Как найти объем данных сообщения

Мы ежедневно работаем с информацией из разных источников. При этом каждый из нас имеет некоторые интуитивные представления о том, что означает, что один источник является для нас более информативным, чем другой. Однако далеко не всегда понятно, как это правильно определить формально. Не всегда большое количество текста означает большое количество информации. Например, среди СМИ распространена практика, когда короткое сообщение из ленты информационного агентства переписывают в большую новость, но при этом не добавляют никакой «новой информации». Или другой пример: рассмотрим текстовый файл с романом Л.Н. Толстого «Война и мир» в кодировке UTF-8. Его размер — 3.2 Мб. Сколько информации содержится в этом файле? Изменится ли это количество, если файл перекодировать в другую кодировку? А если заархивировать? Сколько информации вы получите, если прочитаете этот файл? А если прочитаете его второй раз?

По мотивам открытой лекции для Computer Science центра рассказываю о том, как можно математически подойти к определению понятия «количество информации».

В классической статье А.Н. Колмогорова «Три подхода к определению понятия количества информации» (1965) рассматривают три способа это сделать:

• комбинаторный (информация по Хартли),

• вероятностный (энтропия Шеннона),

• алгоритмический (колмогоровская сложность).

Мы будем следовать этому плану.

Комбинаторный подход: информация по Хартли

Мы начнём самого простого и естественного подхода, предложенного Хартли в 1928 году.

Пусть задано некоторое конечное множество . Количеством информации в будем называть .

Можно интерпретировать это определение следующим образом: нам нужно битов для описания элемента из .

Почему мы используем биты? Можно использовать и другие единицы измерения, например, триты или байты, но тогда нужно изменить основание логарифма на 3 или 256, соответственно. В дальшейшем все логарифмы будут по основанию 2.

Этого определения уже достаточно для того, чтобы измерить количество информации в некотором сообщении. Пусть про стало известно, что . Теперь нам достаточно битов для описания , таким образом нам сообщили битов информации.

Пример

Загадано целое число от до . Нам сообщили, что делится на . Сколько информации нам сообщили?

Воспользуемся рассуждением выше.

(Тот факт, что некоторое сообщение может содержать нецелое количество битов, может показаться немного неожиданным.)

Можно ещё сказать, что сообщение, уменшающее пространство поиска в раз приносит битов информации. В данном примере пространство поиска уменьшилось в 1000/166 раз.

Интересно, что одного этого определения уже достаточно для того, чтобы решать довольно нетривиальные задачи.

Применение: цена информации

Загадано целое число от до . Разрешается задавать любые вопросы на ДА/НЕТ. Если ответ на вопрос «ДА», то мы должны заплатить рубль, если ответ «НЕТ» — два рубля. Сколько нужно заплатить для отгадывания числа ?

Любой вопрос можно сформулировать как вопрос о принадлежности некоторому множеству, поэтому мы будем считать, что все вопросы имеют вид «?» для некоторого множества .

Каким образом нужно задавать вопросы? Нам бы хотелось, чтобы вне зависимости от ответа цена за бит информации была постоянной. Другими словами, в случае ответа «НЕТ» и заплатив два рубля мы должны узнать в два больше информации, чем при ответе «ДА». Давайте запишем это формально.

Потребуем, чтобы

Пусть , тогда . Подставляем и получаем, что

Это эквивалентно квадратному уравнению Положительный корень этого уравнения . Таким образом, при любом ответе мы заплатим рублей за бит информации, а в сумме мы заплатим примернорублей (с точностью до округления).

Осталось понять, как выбирать такие множества . Будем выбирать в качестве непрерывные отрезки прямой. Пусть нам известно, что принадлежит отрезку (изначально это отрезок ). В следующего множества возмём отрезок , где. Тогда за каждый заплаченный рубль текущий отрезок будет уменьшаться в раз. Когда длина отрезка станет меньше единицы, мы однозначно определим . Поэтому цена отгадывания не будет превосходить

Приведённое рассуждение доказывает только верхнюю оценку. Можно доказать и нижнюю оценку: для любого способа задавать вопросы будет такое число , для отгадывания которого придётся заплатить не менее рублей.

Вероятностный подход: энтропия Шеннона

Вероятностный подход, предложенный Клодом Шенноном в 1948 году, обобщает определение Хартли на случай, когда не все элементы множества являются равнозначными. Вместо множества в этом подходе мы будем рассматривать вероятностное распределение на множестве и оценивать среднее по распределению количество информации, которое содержит случайная величина.

Пусть задана случайная величина , принимающая различных значений с вероятностями . Энтропия Шеннона случайной величины определяется как

(По непрерывности тут нужно доопределить .)

Энтропия Шеннона оценивает среднее количество информации (математическое ожидание), которое содержится в значениях случайной величины.

При первом взгляде на это определение, может показаться совершенно непонятно откуда оно берётся. Шеннон подошёл к этой задаче чисто математически: сформулировал требования к функции и доказал, что это единственная функция, удовлетворяющая сформулированным требованиям.

Я попробую объяснить происхождение этой формулы как обобщение информации по Хартли. Нам бы хотелось, чтобы это определение согласовывалось с определением Хартли, т.е. должны выполняться следующие «граничные условия»:

Будем искать в виде математического ожидания количества информации, которую мы получаем от каждого возможного значения .

Как оценить, сколько информации содержится в событии ? Пусть — всё пространство элементарных исходов. Тогда событие соответствует множеству элементарных исходов меры . Если произошло событие , то размер множества согласованных с этим событием элементарных исходов уменьшается с до , т.е. событие сообщает нам битов информации. Тут мы пользуемся тем, что количество информации в сообщении, которое уменьшает размер пространство поиска в раз приносит битов информации.

Примеры

Свойства энтропии Шеннона

Для случайной величины , принимающей значений с вероятностями , выполняются следующие соотношения.

• .

• распределение вырождено.

• .

• распределение равномерно.

Чем распределение ближе к равномерному, тем больше энтропия Шеннона.

Энтропия пары

Понятие энтропии Шеннона можно обобщить для пары случайных величин. Аналогично это обощается для тройки, четвёрки и т.д.

Пусть совместно распределённые случайные величины и принимают значения и , соответственно. Энтропия пары случайных величин и определяется следующим соотношением:

Примеры

Рассмотрим эксперимент с выбрасыванием двух игральных кубиков — синего и красного.

Свойства энтропии Шеннона пары случайных величин

Для энтропии пары выполняются следующие свойства.

Условная энтропия Шеннона

Теперь давайте научимся вычислять условную энтропию одной случайной величины относительно другой.

Условная энтропия относительно определяется следующим соотношением:

Примеры

Рассмотрим снова примеры про два игральных кубика.

Свойства условной энтропии

Условная энтропия обладает следующими свойствами

Взаимная информация

Ещё одна информационная величина, которую мы введём в этом разделе — это взаимная информация двух случайных величин.

Информация в о величине (взаимная информация случайных величин и ) определяется следующим соотношением

Примеры

И снова обратимся к примерам с двумя игральными кубиками.

Свойства взаимной информации

Выполняются следующие соотношения.

• . Т.е. определение взаимной информации симметрично и его можно переписать так:

• Или так: .

• и .

• .

• .

Все информационные величины, которые мы определили к этому моменту можно проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера.

Мы пойдём дальше и рассмотрим информационную величину, зависящую от трёх случайных величин.

Пусть , и совместно распределены. Информация в о при условии определяется следующим соотношением:

Свойства такие же как и обычной взаимной информации, нужно только добавить соответствующее условие ко всем членам.

Всё, что мы успели определить можно удобно проиллюстрировать при помощи трёх кругов Эйлера.

Из этой иллюстрации можно вывести все определения и соотношения на информационные величины.

Мы не будем продолжать дальше и рассматривать четыре случайные величины по трём причинам. Во-первых, рисовать четыре круга Эйлера со всеми возможными областями — это непросто. Во-вторых, для двух и трёх случайных величин почти все возможные соотношения можно вывести из кругов Эйлера, а для четырёх случайных величин это уже не так. И в третьих, уже для трёх случайных величин возникают неприятные эффекты, демонстрирующие, что дальше будет хуже.

Рассмотрим треугольник в пересечении всех трёх кругов , и . Этот треугольник соответствуют взаимной информации трёх случайных величин . Проблема с этой информационной величиной заключается в том, что ей не удаётся придать какой-то «физический» смысл. Более того, в отличие от всех остальных величин на картинке может быть отрицательной!

Рассмотрим пример трёх случайных величин равномерно распределённых на . Пусть и будут независимы, а . Легко проверить, что . При этом . В то же время . Получается следующая картинка.

Мы знаем, что . При этом . Получается, что , а , т.е. для таких случайных величин.

Применение энтропии Шеннона: кодирование

В этом разделе мы обсудим, как энтропия Шеннона возникает в теории кодирования. Будем рассматривать коды, которые кодируют каждый символ по отдельности.

Пусть задан алфавит . Код — это отображение из в . Код называется однозначно декодируемым, если любое сообщение, полученное применением к символам некоторого текста, декодируется однозначно.

Код называется префиксным (prefix-free), если нет двух символов и таких, что является префиксом .

Префиксные коды являются однозначно декодируемыми. Действительно, при декодировании префиксного кода легко понять, где находятся границы кодов отдельных символов.

Теорема [Шеннон]. Для любого однозначно декодируемого кода существует префиксный код с теми же длинами кодов символов.

Таким образом для изучения однозначно декодируемых кодов достаточно рассматривать только префиксные коды.

Задача об оптимальном кодировании.
Дан текст . Нужно найти такой код , что

Пусть . Обозначим через частоту, с которой символ встречается в . Тогда выражение выше можно переписать как

Следующая теорема могла встречаться вам в курсе алгоритмов.

Теорема [Хаффман]. Код Хаффмана, построенный по , является оптимальным префиксным кодом.

Алгоритм Хаффмана по набору частот эффективно строит оптимальный код для задачи оптимального кодирования.

Связь с энтропией

Имеют место две следующие оценки.

Теорема [Шеннон]. Для любого однозначно декодируемого кода выполняется

Теорема [Шеннон]. Для любых значений существует префиксный код , такой что

Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на символах текста . Получим, что . Таким образом, эти две теоремы задают оценку на среднюю длину кода символа при оптимальном кодировании, т.е. и для кодирования Хаффмана.

Следовательно, длину кода Хаффмана текста можно оценить, как

Применение энтропии Шеннона: шифрования с закрытым ключом

Рассмотрим простейшую схему шифрования с закрытым ключом. Шифрование сообщения с ключом шифрования выполняется при помощи алгоритма шифрования . В результате получается шифрограмма . Зная получатель шифрограммы восстанавливает исходное сообщение : .

Мы будем анализировать эту схему с помощью аппарата энтропии Шеннона. Пусть и являются случайными величинами. Противник не знает и , но знает , которая так же является случайной величиной.

Для совершенной схемы шифрования (perfect secrecy) выполняются следующие соотношения:

1. , т.е. шифрограмма однозначно определяется по ключу и сообщению.

2. , т.е. исходное сообщение однозначно восстанавливается по шифрограмме и ключу.

3. , т.е. в отсутствие ключа из шифрограммы нельзя получить никакой информации о пересылаемом сообщении.

Теорема [Шеннон]. , даже если условие нарушается (т.е. алгоритм использует случайные биты).

Эта теорема утверждает, что для совершенной схемы шифрования длина ключа должна быть не менее длины сообщения. Другими словами, если вы хотите зашифровать и передать своему знакомому файл размера 1Гб, то для этого вы заранее должны встретиться и обменяться закрытым ключом размера не менее 1Гб. И конечно, этот ключ можно использовать только однажды. Таким образом, самая оптимальная совершенная схема шифрования — это «одноразовый блокнот», в котором длина ключа совпадает с длиной сообщения.

Если же вы используете ключ, который короче пересылаемого сообщения, то шифрограмма раскрывает некоторую информацию о зашифрованном сообщении. Причём количество этой информации можно оценить, как разницу между энтропией сообщения и энтропией ключа. Если вы используете пароль из 10 символов при пересылке файла размера 1Гб, то вы разглашаете примерно 1Гб – 10 байт.

Это всё звучит очень печально, но не всё так плохо. Мы ведь никак не учитываем вычислительную мощь противника, т.е. мы не ограничиваем количество времени, которое противнику потребуется на выделение этой информации.

Современная криптография строится на предположении об ограниченности вычислительных возможностей противника. Тут есть свои проблемы, а именно отсутствие математического доказательства криптографической стойкости (все доказательства строятся на различных предположениях), так что может оказаться, что вся эта криптография бесполезна (подробнее можно почитать в статье о мирах Рассела Импальяццо, которая переведена на хабре), но это уже совсем другая история.

Доказательство. Нарисуем картинку для трёх случайных величин и отметим то, что нам известно.

• .

• , следовательно , а значит .

• (по свойству взаимной информации), следовательно , а значит .

• . Таким образом,

В доказательстве мы действительно не воспользовались тем, что .

Алгоритмический подход: колмогоровская сложность

Подход Шеннона хорош для случайных величин, но если мы попробуем применить его к текстам, то выходит, что количество информации в тексте зависит только от частот символов, но не зависит от их порядка. При таком подходе получается, что в «Войне и мире» и в тексте, который получается сортировкой всех знаков в «Войне и мире», содержится одинаковое количество информации. Колмогоров предложил подход, позволяющий измерять количество информации в конкретных объектах (строках), а не в случайных величинах.

Внимание. До этого момента я старался следить за математической строгостью формулировок. Для того, чтобы двигаться дальше в том же ключе, мне потребовалось бы предположить, что читатель неплохо знаком с математической логикой и теорией вычислимости. Я пойду более простым путём и просто буду махать руками, заметая под ковёр некоторые подробности. Однако, все утверждения и рассуждения дальше можно математически строго сформулировать и доказать.

Нам потребуется зафиксировать способ описания битовой строки. Чтобы не углубляться в рассуждения про машины Тьюринга, мы будем описывать строки на языках программирования. Нужно только сделать оговорку, что программы на этих языках будут запускаться на компьютере с неограниченным объёмом оперативной памяти (иначе мы получили бы более слабую вычислительную модель, чем машина Тьюринга).

Сложностью строки относительно языка программирования называется длина кратчайшей программы, которая выводит .

Таким образом сложность «Войны и мира» относительноя языка Python — это длина кратчайшей программы на Python, которая печатает текст «Войны и мира». Естественным образом сложность отсортированной версии «Войны и мира» относительно языка Python получится значительно меньше, т.к. её можно предварительно закодировать при помощи RLE.

Сравнение языков программирования

Дальше нам потребуется научиться любимой забаве всех программистов — сравнению языков программирования.

Будем говорить, что язык не хуже языка программирования и обозначать , если существует константа такая, что для для всех выполняется

Исходя из этого определения получается, что язык Python не хуже (!) этого вашего Haskell! И я это докажу. В качестве константы мы возьмём длину реализации интепретатора Haskell на Python. Таким образом, любая программа на Haskell переделывается в программу на Python просто дописыванием к ней интерпретатора Haskell на Python.

Соломонов и Колмогоров пошли дальше и доказали существования оптимального языка программирования.

Теорема [Соломонова-Колмогорова]. Существует способ описания (язык программирования) такой, что для любого другого способа описания выполняется .

И да, некоторые уже наверное догадались, что  — это JavaScript. Или любой другой Тьюринг полный язык программирования.

Это приводит нас к следующему определению, предложенному Колмогоровым в 1965 году.

Колмогоровской сложностью строки будем называть её сложность относительно оптимального способа описания и будем обозначать .

Важно понимать, что при разных выборах оптимального языка программирования колмогоровская сложность будет отличаться, но только на константу. Для любых двух оптимальных языков программирования и выполняется и , т.е. существует такая константа , что Это объясняет, почему в этой науке аддитивные константы принято игнорировать.

При этом для конкретной строки и конкретного выбора колмогоровская сложность определена однозначно.

Свойства колмогоровской сложности

Начнём с простых свойств. Колмогоровская сложность обладает следующими свойствами.

Первое свойство выполняется потому, что мы всегда можем зашить строку в саму программу. Второе свойство верно, т.к. из программы, выводящей строку , легко сделать программу, которая выводит эту строку дважды.

Примеры

Несжимаемые строки

Важнейшее свойство колмогоровской сложности заключается в существовании сложных (несжимаемых строк). Проверьте себя и попробуйте объяснить, почему не бывает идеальных архиваторов, которые умели бы сжимать любые файлы хотя бы на 1 байт, и при этом позволяли бы однозначно разархивировать результат.

В терминах колмогоровской сложности это можно сформулировать так.

Вопрос. Существует ли такая длина строки , что для любой строки колмогоровская сложность меньше ?

Следующая теорема даёт отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема. Для любого существует такой, что .

Доказательство. Битовых строк длины всего . Число строк сложности меньше не превосходит число программ длины меньше , т.е. таких программ не больше чем

Таким образом, для какой-то строки гарантированно не хватит программы.

Верна и более сильная теорема.

Теорема. Существует такое, что для слов длины верно

Другими словами, почти все строки длины имеют почти максимальную сложность.

Колмогоровская сложность: вычислимость

В этом разделе мы поговорим про вычислимость колмогоровской сложности. Я не буду давать формально определение вычислимости, а буду опираться на интуитивные предствления читателей.

Теорема. Не существует программы, которая по двоичной записи числа выводит строку , такую что .

Эта теорема говорит о том, что не существует программы-генератора, которая умела бы генерировать сложные строки по запросу.

Доказательство. Проведём доказетельство от противного. Пусть такая программа существует и . Тогда с одной стороны сложность не меньше , а с другой стороны мы можем описать при помощи битов и кода программы.

Это приводит нас к противоречию, т.к. при достаточно больших значениях неизбежно станет больше, чем .

Как следствие мы получаем невычислимость колмогоровской сложности.

Следствие. Отображение не является вычислимым.

Опять же, предположим, что это нет так и существует программа , которая по строку вычисляет её колмогоровскую сложность. Тогда на основе программы можно реализовать программу из теоремы выше: она будет перебирать все строки длины не более и находить лексикографически первую, для которой сложность будет не меньше . А мы уже доказали, что такой программы не существует.

Связь с энтропией Шеннона

Теорема. Пусть длины содержит единиц и нулей, тогда

Я надеюсь, что вы уже узнали энтропию Шеннона для случайной величины с двумя значениями с вероятностями и .

Для колмогоровской сложности можно проделать весь путь, который мы проделали для энтропии Шеннона: определить условную колмогоровскую сложность, сложность пары строк, взаимную информацию и условную взаимную информацию и т.д. При этом формулы будут повторять формулы для энтропии Шеннона с точностью до . Однако это тема для отдельной статьи.

Применение колмогоровской сложности: бесконечность множества простых чисел

Начнём с довольно игрушечного применения. С помощью колмогоровской сложности мы докажем следующую теорему, знакомую нам со школы.

Теорема. Простых чисел бесконечно много.

Очевидно, что для доказательства этой теоремы никакая колмогоровская сложность не нужна. Однако на этом примере я смогу продемонстрировать основные идеи применения колмогоровской сложности в более сложных ситуациях.

Доказательство. Проведём доказательство от обратного. Пусть существует всего простых чисел: . Тогда любое натуральное раскладывается на степени простых:

т.е. определяется набором степеней . Каждое , т.е. задаётся битами. Поэтому любое можно задать при помощи битов (помним, что — это константа).

Теперь воспользуемся теоремой о существовании несжимаемых строк. Как следствие, мы можем заключить, что существуют -битовые числа сложности не менее (можно взять сложную строку и приписать в начало единицу). Получается, что сложное число можно задать при помощи небольшого числа битов.

Противоречие.

Применение колмогоровской сложности: алгоритмическая случайность

Колмогоровская сложность позволяет решить следующую проблему из классической теории вероятностей.

Пусть в лаборатории живёт обезьянка, которую научили печатать на печатной машинке так, что каждую кнопку она нажимает с одинаковой вероятность. Вам предлагается посмотреть на лист печатного текста и сказать, верите ли вы, что его напечатала эта обезьянка. Вы смотрите на лист и видите, что это первая страница «Гамлета» Шекспира. Поверите ли вы? Очевидно, что нет. Хорошо, а если это не Шекспир, а, скажем, текст детектива Дарьи Донцовой? Скорей всего тоже не поверите. А если просто какой-то набор русских слов? Опять же, очень сомневаюсь, что вы поверите.

Внимание, вопрос. А как объяснить, почему вы не верите? Давайте для простоты считать, что на странице помещается 2000 знаков и всего на машинке есть 80 знаков. Вы можете резонно заметить, что вероятность того, что обезьянка случайным образом породила текст «Гамлета» порядка , что астрономически мало. Это верно.

Теперь предположим, что вам показали текст, который вас устроил (он с вашей точки зрения будет похож на «случайный»). Но ведь вероятность его появления тоже будет порядка . Как же вы определяете, что один текст выглядит «случайным», а другой — не выглядит?

Колмогоровская сложность позволяет дать формальный ответ на этот вопрос. Если у текста отстутствует короткое описание (т.е. в нём нет каких-то закономерностей, которые можно было бы использовать для сжатия), то такую строку можно назвать случайной. И как мы увидели выше почти все строки имеют большую колмогоровскую сложность. Поэтому, когда вы видите строку с закономерностями, т.е. маленькой колмогоровской сложности, то это соответствует очень редкому событию. В противоположность наблюдению строки без закономерностей. Вероятность увидеть строку без закономерностей близка к 1.

Это обобщается на случай бесконечных последовательностей. Пусть . Как определить понятие случайной последовательности?

(неформальное определение)
Последовательность случайна по Мартину–Лёфу, если каждый её префикс является несжимаемым.

Оказывается, что это очень хорошее определение случайных последовательностей, т.к. оно обладает ожидаемыми свойствами.

Свойства случайных последовательностей

• Почти все последовательности являются случайными по Мартину–Лёфу, а мера неслучайных равна .

• Всякая случайная по Мартину-Лёфу последовательность невычислима.

• Если случайная по Мартин-Лёфу, то

Заключение

Если вам интересно изучить эту тему подробнее, то я рекомендую обратиться к следующим источникам.

• Верещагин Н.К., Щепин Е.В. Информация, кодирование и предсказание. МЦНМО. (нет в свободном доступе, но pdf продаётся за копейки)

• В.А. Успенский, А.Х. Шень, Н.К. Верещагин. Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность.

• Курс «Введение в теорию информации» А.Е. Ромащенко в Computer Science клубе.

Если вам интересны подобные материалы, подписывайтесь в соцсетях на CS клуб и CS центр, а так же на наши каналы на youtube: CS клуб, CS центр.

Определение информационного объема сообщения. Информатика в 7 классе.

Тема: «Измерение информации»

Формулы

Для определения информационного объема сообщения потребуются две формулы:

1. ( N= 2^i )

N — мощность алфавита

i — информационный объём одного символа в алфавите

2. ( I = k * i )​

I — информационный объём сообщения

k — количество символов в сообщении

i — информационный объём одного символа в алфавите

Формула нахождения k:

( k = frac{mathrm I}{mathrm i} )​

Формула нахождения i:

( i = frac{mathrm I}{mathrm k} )​

Задачи

Задача №1. Сообщение, записанное буквами из 128-символьного алфавита, содержит 30 символов. Найти информационный объем всего сообщения?

Решение. Запишем, что дано по условию задачи и что необходимо найти:

N = 128

k = 30

( I = ? )​

( i = ? )​

Сначала найдем вес одного символа по формуле:

( N= 2^i ) = ( 128= 2^7 ) 

( i = 7  )​ бит. Какая степень двойки, такой вес одного символа в алфавите. Далее определяем информационный объем сообщения по формуле:

( I = k * i )​ = 30 * 7 = 210 бит

Ответ: 210 бит

Задача №2. Информационное сообщение объемом 4 Кбайта содержит 4096 символов. Сколько символов содержит алфавит, при помощи которого было записано это сообщение?

Решение. Запишем, что дано по условию задачи и что необходимо найти:

( I = 4 )​ Кб

k = 4096

( N = ? )​

( i = ? )​

Очень важно перевести все числа в степени двойки:

1 Кб = (  2^{13} ) бит

( I = 4 )​ Кб = (  2^2 ) * (  2^{13} ) = (  2^{15} ) бит

k = 4096 = (  2^{12} )

Сначала найдем вес одного символа по формуле:

( i = frac{mathrm I}{mathrm k} )​ = (  2^{15} ) : (  2^{12} ) = (  2^3 ) = 8 бит

Далее находим мощность алфавита по формуле:

( N= 2^i )  ( 2^8 =256)

Ответ: 256 символов в алфавите.

Задача №3. Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 16-символьного алфавита, если его объем составляет 1/16 Мб?

Решение. Запишем, что дано по условию задачи и что необходимо найти:

N = 16

( I = frac{mathrm 1}{mathrm 16} )​ Мб

( k = ? )​

( i = ? )​

Представим ( I = frac{mathrm 1}{mathrm 16} )​ Мб в степень двойки:

1 Мб = (  2^{23} ) бит

( I = frac{mathrm 1}{mathrm 16} )​ Мб = ( 2^{23} ) : ​(  2^4  )   = (  2^{19} ) бит.

Сначала найдем вес одного символа по формуле:

( N= 2^i ) = (  2^4 = 16 ) 

( i = 4  )​ бит = (  2^2  )  

Теперь найдём количество символов в сообщении k:

( k = frac{mathrm I}{mathrm i} )​ = (  2^{19} )​ : (  2^2 ) = (  2^{17} ) = 131072

Ответ: 131072 символов в сообщении.

1. Найди информационный объём следующего сообщения, если известно, что один символ кодируется одним байтом.

Кто владеет информацией, тот владеет миром.

Решение: посчитаем количество символов в сообщении, будем учитывать буквы, знаки препинания и пробелы.

Всего (43) символа. Каждый символ кодируется (1) байтом.

(I = К · i), (43 · 1) байт (= 43) байта.

Ответ: (43) байта.

2. Найди информационный объём слова из (12) символов в кодировке Unicode (каждый символ кодируется двумя байтами). Ответ дайте в битах.

Решение.

Мы знаем из условия задачи, что каждый символ кодируется двумя байтами. Найдём сколько это бит.

(2) байта (·  8 = 16) бит; 

Слово состоит из (12) символов, поэтому

(16) бит (· 12) символов (= 192) бита.

Ответ: (192) бита.

3. Найди информационный вес книги, которая состоит из (700) страниц, на каждой странице (70) строк и в каждой строке (95) символов . Мощность алфавита — (256) символов. Ответ дать в Мб.

Найдём количество символов в книге: (700·70·95 = 4655000) символов.

Информационный вес сообщения: (4655000·8=37240000) бит.

Ответ нужно дать в Мб, поэтому переведём биты в Мб

(37240000:8:1024:1024 = 4,44) Мб

Ответ: (4,44) Мб.

Расчёт иформационного объема текстового сообщения

Расчёт
информационного объёма текстового
сообщения (количества информации,
содержащейся в информационном сообщении)
основан на подсчёте количества символов
в этом сообщении, включая пробелы, и на
определении информационного веса одного
символа, который зависит от кодировки,
используемой при передаче и хранении
данного сообщения.

В
традиционной кодировке (Windows,
ASCII)
для кодирования одного символа
используется 1 байт (8 бит). Эта величина
и является информационным весом одного
символа. Такой 8-ми разрядный код позволяет
закодировать 256 различных
символов, т.к. 2⁸=256.

В
настоящее время широкое распространение
получил новый международный стандарт
Unicode,
который отводит на каждый символ два
байта (16 бит). С его помощью можно
закодировать 2¹⁶
=
65536 различных символов.

Итак,
для расчёта информационного объёма
текстового сообщения используется
формула

V_text
=
n_симв*i
/ k_сжатия
, (2)

где
V_text
–
это информационный объём текстового
сообщения, измеряющийся в байтах,
килобайтах, мегабайтах; n_симв
–
количество символов в сообщении, i
–
информационный вес одного символа,
который измеряется в битах на один
символ; k_сжатия
– коэффициент сжатия данных, без сжатия
он равен 1.

Примеры.

Информация
в кодировке Unicode
передается
со скоростью 128 знаков в секунду в течение
32 минут. Какую часть дискеты ёмкостью
1,44Мб займёт переданная информация?

Дано:
v
=
128 символов/сек;
t
=
32 минуты=1920сек;
i
=
16 бит/символ

Решение:

n_симв
=
v*t
=
245760 символов
V=n_симв*i
=
245760*16 = 3932160 бит = 491520 байт = 480 Кб = 0,469Мб,
что составляет 0,469Мб*100%/1,44Мб = 33% объёма
дискеты

Ответ:
33%
объёма дискеты будет занято переданным
сообщением

Расчёт иформационного объема растрового изображения

Расчёт
информационного объёма растрового
графического изображения (количества
информации, содержащейся в графическом
изображении) основан на подсчёте
количества пикселей в этом изображении
и на определении глубины цвета
(информационного веса одного пикселя).

Итак,
для расчёта информационного объёма
растрового графического изображения
используется формула (3):

V_pic
=
K
*
n_симв
*
i
/ k_сжатия
, (3)

где
V_pic
–
это информационный объём растрового
графического изображения, измеряющийся
в байтах, килобайтах, мегабайтах; K
–
количество пикселей (точек) в изображении,
определяющееся разрешающей способностью
носителя информации (экрана монитора,
сканера, принтера); i
–
глубина цвета, которая измеряется в
битах на один пиксель; k_сжатия
– коэффициент сжатия данных, без сжатия
он равен 1.

Глубина
цвета задаётся количеством битов,
используемым для кодирования цвета
точки. Глубина
цвета связана с количеством отображаемых
цветов формулой
N=2ⁱ,
где N
–
это количество цветов в палитре, i
–
глубина цвета в битах на один пиксель.

Примеры.

1)
В результате преобразования растрового
графического изображения количество
цветов уменьшилось с 256 до 16. Как при
этом изменится объем видеопамяти,
занимаемой изображением?

Дано:
N₁
=
256 цветов;
N₂
=
16 цветов;

Решение:

Используем
формулы
V₁
=
K*i₁;
N₁
=
2ⁱ¹;
V₂
=
K*i₂;
N₂
=
2ⁱ²;

N₁
=
256 = 2⁸;
i₁
=
8 бит/пиксель

N₂
=
16 = 2⁴;
i₂
=
4 бит/пиксель

V₁
=
K*8;
V₂
=
K*4;

V₂/V₁
=
4/8 = 1/2

Ответ:
объём графического изображения уменьшится
в два раза.

2)
Сканируется цветное изображение
стандартного размера А4 (21*29,7 см).
Разрешающая способность сканера 1200dpi
и
глубина цвета 24 бита. Какой информационный
объём будет иметь полученный графический
файл?

Дано:
i
=
24 бита на пиксель;
S
=
21см*29,7 см
D
=
1200 dpi
(точек
на один дюйм)

Решение:

Используем
формулы
V
=
K*i;

1дюйм
= 2,54 см

S
=
(21/2,54)*(29,7/2,54) = 8,3дюймов*11,7дюймов

K
=
1200*8,3*1200*11,7 = 139210118 пикселей

V
=
139210118*24 = 3341042842бита = 417630355байт = 407842Кб =
398Мб

Ответ:
объём сканированного графического
изображения равен 398 Мегабайт

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  06.03.20161.42 Mб33ОТИ практическая 5.docx

• #

1.     Информационный объём текстового
сообщения

Расчёт
информационного объёма текстового сообщения (количества информации,
содержащейся в информационном сообщении) основан на подсчёте количества
символов в этом сообщении, включая пробелы, и на определении
информационного веса одного символа, который зависит от кодировки, используемой
при передаче и хранении данного сообщения.

Для расчёта
информационного объёма текстового сообщения используется формула 

I=K*i, где

I  – это информационный объём текстового сообщения,
измеряющийся в байтах, килобайтах, мегабайтах; 

K  –  количество символов в
сообщении, 

i  –  информационный вес одного символа, который
измеряется в битах на один символ.

Информационный
объём одного символа связан с количеством символов в алфавите формулой

N=2ⁱ, где

N — это количество символов в алфавите (мощность
алфавита),

i — информационный
вес одного символа в битах на один символ.

2.     Информационный объём растрового
графического изображения

Расчёт
информационного объёма растрового графического изображения (количества
информации, содержащейся в графическом изображении) основан на подсчёте количества
пикселей в этом изображении и на определении глубины
цвета (информационного веса одного пикселя).

Для расчёта
информационного объёма растрового графического изображения используется
формула 

I=K*i, где

I  – это информационный объём растрового графического
изображения, измеряющийся в байтах, килобайтах, мегабайтах; 

K – количество пикселей (точек) в
изображении, определяющееся разрешающей способностью носителя информации
(экрана монитора, сканера, принтера); 

i – глубина цвета, которая
измеряется в битах на один пиксель.

         Глубина цвета связана с
количеством отображаемых цветов формулой 

N=2ⁱ, где

N – это количество цветов в палитре, 

i – глубина цвета в битах на
один пиксель.