Как найти объем большего шарового сегмента

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить объем сегмента шара, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

• Определение сегмента шара

• Формулы для нахождения объема шарового сегмента
  • Через радиус шара и высоту сегмента

  • Через радиус основания сегмента и его высоту

• Пример задачи

Определение сегмента шара

Сегмент шара (или шаровый сегмент) – это часть шара, отсеченная плоскостью. На чертеже ниже закрашен зеленым цветом.

• R – радиус шара;
• r – радиус основания сегмента;
• h – высота сегмента; это длина перпендикуляра от центра его основания (точка O₂) до точки на поверхности шара.

Формулы для нахождения объема шарового сегмента

Пояснения:

• В формулах ниже используется радиус шара (R) или радиус основания сегмента (r). Поэтому, если изначально дан их диаметр (d), то чтобы найти требуемый радиус, нужно соответствующий диаметр разделить на два.
• Число π округленно равняется до 3,14.

Через радиус шара и высоту сегмента

Чтобы найти объем (V) сегмента шара, необходимо знать радиус шара и высоту сегмента.

Через радиус основания сегмента и его высоту

Вычислить объем (V) шарового сегмента можно, зная его высоту и радиус основания (круга).

Данная формула получена следующим образом:

Радиус шара можно выразить через радиус основания сегмента и его высоту:

Таким образом, заменив R в первой формуле для расчета объема на выражение выше, получаем:

Пример задачи

Найдите объем сегмента шара, если известно, что его высота равняется 4 см, а радиус шара – 9 см.

Решение

В данном случае с учетом известных значений нам подходит первая формула:

Понятие шарового сегмента

Если пересечь шар какой-либо плоскостью, то он разделиться на две части, каждая из которых и будет представлять собой шаровой сегмент. Иногда его также называют сферическим сегментом.

Онлайн-калькулятор объема шарового сегмента

Меньший из этих сегментов принято называть сферическим кругом. Если же центр сферы лежит на плоскости, пересекающей шар, то он делится на два равных полушара.

Формула объема шарового сегмента

Объем данного тела можно вычислить несколькими способами. Первая формула такова:

1. Объем шарового сегмента

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)

hh —высота шарового сегмента;
RR — радиус шара.

Альтернативная формула:

2. Объем шарового сегмента

V=16⋅π⋅h⋅(3⋅r2+h2)V=frac{1}{6}cdotpicdot hcdot(3cdot r^2+h^2)

hh —высота шарового сегмента;
rr — радиус основания шарового сегмента.

Вторую формулу можно получить из первой, если использовать связь между RR, hh и rr:

R=r2+h22⋅hR=frac{r^2+h^2}{2cdot h},

получаемую с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника.

Ниже приведены примеры задач на нахождение объемов шарового сегмента.

Задача 1

Вычислите объем шарового сегмента, если известны его высота и радиус основания. Равны они, соответственно, 4 см4text{ см} и 8 см8text{ см}.

Решение

h=4h=4
r=8r=8

По второй формуле получаем:

V=16⋅π⋅h⋅(3⋅r2+h2)=16⋅π⋅4⋅(3⋅82+42)≈435.4 см3V=frac{1}{6}cdotpicdot hcdot(3cdot r^2+h^2)=frac{1}{6}cdotpicdot 4cdot(3cdot 8^2+4^2)approx435.4text{ см}^3

Ответ

435.4 см3.435.4text{ см}^3.

Задача 2

Рассмотрим предыдущую задачу, но проделаем вычисления по другой формуле. Для этого нам нужно найти радиус шара RR.

Решение

h=4h=4
r=8r=8

R=r2+h22⋅h=82+422⋅4=10R=frac{r^2+h^2}{2cdot h}=frac{8^2+4^2}{2cdot 4}=10

Объем сегмента:

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)=13⋅π⋅42⋅(3⋅10−4)≈435.4 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)=frac{1}{3}cdotpicdot 4^2cdot(3cdot 10-4)approx435.4text{ см}^3

Исходя из полученных ответов можно сделать вывод, что данная формула справедлива, так как ответы полученные разными формулами совпадают.

Ответ

435.4 см3.435.4text{ см}^3.

Задача 3

Определить объем шарового сегмента, если площадь его поверхности равна 64 см64text{ см}, а высота – 5см5text {см}.

Решение

S=64S=64
h=5h=5

Для начала найдем радиус RR шара. Площадь поверхности шарового сегмента можно найти так:

S=2⋅π⋅R⋅hS=2cdotpicdot Rcdot h.

Найдем отсюда радиус RR шара:

R=S2⋅π⋅h=642⋅π⋅5≈2R=frac{S}{2cdotpicdot h}=frac{64}{2cdotpicdot 5}approx2

Объем шарового сегмента по формуле:

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)≈13⋅π⋅52⋅(3⋅2−5)≈26 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)approxfrac{1}{3}cdotpicdot 5^2cdot(3cdot 2-5)approx26text{ см}^3

Ответ

26 см3.26text{ см}^3.

Хотите заказать выполнение контрольной работы у опытного исполнителя? Оформите заказ на нашей бирже!

Объем шарового сегмента, формула

Часть шара, [шар, сфера] осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется круг ABCD. Высотой шарового сегмента называется отрезок NM, т.е. длина перпендикуляра, восстановленного из центра N основания до пересечения с поверхностью шара. Точка M называется вершиной шарового сегмента.

Объем шарового сегмента выражается формулой:

[ V = pi h^2 ( R — frac{1}{3} h ) ]

(R — радиус большого круга шара, h — высота шарового сегмента)

Формулы шара, сферы

Вычислить, найти объем шарового сегмента по формуле (1)

Объем шарового сегмента	стр. 344

Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

На уроке мы рассмотрим части шара: шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор

Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.

Круг, получающийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента.

На экране высоты сегментов обозначены

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

Доказательство.

Применим уже известную нам интегральную формулу для вычисления объемов тел.

Проведем ось Ox перпендикулярно к плоскости основания.

Тогда произвольное сечение, проведенное перпендикулярно к оси Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

, при R- hxR.

Эту формулу мы получили при выводе формулы объема шара.

Вычислив соответствующий определенный интеграл, получаем:

.

Итак,

Ч. т. д.

Теорема. Объем шарового сегмента равен

где R – радиус шара;

h– высота сегмента.

Доказательство.

Проведем ось Oxк плоскости основания.

Тогда произвольное сечение, проведенное Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой:

, при R- hxR.

Вычислим соответствующий интеграл:

.

Итак,

Ч. т. д.

Определение. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями.

Расстояние h между сечениями называется высотой слоя, а сами сечения – основаниями слоя.

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Например, объем шарового слоя, изображенного на экране, равен разности объемов шаровых сегментов с высотами AC и BC.

Определение. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньшим 90⁰, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих сектор радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле:

Переходим к решению задач.

Задача 1

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

Дано:

Шаровой слой.

R – радиус шара

D –диаметр, точки C, D делят диаметр на три равные части:

AC = CD = DC

Нужно найти:

Задача 1

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

Дано:

Шаровой слой

R – радиус шара

AB–диаметр,

AC = CD = DC

Найти :

81

Решение:

Объем шарового слоя можно найти как разность объемов двух шаровых сегментов, с высотами AD и AC.

Обозначим высоты сегментов через

На чертеже отрезок AB – диаметр шара и он равен двум радиусам, высота первого сегмента h1 — отрезок AD, высота второго h2 — отрезок AC.

Так как по условию задачи, точки C и D делят диаметр шара AB на три равные части (AC = СD = DB), то

Общая формула для нахождения объема шарового сегмента:

Найдем объем большего сегмента:

Найдем объем меньшего сегмента:

Теперь мы можем вычислить объем шарового слоя, вычислив их разность:

Ответ:

Решение.

Обозначим высоты сегментов через

На чертеже AB – диаметр шара, AB = 2R,

.

Ответ:

Задача 2

Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см.

Найти объем сегмента.

Дано:

Шаровой сегмент.

Радиус основания r=8 см.

Высота h = 4 см.

Нужно найти объем шарового сегмента V.

Задача2.

Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см.

Найти объем сегмента.

Дано:

Шаровой сегмент

r= 8 см

h = 4 см

Найти: V_сегм.

Решение.

Формула для вычисления объема шарового сегмента:

где R – радиус шара;

h – высота сегмента.

1. Найдем радиус шара R.

Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора. Она пройдет через центр основания (свойство высоты, опущенной из центра шара на секущую плоскость) и будет перпендикулярна его радиусу ().

Рассмотрим осевое сечение.

Так как OA = OB = R, то OC = R –AC = R – 4

– прямоугольный (.

По теореме Пифагора:

После подстановки значений получим уравнение с одной переменной:

Решая это уравнение, найдем R.

8R= 80;

R = 10

1. Теперь можно вычислить объем

Ответ:

Решение.

Формула для вычисления объема шарового сегмента:

где R – радиус шара;

h– высота сегмента.

1. Найдем радиус шара R.

Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора.

Рассмотрим осевое сечение.

Так как OA =OB = R, то OC = R –AC = R – 4

– прямоугольный (.

По теореме Пифагора

.

Подставив значения, получим уравнение:

Решая его, найдем R.

8R = 80;

R = 10

1. Вычисляем объем

Ответ:

Задача 3.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Дано:

Шаровой сектор.

r = 60 см

R = 75 см

Найти:

Решение.

Формула для нахождения объема шарового сектора:

,

где R – радиус шара;

h – высота шарового сегмента.

Радиус шара нам известен по условию задачи.

Не известно значение высоты h.

Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение.

На чертеже AO = OB = R, поэтому h = CB = R – CO.

Отрезок CO можно найти из треугольника ACO.

Так как ось Ox перпендикулярна основанию сегмента, то она перпендикулярна его радиусу (.

Треугольник AOC – прямоугольный.

По теореме Пифагора:

= 45см

Теперь можно найти h:

h = R – CO=75 – 45=30 см

Осталось вычислить объем:

Ответ: 112 500 πсм³.

Задача 3.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Дано: шаровой сектор

r= 60 см

R = 75 см

Найти:

Решение.

Формула для нахождения объема шарового сектора:

,

где R – радиус шара;

h – высота шарового сегмента.

Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение.

Так как AO = OB = R, то h = CB = R – CO.

ΔACO– прямоугольный ():

=45см

Находим h:

h = R –CO=75 – 45=30 см

Вычисляем объем:

Ответ: 112 500 πсм³.