х_ {2} = х_ {3}}и у 2 = у 3 { Displaystyle у_ {2} = у_ {3}}).

Симметрия

Для кубической функции вида y = x 3 + px, { displaystyle y = x ^ {3} + px,}точка перегиба, таким образом, является началом координат. Поскольку такая функция является нечетной функцией, ее график симметричен относительно точки перегиба и инвариантен при повороте на пол-оборота вокруг точки перегиба. Поскольку эти свойства инвариантны в силу подобия, следующее верно для всех кубических функций.

График кубической функции симметричен относительно точки перегиба и инвариантен при повороте на пол-оборота вокруг точки перегиба.

Коллинеарности

Точки P 1, P 2 и P 3 (отмечены синим цветом) коллинеарны и принадлежат графику из x + 3 / 2x — 5 / 2x + 5/4. Точки T 1, T 2 и T 3 (красные) являются пересечениями (пунктирных) касательных к графику в этих точках с сам график. Они также коллинеарны.

Касательные линии к графику кубической функции в трех коллинеарных точках снова пересекают кубику в коллинеарных точках. Это можно увидеть следующим образом.

Так как это свойство инвариантно относительно жесткого движения, можно предположить, что функция имеет вид

f (x) = x 3 + p x. { displaystyle f (x) = x ^ {3} + px.}

Если α — действительное число, то касательной к графику f в точке (α, f (α)) будет прямая

{(x, f (α) + (x — α) f ′ (α)): x ∈ R}.

Таким образом, точку пересечения между этой прямой и графиком f можно получить, решив уравнение f (x) = е (α) + (x — α) f ′ (α), то есть

x 3 + px = α 3 + p α + (x — α) (3 α 2 + p), { displaystyle x ^ {3} + px = alpha ^ {3} + p alpha + (x- alpha) (3 alpha ^ {2} + p),}

который можно переписать

x 3 — 3 α 2 x + 2 α 3 = 0, { displaystyle x ^ {3} -3 alpha ^ {2} x + 2 alpha ^ {3} = 0,}

и разлагается на множители как

(x — α) 2 (x + 2 α) = 0. { displaystyle (x- alpha) ^ {2} (x + 2 alpha) = 0.}

Итак, касательная пересекает кубику в точке

(- 2 α, — 8 α 3 — 2 p α) = (- 2 α, — 8 f (α) — 10 p α). { displaystyle (-2 alpha, -8 alpha ^ {3} -2p alpha) = (- 2 alpha, -8f ( alpha) -10p alpha).}

Итак, функция, отображает точку (x, y) графика в другую точку, в которой касательная пересекает график, это

(x, y) ↦ (- 2 x, — 8 y — 10 пикселей). { displaystyle (x, y) mapsto (-2x, -8y-10px).}

Это аффинное преобразование, которое преобразует коллинеарные точки в коллинеарные точки. Это подтверждает заявленный результат.

Кубическая интерполяция

Учитывая значения функции и ее производной в двух точках, существует ровно одна кубическая функция, имеющая те же четыре значения, которая называется кубическим сплайном Эрмита..

Есть два стандартных способа использовать этот факт. Во-первых, если кто-то знает, например, путем физического измерения значения функции и ее производной в некоторых точках выборки, можно интерполировать функцию с помощью непрерывно дифференцируемой функции, которая является кусочно кубическая функция.

Если значение функции известно в нескольких точках, кубическая интерполяция заключается в приближении функции непрерывно дифференцируемой функцией, которая является кусочно куб. Для однозначно определенной интерполяции необходимо добавить еще два ограничения, например значения производных в конечных точках или нулевую кривизну в конечных точках.

Ссылка

Внешние ссылки

Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Кубическими функциями.