В данной публикации мы рассмотрим, как найти радиус описанной вокруг прямого цилиндра сферы, а также площадь ее поверхности и объем шара, ограниченного этой сферой.
Нахождение радиуса сферы/шара
Около любого цилиндра можно описать сферу (или другими словами, вписать цилиндр в шар) – но только одну.
- Центром такой сферы будет являться центр цилиндра, в нашем случае – это точка O.
- O1 и O2 – центры оснований цилиндра.
- O1O2 – высота цилиндра (h).
- OO1 = OO2 = h/2.
Можно заметить, что радиус описанной сферы (OE), половина высоты цилиндра (OO1) и радиус его основания (O1E) образовывают прямоугольный треугольник OO1E.
Воспользовавшись теоремой Пифагора мы можем найти гипотенузу этого треугольника, которая одновременно является радиусом сферы, описанной около заданного цилиндра:
Зная радиус сферы можно вычислить площадь (S) ее поверхности и объем (V) ограниченного сферой шара:
- S = 4 ⋅ π ⋅ R2
- S = 4/3 ⋅ π ⋅ R3
Примечание: π округленно равняется 3,14.
было в ЕГЭ
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория
Атрибут
Всего: 154 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
В цилиндрический сосуд налили 1200 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны 
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 42. Найдите объём цилиндра.
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Дано два шара. Радиус первого шара в 60 раз больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите 
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите
Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите 
В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
Всего: 154 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи с шарами. Вернее здесь будет комбинация тел: шар вписанный в цилиндр или другими словами цилиндр описанный около шара (что одно и тоже) и куб вписанный в шар.
На блоге уже рассмотрена группа задач с шарами, посмотрите. В представленных заданиях речь пойдёт о нахождении объёма и площади поверхности указанных тел. Формулы которые необходимо знать!
Формула объёма шара:
Формула площади поверхности шара:
Формула объёма цилиндра:
Формула площади поверхности цилиндра:
Подробнее о площади боковой поверхности цилиндра:
Она представляет собой «скрученный» в цилиндр прямоугольник одна сторона которого равна длине окружности основания — это 2ПiR, другая сторона равна высоте цилиндра — это Н.
Что стоит отметить касаемо представленных задач?
1. Если шар вписан в цилиндр, то у них общий радиус.
2. Высота цилиндра описанного около шара равна двум его радиусам (или диаметру).
3. Если куб вписан в шар, то диагональ этого куба равна диаметру шара.
245348. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
Формула объёма шара:
Необходимо найти радиус шара.
У шара и у цилиндра общий радиус. Основание цилиндра это круг с радиусом R, высота цилиндра равна двум радиусам. Значит объём цилиндра вычисляется по формуле:
Подставим данный в условии объём в формулу и выразим радиус:
Оставим выражение в таком виде, выражать радиус (извлекать корень третьей степени) не обязательно, так как нам понадобится именно R3.
Таким образом, объём шара будет равен:
Ответ: 22
245349. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.
Эта задача обратная предыдущей.
Формула объёма шара:
Объём цилиндра вычисляется по формуле:
Так как объём шара известен, то мы можем выразить радиус и уже далее найти объём цилиндра:
Таким образом:
Ответ: 36
316557. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Формула поверхности шара:
Формула поверхности цилиндра:
Упростим:
Так как площадь поверхности шара нам дана, то мы можем выразить радиус:
Далее подставим его в формулу площади поверхности цилиндра и вычислить её, таким образом:
Ответ: 166,5
245355. Куб вписан в шар радиус которого равен корню из трёх. Найдите объем куба.
Чтобы вычислить объём куба необходимо знать чему равно его ребро. Радиус шара равен половине диагонали куба:
*Диагональ куба равна диаметру шара.
Значит диагональ куба будет равна двум корням из трёх. Обозначим диагональ буквой d, а ребро куба буквой a. Нам известна формула выражающая взаимосвязь диагонали куба и его ребра:
Значит мы можем вычислить ребро куба:
Таким образом, объём куба будет равен 23 = 8.
Ответ: 8
Если подвести небольшой итог, то можно сказать следующее:
Используя указанные формулы при данных величинах объёма или площади поверхности всегда можно найти (выразить) радиус. А затем зная радиус, далее уже можно его использовать при вычислениях.
В любом случае знание формул обязательно!!! Без этого никак. На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.
Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2017, Досрочная волна 2016, Пробный ЕГЭ 2015.
Решение:
Радиус шара равен радиусу цилиндра. Высота цилиндра равна двум радиусам шара:
h = R + R = 2R
Тогда объём цилиндра равен:
Vцилиндра = πR2·h = πR2·2R = 2πR3
Объём шара равен 50 и находится по формуле:
V_{шара}=frac{4}{3}pi R^{3}=50\frac{2}{3}cdot 2pi R^{3}=50\frac{2}{3}cdot V_{цилиндра}=50:{color{Blue} |cdot 3}\2cdot V_{цилиндра}=150:{color{Blue} |: 2} \V_{цилиндра}=75
Ответ: 75.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 3.2 / 5. Количество оценок: 23
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.