Дата публикации: 09 апреля 2017.
Урок и презентация на тему: «Математическая статистика, элементы статистики»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать:
Математическая статистика, элементы статистики (PPTX)
Статистика, введение
Темой сегодняшнего урока будет математическая статистика.
Этот предмет занимается статистикой, используя различные математические методы. Математическая статистика — это самостоятельно развивающийся раздел математики, в котором существуют и свои уникальные способы решения различных задач.
Так чем же занимается и для чего нужна математическая статистика?
Предположим, что у учеников девятых классов измерили рост. Как представить полученные данные? Можно записать их в строчку друг за другом, можно разделить данные по классам, можно попробовать создать таблицу. Все эти способы довольно громоздки и неудобны. Будет сложно извлечь информацию из такого набора чисел. А теперь представьте, что измерили рост учеников девятых классов всех школ в городе. Количество измерений может перевалить за тысячу.
Математическая статистика занимается обработкой данных и представлением их в виде удобном для восприятия. Это только одна из задач статистики. Построение прогнозов и оценок; применение различных методов исследования; достоверность проведенных испытаний и многое другое — вот чем занимается статистика.
Как же обрабатывает информацию статистика?
- Данные измерений упорядочивают и группируют.
- Составляют таблицы распределений данных.
- По таблицам строят графики распределений.
- В итоге создается паспорт измерений, в котором собраны числовые характеристики полученной информации.
Давайте рассмотрим эти пункты.
Упорядочивание и группировка данных
Первое, что необходимо сделать при анализе данных, определить рамки, в которых находится исследователь. Выбираются наименьшее и наибольшее допустимые значения, которые могут не совпадать с полученными данными. Например, при измерении роста учеников, шансов, что кто-то будет ниже 140 сантиметров и выше 200 сантиметров очень мало. Если найдется такой вариант, то данные статистики можно подкорректировать.
При измерении роста могут получиться числа: 140,150,160,170,180,190,200 – это общий ряд данных, которые принято располагать в порядке возрастания. Общий ряд данных может быть и другим, например: 140,145,150,155,160,…,190,195,200. Как представить общий ряд данных зависит от конкретной задачи.
Пример. Составить общий ряд данных, включающих:
а) месяцы рождения одноклассников,
б) годов рождения родственников и друзей,
в) буквы, с которых начинается слово.
Решение.
а) Всего месяцев 12, если их перечислить по цифрам, то получим общий ряд: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
б) Шанс, что кто-то из родственников старше 100 лет — мал, а что, кто-то родился в этом году — есть. Тогда общий ряд годов рождения можно составить так: 1910,1911,1912,…, 2009,2010,2011,2012,2013,2014.
в) Слово может начинаться с любой буквы алфавита, кроме ь, ы, ъ. Тогда возможны 30 вариантов, если их представить численным рядом, то получим: 1,2,3,4,…,28,29,30.
Понятие «общий ряд» не является строгим, в примере б) мы могли начать ряд с 1900 года, ряд так же назывался «общим».
При проведении эксперимента данные из общего ряда могут не встретиться. Вернемся к нашему примеру б) и рассмотрим конкретный случай.
Вова назвал года рождения родственников: 1935,1937,1960,1965,1980,1981,1997,2005.
Общий ряд представлял собой последовательность: 1910,1911,1912,…,2009,2010,2011,2012,2013,2014.
У Вовы встретились конкретные измерения, которые называются «вариантой измерения».
Варианта измерения – это возможный вариант проведенного измерения.
Если все варианты измерений перечислить по порядку, то получится ряд данных измерения.
Для нашего примера составим таблицу:
Пример. Выписать ряд, состоящий из букв, которые встречаются в словах: мама, папа, брат, сестра, бабушка, дедушка, тетя, дядя.
Решение. Ряд будет выглядеть так: а, б, д, е, к, м, п, р, с, т, у, ш, я. Встретились 13 букв из 33.
Некоторые буквы встречаются несколько раз, например, буква а – девять раз, другие – реже.
Определение. Если среди всех данных конкретного измерения одна из вариант встретилась ровно к раз, то число к называют кратностью измерения.
В этом примере буква а имеет кратность — 9.
Запишем кратности для каждой из букв:
Далее варианты нужно сгруппировать. Создадим сгруппированный ряд данных:
а,а,а,а,а,а,а,а,а,б,б,б,д,д,д,д,е,е,е,к,к,м,м,п,п,р,р,с,с,т,т,т,т,у,у,ш,шя,я,я.
Число повторений каждой варианты равно кратности варианты.
Составление таблицы распределения данных
Если сложить все кратности, получится количество всех данных измерения или объем измерения. Объем измерения равен количеству букв встречающихся в наших словах. Для проверки всегда складывают кратности, сумма должна равняться количеству элементов измерения.
Далее вычисляют частоту варианты.
Частота варианты=Кратность варианты/Объем измерения.
Составим таблицу частот измерений:
Сумма всех частот всегда равна единице, так как это сумма всех дробей с одинаковым знаменателем, а сумма всех числителей как раз и равна знаменателю. Для удобства, часто переводят частоты в проценты от объема измерения. Составим таблицу еще одну таблицу, каждую частоту в новой строке помножим на 100.
Графическое представление данных
Давайте построим графики функций распределения по таблицам. Договоримся, что вместо букв будем использовать цифры 1,2,3,…,13.
Тогда наша таблица примет вид:
По оси абсцисс отложим цифры, соответствующие буквам, а по оси ординат – значения частот появления варианта. Графическое изображение имеющейся информации – график распределения частот.
Таблица значений:
График распределения частот:
График распределения частот также называют полигоном распределения.
Давайте построим график распределения частот процентов. Его тоже называют полигоном распределения процентов.
Таблица значений.
Полигон распределения процентов:
Даже не большая по объему данных задача, представляет собой довольно таки утомительную процедуру подсчета и составления таблиц и графиков распределений.
Числовые характеристики данных измерения
Наши данные обладают уникальными числовыми характеристиками. Давайте определим некоторые из них.
Разность между максимальной и минимальной вариантой называют размахом измерения.
На наших графиках — это область определения (разность крайнего правого значения и крайнего левого значения на оси абсцисс). В нашем примере размах равен $13-1=12$.
Варианта, которая встречается чаще других, называется модой. В нашем примере это буква а или число 1, в зависимости от обозначения.
Если у нас есть таблица распределения частот, то в строчке частот ищем наибольшее число, и смотрим, какому варианту оно соответствует. На графике, это точка в которой достигается максимальное значение.
Наиболее важная характеристика – среднее значение (среднее арифметическое или просто среднее).
Чтобы найти среднее значение нужно:
а) Просуммировать все данные измерения.
б) Полученную сумму разделить на количество вариантов.
Для нашего примера найдем среднее значение:
$frac{1*9+2*3+3*4+4*3+5*2+6*2+7*2+8*2+9*2+10*4+11*2+12*2+13*3}{40}=5,775$.
Среднее значение можно найти другим способом:
а) Каждую варианту умножить на ее частоту.
б) Сложить получившиеся значения.
Подсчитаем этим способом:
1*0,225+2*0,075+3*0,1+4*0,075+5*0,05+6*0,05+7*0,05+8*0,05+9*0,05+10*0,1+11*0,05+12*0,05+13*0,075=5,775.
Давайте рассмотрим еще один пример.
На экзамене по математике 25 учеников 9 класса получили такие оценки:
5,4,3,3,5,4,3,3,4,4,5,5,2,2,5,5,5,3,3,4,5,5,4,3,2.
а) Составить общий ряд данных. Упорядочить и сгруппировать.
б) Составить таблицы распределения и распределения частот.
в) Построить графики распределения и распределения частот.
г) Найти среднее, моду, размах.
Решение.
Возможны такие оценки: 1,2,3,4,5 – общий ряд данных.
В нашем примере встречаются оценки: 2,3,4,5 – ряд данных, все числа в ряде – варианты измерений.
Составим сгруппированный ряд: 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5.
б) Объем измерения равен 25, так как 25 оценок выставлено.
Составим таблицу:
в) Нарисуем графики:
Полигон распределения данных:
Полигон распределения частот:
Полигон распределения частот процентов:
Все графики похожи между собой, различия только в масштабе оси ординат.
г)Найдем среднее значение:
$2*0,12+3*0,28+4*0,24+5*0,36=0,24+0,84+0,96+1,8=3,81$.
Мода: чаще всего встречается оценка пять, она и будет модой.
Размах: $5-2=3$.
Задачи статистики для самостоятельного решения
1.На экзамене по математике 50 учеников 9 класса получили такие оценки:
5,3,4,4,5,4,3,2,4,3,5,1,2,3,5,4,5,3,3,4,5,5,4,3,1,3,4,5,4,3,2,2,1,4,4,5,5,4,4,5,3,3,3,2,1,5,4,3,2,5.
а) Составить общий ряд данных. Упорядочить и сгруппировать.
б) Составить таблицы распределения и распределения частот.
в) Построить графики распределения и распределения частот.
г) Найти среднее, моду, размах.
Мода и медиана
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:
Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке?
Все верно, это число ( displaystyle 181), так как два игрока имеют рост ( displaystyle 181) см; рост же остальных игроков не повторяется.
Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?
Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») — отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Ключевое слово – СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.
Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать, т.е. расположить значения в порядке убывания или возрастания).
Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.
Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?
Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»!
Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому).
Вот, что у меня получилось:
Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке.
Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить – сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное?
Все верно – игроков ( displaystyle 11), значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке.
Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:
Ну вот, чисел у нас ( displaystyle 11), значит, по краям остается по пять чисел, а рост ( displaystyle 183) см будет медианой в нашей выборке.
Не так уж и сложно, правда?
Частота и относительная частота
Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.
То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.
Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:
Частота – это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост ( 176)?
Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом ( 176) в нашей выборке равна ( 1).
Сколько игроков имеет рост ( 178)? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом ( 178) в нашей выборке равна ( 1).
Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:
Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки).
То есть в нашем примере: ( 1+1+1+2+1+1+1+1+1+1=11)
Перейдем к следующей характеристике – относительная частота.
Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду. Как правило, относительная частота выражается в процентах.
Обратимся опять к нашему примеру с футболистами. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем ( left( n=11 right)) .
Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:
А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.
Элементы статистической обработки данных
7 класс
Презентация составлена учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района
Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной
Статистика — это точная наука, изучающая методы сбора, анализа и обработки данных, которые описывают массовые действия, явления и процессы
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.
Статистика изучает:
- численность отдельных групп населения страны и ее регионов,
- производство и потребление разнообразных видов продукции,
- перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта,
- природные ресурсы и многое другое.
Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.
В настоящее время статистика начинает изучаться уже в средней школе, в ВУЗах это обязательный предмет, потому что связан со многими науками и отраслями.
Чтобы увеличить количество продаж в магазине, чтобы улучшить качество знаний в школе, чтобы двигать страну по экономическому росту, надо проводить статистические исследования и делать соответствующие выводы. И это должен уметь каждый.
Главные цели изучения элементов статистики
- Формирование умений первичной обработки статистических данных;
- изображение и анализ количественной информации, представленной в разных формах (в виде таблиц, диаграмм, графиков реальной зависимостей);
- формирование представлений о важных статистических идеях, а именно: идее оценивания и идее проверки статистических гипотез;
- формирование умений сравнивать вероятности наступления случайных событий с результатами конкретных экспериментов.
Содержание
- Ряд данных
- Объем ряда данных
- Размах ряда данных
- Мода ряда данных
- Медиана ряда
- Среднее арифметическое
- Упорядоченные ряды данных
- Таблица распределения данных
- Подведём итоги
- Номинативный ряд данных
- Частота результата
- Процентная частота
- Группировка данных
- Способы обработки данных
- Подведём итоги
Определение
- Ряд данных – это ряд результатов каких-либо измерений.
Например: 1) измерения роста человека
2) Измерения веса человека (животного)
3)Показания счетчика (электроэнергии, воды, тепла…)
4) Результаты в беге на стометровку
И т.д.
Определение
Объемом ряда данных называется количество всех данных.
Например: дан ряд чисел 1; 3; 6; -4; 0
объём его будет равен 5.
Выполни задание:
объём
Ответ: 10
Определение
Размах – это разность между наибольшим и наименьшим числами из ряда данных.
Например: если дан ряд чисел 1; 3; 6; -4; 0; 2,
то размах этого ряда данных будет равен 6 (т.к. 6 – 0 = 6)
Выполни задание:
размах
Ответ: 3
Определение
Модой ряда данных называется число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто.
Ряд данных может иметь или не иметь моду.
Так, в ряду данных 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 каждое из чисел 47 и 52 встречается два раза , а остальные числа — менее двух раз.
В таких случаях условились считать, что ряд имеет две моды: 47 и 52.
Выполни задание:
В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки:
3, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 5.
Определите моду данного ряда.
Ответ: 4
Так, в ряду данных
47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 каждое из чисел 47 и 52 встречается два раза, а остальные числа — менее двух раз. В таких случаях условились считать, что ряд имеет две моды: 47 и 52.
- Медиана с нечётным числом членов – это число, записанное посередине.
- Медиана с чётным числом членов — это среднее арифметическое двух чисел , записанных посередине.
Например: определить медиану ряда чисел
1) 6; -4; 5; -2; -3; 3; 3; -2; 3.
Ответ: -3
2) -1; 0; 2; 1; -1; 0;2; -1.
Ответ: 0
Выполни задание:
медиану
- Среднее арифметическое — ЭТО частное от деления суммы чисел ряда на их количество.
Например: дан ряд чисел -1; 0; 2; 1; -1; 0; 2; -1.
Тогда среднее арифметическое будет равно: (-1+0+2+1+(-1)+0+2+(-1)) : 8= =2 : 8=0,25
Выполни задание:
среднее арифметическое
Ответ: 3,9
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
Задание: охарактеризовать успеваемость ученика Иванова по математике за четвертую четверть.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ:
1.Сбор информации:
Выписаны оценки из журнала: 5,4,5,3,3,5,4,4,4.
2.Обработка полученных данных:
объём = 9
размах = 5 — 3 = 2
мода = 4
медиана = 3
среднее арифметическое =(5+4+5+3+3+5+4+4+4) : 9 ≈ 4
Характеристика успеваемости : ученик не всегда готов к уроку.
В основном учится на «4». За четверть выходит «4».
Надо найти объём ряда, размах ряда, моду, медиану и среднее арифметическое:
Карточка 1. 22,5; 23; 21,5; 22; 23.
Карточка 2. 6; -4; 5; -2; -3; 3; 3; -2; 3.
Карточка 3. 12,5; 12; 12; 12,5; 13; 12,5; 13.
Карточка 4. -1; 0; 2; 1; -1; 0; 2; -1.
Карточка 5. 125; 130; 124; 131.
Карточка 6. 120; 100; 110.
Карточка 1.
объём ряда = 5
размах ряда = 10
мода = 23
медиана = 21,5
среднее арифметическое = 13,3
Карточка 3.
объём ряда = 7
размах ряда = 1
мода = 12,5
медиана = 12,5
среднее арифметическое = 12,5
Карточка 2.
объём ряда = 9
размах ряда = 10
мода = 3
медиана = -3
среднее арифметическое = 1
Карточка 4.
объём ряда = 8
размах ряда = 3
мода = -1
медиана = 0
среднее арифметическое = 0,25
Карточка 5.
объём ряда = 4
размах ряда = 7
мода = нет
медиана = 127
среднее арифметическое =127,5
Карточка 6.
объём ряда = 3
размах ряда = 20
мода = нет
медиана = 100
среднее арифметическое = 110
Определение
Упорядоченными рядами данных называются ряды, в которых данные расположены по какому то правилу
Как упорядочить ряд чисел?
- Записать числа так, чтобы каждое последующее число было не меньше (не больше) предыдущего);
- записать некоторые названия «по алфавиту»…
Причем с ами данные в ряду данных не изменяются , а изменяется только порядок их следования
Выполни задание
Дан ряд чисел:
-1;-3;-3;-2;3;3;2;0;3;3;-3;-3;1;1;-3;-1
Упорядочить его по возрастанию чисел.
Решение:
-3;-3;-3;-3;-3;-2;-1;-1;0;1;1;2;3;3;3;3
Получился упорядоченный ряд.
Сами данные в нем не изменились, изменился только порядок их следования .
Таблица распределения данных – это таблица упорядоченного ряда, в котором вместо повторений одного и того же числа записывается количество повторений.
И наоборот, если известна таблица распределения, то можно составить упорядоченный ряд данных.
Например:
Из нее получается такой упорядоченный ряд:
-3;-3;-3;-1;-1;-1;-1;5;5;7;8;8;8;8;8
Результат измерения
Сколько раз встречается в ряде данных
-3
-1
3
4
5
7
2
1
8
5
Выполни задание:
В женском обувном магазине провели статистические исследования и составили соответствующую таблицу по цене обуви и количества продаж:
Цена (руб.): 500 1200 1500 1800 2000 2500
Количество: 8 9 14 15 3 1
Для данных показателей надо найти статистические характеристики:
- составить упорядоченный ряд данных
- объем ряда данных
- размах ряда
- моду ряда
- медиану ряда
- среднее арифметическое ряда данных
И ответить на следующие вопросы:
Мы познакомились с начальными понятиями того, как происходит статистическая обработка данных:
- данные всегда являются результатом какого-либо измерения
- у ряда некоторых данных можно найти:
объём, размах, моду, медиану и
среднее арифметическое
3) любой ряд данных можно
упорядочить и составить
таблицу распределения данных
Номинативный ряд данных – это НЕ ЧИСЛОВЫЕ ДАННЫЕ, а например, имена; названия; номинации…
Например: список финалистов чемпионатов мира по футболу с 1930 года: Аргентина, Чехословакия, Венгрия, Бразилия, Венгрия, Швеция, Чехословакия, ФРГ, Италия, Нидерланды, Нидерланды, ФРГ, ФРГ,
Аргентина, Италия, Бразилия, Германия, Франция
Выполни задание:
Решение : объём =18; мода – немецкая команда.
Вероятность случайного события
Частота результата = (сколько раз результат встретился) : (объем данного ряда)
Например:
19 5
частота 5:19
Процентная частота = (частота · 100% )
Например:
если частота результата равна 5:19 = 0,263157…, то процентная частота будет равна : 0,263 · 100 = 26,3%
Часто ответы для процентных частот могут быть не точными, а приближенными
Группировка данных – применяется когда различных результатов измерений слишком много.
Т.е их объединяют в группы.
При группировке различных данных информация становится менее точной.
Способы обработки данных:
- Таблица
- Диаграмма круговая (каламбер)
Год обучения
2007-2008
1-4 кл.
250
5-9 кл
2008-2009
2009-2010
10-11 кл
253
254
258
80
248
78
240
73
Способы обработки данных
- График
- Гистограмма
(столбчатая диаграмма)
В финал конкурса
«Мисс
факультета» вышли 10 студенток,
за которых голосовали
90 студентов.
Способы обработки данных
Каламбер:
Мы узнали, что….:
- Номинативный ряд – это….
- Частота результата – это….
- Группировка данных – это…
- Способы обработки данных :
1) таблица
2) график
3) гистограмма (или столбчатая диаграмма)
4) каламбер (или круговая диаграмма)
Спасибо за внимание!
Слово «статистика» — является однокоренным с латинским status (статус), что может быть переведено как «состояние дел». В XVII—XVIII вв. для статистических исследований использовали термин «политическая арифметика». В современном мире статистика является одним из важнейших комплексов теорий, методов, алгоритмов и рекомендаций по получению, обработке и анализу разнообразных данных об окружающей нас действительности.
Познакомимся с начальными понятиями статистики, используя для этого материал § 1—5. Вот простые линейные уравнения:
1) 2х = -4;
2) 4х = 25 — х;
3) 17 + х = 8;
4) 3(х + 2) — 2 = х;
5) 3 — х = 4 — (1 — 3х);
6) 16 — х — 2х + 1;
7) -4х — 8 = 0;
12х — 11 = -11(х + 1);
9) 1 — х = 6 — 2х;
10) -2 — (3 — х) = -7.
Надеемся, вы без труда найдёте корни этих уравнений. Выпишем поочерёдно, в строчку эти корни:
-2, 5, -9, -2, 0, 5, -2, 0, 5, -2.
Мы получили набор расположенных в ряд чисел. Его называют рядом числовых данных или, проще, рядом данных. Количество всех данных, из которых состоит ряд, — это объём ряда данных. В нашем случае объём ряда данных равен 10.
Если объём ряда — небольшое число, то с данными такого ряда работать просто. Их все можно выписать, перечислить, упорядочить, выбрать нужные и т. п. А вот если объём равен, скажем, 1000 или 1 000000, то для обработки такого количества данных абсолютно необходимы компьютерные средства и технологии.
Вернёмся к нашему примеру с корнями линейных уравнений. Наименьший из корней равен -9, а наибольший равен 5. Значит, все корни принадлежат отрезку [-9; 5], длина которого равна 14.
В статистике говорят, что 14 — это размах ряда -2, 5, -9, -2, 0, 5, -2, 0, 5, -2. В общем случае размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим числом из ряда. Чем меньше размах, тем «кучнее» на координатной прямой расположены данные. Наоборот, большой размах показывает, что некоторые из данных заметно отличаются друг от друга.
А какое число чаще всего встречается в нашем ряду? Число -2 стоит на 1-м, 4-м, 7-м и 10-м местах. Оно встретилось четыре раза — больше каждого из других чисел ряда. Говорят, что (-2) — это мода ряда -2, 5, -9, -2, 0, 5, -2, 0, 5, -2. Итак, мода ряда данных — это самое «модное» данное, то, которое чаще всего встречается в этом ряду. Мода ряда — ещё один важный статистический показатель. Мода бывает и у рядов данных, состоящих не из чисел. Например, если рассмотреть все данные о продажах легковых автомобилей в России за прошлый год, то модой будет марка наиболее покупаемого легкового автомобиля.
ПРИМЕР 1. На координатной прямой отмечены точки А(-4), В(-3), С(-2), D(-1), Е(2). Вычислить все расстояния между этими точками. Найти объём, размах и моду полученного ряда данных.
Решение. Координатная прямая помогает найти нужные расстояния (см. рис. 16): АВ = 1, АС = 2, AD = 3, АЕ = 6, ВС = 1, BD = 2, BE = 5, CD = 1, СЕ = 4, DE = 3. Получился ряд чисел 1, 2, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 4, 3. Он состоит из 10 чисел, наименьшее число равно 1, наибольшее равно 6, все числа принадлежат отрезку [1; 6], длина которого равна 5, а чаще всего (три раза) встречается число 1.
Ответ: Объём равен 10, размах равен 5, мода равна 1.
Заметим, что объём ряда из примера 1 можно было найти до вычисления всех расстояний. Смотрите, всего есть 5 точек А, В, С, D, Е. Для точки А нужно вычислить четыре расстояния АВ, АС, AD, АЕ. Для точки В нужно вычислить три расстояния ВС, BD, BE: ведь расстояние ВА = АВ уже учтено. Для точки С останутся CD и СЕ, а для точки D — только DE. Всего получается 4 + 3 + 2 + 1 = 10 попарных расстояний между пятью точками.
Вот другая версия этого же рассуждения: «Встретились 5 друзей, и каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?» Если обозначить друзей А, В, С, D, Е, то АВ, АС, …, DE будут обозначать все рукопожатия. Их 10 штук. А вот ещё один вариант: «Каждую вершину правильного пятиугольника соединили отрезком с каждой. Сколько провели отрезков?» Ясно, что и решение, и ответ — те же.
У всех этих разных по форме вопросов есть общая (словесная) математическая модель: «Даны пять элементов. Из них нужно выбрать два элемента, без учёта их порядка. Сколькими способами это можно сделать?» Ответ на такой вопрос мы уже получили: 10.
Здесь мы встретились с одной из типичных задач комбинаторики. Этот термин впервые использовал Готфрид Лейбниц в своей «Диссертации о комбинаторном искусстве», 1666 г. Грубо говоря, комбинаторика — это искусство подсчёта числа различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок и т. п. тех или иных элементов некоторых множеств. С одним из основных правил комбинаторики, правилом умножения, вы уже встречались в 5-м и в б-м классах. Напомним его.
Правило умножения. Если предмет А первого типа можно выбрать n способами, после каждого из которых предмет В второго типа можно выбрать m способами, то пару предметов (А, В) можно выбрать nm способами.
Например, если в левом кармане лежат 7 монет, а в правом кармане лежат 9 монет, то имеется 7 • 9 = 63 способа выбрать одну монету из левого кармана и одну — из правого кармана.
ПРИМЕР 2. В выражение ах + by вместо а и b подставляют одно из чисел 1, 2, …, 8, 9.
а) Сколько всего различных выражений с переменными х и у может получиться?
Сколько среди них будет выражений, в которых:
б) b равно 7 или 9?
в) а в два раза больше, чем b
г) а чётно, b нечётно?
Решение. а) Коэффициент а можно выбрать 9 способами, после каждого из которых коэффициент b можно выбрать также 9 способами. По правилу умножения получаем 9 • 9 = 81.
б) Как и выше, а можно выбрать 9 способами, после каждого из которых b можно выбрать 2 способами: b равно 7 или 9. По правилу умножения получаем 9 • 2 = 18.
в) В этом случае а будет чётным числом. Значит, а можно выбрать 4 способами: а равно или 2, или 4, или 6, или 8. Но как только а будет выбрано, для выбора b остаётся один способ: b = a/2.
Получаем ответ: 4 * 1 = 4. Наверное, тут проще просто перебрать все нужные пары (а; b).
г) Как и в пункте в), число о можно выбрать 4 способами: а равно или 2, или 4, или 6, или 8. После каждого из них Ъ можно выбрать 5 способами: b равно или 1, или 3, или 5, или 7, или 9. По правилу умножения получаем ответ: 4 • 5 = 20.
Ответ а) 81; б) 18; в) 4; г) 20.
Вопросы для самопроверки
1. Найдите объём, размах и моду ряда данных 13, 7, 8, 11, 19, 13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13.
2. Приведите пример ряда, у которого объём равен 7, размах равен нулю, а мода равна 70.
3. Какой из трёх показателей (объём, размах, мода) всегда будет натуральным числом?
4. Какие из трёх показателей (объём, размах, мода) могут оказаться равными нулю?
5. Какой из трёх показателей (объём, размах, мода) может оказаться отрицательным числом?
6. Числа в ряду данных записали в каком-то другом порядке. Какой из показателей (объём, размах, мода) при этом изменился?
7. Встретились 3 друга, и каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?
8. Каждую вершину квадрата соединили отрезком с каждой. Сколько провели отрезков?
9. В классе 14 мальчиков и 11 девочек. Сколькими способами можно составить пару «мальчик-девочка»?
Основные результаты
- В этой главе мы с вами вспомнили, что такое числовое выражение и его значение, что такое алгебраическое выражение и его значение; вспомнили мы и законы сложения и умножения.
- Познакомились с основными понятиями математики: математический язык, математическая модель.
- Сформулировали три этапа математического моделирования при решении текстовых задач.
- Мы узнали, что существуют различные виды математических моделей: алгебраическая, графическая, геометрическая, словесная.
- Вспомнили, что такое линейное уравнение и его корень, сформулировали алгоритм решения линейного уравнения.
- Вспомнили, что такое координатная прямая и координата точки на координатной прямой.
- Узнали, как находить расстояние р(а;b) между точками а и b координатной прямой: р(а;b) = |а — b|.
- Мы научились различать виды числовых промежутков на координатной прямой: луч, открытый луч, отрезок, интервал, полуинтервал.
- Мы познакомились с первыми понятиями статистики: ряд данных, объём ряда данных, размах ряда данных, мода ряда данных.
- Мы вспомнили, как используется правило умножения при решении простейших комбинаторных задач.
Темы исследовательских работ
- Линейные уравнения с одной переменной.
- Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций.
- Ряды данных. Объём, размах и мода ряда данных.
Статистические исследования числовых рядов. Статистические характеристики числовых рядов
Очень часто из-за дороговизны или слишком большого числа наблюдений невозможно получить полной информации об объектах, событиях или наблюдениях. По этой причине информацию получают на основе анализа части всего множества объектов, событий или наблюдений, называемой рядом числовых данных, рядом выборочных данных или, просто, выборкой.
Выборка представляет собой конечный ряд чисел (выборочных данных), количество чисел в котором называют объемом выборки
Для обеспечения достоверности информации об объектах, событиях или наблюдениях, полученных на основе статистических исследований числовых рядов (анализа выборочных данных), отбор выборочных данных должен носить случайный характер и иметь достаточно большой объем, то есть выборка должны быть репрезентативной (представительной).
Статистические исследования числовых рядов (рядов чисел, рядов выборочных данных) удобно проводить в соответствии со следующей схемой, которую мы изложим на примере следующей выборки X :
| X = {3,24; 3,44; 3,12; 3,25; 3,12; 3,34; 3,37; 3,44; 3,24; 3,12} | (1) |
-
Определяем объем выборки (число чисел в числовом ряде).
В числовом ряде (1) десять чисел, поэтому объем выборки равен 10.
-
Вычисляем среднее арифметическое числового ряда X (среднее выборочное значение), которое обозначают
.Для числового ряда (1)
-
Производим упорядочение числового ряда по возрастанию (ранжирование числовых данных). Полученный числовой ряд, который обозначим X1 , называют вариационным рядом.
Для числового ряда X вариационный ряд X1 имеет следующий вид:
X1 = {3,12; 3,12; 3,12; 3,24; 3,24; 3,25; 3,34; 3,37; 3,44; 3,44}
-
Вычисляем размах числового ряда X , то есть разность между наибольшим числом из числового ряда и наименьшим числом из числового ряда.
В числовом ряде X , как и в вариационном ряде X1 , число 3,44 является наибольшим числом, а число 3,12 является наименьшим числом. Поэтому размах числового ряда X равен
3,44 – 3,12 = 0,32
-
Вычисляем медиану числового ряда.
В случае, когда объем выборки (число членов числового ряда) – чётное число, медианой числового ряда является число, равное половине суммы двух чисел, стоящих в середине вариационного ряда.
Число членов ряда X равно чётному числу 10 , а в середине вариационного ряда X1 стоят числа 3,24 и 3,25 . Поэтому медиана числового ряда, которую обычно обозначают символом Me , равна
В случае, когда объем выборки (число членов числового ряда) –нечётное число, медианой числового ряда является число, стоящее в середине вариационного ряда.
Например, медианой числового ряда
{2; 3; 7; 9; 15}
является число 7 .
-
Составляем таблицу частот числового ряда.
Если взглянуть на числа (выборочные данные), составляющие вариационный ряд X1 , то можно заметить, некоторые числа повторяются, а другие встречаются лишь по одному разу. Это наблюдение приводит к следующему определению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если выборочное данное встречается в вариационном ряде m раз, то число m называют частотой (абсолютной частотой) этого выборочного данного.
Воспользовавшись определением 1, сформируем для числового ряда X таблицу, содержащую две строки, которую называют таблицей частот (абсолютных частот) числового ряда. Для этого в первой строке таблицы запишем числа, составляющие вариационный ряд X1 , причем запишем числа в порядке возрастания и без повторений. Во второй строке таблицы запишем частоты (абсолютные частоты), соответствующие числам из первой строки таблицы.
ТАБЛИЦА ЧАСТОТ ЧИСЛОВОГО РЯДА
Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений) 3,12 3,24 3,25 3,34 3,37 3,44 Частоты 3 2 1 1 1 2 Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений) Частоты 3,12 3 3,24 2 3,25 1 3,34 1 3,37 1 3,44 2 ЗАМЕЧАНИЕ. Сумма частот, то есть сумма чисел, записанных во второй строке таблицы частот числового ряда, равна объему выборки (числу чисел в числовом ряде). В рассматриваемом случае это число 10 .
-
Составляем таблицу относительных частот (в процентах).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Относительной частотой (в процентах) выборочного данного называют число процентов, которое составляет частота этого выборочного данного от всего объема выборки (количества членов числового ряда).
Для того, чтобы сформировать таблицу относительных частот числового ряда, заменим частоты, записанные во второй строке таблицы частот числового ряда, на соответствующие им относительные частоты. В результате получим следующую таблицу.
ТАБЛИЦА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ (В ПРОЦЕНТАХ)
Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений) 3,12 3,24 3,25 3,34 3,37 3,44 Относительные частоты (%) 30% 20% 10% 10% 10% 20% Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений) Относительные частоты (%) 3,12 30% 3,24 20% 3,25 10% 3,34 10% 3,37 10% 3,44 20% -
Находим моду числового ряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Модой числового ряда называют выборочное данное с наибольшей частотой.
Из таблицы частот числового ряда видно, что модой числового ряда X является число 3,12 , поскольку его частота 3 является наибольшей. Очевидно, что и относительная частота этого выборочного данного является самой большой (30%) .
ЗАМЕЧАНИЕ. Объем выборки, среднее выборочное значение, размах, медиана и мода числового ряда являются одними из статистических характеристик числовых рядов.
.
