Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар
Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.
Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.
Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.
Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.
Например, такой важный факт:
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз.
(ведь 
, 
).
Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.
1. Объем конуса равен 
. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Очевидно, что объем меньшего конуса в 
раз меньше объема большого и равен двум.
Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.
Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.
2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в 
раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в 
раза больше.
Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.
Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или 
у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться! Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».
А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
a — сторона куба
Формула объема куба, (V):
a, b, c — стороны параллелепипеда
Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.
Формула объема параллелепипеда, (V):
R — радиус шара
π ≈ 3.14
По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):
h — высота цилиндра
r — радиус основания
π ≈ 3.14
По формуле найти объема цилиндра, есди известны — его радиус основания и высота, (V):
R — радиус основания
H — высота конуса
π ≈ 3.14
Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):
r — радиус верхнего основания
R — радиус нижнего основания
h — высота конуса
π ≈ 3.14
Формула объема усеченного конуса, если известны — радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):
Правильный тетраэдр — пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.
а — ребро тетраэдра
Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):
Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.
a — сторона основания
h — высота пирамиды
Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):
Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.
a — сторона основания
h — высота пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны — высота и сторона основания (V):
Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.
h — высота пирамиды
a — сторона основания пирамиды
n — количество сторон многоугольника в основании
Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):
h — высота пирамиды
S — площадь основания ABCDE
Формула для вычисления объема пирамиды, если даны — высота и площадь основания (V):
h — высота пирамиды
Sниж — площадь нижнего основания, ABCDE
Sверх — площадь верхнего основания, abcde
Формула объема усеченной пирамиды, (V):
Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.
R — радиус шара
h — высота сегмента
π ≈ 3.14
Формула для расчета объема шарового сегмента, (V):
R — радиус шара
h — высота сегмента
π ≈ 3.14
Формула объема шарового сектора, (V):
h — высота шарового слоя
R — радиус нижнего основания
r — радиус верхнего основания
π ≈ 3.14
Формула объема шарового слоя, (V):
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Объем фигуры представляет собой занимаемое этой фигурой трехмерное пространство.[1]
Представьте себе объем как количество жидкости (или воздуха, или песка), которым можно заполнить данную фигуру. Объем измеряется в кубических единицах (мм3, см3, м3).[2]
Эта статья расскажет вам, как вычислять объем шести трехмерных фигур. Вы можете заметить, что многие формулы для вычисления объема схожи, что упрощает их запоминание.
-
1
Куб – это трехмерная фигура, которая имеет шесть одинаковых квадратных граней, то есть все ее стороны (ребра) равны.[3]
- Например, игральная кость – это куб.
-
2
Формула нахождения объема куба: V = s3, где V — объем, а s — длина ребра.
- Возведение в куб аналогично следующему умножению: s3 = s * s * s
-
3
Найдите длину стороны (ребра) куба. Она будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой). Так как ребра куба равны, измеряйте любое ребро.
- Если вы не уверены, что ваша фигура является кубом, измерьте каждую сторону, чтобы убедиться, что они равны. Если они не равны, перейдите к следующему разделу.
-
4
Подставьте длину ребра куба в формулу V = s3. Например, если ребро куба равно 5 см, напишите формулу следующим образом: V = 53 = 5 * 5 * 5 = 125 см3 – это объем куба.
-
5
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребро куба измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах. Если, например, сторона куба равна 3 см, то V = 33 = 27см3.
Реклама
-
1
Прямоугольный параллелепипед или прямоугольная призма – это трехмерная фигура с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником (вспомните коробку из под обуви). [4]
- Куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны.
-
2
Формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда или прямоугольной призмы: V = l*w*h, где V = объем, l = длина, w = ширина, h = высота.[5]
-
3
Длина прямоугольного параллелепипеда – это самое длинное ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Длина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, то есть l = 4 см.
- Не беспокойтесь о том, какие ребра выбрать в качестве длины, ширины и высоты. В любом случае в итоге вы получите правильный ответ (только измерьте три ребра, перпендикулярные друг другу).
-
4
Ширина прямоугольного параллелепипеда – это самое короткое ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Ширина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: ширина прямоугольного параллелепипеда равна 3 см, то есть w = 3 см.
- Если вы измеряете ребра параллелепипеда линейкой или рулеткой, не забудьте измерить их в одинаковых единицах измерения. Не измеряйте одно ребро в миллиметрах, а другое в сантиметрах.
-
5
Высота прямоугольного параллелепипеда – это расстояние между его нижней и верхней гранями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: высота прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, то есть h = 6 см.
-
6
Подставьте найденные значения в формулу V = l*w*h.
- В нашем примере l = 4, w = 3 и h = 6. Поэтому V = 4*3*6 = 72.
-
7
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребра измерялись в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 72 см3.
- Если в прямоугольной призме l = 2 см, w = 4 см, h = 8 см, то V = 2*4*8 = 64 см3
Реклама
-
1
Цилиндр – это трехмерная фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.[6]
- Например, банка или батарейка АА имеют форму цилиндра.
-
2
Формула нахождения объема цилиндра: V = πr2h, где V — объем, h — высота, r – радиус основания и πr2 — площадь основания цилиндра.
- В некоторых задачах ответ требуется представить с пи, а в некоторых вместо пи подставить 3,14.
- Формула для нахождения объема цилиндра на самом деле очень похожа на формулу вычисления объема прямоугольной призмы, то есть вы перемножаете высоту и площадь основания. В прямоугольной призме площадь основания равна l*w, а в цилиндре она равна πr2.
-
3
Найдите радиус основания. Он, скорее всего, дан в задаче. Если дан диаметр, разделите его на 2, чтобы найти радиус (d = 2r).
-
4
Если радиус не дан, измерьте его. Для этого измерьте основание цилиндра при помощи линейки или рулетки. Измеряйте основание в его самой широкой части (то есть измерьте диаметр основания), а затем разделите полученное значение на 2, чтобы найти радиус.
- Другой вариант – измерьте длину окружности цилиндра (то есть измерьте обхват цилиндра) при помощи рулетки, а затем найдите радиус по формуле r = с/2π, где с – обхват (длина окружности) цилиндра (2π = 6,28).
- Например, если обхват цилиндра равен 8 см, то радиус будет равен 1,27 см.
- Если вам нужно точное измерение, вы можете использовать оба метода, чтобы убедиться, что значения радиуса совпадают (нахождение радиуса через длину окружности является более точным методом).
-
5
Вычислите площадь круглого основания. Для этого подставьте радиус в формулу πr2.
- Если радиус основания равен 4 см, то площадь основания равна π42.
- 42 = 4 * 4 = 16. 16*π = 16*3,14 = 50,24 см2
- Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус.
-
6
Найдите высоту цилиндра. Это расстояние между двумя круглыми основаниями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
-
7
Умножьте площадь основания на высоту цилиндра, чтобы найти его объем. Или же просто подставьте значения соответствующих величин в формулу V = πr2h. В нашем примере, когда радиус основания равен 4 см, а высота равна 10 см:
- V = π4210
- π42 = 50,24
- 50,24 * 10 = 502,4
- V = 502,4
-
8
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 502,4 см3.
Реклама
-
1
Пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а грани являются треугольниками, имеющими общую вершину. [7]
Правильная пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), а вершина проецируется в центр основания.[8]
- Обычно мы представляем пирамиду, имеющую квадратное основание, но в основании пирамиды может лежать многоугольник с 5, 6 или даже со 100 сторонами!
- Пирамида с круглым основанием называется конусом, который будет обсуждаться в следующем разделе.
-
2
Формула нахождения объема правильной пирамиды: V = 1/3bh, где b – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды (перпендикуляр, соединяющий основание и вершину пирамиды).
- Эта формула для вычисления объема пирамиды одинаково годна как для правильных пирамид (в которых вершина проецируется в центр основания), так и для наклонных (в которых вершина не проецируется в центр основания).
-
3
Вычислите площадь основания. Формула будет зависеть от фигуры, лежащей в основании пирамиды. В нашем примере в основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6 см. Площадь квадрата равна s2, где s – сторона квадрата. Таким образом, в нашем примере площадь основания пирамиды равна 62 = 36 см2
- Площадь треугольника равна 1/2bh, где h – высота треугольника, b – сторона, к которой проведена высота.
- Площадь любого правильного многоугольника можно вычислить по формуле: А = 1/2ра, где А – площадь, р – периметр фигуры, а – апофема (отрезок, соединяющий центр фигуры с серединой любой стороны фигуры). Для получения дополнительной информации о нахождении площади многоугольников прочитайте эту статью.[9]
-
4
Найдите высоту пирамиды. Высота будет дана в задаче. В нашем примере высота пирамиды равна 10 см.
-
5
Умножьте площадь основания пирамиды на ее высоту, а затем разделите полученный результат на 3, чтобы найти объем пирамиды. Формула для вычисления объема пирамиды: V = 1/3bh. В нашем примере площадь основания равна 36, а высота равна 10, поэтому объем: 36*10*1/3 = 120.
- Если, например, дана пирамида с пятиугольным основанием площадью 26, а высота пирамиды равна 8, то объем пирамиды: 1/3*26*8 = 69,33.
-
6
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 120 см3.
Реклама
-
1
Конус – это трехмерная фигура, которая имеет круглое основание и одну вершину. Или конус – это особый случай пирамиды с круглым основанием.[10]
- Если вершина конуса находится непосредственно над центром круглого основания, то конус называется прямым; в противном случае конус называется наклонным. Но формула для вычисления объема конуса одинаковая для обоих типов конуса.
-
2
Формула для вычисления объема конуса: V = 1/3πr2h, где r – радиус круглого основания, h – высота конуса.
- b = πr2 – это площадь круглого основания конуса. Таким образом, формулу для вычисления объема конуса можно записать так: V = 1/3bh, что совпадает с формулой нахождения объема пирамиды!
-
3
Вычислите площадь круглого основания. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Для вычисления площади круглого основания подставьте радиус в формулу πr2.
- Например, радиус круглого основания конуса равен 3 см. Тогда площадь этого основания равна π32.
- π32 = π(3*3) = 9π.
- = 28,27 см2
-
4
Найдите высоту конуса. Это перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию пирамиды. В нашем примере высота конуса равна 5 см.
-
5
Перемножьте высоту конуса и площадь основания. В нашем примере площадь основания равна 28,27 см2, а высота равна 5 см, поэтому bh = 28,27 * 5 = 141,35.
-
6
Теперь умножьте полученный результат на 1/3 (или просто разделите его на 3), чтобы найти объем конуса. В описанном выше шаге вы нашли объем цилиндра, а объем конуса всегда в 3 раза меньше объема цилиндра.
- В нашем примере: 141,35 * 1/3 = 47,12 – это объем конуса.
- Или: 1/3π325 = 47,12
-
7
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 47,12 см3.
Реклама
-
1
Шар – это идеально круглая трехмерная фигура, каждая точка поверхности которой равноудалена от одной точки (центра шара). [11]
-
2
Формула для вычисления объема шара: V = 4/3πr3, где r – радиус шара.[12]
-
3
Найдите радиус шара. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр шара, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Например, радиус шара равен 3 см.
-
4
Если радиус не дан, вычислите его. Для этого измерьте длину окружности шара (например, теннисного мяча) в его самой широкой части при помощи веревки, нити или другого подобного предмета. Затем измерьте длину веревки, чтобы найти длину окружности. Разделите полученное значение на 2π (или на 6,28), чтобы вычислить радиус шара.
- Например, если вы измерили мяч и нашли, что длина его окружности равна 18 см, разделите это число на 6,28 и получите, что радиус мяча равен 2,87 см.
- Проделайте 3 измерения окружности шара, а затем усредните полученные значения (для этого сложите их и сумму разделите на 3), чтобы убедиться, что вы получили значение, близкое к истинному.
- Например, в результате трех измерений длины окружности вы получили следующие результаты: 18 см, 17,75 см, 18,2 см. Сложите эти значения: 18 + 17,5 + 18,2 = 53,95, а затем разделите их на 3: 53,95/3 = 17,98. Используйте это среднее значение в расчетах объема шара.
-
5
Возведите радиус в куб (r3). То есть r3 = r*r*r. В нашем примере r = 3, поэтому r3 = 3 * 3 * 3 = 27.
-
6
Теперь умножьте полученный результат на 4/3. Вы можете использовать калькулятор или выполнить умножение вручную, а затем упростить дробь. В нашем примере: 27*4/3 = 108/3 = 36.
-
7
Умножьте полученный результат на π (3,14), чтобы найти объем шара.
- В нашем примере: 36*3,14 = 113,09.
-
8
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 113,09 см3.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 74 580 раз.
Была ли эта статья полезной?
Как рассчитать объем цилиндра
На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем цилиндра онлайн. Для расчета задайте высоту, радиус или площадь основания. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.
Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
По высоте и радиусу
Формула объема цилиндра через высоту и радиус:
V=π·r²·h
π — константа равная (3.14); r — радиус основания; h — высота цилиндра.
Через площадь основания и высоту
Формула объема цилиндра через высоту и площадь основания:
V=S·h
S — площадь основания цилиндра; h — высота цилиндра.
Тела и поверхности вращения. Шар. Цилиндр. Конус
Тела и поверхности вращения.
Шар. Цилиндр. Конус. Площади поверхности и объемы этих фигур.
Подробная теория с наглядными иллюстрациями и основные формулы.
Читай эту статью, здесь все это есть.
Всего за 15 минут ты полностью во всём разберешься!
Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.
Вот самый простой пример: цилиндр.
Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.
Смотри.
Было–вращаем–стало:
А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.
Например, так:
Вращаем:
Что получится? Бублик. А по-научному – ТОР.
Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.
Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.
Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.
Шар
Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.
Было–вращаем–стало:
Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)
Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.
Скажу тебе по секрету, что, хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде:
«ну …там есть центр и радиус…», подразумевая, что все точки внутри шара находятся я на расстоянии не большем, чем радиус.
Ну, в общем, шар он и есть шар.
Названия, которые ты должен знать:
Незнакомое тебе, наверное, только одно.
Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.
А вообще:
- Любое сечение шара – круг.
- Граница шара называется сфера. (Так же, как граница круга – окружность.)
Площадь поверхности сферы
( {{S}_{поверхности }}=4pi {{R}^{2}})
( R) – радиус
Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.
Объем шара
( {{V}_{шара}}=frac{4}{3}pi {{R}^{3}})
( R) – радиус
Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.
Если ты знаком с производной, то можешь заметить это:
( {{V’}_{шара}}={{S}_{поверхности}})
И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем. Можешь попробовать доказать это сам!
Цилиндр
Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.
Вообще-то, полное имя этого тела – «прямой круговой цилиндр», но составители задач и мы вместе с ними по дружбе называем его просто цилиндром. Названия, относящиеся к цилиндру, такие:
Основания у цилиндра – это круги
Еще у цилиндра есть так называемая развертка.
Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.
Что получится? Представь себе, прямоугольник.
Развертка цилиндра – прямоугольник.
Площадь боковой поверхности цилиндра
( {{S}_{бок.}}=2pi RH)
( R) – радиус
( H) – высота, она же образующая.
Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник ( 2pi Rcdot H).
Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому
( {{S}_{бок.}}=2pi RH)
Площадь полной поверхности цилиндра
Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем:
( {{S}_{полн .}}=2pi RH+2pi {{R}^{2}})
Можно вынести (хотя и не обязательно) ( 2pi R):
( {{S}_{полн .}}=2pi Rleft( H+R right))
Но эту формулу неудобно запоминать!
Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда ( {{S}_{полн .}}) можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что
( {{S}_{полн .}}=underbrace{2pi RH}_{прямоугольник}+underbrace{2pi {{R}^{2}}}_{два круга})
Объем цилиндра
( V=pi {{R}^{2}}H)
( R) – радиус основания ( H) – высота
Это точно как у призмы и параллелепипеда!
( V={{S}_{основания}}cdot H), только у призмы и параллелепипеда ( {{S}_{основания}}) — это площадь многоугольника, а у цилиндра ( {{S}_{основания}}) — это площадь круга.
Конус
Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
Было–вращаем–стало:
И опять же, полное название этого тела: «прямой круговой конус», но во всех задачах у нас говорится просто «конус».
Названия, относящиеся к конусу:
Что тут нужно твердо помнить?
- Основание корпуса – круг
- Все образующие конуса – равны.
Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.
У конуса тоже есть развертка.
Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?
Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна ( l).
Развертка конуса – сектор круга радиуса ( l)
Площадь поверхности конуса
Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.
По формуле площади сектора ( {{S}_{бок.}}={{l}^{2}}cdot frac{alpha }{2}) Где ( alpha ) – угол при вершине в радианах.
И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса.
Но если все же даны только образующая и радиус основания, как быть?
Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна ( 2pi R).
С другой стороны, длина этой же дуги равна ( alpha cdot l), так как это дуга окружности радиуса ( l). Поэтому
( alpha cdot l=2pi R)
Подставляем
( {{S}_{бок.}}={{l}^{2}}cdot frac{alpha }{2}=frac{l}{2}cdot alpha cdot l=frac{l}{2}cdot 2pi R)
Итак,
( {{S}_{бок.}}=pi Rl), где
( R) — радиус окружности основания,
( l) — длина образующей
Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем:
( {{S}_{полн. }}=pi Rl+pi {{R}^{2}})
Можно вынести ( pi R):
( {{S}_{полн. }}=pi Rleft( l+R right))
Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.
Объём конуса
( V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}H)
( R) – радиус основания (
H) – высота
Это так же, как у пирамиды
( V=frac{1}{3}{{S}_{осн.}}cdot H), только
( {{S}_{осн. }}) — это не площадь многоугольника, а площадь круга.
А вот откуда взялась ( frac{1}{3})?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта ( frac{1}{3}) получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков.
А тебе нужно очень твердо запомнить, что в формулах объёма «треугольных» фигур: конуса и пирамиды эта ( frac{1}{3}) и есть, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра ее нет!
Бонус: Вебинары по стереометрии из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
ЕГЭ 14 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой
В этом видео мы научимся «видеть» 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).
Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.
На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.
Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.
ЕГЭ 14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020
В этом видео:
- Как нарисовать шестиугольную пирамиду.
- Как подписать вершины пирамиды чтобы потом легче было решать задачу.
- Как исправить рисунок, если грани пирамиды сливаются.
- Доказательство пунктов А и Б, а также их правильная запись, которую примет любой проверяющий на ЕГЭ.
- Нахождение площади основания и объема пирамиды.
- Самое главное, на что нужно обратить внимание.
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».