Как найти объем двух пересекающихся цилиндров

Задача выставлена в теме образование, поэтому будут рассмотрены различные варианты решений.

Рассмотрим «чертеж» трех видов данного пересечения.

Как будет выглядеть зона общая для двух цилиндров? Предположим что у нас значительная разница между диаметрами цилиндров. Тогда эта фигура будет представлять стержень диаметром d, длиной D, с закругленными торцами радиусом R.

Соответственно из схемы можно рассчитать две вспомогательных величины T и k, которые понадобятся в дальнейшем.

Вариант №1

Расчет через площадь прямоугольника.

Рассмотрим верхнюю часть детали, которую рассечем произвольной плоскостью. В сечении мы получим прямоугольник. Суммируя все эти площади, получим половину объема детали.

Примем размеры прямоугольника «а» и «b»

Тогда

Где «X» интегрируемый параметр, определяющий положение секущей плоскости.

Объем вычисляемой детали получим.

Вариант №2

Расчет через объем криволинейных призм.

Вырежем «маленькую» криволинейную призму.

Одна из ее сторон будет представлять криволинейную поверхность (параболическую).

Из первого варианта решения следует, что параметрическое уравнение кривой полученной пересечением горизонтальной плоскостью с данной поверхностью, примет следующий вид, где t определяет положение секущей плоскости.

Отсюда:

Рассмотрим схемы интегрирования при данных параметрах. Эти значения будут легко просматриваться на схемах, что облегчает процесс понимания:

Запишем интеграл «маленькой» призмы в более компактном виде.

Аналогично происходит расчет «большой» призмы.

Развернем фигуру на 90 градусов. Уравнение «параболы» несколько изменится.

Запишем интеграл «большой» призмы в более компактном виде.

Общий объем фигуры составит.

Вариант №3

Расчет через объем торцев.

Объем фигуры можно составить с объема цилиндра диаметра d и длиной 2T, а также двух закругленных торцев.

Общий объем составит.

Сверим результата расчета разными способами, при D=50 и d=40.

Рассмотрим частный случай D=d

Сделаем проверку D=d=50

Интересно, а можно ли найти объем пересечения двух одинаковых цилиндров не прибегая к интегрированию?

Вернемся к первому варианту расчета. Для одинаковых диаметров во всех сечениях всегда будет квадрат. Если бы эта фигура была шаром, то во всех сечениях была бы окружность.

Рассмотрим экваториальное сечение.

Площадь квадрата 4r^2

Площадь окружности pi*r^2

Во всех сечениях соотношение площадей будет одинаковым. 4r^2/pi*r^2=4/pi

Следовательно таким же будет и соотношение объема нашей фигуры с объемом шаром диаметра d.

Ссылка на макет.

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

	Объём пересечения цилиндров 12.07.2010, 14:14
Заслуженный участник 07/01/10 2015	Берём два цилиндра радиуса . И перескаем их под прямым углом (без смещения, их центральные оси должны пересечься). Как найти объем их общей части? У меня даже представит не получается. А как её объём искать непонятно совсем. Если интегралом, то можно разрезать получившиеся тело пополам. В основании будет круг. Т.е. надо интегрировать по этому кругу. Но непонятно, какая будет функция «высоты» , которую по этому кругу надо интегрировать.

ewert	Re: Объём пересечения цилиндров 12.07.2010, 14:22
Заслуженный участник 11/05/08 32162	Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок. Т.е. считать придётся . А это легко.

mihailm	Re: Объём пересечения цилиндров 12.07.2010, 14:40
19/05/10 ∞ 3940 Россия	Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок Лучше апельсин из четырех долек)

meduza	Re: Объём пересечения цилиндров 12.07.2010, 15:05
Заслуженный участник 03/06/09 1497

ewert	Re: Объём пересечения цилиндров 12.07.2010, 15:17
Заслуженный участник 11/05/08 32162	можно всё, я просто написал, что получается тупо и в лоб

mihailm	Re: Объём пересечения цилиндров 12.07.2010, 15:33
19/05/10 ∞ 3940 Россия	В основании будет круг. Т.е. надо интегрировать по этому кругу. Смотря в каком основании, если смотреть сверху на крест из цилиндров, то в основании будет квадрат

caxap	Re: Объём пересечения цилиндров 12.07.2010, 15:37
Заслуженный участник 07/01/10 2015	Посчитал интеграл ewert а, получилось . Потом посчитал по методу meduza , получилось то же! Cпасибо всем!

Yu_K	Re: Объём пересечения цилиндров 13.07.2010, 05:45
02/11/08 1183

lega4	Re: Объём пересечения цилиндров 06.04.2012, 20:34
17/03/10 78	Извиняюсь за некропостинг, но: Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок. Т.е. считать придётся . А это легко. Понятно, что это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный. Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров и так интегрировать вообще не радует.. Не подскажете, есть ли способ поэлегантнее? Думал насчет какой-нибудь цилиндрической замены координат, но не очень хорошо получается..

lega4	Re: Объём пересечения цилиндров 07.04.2012, 08:51
17/03/10 78	Стоп-стоп, откуда именно такой интеграл вообще? Под корнем должна быть другая переменная, насколько я могу прикинуть, y в данном случае. Или тут проделаны какие-то не слишком очевидные, на первый взгляд, рассуждения о симметрии? У меня, как я не расставляю интегралы, получается интеграл от этого корня по переменной, которая стоит под корнем..

ewert	Re: Объём пересечения цилиндров 07.04.2012, 11:14
Заслуженный участник 11/05/08 32162	это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный. Ничего противного: считайте ровно в том порядке, в каком он записан — сначала по игрекам, потом по иксам. Это в уме делается. Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров Смотря какой половинки.

lega4	Re: Объём пересечения цилиндров 07.04.2012, 13:51
17/03/10 78	это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный. Ничего противного: считайте ровно в том порядке, в каком он записан — сначала по игрекам, потом по иксам. Это в уме делается. Вот-вот, тот, что вы написали, да, так и считается. Но у меня, как ни расставляю, получается интеграл от корня по переменной под корнем, что сильно противнее. Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров Смотря какой половинки. — вот такой половинки

ewert	Re: Объём пересечения цилиндров 07.04.2012, 14:07
Заслуженный участник 11/05/08 32162

lega4	Re: Объём пересечения цилиндров 07.04.2012, 14:31
17/03/10 78	А что касается , то разбейте Вашу область на четыре осьмушки, тогда получится , где — координаты центра тяжести одной осьмушки. Как-то интуитивно не очень понятно, что вычисляется именно так, можно поподробнее немного?

ewert	Re: Объём пересечения цилиндров 07.04.2012, 15:07
Заслуженный участник 11/05/08 32162	Все четыре осьмушки одинаковы. При этом, скажем, первая получается отражением второй относительно биссектрисы координатного угла, при котором и меняются ролями.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Let

• $r = 1$ be the common radii of the two cylinders.
• $2d$ be the nearest distance between the two axis of the cylinders.
• $alpha = 2beta$ be the angle between the two axis of the cylinders.

Choose the coordinate system so that the axis of the cylinders pass through
$(0, pm d, 0)$ with tangent vectors $( pmsinbeta, 0, cosbeta)$ respectively. It is not hard to see the two cylinders are give by.

$$mathcal{C}_{pm} = left{ (x,y,z) in mathbb{R}^3 : ( xcosbeta mp zsinbeta )^2 + (y mp d)^2 le r^2 right}$$

If we intersect $mathcal{C}_{pm}$ with a plane of constant $z$, the intersections will be two axis aligned ellipses with semi major axis $frac{r}{cosbeta}$ in the $x$-direction and semi minor axis $r$ in the $y$-direction.
Introduce new coordinates
$$(u,v,w) = (xcosbeta, y, zsinbeta) quadiffquad
(x,y,z) = left(frac{u}{cosbeta}, v, frac{w}{sinbeta}right)
$$
The intersections of $mathcal{C}_{pm}$ with a plane of constant $w$ become two circles of radii $r$.
$$(u mp w)^2 + (v mp d)^2 le r^2$$
and these two circles intersect when and only when $d^2 + w^2 le r^2$.

When they intersect, let $theta = cos^{-1}left(frac{sqrt{d^2 + w^2}}{r}right)$. In the diagram below, the intersection is the one bounded by the two circular arc in red. Its area is equal to

$$begin{align}
& verb/Area/(text{sector } ABD) + verb/Area/(text{sector } CDB)
— verb/Area/(text{rhombus } ABCD)\
= & 2verb/Area/(text{sector } ABD) — 4verb/Area/(text{triangle } OAB)\
= & 2left(frac12 r^2(2theta)right) — 4left(frac12 (rsintheta)(rcostheta)right)\
= & r^2(2theta — sin(2theta))
end{align}
$$

$hspace1.25in$

Let $displaystyle;theta_0 = cos^{-1}left(frac{d}{r}right);$,
the volume we want becomes

$$begin{align}verb/Volume/
&= overbrace{frac{1}{cosbetasinbeta}}^{color{blue}{text{Jacobian}}}
int_{-sqrt{r^2 — d^2}}^{sqrt{r^2 — d^2}} r^2 (2theta — sin(2theta)) d w\
&= frac{-4r^3}{sinalpha} int_{0}^{theta_0} (2theta — sin(2theta)) dsqrt{cos^2theta — cos^2theta_0}\
color{blue}{text{ integrate by part } rightarrow}
&= frac{16 r^3}{sinalpha}int_0^{theta_0} sin^2theta sqrt{cos^2theta — cos^2theta_0} dtheta\
color{blue}{ m = sin^2theta_0 rightarrow}
&= frac{16 r^3}{sinalpha}int_0^sqrt{m} frac{sin^2theta}{costheta}sqrt{m — sintheta^2} dsintheta\
color{blue}{ sintheta = sqrt{m} t rightarrow}
&= frac{16 r^3 m^2}{sinalpha}int_0^1 t^2sqrt{frac{1-t^2}{1-mt^2}} d t\
&= frac{16 r^3 m^2}{sinalpha}int_0^1 frac{t^2 — t^4}{sqrt{(1-t^2)(1-mt^2)}} dt
end{align}
$$

Let $Q(t) = (1-t^2)(1-mt^2)$, it is easy to check

$$frac{d}{dt}left(t sqrt{Q(t)}right)
= frac{1}{sqrt{Q(t)}}left(3m t^4 — 2(m+1) t^2 + 1right)$$
We can use this to transform the last integral as

$$begin{align}verb/Volume/
&= frac{16 r^3 m}{3sinalpha}int_0^1 frac{3m t^2 — 2(m+1) t^2 + 1}{sqrt{Q(t)}} dt\
&= frac{16 r^3}{3sinalpha}int_0^1 frac{(2-m)(1-mt^2) — 2(1-m)}{sqrt{Q(t)}} dt
end{align}
$$
Compare this with the definition of the complete
elliptic integrals of the $1^{st}$ and $2^{nd}$ kind.

$$begin{align}
K(m)
&= int_0^{pi/2} frac{dtheta}{sqrt{1-msin^2theta}}
= int_0^1 frac{dt}{sqrt{(1-mt^2)(1-t^2)}}\
E(m) &= int_0^{pi/2} sqrt{1-msin^2theta} dtheta
= int_0^1 sqrt{frac{1-mt^2}{1-t^2}} dt
end{align}
$$
We get

$$verb/Volume/ = frac{16 r^3}{3sinalpha}left((2-m)E(m) — 2(1-m)K(m)right)$$

As a sanity check, when $d to 0$, $m to 1^{-}$, we have

$$(1-m)K(m) to 0quadtext{ and }quad (2-m)E(m) to E(1) = 1$$
This leads to a familiar result for the volume of intersection when the axis intersect.

$$verb/Volume/_{d = 0} = frac{16r^3}{3sinalpha}$$

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.