Математика
5 класс
Урок №32
Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма
Перечень рассматриваемых вопросов:
— куб;
— параллелепипед;
— элементы параллелепипеда;
— объём прямоугольного параллелепипеда, куба.
Тезаурус
Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.
Высота, длина и ширина – это измерения прямоугольного параллелепипеда.
Единичный куб — куб, ребро которого равно линейной единице.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Как вы думаете, что больше занимает места– 1 кг ваты или 1 кг гвоздей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать величину, которая называется объём. В данной задаче ответ очевиден, так как мы можем представить предметы визуально. Но не всегда ответ может быть таким простым. Чаще всего нужно произвести определённые вычисления.
Сегодня мы рассмотрим объём прямоугольного параллелепипеда и научимся его находить.
Объём можно измерить. Его измеряют в кубических миллиметрах, кубических сантиметрах, кубических метрах, литрах и т. д.
Найдём соотношение между единицами измерения объёма.
Так как 1 см = 10 дм, то 1 см3 = 1 000 мм3.
1 дм3 = 1000 см3 = 1 л
1 м3 = 1000 дм3
1 км3 = 1000000000 м3
В древности в разных частях планеты люди по-разному измеряли объём. Например, в Древней Греции использовали глиняные мерные сосуды для зерна или жидкостей. Причём это были амфоры разного размера. Поэтому значение единицы объёма менялось от 2 до 26 литров.
На Руси основной мерой жидкостей считалось ведро, в котором 10 кружек или 12 литров. Также для подсчётов объём ведра делили пополам, то есть на два полуведра, которые, в свою очередь, тоже можно было поделить пополам. Для торговли с иностранцами использовали меру объёма, называемую бочка, которая равнялась 40 вёдрам.
Дадим определение единичного куба – это куб, ребро которого равно линейной единице. Его тоже принимают за единицу объёма.
Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на К единичных кубов, то говорят, что его объём V равен К кубическим единицам.
Например, на рисунке объём параллелепипеда равен 24 кубическим единицам.
V = 24 куб. единиц
Введём формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, то есть произведению длины а, ширины bи высоты c, или произведению площади основания S на высоту c.
V = а · b · c = S · с
Так как куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все измерения равны, то его объём равен третьей степени длины его ребра а.
V = а3
Решим задачу.
Мальчик купил аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, который имеет площадь дна, равную 1400 см3, и высоту 6 дм. Какой объём воды он налил в аквариум, если уровень жидкости не доходил до края 5 см? Выразите ответ в кубических сантиметрах.
Чтобы решить эту задачу переведём единицы измерения длины в сантиметры.
6 дм = 60 см
Получается, что высота аквариума равна 60 см. Но по условию задачи требуется определить объём налитой жидкости, а её высота соответствует разности между высотой аквариума и уровнем жидкости, не доходящей до края:
с = 60 см – 5 см = 55 см
Получается, что высота жидкости в сосуде соответствует 55 см.
Теперь можно определить объём воды, которая налита в аквариум.
Для этого используем следующую формулу:
V = S · с = 1400 см2 · 55 см = 77000 см3
Ответ: мальчик налил в аквариум 77000 см3 воды.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Чему равен объём куба, если длина его ребра равна 3 см?
Решение: для нахождения объёма куба нужно воспользоваться формулой.
V = а3 = (3 см)3 = 27 см3
Ответ: 27 см3.
№2. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если его длину увеличить в три раза. Подчеркните правильный ответ.
Решение: чтобы ответить на вопрос, нужно воспользоваться формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.
V = а · b · c, где а – длина прямоугольного параллелепипеда.
Если длина возрастет в три раза, то объём, соответственно, увеличится в три раза, так как, длина – это один из трёх множителей, входящих в формулу объёма прямоугольного параллелепипеда:
V = 3 · а · b · c
Ответ: объём увеличится в три раза.
Рассказываем, как решать задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба. Приводим алгоритм и примеры решения.
Задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба – это геометрические задачи на построение и нахождение неизвестноых параметров прямоугольного параллелепипеда и куба используя формулы объема.
Алгоритм решения задач на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба:
- Выполняем краткую запись задачи;
- Определяем способ и решаем задачу;
- Выписываем полный ответ.
Определяем способ решения:
Задача 1. Одно ребро прямоугольного параллелепипеда равно 6 дм, второе — в 2 раза больше первого, а третье — на 4 дм больше первого. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, площадь его поверхности и сумму длин всего его ребер.
Краткая запись:
Решение:
- (6⋅2=12) (дм) — b;
- (6+4=10) (дм) — c;
- (V_п =a⋅b⋅c)
(6⋅12⋅10=720) (дм3) — V; - (S_п= 2⋅)((ab+bc+ac))
(2)((6⋅12+6⋅10+12⋅10))(=2)((72+60+120))(=2⋅252=504) (дм2) — S; - (4)((a+b+c)) — сумма длин всех ребер
(4⋅)((6+12+10))(=4⋅28=112) (дм).
Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 720 дм3, площадь его поверхности — 504 дм2, сумма длин всех ребер — 112 дм.
ПЕРИМЕТР
Периметр – сумма длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Чаще всего периметр измеряется в сантиметрах, метрах и километрах.
Чаще всего периметр обозначается буквой P.
Периметр прямоугольника – удвоенная сумма длины и высоты — 2∙(a+b)
Периметр квадрата – произведение любой его стороны на 4, так как стороны равны.
ПЛОЩАДЬ
Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры, которая показывает ее размер. Чаще всего площадь измеряется в квадратных сантиметрах, квадратных метрах и квадратных километрах.
В отличие от периметра, не существует универсальной формулы площади. Для каждого типа фигур площадь вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольники, квадраты и составные фигуры из прямоугольников и квадратов.
Чаще всего площадь обозначается буквой S.
Площадь прямоугольника – произведение длины на высоту.
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Разделим этот прямоугольник на квадраты
Мы получили 15 квадратов внутри этого прямоугольника – это и есть те самые 15 квадратных сантиметров, которые составляют площадь прямоугольника.
Площадь квадрата – произведение длины стороны на саму себя.
СОСТАВНЫЕ ФИГУРЫ
Разделим эту фигуру на прямоугольник и квадрат
Высота прямоугольника составит 5 – 3 = 2
СООТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ И ПЕРИМЕТРА
Фигуры с одной и той же площадью могут иметь разный периметр
Почему у нас изменился периметр, хотя площадь, т.е. число квадратиков внутри фигуры, осталась прежней?
Потому что изменилось число граней квадратиков, которые участвуют в формировании сторон фигуры, т.е. перметра. В первой фигуре – большом квадрате, в формировании сторон участвовали по две внешних грани каждого маленького квадратика – общее число таких граней 8, и периметр равен 8.
Во второй фигуре у нас в формировании сторон участвуют по три грани у двух крайних квадратиков и по две грани внутренних квадратов. Общее число таких граней 10, и периметр равен 10.
ОБЪЁМ
Объём – количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Чаще всего объём измеряется в кубических сантиметрах, кубических дециметрах, кубических метрах и литрах.
1 л = 1 дм3
Не существует универсальной формулы объема. Для каждого типа фигур объём вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольные параллелепипеды.
Чаще всего объём обозначается буквой V.
Прямоугольный параллелепипед – замкнутая фигура, у которой 6 прямоугольных граней (передняя, задняя, нижняя, верхняя и две боковые), и каждая из граней расположены под прямым углом к соседним.
Объём прямоугольного параллелепипеда – произведение его длины, ширины и высоты
Зная объём и две стороны, мы можем найти третью сторону:
c = (V:a):b = V:S
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Найдите периметр и площадь прямоугольника, у которого ширина 10 см, и она меньше длины на 6 см.
x = 10 см – ширина
1. Найдём длину
y = 10 + 6 = 16 см
2. Найдём периметр
P = 2∙(10+16) = 52 см
3. Найдём площадь
S = 10∙16 = 160 см2
Ответ: P = 52 см, S = 160 см2
Задача 2. Какую ширину имеет прямоугольник, длина которого 50 см, а площадь совпадает с площадью квадрата периметром 80 см?
1. Вычислим сторону квадрата
4∙n = 80 — периметр
n = 20 см
2. Вычислим площадь квадрата
20∙20 = 400 см2
3. Вычислим ширину прямоугольника
50∙x = 400 см2
x = 8 см
Ответ: 8 см
Задача 3. Чему равна ширина прямоугольника, длина которого равна 15 м, а площадь 7500 дм2 ?
1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 м = 10 дм
1. Переведём длину прямоугольника в дм
x = 15∙10 = 150 дм
2. Найдём ширину прямоугольника
150∙y = 7500
y = 7500:150 = 50 дм
Ответ: 50 дм
Задача 4. Длина прямоугольника равна 60 см, и она в 3 раза больше ширины стороны.
1. Найдите площадь этого прямоугольника.
2. Найдите площадь квадрата, который имеет такой же периметр, как и прямоугольник.
3. Найдите периметр квадрата, площадь которого в 12 раз меньше площади прямоугольника.
1. Найдём ширину прямоугольника
x = 60:3 = 20 см
2. Найдём площадь прямоугольника
S = 60∙20 = 1200 см
2. Найдём периметр прямоугольника
P = 2∙(60+20) = 160 см
3. Найдём сторону квадрата
y = 160:4 = 40 см
4. Найдём площадь квадрата
Sкв = 40∙40 = 1600 см2
5. Найдём площадь квадрата, которая в 12 раз меньше площади прямоугольника:
Sкв2 = 1200:12 = 100 см2
6. Найдём сторону такого квадрата
Площадь квадрата = 100 см2
Из таблицы умножения мы знаем, что 10∙10 = 100, значит сторона квадрата = 10 см
7. Найдём периметр такого квадрата
P = 10∙4 = 40 см
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Задача 5. В прямоугольнике АВСД сторона АВ 3 см, сторона ВС на 1 см длиннее, а диагональ ВД на 2 см длиннее АВ. Найдите периметр и площадь прямоугольника АВСД и треугольника АВД.
1. Найдём сторону ВС
ВС = 3+1 = 4
2. Найдём диагональ ВД
ВД = 3+2 = 5
3. Найдём периметр АВСД
P = 2∙(3+4) = 14 см
4. Найдём площадь АВСД
Sавсд = 3∙4 = 12 см2
5. Найдём периметр треугольника АВД
Pавд = 3 + 5 + 4 = 13 см
6. Найдём площадь треугольника АВД
Треугольник АВД занимает половину площади прямоугольника АВСД
Sавд = Sавсд:2
Sавд = 12:2 = 6 см2
Задача 6. В аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, основание которого имеет стороны 80 и 40 см, налили до краёв 160 л. воды. Какова высота аквариума?
Решение
1. Переведём литры в кубические дециметры
1 л = 1 дм3, 160 л = 160 дм3
2. Переведём стороны аквариума в дециметры
1 дм = 10 см, 80 см = 8 дм, 40 см = 4 дм
3. Найдём высоту аквариума
V = a∙b∙c, a = 8, b = 4
c = (V:a):b
c = (160:8):4 = 5 дм
c = 5∙10 = 50 см
Ответ: 50 см
Уже известны единицы измерения длины, например:
— и другие.
Для фигур на плоскости измеряют площадь в соответствующих квадратных единицах измерения:
мм2,см2,дм2,м2,км2…
Для геометрических тел измеряют объём, и для этого необходимы единицы измерения.
Единицей измерения объёма служит объём куба, у которого все грани равны (1) единице измерения длины:
мм3,см3,дм3,м3,км3…
Это кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр или даже кубический километр:
1км3=1000000000м3;1м3=1000дм3=1000000см3;1дм3=1000см3;1см3=1000мм3.
Часто для измерения объёма жидкости используют единицу измерения (1) литр:
1 л =1000см3=1дм3
.
Если измерять объём прямоугольного параллелепипеда, то можно представить, как маленькие кубики перекрывают прямоугольник в основании прямоугольного параллелепипеда.
Длины сторон прямоугольника определяют, сколько кубиков в ряду и сколько рядов с кубиками будет.
|
|
|
Если стороны равны, например, (3) см и (4) см, то прямоугольник перекрывается (3·4 = 12) кубиками.
Высота параллелепипеда определяет, сколько таких слоёв с кубиками можно поставить.
 |
|
Если высота прямоугольного параллелепипеда равна (3) см, то всего получится (3) слоя с кубиками. Итак, всего (3·3·4 = 36) кубиков, или объём равен (36) см³.
Значит, три измерения прямоугольного параллелепипеда позволяют посчитать, сколько всего кубиков поместилось в геометрическом теле, то есть вычислить объём прямоугольного параллелепипеда.
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда будут a, b и c единиц измерения.
Тогда объём (V = a·b·c) кубических единиц измерения.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Вокруг нас находится огромное множество объектов — «физических тел».
Все реальные тела занимают некоторое место в пространстве, поэтому часто приходиться сталкиваться с таким понятием как объем.
На этом уроке мы попытаемся выяснить, что такое объем.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Определим его основные свойства.
Узнаем, в каких единицах измерения объем выражается.
Выясним, как взаимосвязаны между собой единицы объема.
Научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и применим эти знания при решении задач.
Итак, любое тело в пространстве характеризуется объемом.
Давайте разберемся, что же такое объем.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Объем слово многозначное.
Выделяют два основных значения слова «объем».
1. Объемом называют величину, которая характеризует содержание чего-либо или количество содержащегося.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В математике объем имеет несколько другое значение.
Рассмотрим понятие объема с геометрической точки зрения.
2. Объем- это величина, характеризующая размер тела в пространстве.
Другими словами, объем- это величина, которая показывает сколько места тело занимает в пространстве.
Обычно объем обозначается латинской буквой V (от лат. volume- объем, наполнение).
Объем тела определяется его формой и размером.
Объем, как и любую другую величину, можно измерять.
Известно, чтобы измерить величину некоторой фигуры, необходимо определить сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.
На прошлых уроках мы выяснили, что при измерении длины используют линейные меры длины (1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.), площадь измеряют квадратными единицами длины (1 мм2, 1 см2, 1 дм2 и т.д.).
Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами.
Общее количество таких единичных квадратов, содержащихся в фигуре, — это площадь фигуры.
Аналогично дело обстоит с измерением объема фигуры.
Однако, чтобы определить размеры фигуры на плоскости, необходимо знать только две величины: ширину и длину, а для определения размеров пространственной фигуры кроме длины и ширины необходимо знать третью линейную меру — высоту.
Объем измеряют кубическими единицами.
Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами. Другими словами, объем измеряется кубическими единицами длины.
Измерить объем фигуры- это значит найти сколько кубических единиц содержится в данной фигуре.
Определим объем уже известной нам пространственной фигуры- прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед- это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести граней-прямоугольников, причем противоположные грани его попарно равны.
Объем прямоугольного параллелепипеда- это число, которое показывает, какое количество кубических единиц помещается в этот прямоугольный параллелепипед.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Таким образом, если разбить фигуру на n равных единичных кубиков, то объем будет равен n кубических единиц.
Пусть прямоугольный параллелепипед имеет следующие размеры:
Ширина а = 3 (ед. длины)
Длина b = 6 (ед. длины)
Высота h = 2 (ед. длины)
Высота прямоугольного параллелепипеда- это расстояние между нижним и верхним основанием.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Выложим на нижнее основание прямоугольного параллелепипеда вдоль самой длинной стороны ряд из единичных кубиков (ребро каждого такого кубика равно одной единице длинны).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В такой ряд поместиться 6 единичных кубиков.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Чтобы закрыть все нижнее основание прямоугольного параллелепипеда, необходимо выложить 3 таких ряда по 6 кубиков в каждом.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Количество единичных кубиков, выложенных в основании, будет определяться выражением 6 ∙ 3.
Найдем значение данного выражения:
6 ∙ 3 = 18 (ед. кубиков).
Слой кубиков, из которых выложено дно прямоугольного параллелепипеда, состоит из 18 единичных кубиков.
Сколько таких слоев можно поместить в прямоугольный параллелепипед зависит от его высоты.
В нашем случае высота прямоугольного параллелепипеда равна двум единицам длины.
Следовательно, в измеряемом прямоугольном параллелепипеде можно уместить 2 слоя (каждый по 18 единичных кубиков).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Общее количество единичных кубиков будет определяться выражением 2 ∙ 18.
Найдем значение данного выражения:
2 ∙ 18 = 36 (ед. кубиков).
Следовательно, объем всего прямоугольного параллелепипеда равен 36 кубическим единицам.
По сути, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам пришлось перемножить длины трех его сторон: ширины а = 3 (ед. длины), длины b = 6 (ед. длины), высоты h = 2 (ед. длины).
V =a ∙ b ∙ h = 3 ∙ 6 ∙ 2 = 36 (кубических единиц).
Запишем правило нахождения объема прямоугольного параллелепипеда.
Правило: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (трех его сторон: ширины а, длины b, высоты h), выраженных в одинаковых единицах измерения.
Запишем правило в виде формулы.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Таким образом, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, не обязательно разбивать его на кубические единицы и считать их общее количество, необходимо просто знать длину, ширину и высоту этой фигуры.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Выясним, как выглядит формула объема для куба.
Известно, что куб- это прямоугольный параллелепипед, состоящий из шести одинаковых квадратов, следовательно, все ребра куба равны между собой; значит, ширина, длина и высота имеют одинаковые значения.
Таким образом, вычислить объем куба довольно просто, если знать значение его ребра.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пусть а— это длина ребра куба.
Тогда для куба справедливо следующее: b = а, h = а.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = a ∙ b ∙ h для куба примет вид:
V = a ∙ а ∙ а = а3
Умножив ширину на длину и на высоту, получим произведение трех равных по значению множителей.
Произведение трех множителей — это куб числа.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Правило: чтобы вычислить объем куба, нужно перемножить значения трех его ребер или просто возвести ребро куба в третью степень.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
За единицу измерения объема принимают кубическую единицу.
Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами.
Объем такого куба находится как V = a ∙ b ∙ h.
Исходные линейные меры могут быть любыми: миллиметрами, сантиметрами, дециметрами и т.д.
По правилу, при вычислении объема тела, единицы измерения длины, ширины и высоты должны совпадать.
Значение объема будет непосредственно зависеть от выбранной единицы измерения.
К основным единицам объема относят:
1. Кубический метр- это основная единица измерения объема в системе СИ.
Кубический метр (кубометр)- это куб, у которого ребро равно одному метру (1 м).
Русское обозначение: м3.
Международное обозначение: m3.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
V = 1 м ∙ 1 м ∙ 1 м = 1 м3.
Широко используется кубический метр в быту, в науке и технике, в строительстве и архитектуре, на производстве и др.
Обычно в кубических метрах измеряют расход и потребление воды и бытового газа.
В кубометрах измеряют объемы древесины и пиломатериалов, объемы различных сыпучих строительных материалов (гравий, песок и т.д.), объемы самых разнообразных жидкостей и емкостей под них и т.д.
Существуют и другие производные от метра единицы измерения объемов, которые так же являются единицами измерения системы СИ.
2. Кубический миллиметр- это куб, у которого ребро равно одному миллиметру (1 мм).
Русское обозначение: мм3.
Международное обозначение: mm3.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
V = 1 мм ∙ 1 мм ∙ 1 мм = 1 мм3.
3. Кубический сантиметр- это куб, у которого ребро равно одному сантиметру (1 см).
Русское обозначение: см3.
Международное обозначение: сm3.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
V = 1 cм ∙ 1 cм ∙ 1 cм = 1 см3.
В кубических сантиметрах измеряют, например, объем двигателя.
Шкала медицинского одноразового шприца выражается в кубических сантиметрах.
В медицине существует разговорное обозначение кубического сантиметра, его называют «кубик».
4. Кубический дециметр- это мера объема, равная объему куба с ребром один дециметр (1 дм).
Русское обозначение: дм3.
Международное обозначение: dm3.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
V = 1 дм ∙ 1 дм ∙ 1 дм = 1 дм3.
Например, воздухопроницаемость тканей измеряют в дециметрах кубических.
Воздухопроницаемость- это способность материалов пропускать один кубический дециметр (дм3) воздуха через 1 м2 материала за одну секунду.
Этот показатель учитывают при производстве одежды, обуви, упаковочных материалов и т.д.
Например, воздухопроницаемость больше у летней одежды и обуви, чем у зимней.
5. Кубический километр представляет собой куб, у которого ребро равно одному километру (1 км).
Русское обозначение: км3.
Международное обозначение: km3.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
V = 1 км ∙ 1 км ∙ 1 км = 1 км3.
Используют данную единицу измерения не часто, в основном для замеров больших объемов водных объектов.
Существуют единицы объема, которые не являются единицами Международной системы единиц СИ (их называют внесистемными единицами), однако они допускаются к применению вместе с единицами системы СИ.
Такой единицей объема является литр.
Литр (от лат.- «мера емкости»)- метрическая единица измерения объема.
Русское обозначение: л.
Международное обозначение: l.
В некоторых странах используют в качестве альтернативного варианта обозначения объема заглавную латинскую букву L.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Литр- это объем куба с ребром в 1 дм.
V = 1 л = 1 дм ∙ 1 дм ∙ 1 дм = 1 дм3.
Один литр равен одному кубическому дециметру.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Так как 1 дм = 10 см.
Следовательно, V = 1 л = 10 см ∙ 10 см ∙ 10 см = 1000 см3
Литр- одна из наиболее используемых единиц в метрической системе, часто используются в быту.
Чаще всего литрами измеряют жидкие и газообразные вещества, литрами измеряют вместимость сосудов и емкостей (например, банок, кувшинов, чайников, ведер, кастрюль и т.д.), а также объемы бытовой и кухонной техники (микроволновой печи, холодильника, электрической печи и т.д.).
На АЗС бензин измеряют литрами, в литрах же выражается объем топливного бака, объем багажного отделения и др.
Кроме самого литра используют производные от него единицы.
- Миллилитр- это внесистемная мера объема.
Русское обозначение: мл.
Международное обозначение: ml.
Один миллилитр равен одному кубическому сантиметру:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
V = 1 мл = 1 см ∙ 1 см ∙ 1 см = 1 см3
Часто используют в медицине и фармацевтике (для определения дозировки лекарственного средства, измерения объемов компонентов медицинского препарата, в лабораторных исследованиях).
В кулинарии для некоторых рецептов указывают объемы ингредиентов в миллилитрах.
- Декалитр- внесистемная мера объема.
Русское обозначение: дал.
Международное обозначение: dal или daL.
Один декалитр равен 10 литрам (10 дм3).
- Гектолитр- внесистемная мера объема.
Русское обозначение: гл.
Международное обозначение: hl или hL.
Один гектолитр равен 100 литрам (100 дм3).
Декалитр и гектолитр- это наиболее часто используемые меры объема в виноделии.
Порой при решении задач значения объемов выражены в различных единицах измерения.
Если единицы измерения различны, то их необходимо привести к единой мерной единице.
Чтобы перейти от одной кубической единицы к другой, необходимо знать соотношения между единицами объема.
Выясним, как единицы объема связаны между собой.
Рассмотрим пример.
Переведем один сантиметр кубический (1 см3) в кубические миллиметры.
Чтобы найти сколько в кубическом сантиметре содержится кубических миллиметров, необходимо вспомнить сколько в одном сантиметре миллиметров.
1 см = 10 мм.
Известно, что 1 см3— это куб, ребро которого равно 1 см.
Так как 1 см = 10 мм, то все ребра такого куба равны 10 мм.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Найдем объем куба с ребром 10 мм.
V = 10 мм ∙ 10 мм ∙ 10 мм = 1000 мм3 = 1 см3
Следовательно, в одном кубическом сантиметре содержится 1000 кубических миллиметров.
1 см3 = 1000 мм3
В таком случае, чтобы перевести кубические сантиметры в кубические миллиметры, нужно количество кубических сантиметров умножить на 1000.
Чтобы перевести кубические миллиметры в кубические сантиметры, необходимо количество миллиметров кубических разделить на 1000.
Следуя логике, изложенной в рассмотренном примере, можно осуществлять перевод любых единиц объема.
Для этого нужно знать и помнить соотношения единиц измерения длины, запишем их.
1 см = 10 мм
1 дм = 10 см = 100 мм
1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм
1 км = 1000 м
Запишем соотношения единиц объема:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Запоминать все эти соотношения нет необходимости, достаточно запомнить общий принцип перевода из одной единицы измерения в другую.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Выразим 12 см3 в кубических миллиметрах.
Так как 1 см3 = 10 мм ∙ 10 мм ∙ 10 мм = 1000 мм3, то число кубических миллиметров в 1000 раз больше, чем число кубических сантиметров, следовательно, умножим 12 см3 на 1000.
Решение:
12 см3 = 12 ∙ 1000 = 12000 мм3.
Ответ: 12 см3 = 12000 мм3.
Пример 2.
Выразим 12000 мм3 в кубических сантиметрах.
Так как 1000 мм3— это 1 см3, то разделив 12000 мм3 на 1000, выясним сколько квадратных сантиметров содержится в 12000 мм3.
Решение:
12000 мм3 = 12000 ÷ 1000 = 12 см3.
Ответ: 12000 мм3 = 12 см3.
Пример 3.
Объем цистерны для нефтепродуктов составляет 85 м3.
Выразим объем такой цистерны в литрах.
Решение:
Так как 1 м3 = 1000 л, то 85 м3 = 85000 л
Ответ: 85 м3 = 85000 л.
Пример 4.
Выразим 4 м3 50 дм3 в кубических дециметрах.
Так как 1 м3 = 1000 дм3, следовательно, 4 м3 = 4000 дм3.
В нашем случае 4000 дм3, да еще 50 дм3, получаем:
4 м3 50 дм3 = 4000 дм3 + 50 дм3 = 4050 дм3
Ответ: 4 м3 50 дм3 = 4050 дм3
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Объем обладает рядом свойств, перечислим их.
Свойство №1
Равные тела имеют равные объемы.
Равенство объемных фигур определяется так же, как и плоских.
Тела называются равными, если их можно совместить наложением.
Тела, которые имеют равные объемы, называют равновеликими.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
V1 = V2
Свойство №2
Если тело составлено из нескольких частей или разбито на несколько частей, то объем всего тела равен сумме объемов его частей.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.
Пусть прямоугольный параллелепипед, ширина которого равна 4 см, длина- 9 см, высота- 7 см, разделен на две части (на два прямоугольных параллелепипеда).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Объем первой части V1 равен 96 см3.
Объем второй части V2 равен 192 см3.
Определим объем целого прямоугольного параллелепипеда двумя способами.
1. Объем целого прямоугольного параллелепипеда найдем как сумму объемов его частей.
V = V1 + V2
V = 96 см3 + 192 см3 = 288 см3
2. Найдем объем целого прямоугольного параллелепипеда по формуле V = a ∙ b ∙ h
а = 4 см— ширина
b = 9 см— длина
h = 7 см— высота
V = 4 см ∙ 9 см ∙ 7 см = 288 см3
Объем целой фигуры равен 288 см3, такой же результат был получен при сложении объемов частей, на которые прямоугольный параллелепипед был разбит.
В практической и повседневной жизни часто приходится вычислять объемы различных тел.
Рассмотрим решения нескольких практических задач
Задача №1.
Найдите объем аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если длина его 5 дм, ширина 2 дм, высота 3 дм.
Найденный объем выразите в литрах.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Задача №2
Необходимо изготовить ящик вместимостью 1 м3.
Известно, что длина ящика должна быть равна 20 дм, ширины- 10 дм.
Какой должна быть его высота?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Выразим 1 м3 в кубических дециметрах.
1 м3 = 1000 дм3
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Задача №3
Сколько литров воды необходимо залить в бассейн, чтобы полностью заполнить его?
Длина бассейна 2 м, ширина- 2 м и высота бассейна равна 2 м.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям