Додекаэдр – это правильный многогранник, состоящий из двенадцати граней, которые являются правильными пятиугольниками.
Из этого следует, что и сам додекаэдр является правильным телом. У этого многогранника 12 граней, 30 ребер и 20 вершин, причем из каждой выходит по три ребра. Как и у икосаэдра, центром симметрии додекаэдра является его геометрический центр. Также додекаэдр обладает 15 осями симметрий.
Онлайн-калькулятор объема додекаэдра
Формула объема додекаэдра
Объем додекаэдра вычисляется по следующей формуле:
V=15+754⋅a3V=frac{15+7sqrt{5}}{4}cdot a^3
где aa — длина ребра додекаэдра.
Рассмотрим задачи на нахождения объема этого многогранника.
Найти объем додекаэдра, если радиус вписанного в него шара равен 15 см15text{ см}.
Решение
r=15r=15
Радиус шара, вписанного в додекаэдр вычисляется так:
r=a4⋅10+225r=frac{a}{4}cdotsqrt{10+frac{22}{sqrt{5}}},
где aa — длина ребра додекаэдра.
Выразим отсюда aa:
a=4⋅r10+225a=frac{4cdot r}{sqrt{10+frac{22}{sqrt{5}}}}
a=4⋅1510+225a=frac{4cdot 15}{sqrt{10+frac{22}{sqrt{5}}}}
a≈13.47aapprox13.47
Объем тела:
V=15+754⋅a3≈15+754⋅13.473≈18728.73 см3V=frac{15+7sqrt{5}}{4}cdot a^3approxfrac{15+7sqrt{5}}{4}cdot 13.47^3approx18728.73text{ см}^3
Ответ: 18728.73 см3.18728.73text{ см}^3.
Найти объем додекаэдра, если площадь его поверхности равна 140 см2140text{ см}^2.
Решение
S=140S=140
Площадь поверхности додекаэдра вычисляется таким образом:
S=3⋅a2⋅5⋅(5+25)S=3cdot a^2cdotsqrt{5cdot(5+2sqrt{5})},
где aa — длина ребра додекаэдра.
Отсюда aa равно:
a2=S3⋅5⋅(5+25)a^2=frac{S}{3cdotsqrt{5cdot(5+2sqrt{5})}}
a=S3⋅5⋅(5+25)a=sqrt{frac{S}{3cdotsqrt{5cdot(5+2sqrt{5})}}}
a=1403⋅5⋅(5+25)a=sqrt{frac{140}{3cdotsqrt{5cdot(5+2sqrt{5})}}}
a≈13.86≈2.60aapproxsqrt{13.86}approx2.60
Объем додекаэдра:
V=15+754⋅a3≈15+754⋅2.603≈134.69 см3V=frac{15+7sqrt{5}}{4}cdot a^3approxfrac{15+7sqrt{5}}{4}cdot 2.60^3approx134.69text{ см}^3
Ответ: 134.69 см3.134.69text{ см}^3.
Найти объем додекаэдра, если радиус описанной сферы вокруг этого многогранника равен 17 см17text{ см}.
Решение
R=17R=17
Радиус сферы, описанной вокруг додекаэдра можно найти по формуле:
R=a4⋅3⋅(1+5)R=frac{a}{4}cdotsqrt{3}cdot(1+sqrt{5}),
где aa — длина ребра додекаэдра.
Найдем aa:
a=4⋅R3⋅(1+5)a=frac{4cdot R}{sqrt{3}cdot(1+sqrt{5})}
a=4⋅173⋅(1+5)a=frac{4cdot 17}{sqrt{3}cdot(1+sqrt{5})}
a≈12.13aapprox12.13
Объем додекаэдра:
V=15+754⋅a3≈15+754⋅12.133≈13676.91 см3V=frac{15+7sqrt{5}}{4}cdot a^3approxfrac{15+7sqrt{5}}{4}cdot 12.13^3approx13676.91text{ см}^3
Ответ: 13676.91 см3.13676.91text{ см}^3.
Не знаете, где найти решение решение задач срочно на заказ? Обратитесь за помощью на Студворк!
-
Вы здесь:
- Главная
- Додекаэдр
Додекаэдр
Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Додека» означает двенадцать, «хедра» — означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник).
Поэтому на вопрос — «что такое додекаэдр?», можно дать следующее определение: «Додекаэдр это геометрическое тело из двенадцати граней, каждая их которых — правильный пятиугольник«.
Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел.
Додекаэдр имеет следующие характеристики:
- Тип грани – правильный пятиугольник;
- Число сторон у грани – 5;
- Общее число граней – 12;
- Число рёбер, примыкающих к вершине – 3;
- Общее число вершин – 20;
- Общее число рёбер – 30.
Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Додекаэдр имеет центр симметрии — центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
Математические характеристики додекаэдра
Додекаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.
Радиус описанной сферы додекаэдра
где a — длина стороны.
Сфера может быть вписана внутрь додекаэдра.
Радиус вписанной сферы додекаэдра
Площадь поверхности додекаэдра.
Для наглядности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.
Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон додекаэдра (это площадь правильного пятиугольника) умноженной на 12. Либо воспользоваться формулой:
Объем додекаэдра определяется по следующей формуле:
Популярное
Миры Ричарда Суини
Молодой британский дизайнер Ричард Суини (Richard Sweeney) создает удивительные скульптуры из…
Живой мир внутри многогранника
С приходом весны, все растения вокруг оживают, появляется листва, всё зеленеет, и распускаются цветы. Но для домашних растений лето продолжается круглый год, конечно при…
Многогранники для Новогодней сказки
Сделать новогодний праздник красивым и необычным, чтобы дети видели в нём сказку, а гости восхищались, можно только своими руками. Бумажные многогранники –…
Многогранники из ленты
Статья в журнале «Наука и Жизнь» рассказывает о достаточно необычном способе построения многогранников.
Домик для птиц
Студией Артемия Лебедева (https://www.artlebedev.ru/) была предложена форма скворечника в виде многогранника.
В качестве геометрической…
Improve Article
Save Article
Like Article
Improve Article
Save Article
Like Article
Given the edge of the dodecahedron calculate its Volume. Volume is the amount of the space which the shapes takes up.
A dodecahedron is a 3-dimensional figure made up of 12 faces, or flat sides. All of the faces are pentagons of the same size.The word ‘dodecahedron’ comes from the Greek words dodeca (‘twelve’) and hedron (‘faces’).
Formula:
Volume = (15 + 7√5)*e3/4
Where e is length of an edge.
Examples :
Input : side = 4 Output : 490.44 Input : side = 9 Output : 5586.41
C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double vol_of_dodecahedron(int side)
{
return (((15 + (7 * (sqrt(5)))) / 4)
* (pow(side, 3))) ;
}
int main()
{
int side = 4;
cout << "Volume of dodecahedron = "
<< vol_of_dodecahedron(side);
}
Java
import java.io.*;
class GFG
{
public static void main (String[] args)
{
int side = 4;
System.out.print("Volume of dodecahedron = ");
System.out.println(vol_of_dodecahedron(side));
}
static double vol_of_dodecahedron(int side)
{
return (((15 + (7 * (Math.sqrt(5)))) / 4)
* (Math.pow(side, 3)));
}
}
Python3
import math
def vol_of_dodecahedron(side) :
return (((15 + (7 * (math.sqrt(5)))) / 4)
* (math.pow(side, 3)))
side = 4
print("Volume of dodecahedron =",
round(vol_of_dodecahedron(side), 2))
C#
using System;
public class GFG
{
static float vol_of_dodecahedron(int side)
{
return (float)(((15 + (7 * (Math.Sqrt(5)))) / 4)
* (Math.Pow(side, 3))) ;
}
static public void Main ()
{
int side = 4;
Console.WriteLine("Volume of dodecahedron = "
+ vol_of_dodecahedron(side));
}
}
PHP
<?php
function vol_of_dodecahedron($side)
{
return (((15 + (7 * (sqrt(5)))) / 4)
* (pow($side, 3))) ;
}
$side = 4;
echo ("Volume of dodecahedron = ");
echo(vol_of_dodecahedron($side));
?>
Javascript
<script>
function vol_of_dodecahedron( side)
{
return (((15 + (7 * (Math.sqrt(5)))) / 4)
* (Math.pow(side, 3))) ;
}
let side = 4;
document.write("Volume of dodecahedron = " +
vol_of_dodecahedron(side).toFixed(2));
</script>
Output :
Volume of dodecahedron = 490.44
Time Complexity: O(logn)
Auxiliary Space: O(1)
Last Updated :
20 Feb, 2023
Like Article
Save Article
Правильные многогранники
Существует всего пять правильных многогранников:
- Тетраэдр
- Куб (Гексаэдр)
- Октаэдр
- Икосаэдр
- Додекаэдр
Если какое-то из этих названий звучит для тебя как древний эльфийский язык, обязательно прочитай эту статью!
Давай посмотрим, как они выглядят, и разберем основные формулы – площади поверхности, объема, радиусов вписанной и описанной сферы.
А также решим задачу №8.
О том, как рисовать пространственные фигуры на плоскости, можно прочитать в нашей статье: «Изображение пространственных фигур. Визуальный гид».
Поехали!
Правильные многогранники — подробнее
Многогранник называется правильным, если:
- он выпуклый;
- все его грани являются правильными многоугольниками;
- в каждой его вершине сходится одинаковое число его ребер.
Пять правильных многогранников
Тетраэдр
Тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников.
Фигура имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер(a).
Площадь поверхности тетраэдра:
( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3})
Объем тетраэдра:
( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{12}sqrt{2})
Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы:
( displaystyle R=frac{a}{4}sqrt{6})
Радиус вписанной в тетраэдр сферы:
( displaystyle R=frac{a}{12}sqrt{6})
Куб (Гексаэдр)
Куб состоит из шести квадратов.
Фигура имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (a).
Площадь поверхности куба:
( displaystyle S=6{{a}^{2}})
Объем куба:
( displaystyle V={{a}^{3}})
Радиус описанной вокруг куба сферы:
( displaystyle R=frac{a}{2}sqrt{3})
Радиус вписанной в куб сферы:
( displaystyle r=frac{a}{2})
Октаэдр
Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.
Фигура имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (a).
Площадь поверхности октаэдра:
( displaystyle S=2{{a}^{2}}sqrt{3})
Объем октаэдра:
( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{3}sqrt{2})
Радиус описанной вокруг октаэдра сферы:
( displaystyle R=frac{a}{2}sqrt{2})
Радиус вписанной в октаэдр сферы:
( displaystyle r=frac{a}{6}sqrt{6})
Икосаэдр
Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.
Фигура имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (a).
Площадь поверхности икосаэдра:
( displaystyle S=5{{a}^{2}}sqrt{3})
Объем икосаэдра:
( displaystyle V=frac{5{{a}^{3}}}{12}left( 3+sqrt{5} right))
Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:
( displaystyle R=frac{a}{4}sqrt{2left( 5+sqrt{5} right)})
Радиус вписанной в икосаэдр сферы:
( displaystyle r=frac{a}{4sqrt{3}}left( 3+sqrt{5} right))
Додекаэдр
Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.
Фигура имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (a).
Площадь поверхности додекаэдра:
( displaystyle S=3{{a}^{2}}sqrt{5left( 5+2sqrt{5} right)})
Объем додекаэдра:
( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{4}left( 15+7sqrt{5} right))
Радиус описанной вокруг додекаэдра сферы:
( displaystyle R=frac{a}{4}left( 1+sqrt{5} right)sqrt{3})
Радиус вписанной в додекаэдр сферы:
( displaystyle r=frac{a}{4}sqrt{10+frac{22}{sqrt{5}}})
Решение задачи №8 на тему «Правильные многогранники»
Задача:
В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) с ребром ( displaystyle sqrt{12}) найдите ( displaystyle A{{C}_{1}}).
Решение:
( displaystyle d=asqrt{3}),
где ( displaystyle d) – диагональ куба,( displaystyle a) – сторона куба.( displaystyle A{{C}_{1}}) – это и есть диагональ куба.
Тогда ( displaystyle A{{C}_{1}}=asqrt{3}=sqrt{12}cdot sqrt{3}=sqrt{36}=6).
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Додекаэдр
Додекаэдр (от греч. «додека» — двенадцать и hedra — «грань») представляет собой многогранник, грани которого – это равносторонние пятиугольники. В любой вершине додекаэдра соединяются три грани.
Количество граней — 12
Количество вершин — 20
Количество ребер — 30
Сумма плоских углов равна 324°.
Формула площади поверхности додекаэдра:
Формула объёма додекаэдра:
Радиус описанной сферы:
Радиус вписанной сферы:
Сумма длин всех ребёр:
L=30a
2522