Многогранники
Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.
В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).
Объемы различных многогранников:
- Призма $V=S_{осн}·h$
- Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
- Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
- Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Первый способ.
- Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
- Найти объем параллелепипеда.
- Найти объем лишней части фигуры.
- Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.
Пример:
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.
Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:
$V=10·9·4=360$
2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:
Его длина равна $9-4=5$
Ширина равна $4$
Высота равна $7$
$V=7·4·5=140$
3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:
$V=360-140=220$
Ответ: $220$
- Второй способ
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
Пример:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
$S_1=6·6=36$
$S_2=2·4=8$
$S_осн=36+8=44$
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$
Ответ: $424$
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Задачи на рассмотрение подобия фигур.
При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
Площади и объемы многогранников
Что такое многогранник
Простейшей геометрической фигурой является прямая. Ею называется линия, которая имеет свое продолжение вправо и влево. Если эту прямую ограничить с двух сторон, получится отрезок. Для определения его величины достаточно одного измерения — длины. Прямая, ограниченная с одной стороны, имеет свое название. Это отрезок.
Источник: rusinfo.info
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В пределах одной плоскости, кроме прямой, которую можно измерить одной величиной, существуют геометрические фигуры, измеряемые длиной и шириной. Это многоугольники.
Источник: sun9-19.userapi.com
Они могут иметь различное количество углов и характеризуются таким понятием как площадь.
Фигура, которая располагается в нескольких плоскостях, характеризуется пространственными величинами или трехмерным измерением. К таким фигурам относят многогранники.
Многогранник — геометрическая фигура, имеющая замкнутую поверхность, которую можно представить совокупностью многоугольников.
Для полной характеристики многогранника необходимо назвать следующие свойства:
- стороны обязательно являются смежными с одной соседней стороной;
- при необходимости можно, начав движение от одного из многоугольников, достигнуть любого другого, используя принцип смежности;
- площадь поверхности многогранника равна сумме площадей многоугольников, ограничивающих фигуру.
При этом каждый многоугольник — это грань, сторона — ребро, а вершина — вершина многогранника.
Многогранник, как геометрическое тело, может быть представлен несколькими параллелепипедами, которые соединены по одной из граней. В таком случае их площадь будет равна сумме площадей свободных сторон и одной стороны, по которой произошло соединение. Объем такого тела будет равен сумме объемов каждого из параллелепипедов.
Источник: examer.ru
Многогранники бывают:
- выпуклыми (каждая из точек фигуры находится по одну сторону от плоскости);
- невыпуклыми (не все точки располагаются по одну сторону плоскости).
Проще говоря, выпуклый многогранник можно поставить на одну из сторон, и он будет на ней «уверенно стоять». С невыпуклым такого действия совершить нельзя.
Примечание 1
Важно помнить, что многогранник — это не только поверхность, состоящая из нескольких многоугольников. Это еще и тот внутренний объем, который ограничивает данная поверхность. Именно поэтому в стереометрии отделяют два понятия: площадь многогранника и его объем.
Как найти площадь: формулы
В зависимости от того, какой фигурой представлен многогранник, выбирают формулу для расчета площади его поверхности. Рассмотрим примеры.
1. Дана призма (многогранник, у которого в параллельных плоскостях расположены два многоугольника, являющихся гранями. Прочие грани представлены параллелограммами).
Источник: osiktakan.ru
Найти площадь данной фигуры можно следующим образом:
Источник: osiktakan.ru
2. Дан параллелепипед (один из вариантов призмы, все шесть граней которой являются параллелограммами).
Источник: osiktakan.ru
В этом случае S=2(ab+bc+ac)
3.Дана пирамида (вид многогранника с основанием в виде n-угольника и боковыми гранями по форме треугольниками. Обязательное условие: все треугольники имеют одну общую вершину, у которой есть свое название — вершина пирамиды).
Источник: osiktakan.ru
Площадь пирамиды можно найти по формуле:
Источник: osiktakan.ru
Примечание 2
Особый случай, когда у пирамиды нет вершины. Такая фигура носит название усеченной. Ее можно себе представить, если мысленно параллельно основанию провести сечение (см. рисунок).
Источник: osiktakan.ru
Sбок усеченной пирамиды находят по формуле:
Источник: osiktakan.ru
В стереометрии существует понятие правильного многогранника. Его вводят для фигур, у которых:
- все грани представлены правильными многоугольниками;
- число граней у всех углов идентично;
- ребра являются равными отрезками;
- величины плоских углов идентичны.
Перечисленным требованиям отвечают 5 видов многогранников, представленных в таблице:
| Наименование фигуры | Пример | |
| 1 | Правильный четырехгранник | Правильный тетраэдр |
| 2 | Правильный шестигранник | Куб |
| 3 | Правильный восьмигранник | Правильный октаэдр |
| 4 | Правильный двенадцатигранник | Правильный додекаэдр |
| 5 | Правильный двадцатигранник | Правильный икосаэдр |
Определить площадь правильных многогранников также несложно, зная следующие формулы (нумерация согласно строке таблицы):
1. S=a2√3
2. S=6a2
3. S=2a2√3
4.
Источник: osiktakan.ru
5. S=5a2√3
Использовать данный формулы нужно в задачах, требующих определить площадь поверхности многогранника, без учета его внутреннего объема.
Объем многогранника: формулы
Объем многогранника, в отличие от площади его поверхности, не может быть определен только касательно поверхности. Ведь он представляет собой все внутреннее пространство, которое ограничивается имеющейся поверхностью. На практике говорят, что объем является величиной, с помощью которой описывают размер трехмерных фигур. Эти фигуры так и называют: объемные (тела). У объемной фигуры имеется не только длина и ширина, но и высота – параметр, измеряемый в третьей плоскости.
Решить задачи по определению объема многогранника также можно с использованием формул.
Рассмотрим следующий рисунок:
Источник: interneturok.ru
Объем такого тела определяется по формуле:
V=a*b*c
Поскольку по рисунку видно, что a*b=S, а c является высотой (h), то формулу можно записать в виде: V=S*h
Рассмотренный вариант касается прямоугольного параллелепипеда. Если же произвольный параллелепипед имеет наклонные вертикальные грани, то данная формула также верна, однако проведенная высота отличается от бокового ребра, и, возможно, лежит внутри либо вне самого тела:
Источник: interneturok.ru
Формула определения объема через площадь и высоту подходит и для такого трехмерного тела, как призма (причем как для прямой, так и наклонной):
Источник: interneturok.ru
В быту часто происходит образование новых многогранников в процессе обрезания кусков от старых и приставления их к уже имеющимся. Как же вычислить объем такого геометрического тела? В геометрии используется принцип Кавальери. Суть его в следующем. Площади прямоугольника и параллелограмма равны потому что они в своей структуре имеют отрезки одинакового размера. Проще говоря, если представить рассечение обеих фигур плоскостями, параллельными основанию, величина отрезка слева всегда будет равна величине отрезка справа. Если третья фигура имеет такое же строение, по ее площадь будет такой же.
Источник: interneturok.ru
Объем многогранника, который может быть разделен на два и более многогранников, может определяться суммой их объемов.
Источник: image2.slideserve.com
Для систематизации формул, применяемых для определения объемов многогранников, рассмотрим таблицу:
| Наименование фигуры | Формула объема | |
| 1 | Параллелепипед непрямоугольный, призма | V=S*h |
| Параллелепипед прямоугольный | V=a*b*c | |
| 2 | Куб | V=a3 |
| 3 | Пирамида | S=1/3(Sh) |
На практике определить объем трехмерного тела можно и без формулы. Например, найти объем призмы можно, если умножить площадь ее основания на высоту фигуры. При этом вариант, когда в основании призмы лежит треугольник, предполагает, что нужно найти его площадь. Если основание квадрат, на первом этапе — нахождение площади квадрата. Величину высоты определяем, опуская перпендикуляр к основанию.
Примеры решения задач
Задача 1
Треугольник ABC — основание пирамиды DABC. При этом AC=AB=13см, BC=10см. AD=9см, это перпендикуляр к основанию. Найти S боковой поверхности.
Источник: ege-study.ru
Искомая величина равна сумме площадей боковых граней этой пирамиды.
Из вершин A и D проведем перпендикуляры к стороне BC. Тогда высота треугольника DBC — DK.
Треугольник ABC является равнобедренным, поскольку AB=AC. Тогда высота AK, которую провели по направлению основания BC, совпадает с медианой. Соответственно BK=KC=5см.
Источник: ege-study.ru
Ответ: 192 см3
Задача 2
Имеется выпуклый многогранник. У него 8 граней, в т.ч. 4 пятиугольника и 4 четырехугольника. Определить, сколько у данного тела ребер и вершин. Определим сумму всех граней: 4*4+4*5=36
Поскольку смежные ребра посчитаны дважды, найденное количество необходимо разделить на два: 36/2=18
В+Г-Р=2
В+12-30=2
В+12-2=30
В+10=30
В=20
Ответ: вершин — 20, ребер — 30.
Задача 3
Если переплавить три куба из латуни, у которых ребра равны соответственно 3, 4, 5см, в один куб, какая величина ребра получится у нового куба?
Решение.
Источник: famiredo.ru
Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.
Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:
- Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
- Элементарная логика.
Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.
 Куб |
|
  диагональ
|
 Параллелепипед |
 высота
|
|
 Прямоугольный параллелепипед |
|
 
|
 Призма |
|
 
|
 Пирамида |
|
|
Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».
Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.
Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.
Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.
Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.
Задача 1.Объём куба равен 
. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Решение:
Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 
Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.
Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.
Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.
Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.
Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.
Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
(больший квадрат), 
(маленький прямоугольник), 
Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:
Ответ: 424.
Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:
Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:
(большой прямоугольник), 
(маленький прямоугольник).
Найдем площадь полной поверхности: 
Ответ: 54
Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Покажем еще один способ решения задачи.
Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.
И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:
Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.
Ответ: 42
Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение.
Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда 
Из 
по теореме косинусов найдем ребро АС:
Отрезок АС – большая сторона , следовательно, 
большая боковая грань призмы.
Поэтому 
или 
откуда 
Ответ: 75
Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.
Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.
Проведем 
, тогда 
(по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.
– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.
Из прямоугольного 
получим:
Из прямоугольного 
имеем:
(по двум катетам), тогда 
следовательно
Ответ: 192
Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.
Решение:
Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Площадь поверхности пирамиды равна
где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.
Значит, полупериметр основания 
.
Апофему найдем по теореме Пифагора:
Ответ: 2256
Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?
Покажем два способа.
Первый способ
1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.
Второй способ.
1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.
Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.
2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту: 
3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.
Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем 
4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры: 
Ответ: 220.
Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.
Объем призмы равен 
, а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть 
Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания
Ответ: 126
Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Решение.
Объем призмы равен 
Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.
Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в 
раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.
Объем воды не изменился, 
Так как 
высота воды 
должна быть в 81 раз меньше, чем 
Она равна 
(см).
Ответ: 4
Задача 12. Объем параллелепипеда 
Найдите объем треугольной пирамиды 
Решение.
Опустим из вершины 
высоту 
Н на основание 
Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, 
Имеем:
Ответ: 3,5
Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна 
Решение.
По формуле объема пирамиды, .
В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна 
Объем пирамиды 
Ответ: 96
Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.
Решение.
По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.
Пусть 
тогда 
Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то 
Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет 
часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 
Ответ: 4
Докажем полезную теорему.
Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.
Доказательство:
Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.
Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
В стереометрии изучаются свойства самых разнообразных объемных тел, в том числе приводятся доказательства формул объемов многогранников от самого простого — куба — до сложных геометрических тел с n-м количеством граней.
Определение геометрических тел
Один из разделов геометрии — стереометрия — изучает самые разнообразные пространственные фигуры и их свойства. В общем случае геометрическое тело — это часть пространства, имеющая наружные границы в виде замкнутой поверхности. Сугубо геометрическое определение описывает любую пространственную форму как компактную совокупность множества точек, каждые две из которых можно соединить отрезком и он будет полностью находиться внутри заданного ограниченного контура.
Совокупность всех точек, которые находятся на границе тела, составляет его поверхность. Кроме того, можно сказать, что любое геометрическое тело образовано множеством внутренних точек. В
иды пространственных фигур:
- многогранники;
- тела вращения.
Конечное число плоских многоугольников, ограничивающих пространственное тело, называется многогранником. При этом должны соблюдаться два свойства:
- Любая сторона каждого из многоугольников одновременно является стороной другого многоугольника и только их двоих. Соприкасающиеся стороны называются смежными.
- Все многоугольники связаны между собой — от каждого из них можно проложить путь до любого другого через смежные стороны.
В геометрии многоугольники, образующие сложный пространственный многогранник, называют гранями, отрезки, образованные местом соединения двух смежных граней — ребрами, а углы, образованные соединенными в одной точке гранями — вершинами.
Общий принцип названий таких геометрических тел заключается в указании количества их сторон.
Таким образом, если число граней обозначить n, то название образуется как n-гранник:
- 4 грани — четырехгранник;
- 5 граней — пятигранник;
- 6 граней — шестигранник;
- 8 граней — восьмигранник.
Если весь многогранник находится только с одной стороны каждой своей грани, то его называют выпуклым, в противном случае — вогнутым или невыпуклым. Звездчатые многогранники, состоящие из множества правильных пространственных фигур, относятся к невыпуклым.
Отрезок, проложенный между двумя вершинами, принадлежащими разным граням и соединяющий их — диагональ многогранника.
Понятие объема
У людей давно возникла необходимость подсчитывать или отмерять необходимое количество разных веществ.
При измерении жидких и сыпучих материалов это было сделать легко, поместив их в сосуд известного объема. Для определения вместимости любых пространственных форм в стереометрии было введено понятие объема. Величина, описывающая размер части пространства, которую занимает геометрическое тело, называется его объемом и обозначается латинской буквой V. Для величины объема верны две аксиомы:
- Полный объем любого многогранника равен сумме объемов всех его простых частей. Это свойство используется при вычислении объемов составных пространственных фигур.
- У равных тел и объемы равные, что доказывается принципом наложения, и при параллельном переносе их объем не изменяется.
На величину объема никак не влияет ни пространственное местонахождение тела, ни то, каким образом оно делится на части. Как физическая величина объем выражается через массу и плотность вещества.
Чтобы понять, какая из емкостей более вместительная, можно заполнить одну жидкостью, а потом перелить в другую и увидеть, сколько жидкости останется или не хватит. Но это очень неудобно, и при решении геометрических задач пользуются понятием единицы измерения объема. Она равна объему куба, длина ребра которого — это единица длины.
Исторически известны разные меры емкостей — бушель, галлон, ведро, бочка и т. п. , объем нефти и сейчас измеряется в баррелях. В СИ за единицу объема принят 1 кубический метр, равный количеству вещества, вмещаемого кубом с длиной грани 1 м. В стереометрии обычно используются кубические сантиметры.
Виды многогранников
Различают несколько условных классов пространственных фигур.
К обычным или классическим относятся параллелепипеды всех разновидностей, пирамиды и призмы. Правильными или Платоновыми телами называют отдельную группу из пяти многогранников, состоящих только из правильных многоугольников. Полуправильными или Архимедовыми телами называют усеченные Платоновы тела.
Отдельно рассматриваются сложные многогранники, такие как звездчатые, криволинейные или составленные из классических геометрических тел. Следует отметить, что одно и то же геометрическое тело может относиться к разным классам или являться частным случаем другого. Например, параллелепипед — частный случай призмы, а куб — правильный многогранник и частный случай параллелепипеда. Объем произвольных многогранников определяется как сумма объемов его простых частей.
Призма и параллелепипед
Такие многогранники всегда образованы двумя конгруэнтными основаниями, принадлежащими параллельным плоскостям, и n-м числом параллелограммов, являющихся их боковыми гранями. Если все ребра перпендикулярны основаниям призмы, то она называется прямой. У наклонной призмы величина углов между ребрами и основаниями отличается от 90º. Для правильной призмы обязательно выполнение условия — ее основание должно быть правильным многоугольником.
Высота — важная характеристика этого многогранника, она обозначается как h и в численном выражении представляет собой длину перпендикулярного отрезка между его основаниями. У прямой призмы высота равна длине ее ребра.
Формула для призмы: V = Sо·h, где Sо — площадь основания.
Параллелепипед является частным случаем призмы с основанием в виде четырехугольного многоугольника — параллелограмма. Тела такой формы тоже могут быть прямыми или наклонными и имеют две пары противоположных граней и четыре смежных. Если в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, а его грани перпендикулярны основаниям, то он называется прямоугольным.
Формула объема многогранника прямоугольного параллелепипеда: V = a·b·c, где a и b — длина и ширина основания, а c — высота ребра.
К другой разновидности призм относится призматоид, если его изобразить на рисунке, то легко заметить, что грани такого тела — треугольники, одна сторона которых совпадает со стороной верхнего или нижнего основания, или трапеции, основания которых совпадают со сторонами оснований призматоида. Формула Симпсона: V = h/6 x (Sо + 4S + S1), где Sо и S1 — обозначения площадей оснований, а S — площадь параллельного и равноудаленного от оснований сечения.
Разновидности пирамиды
Пирамида представляет собой многогранник, строение которого включает в себя одно основание и n-е число треугольных граней, сходящихся в одной точке — вершине. К пирамидам относится простейший многогранник — четырехгранная пирамида, сторонами которой являются треугольники. В зависимости от того, какой многоугольник является основанием пирамиды, она может быть треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д. Если при этом основания — правильные фигуры
Формула расчета для пирамиды: V = 1/3 x So·h, где So — площадь основания, h — высота пирамиды, соединяющая ее вершину и центр основания.
Усеченная пирамида получается, если часть полной пирамиды отсекается параллельной основанию плоскостью. Получившееся сечение образует второе основание пирамиды.
Для усеченной пирамиды: V = 1/3 x h x (S1 + √(S1·S2) +S2), где S1 — площадь нижнего, а S2 — площадь верхнего оснований.
Правильные многогранники
Платоновы тела относятся к выпуклым многогранникам, обладают пространственной симметрией и состоят из одинаковых правильных многоугольников. Тетраэдр имеет форму пирамиды и состоит из четырех равносторонних треугольников. Его объем можно вычислить по стандартной формуле для пирамиды или так: V = √2/12 x a³, где a — длина ребра.
Следующий правильный многоугольник — это гексаэдр, который обычно называется кубом, у него шесть квадратных граней, следовательно, длины всех ребер равны между собой.
Формула объема куба: V = a³, где a — длина ребра.
Октаэдр имеет восемь треугольных граней. Формула объема этого правильного многогранника: V = (a³√2)/3.
Икосаэдр состоит из двадцати треугольных граней. Формула: V = (5a³(3 + √5))/12. Додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней, а его объем вычисляется так: V = (a³(15 + 7√5))/4.
Тела вращения
Если какую-либо плоскую геометрическую фигуру вращать вокруг оси, расположенной в той же плоскости, то получится объемное тело вращения.
Шар образуется при вращении круга вокруг своей оси. Если сделать оборот прямоугольника вокруг одной из его сторон, то получится цилиндр. Конус образуется вращением треугольника по линии одного из его катетов. Окружность, вращающаяся вокруг прямой, ее не пересекающей, образует тор. Объемы сложных криволинейных тел определяются по специальной формуле с помощью интеграла.
Формулы для определения объема тел вращения приведены в таблице.
| Тело | Формула объема |
| Цилиндр | V = π R² h, R — радиус основания цилиндра, h — высота |
| Конус | V = 1/3 x π R² h, R — радиус основания конуса, h — высота |
| Шар | V = 4/3 x π R³, R — радиус, π — число пи, равное 3,14 |
Объемы деталей, представляющих собой составные многогранники можно вычислить с помощью онлайн-калькулятора.
Как найти объем многогранника
Прежде всего определимся, что же такое многогранник. Это трехмерная геометрическая фигура, грани которой представлены в виде плоских многоугольников. Единой формулы поиска объема многогранника не существует, так как многогранники бывают разной формы. Для того чтобы найти объем сложного многогранника, его условно делят на несколько простых, таких как параллелепипед, призма, пирамида, а затем складывают объемы простых многогранников и получают в результате искомый объем фигуры.
1
Как найти объем многогранника – параллелепипеда
Для начала найдем площадь прямоугольного параллелепипеда. У такой геометрической фигуры все грани представлены в виде плоских прямоугольных фигур.
- Самый простой прямоугольный параллелепипед – это куб. Все ребра куба равны между собой. Всего у такого параллелепипеда 6 граней, то есть 6 одинаковых квадратов. Объем такой фигуры рассчитывается таким образом:
где a – длина любого ребра куба.
- Объем прямоугольного параллелепипеда, стороны которого имеют различные измерения, рассчитывается по следующей формуле:
где a, b и с – длины ребер.
2
Как найти объем многогранника – наклонного параллелепипеда
У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:
где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.
3
Как найти объем многогранника – призмы
Объемная геометрическая фигура, основание которой представлено многоугольником любой формы, а боковые грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с основанием – называется призмой. У призмы два основания, а боковых граней столько, сколько сторон у фигуры, являющейся основанием.
Для нахождения объема любой призмы, как прямой, так и наклонной, умножают площадь основания на высоту:
где S – площадь многоугольника в основании фигуры, а h – высота призмы.
4
Как найти объем многогранника – пирамиды
Если в основании фигуры расположен многоугольник, а боковые грани представлены в виде треугольников, смыкающихся в общей вершине, то такую фигуру называют пирамидой. Она отличается от вышеперечисленных фигур тем, что у нее имеется только одно основание, кроме этого, у нее есть вершина. Чтобы найти объем пирамиды, ее основание умножают на высоту, и делят результат на 3:
здесь S – площадь основания искомой геометрической фигуры, а h – высота.
Площадь простого многогранника найти достаточно просто, гораздо сложнее найти площадь фигуры, состоящей из множества многогранников. Особое внимание придется уделить правильному разделению сложного многогранника на простые.