Как найти объем диагонального сечения

Подождите!

Ответ нейросети:

⚠️Зарепортить пост!

Объём наклонного параллелепипеда равен произведению площади
его основания на высоту.

где  S_осн –
площадь основания наклонного параллелепипеда, h – высота наклонного параллелепипеда.

ЗАДАЧА:

Основанием наклонного параллелепипеда
является параллелограмм  АВСD,
у которого  АВ =
3 дм, АD = 7 дм  и  ВD = 6
дм. Диагональное сечение  АА₁С₁С  перпендикулярно к плоскости основания и его
площадь равна  1 м². Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть имеем наклонный параллелепипед  АВСDА₁В₁С₁D₁, в
котором плоскость диагонального сечения  АСС₁А₁  перпендикулярна к плоскости основания.

Кроме того, по условию,

AC² + BD² = 2(AB² + AD²),

откуда:

AC² = 2(9 + 49) – 36 =
80,

AC = 4√͞͞͞͞͞5 (дм).

Проведем высоту  A₁N = H  
параллелепипеда  (N∈AC)  и найдём
её из параллелограмма  АСС₁А₁:

S_осн = 2S_∆ABD.

Площадь треугольника  ABD  найдём по формуле
Герона:

p = ¹/₂(3 + 7 + 6) = 8 (дм),

Поэтому

S_осн = 8√͞͞͞͞͞5 (дм³).

V = S_осн × H = 8√͞͞͞͞͞5  × 5√͞͞͞͞͞5 

= 200 (дм³) = 0,2 (м³). 

ОТВЕТ: 
0,2 м³.

ЗАДАЧА:

Площадь боковой грани треугольной
призмы равна  S,
а расстояние от противоположного ребра до этой грани  а. Найдите
объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть имеем наклонную треугольную
призму  АВСА₁В₁С₁, площадь её боковой грани  ВСС₁В₁  равна  S,
а  d(AA₁; (BCC₁)) = а. Объём этой призмы
обозначим как  V. Достроим
данную треугольную призму до параллелепипеда  АВСDА₁В₁С₁D₁.

Объём такого параллелепипеда
вдвое больше за объём данной призмы, то есть равен  2V. Рассмотрим
за основание призмы  АВСDА₁В₁С₁D₁  грань  ВСС₁В₁. Тогда її объём равен

2V = S ×
d(AA₁; (BCC₁)) = S
× а.

ОТВЕТ:  ¹/₂ S
×
а. 

ЗАДАЧА:

Основанием параллелепипеда является ромб со стороной  4  и острым углом  60°. Одно из рёбер параллелепипеда составляет с этой гранью
угол в  60°  и равно 
5. Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Объём параллелепипеда находим по следующей формуле:

V = S_o ∙ H,

где  Н – высота параллелепипеда.

Площадь ромба с заданной стороной  a  и углом 
α,
находим по следующей формуле:

S_o = a² ∙ sin α.

Подставляя известные величины, получаем:

S_o = a² ∙ sin α = 16∙¹/₂∙√͞͞͞͞͞3 = 8√͞͞͞͞͞3.

Угол между ребром  АА₁  и гранью
основания  АВСD –
есть угол между этим ребром и проекцией ребра на плоскость основания, которая равна  АН,
где  Н –
проекция точки  А₁  на  АВСD, то
есть

∠ А₁АН = 60°.

В прямоугольном
треугольнике  АА₁Н:

Задания к уроку 6

Примечание. Текст задачи взят с форума

Задача.
Диагональным сечением правильной четырехугольной призмы является квадрат, площадь которого равен 144 квадратных сантиметров.
Найдите объем объем призмы.

Решение.
Поскольку, согласно определению диагонального сечения призмы, оно проходит через диагональ основания, а данная призма является правильной и четырехугольной, то данное диагональное сечение проходит через диагональ основания, которое является квадратом.

Исходя из того, что площадь диагонального сечения является квадратом (BB1DD1), то сторона квадрата (она же равна высоте призмы) равна:

а = √144 = 12 см

Как мы уже показали, в основании данной призмы также лежит квадрат ABCD, диагональ которого мы только что определили.

Таким образом, если обозначить сторону квадрата как b, получим:

b² + b² = 12²
или
2b² = 144
b² = 72

Заметим, что площадь основания (квадрата ABCD) равна  
S = b²
то есть
S = 72

Согласно формуле нахождения объема призмы
V = Sh

Подставим значения:
V = 72h
высота сечения равна высоте прямой призмы и это значение было найдено нами ранее, то есть
V = 72 * 12 = 864 см³

Ответ: 864 кубических сантиметра

0
 

 Куб |

Описание курса

| Параллепипед